☆ 熱伝導.1次元 ☆ |
◎ 静電場の考え方を利用する事ができる conduction of heat thermal conduction ★_ |
◇ ベクトル <A> 単位ベクトル <-u> 内積 * 外積 # 座標単位<x>,<y>,<z>
◇ 2*3=6 6/2=3 3^2=9 10^x=Ten(x) 微分
;x 時間微分
' 積分 $ |
〓 熱伝導方程式 〓 . ■ 温度の高い領域から、温度の低い領域に熱伝導が起きる。 熱流束 単位時間に断面を通して流れる熱エネルギー 熱流束面密度 単位時間、単位断面積あたりに流れる熱エネルギー <j> ※ 「流束」と「流束面密度」は混乱して使われている 熱流束面密度は、温度の変化の割合に比例する場合を考える。 温度分布 T(x,y,z,t) 比例定数:熱伝導素(熱伝導率) Kh <j>=-Kh*<grad(T)> ★_Fourier's law 1822 [Kh]=[J/(sec*m^2)]/[K/m]=[J/(K*m*sec)] ■ div<j>=-Kh*div<grad(T)>=-Kh*ΔT 熱の発生源や吸収源がない領域で div<j>=0 だから、 ΔT=0 ★_ |
〓 1次元熱伝導方程式 〓 . ◎ 1次元 熱の発生源がない場合 ◆
温度場 T(x,y,z,t) 熱流束
heat flux 単位時間 [J/sec]=[W] 内部エネルギー(単位体積あたり)
u
[J/m^3] 比熱(単位体積あたり)
Cv [J/(m^3*K)] ■ h=-λ*(T;x) ★_AFourier's law 1822 熱伝導率 (heat conductivity) λ エネルギー保存 u'=-h;x B @ABより T'=+(λ/Cv)*(T;;x) ★_1次元熱伝導方程式(熱源がない場合) ■ 定常状態 T'=0 T;;x=0 T は x の1次関数 |
〓 1次元の熱の流れ,温度分布 〓 . ◆ 1次元 x軸 x=-L~L に熱源 s その熱伝導率 λ 温度分布 T(x) 定常状態 ■ △T=-s/λ T;;x=-s/λ=定数 解 T(x)=-(1/2)*(s/λ)*x^2+C1*x+C2 後は、境界値を考え、積分定数 C1,C2 を定めればよい。 T1=-(1/2)*(s/λ)*L^2-C1*L+C2 T2=-(1/2)*(s/λ)*L^2+C1*L+C2 T2-T1=2*C1*L C1=(T2-T1)/(2*L) T1+T2=-(s/λ)*L^2+2*C2 C2=(T1+T2)/2+(1/2)*(s/λ)*L^2 T=-(1/2)*(s/λ)*x^2+(T2-T1)*x/(2*L)+(T1+T2)/2+(1/2)*(s/λ)*L^2 T1=T2 のとき T=(1/2)*(s/λ)*(L^2-x^2)+T1 最高温度 Tmax=(1/2)*(s/λ)*L^2+T1 {初めてポアソン方程式を使えた!2013/8} |
〓 気体の熱伝導率 〓 . ◎ 容器の上部に高温の気体、下部に低温の気体があるとしよう。高エネルギーの分子が下へ、低エネルギーの分子が上へ、「拡散」し、熱分布が一様になっていく。熱伝導率を求めよう。 ●比熱比 Γ を使って、 総内部エネルギー
N*U=N*(Kt+Kr)=P*V/(Γ-1) ◆
鉛直線(上から下へ) z軸 温度 上 T+dT 下 T T;z=-dT/l 総内部エネルギー 上 U+du 下 U 分子1個の内部エネルギー U=k*T/(Γ-1) dU=[k/(Γ-1)]*dT 分子の速さ v {注}分子の速さの違いを考えないとする。 分子の数密度 n 熱量 Q(t) 面積 A 単位面積当たりの熱の流れ Q'/A ■ 熱伝導率 (kappa)=-(Q'/A)/(T;z)=+(Q'/A)*l/dT @ Q'/A=(下向きのエネルギーの流量)-(上向きのエネルギーの流量) @,Aより、 (kappa)=k*n*l*v/(Γ-1) ★_ {やっとできた!1週間かかった。内部エネルギーがわかってなかった。2012/10} |