物理 熱伝導 2018/3-2012/3 Yuji.W

☆ 熱伝導.1次元

静電場の考え方を利用する事ができる conduction of heat thermal conduction _

◇ ベクトル <A> 単位ベクトル <-u> 内積 * 外積 # 座標単位<x>,<y>,<z>
 円柱座標 <hu>,<au>,<z> 球座標 <ru>,<au>,<bu>

◇ 2*3=6 6/2=3 3^2=9 10^x=Ten(x) 微分 ;x 時間微分 ' 積分 $
 
ネイピア数 e e^x=exp(x) 対数 底a log(a,x) 底e ln(x) 底10 LOG(x)
 i^2=-1 e^(i*x)=exp(i*x)=expi(x) 複素数zの共役複素数 \z

〓 熱伝導方程式 〓 .

■ 温度の高い領域から、温度の低い領域に熱伝導が起きる。

 熱流束 単位時間に断面を通して流れる熱エネルギー

 熱流束面密度 単位時間、単位断面積あたりに流れる熱エネルギー <j>

※ 「流束」と「流束面密度」は混乱して使われている

 熱流束面密度は、温度の変化の割合に比例する場合を考える。

温度分布 T(x,y,z,t) 比例定数:熱伝導素(熱伝導率) Kh

 <j>=-Kh*<grad(T)> _Fourier's law 1822

 [Kh]=[J/(sec*m^2)]/[K/m]=[J/(K*m*sec)]

■ div<j>=-Kh*div<grad(T)>=-Kh*ΔT

熱の発生源や吸収源がない領域で div<j>=0 だから、

 ΔT=0 _

〓 1次元熱伝導方程式 〓 .

◎ 1次元 熱の発生源がない場合

◆ 温度場 T(x,y,z,t) 熱流束 heat flux 単位時間 [J/sec]=[W]
熱流束面密度 heat flux density 単位時間、単位面積あたり h [J/(m^2*sec)]=[W/m^2]
※ 「流束」と「流束密度」は混乱して使われている

内部エネルギー(単位体積あたり) u [J/m^3] 比熱(単位体積あたり) Cv [J/(m^3*K)]
 u=Cv*T @

■ h=-λ*(T;x) _AFourier's law 1822 熱伝導率 (heat conductivity) λ

エネルギー保存 u'=-h;x B

@ABより T'=+(λ/Cv)*(T;;x) _1次元熱伝導方程式(熱源がない場合)
 
熱拡散率 λ/Cv

■ 定常状態 T'=0 T;;x=0 T は x の1次関数

〓 1次元の熱の流れ,温度分布 〓 .

◆ 1次元 x軸 x=-L~L に熱源 s その熱伝導率 λ 温度分布 T(x)

定常状態

■ △T=-s/λ T;;x=-s/λ=定数

解 T(x)=-(1/2)*(s/λ)*x^2+C1*x+C2

後は、境界値を考え、積分定数 C1,C2 を定めればよい。

 T1=-(1/2)*(s/λ)*L^2-C1*L+C2 T2=-(1/2)*(s/λ)*L^2+C1*L+C2

 T2-T1=2*C1*L C1=(T2-T1)/(2*L)

 T1+T2=-(s/λ)*L^2+2*C2 C2=(T1+T2)/2+(1/2)*(s/λ)*L^2

 T=-(1/2)*(s/λ)*x^2+(T2-T1)*x/(2*L)+(T1+T2)/2+(1/2)*(s/λ)*L^2

T1=T2 のとき T=(1/2)*(s/λ)*(L^2-x^2)+T1

 最高温度 Tmax=(1/2)*(s/λ)*L^2+T1

{初めてポアソン方程式を使えた!2013/8}

〓 気体の熱伝導率 〓 .

◎ 容器の上部に高温の気体、下部に低温の気体があるとしよう。高エネルギーの分子が下へ、低エネルギーの分子が上へ、「拡散」し、熱分布が一様になっていく。熱伝導率を求めよう。

●比熱比 Γ を使って、

 総内部エネルギー N*U=N*(Kt+Kr)=P*V/(Γ-1)
=N*k*T/(Γ-1)=N*(1/2)*k*T*(自由度)

◆ 鉛直線(上から下へ) z軸
平均自由行程 l だけ離れて、温度の違う気体があるとする。

温度 上 T+dT 下 T T;z=-dT/l

総内部エネルギー 上 U+du 下 U

分子1個の内部エネルギー U=k*T/(Γ-1) dU=[k/(Γ-1)]*dT

分子の速さ v {注}分子の速さの違いを考えないとする。

分子の数密度 n

熱量 Q(t) 面積 A 単位面積当たりの熱の流れ Q'/A

■ 熱伝導率 (kappa)=-(Q'/A)/(T;z)=+(Q'/A)*l/dT @

 Q'/A=(下向きのエネルギーの流量)-(上向きのエネルギーの流量)
=(内部エネルギーの差)*(流量)
=dU*n*v=[k*n*v/(Γ-1)]*dT A

@,Aより、

 (kappa)=k*n*l*v/(Γ-1) _

{やっとできた!1週間かかった。内部エネルギーがわかってなかった。2012/10}

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