物理-力学　2014/6-2013/10　yuji.W

◎ 回転系の運動方程式を行列を使って求める

〔表示のお約束140710〕cos(a)=Ca　sin(b)=Sb　tan(x)=Tx　10^x=Ten(x)
ベクトル<>　単位ベクトル<-u>　縦ベクトル<)　成分<>:x　内積*　外積#
e^(x)=exp(x)=E(x)　e^(i*x)=expi(x)=Ei(x)　微分;x　時間微分'　物理定数

●

　X=x*Ca+y*Sa　Y=-x*Sa+y*Ca　x=X*Ca-Y*Sa　y=X*Sa+Y*Ca

◎ 座標軸そのものが、慣性系に対して、回転している場合を考え、[○]回転系での運動方程式を作りたい。慣性系ではなくなるので、見かけの力(遠心力と、コリオリ力)が生じる。

◆ [○]回転系と[＋]慣性系(x,y,z)の関係

原点は同じ　z軸も同じ　回転軸は z軸
角速度 w.=一定=時間によって変化しない

x軸とX軸とが作る角 a　a=w.*t  w.=a'=一定

■ 回転行列 [R(a)]=[Ca Sa|-Sa Ca]　<X,Y)=[R(a)]*<x,y)

　[R(-a)]=[Ca -Sa|Sa Ca]　<x,y)=[R(-a)]*<X,Y)

● 行列の微分　{[A]*[B]}'=[A]'*[B]+[A]*[B]'

◆ 1質点の運動　質量 m　[＋]慣性系xyz　運動方程式 m*<r>''=<F>

[○]回転系XYz　その角速度 w.　時刻tでの回転角 a=w.*t

　<V>=<VX,VY>=<X',Y'>

z軸は同じだから、xy平面(XY平面)のみを考えていく。

■ <x,y)=[R(-a)]*<X,Y)

この関係は、任意のベクトルに対して成り立つから、

　<vx,vy)=[R(-a)]*<VX,VY)　<Fx,Fy)=[R(-a)]*<FX,FY)

回転行列の時間微分 [R(-a)]'=w.*[-Sa -Ca|Ca -Sa]
　[R(-a)]''=w.^2*[-Ca Sa|-Sa -Ca]=-w.^2*[R(-a)]

[○]回転系での運動方程式を作ろう。

　<x,y)=[R(-a)]*<X,Y)
　<x,y)'=[R(-a)]'*<X,Y)+[R(-a)]*<X,Y)'

　<x,y)''
=[R(-a)]''*<X,Y)+[R(-a)]'*<X',Y')
+[R(-a)]'*<X,Y)'+[R(-a)]*<X'',Y'')
=[R(-a)]''*<X,Y)+2*[R(-a)]'*<X',Y')+[R(-a)]*<X'',Y'')
=-w.^2*[R(-a)]*<X,Y)+2*[R(-a)]'*<X',Y')+[R(-a)]*<X'',Y'')

ここで　<x,y)''=<Fx,Fy>/m

　<Fx,Fy>/m=-w.^2*[R(-a)]*<X,Y)+2*[R(-a)]'*<X,Y)'+[R(-a)]*<X,Y)

左から m*[R(a)] を掛けると、

　<FX,FY>
=-m*w.^2*<X,Y)+2*m*[R(a)]*[R(-a)]'*<X',Y')+m*<X'',Y'')

　m*<X'',Y'')
=<FX,FY>-2*m*[R(a)]*[R(-a)]'*<X',Y')+m*w.^2*<X,Y)

ここで　[R(a)]*[R(-a)]'
=w.*[Ca Sa|-Sa Ca]*[-Sa -Ca|Ca -Sa]
=w.*[0 -1|1 0]

　[R(a)]*[R(-a)]'*<X',Y')
=w.*[0 -1|1 0]*<X',Y')
=w.*<-Y',X')
=-w.*<X',Y'>#<zu>
=-<V>#<w.>

　m*<X'',Y'')=<FX,FY>+2*m*<V>#<w.>+m*w.^2*<X,Y)〔★〕

★　回転系(行列)　★