☆お勉強しようUz☆ 物理.特殊相対性理論

2016/3-2011 Yuji.W

光のドップラー効果.宇宙膨張

◎ 光の縦ドップラー効果 横ドップラー効果 光行差 宇宙膨張 赤方偏移 ハッブルの法則

◇ ベクトル<A> 縦ベクトル<A) 単位ベクトル<-u> 内積* 外積# 微分;x 時間微分' 10^x=Ten(x) exp(i*x)=expi(x) 共約複素数\z 物理定数 -

☆復習-音のドップラー効果☆

「音のドップラー効果」 2015/1-2014/3

◆ 実験室系に対しての速さ 音 V 音源 v 観測者 u ※ V~340m/sec (15°、1気圧)
音源は観測者に向かい、観測者は音源に向かう方向を正とする

一般に 0<|u|<V 0<|v|<V 観測者も音源も音速を超えない

音源が発する音の振動数 nu0 観測者が観測する音の振動数 nu

■ nu/nu0=(V+u)/(V-v)=(1+u/V)/(1-v/V)

☆ドップラー効果1次元-ローレンツ変換を使って☆

◎ 光を、エネルギーと運動量を持つ粒(光子)とみなし、その運動を、2つの慣性系で観測する。 ◇ 運動量(光速倍) p

「エネルギーと運動量のローレンツ変換」 2015/3

※ 時間(光速倍) tc 速さ(対光速比) b 質量(光速の2乗倍) m 運動量(光速倍) p

◆ 1粒子1次元運動 質量 m 1つの慣性系X系で エネルギー EX 運動量 pX

別の慣性系x系 X系に対して、速さ(対光速比) b. で等速直線運動
その系で エネルギー E 運動量 p

■ E=Γ(b.)*EX-Γ(b.)*b.*pX p=Γ(b.)*pX-Γ(b.)*b.*Ex 符号に注意{!}

※ 3次元運動の場合、上記の関係は、系の動く方向の成分に対して成り立つ。その方向に垂直な方向の運動量成分は変化しない。

※ 2粒子以上の全エネルギーと全運動量に対しても同様な関係が成り立つ。ただし、

 (E1+E2)^2-(<p1>+<p2>)^2≠(m1+m2)^2

◆ 光子のエネルギーと運動量をローレンツ変換する。光子の静止質量は 0 であるので、エネルギーと運動量は比例する。さらに、普通の運動量を光速倍したもので、運動量を表すと、 エネルギー=運動量 となる。したがって、光子独特のローレンツ変換と呼べるものになる。すなわち、それが光のドップラー効果である。 .

光源が静止している系で 光子 エネルギー E0 運動量(光速倍) E0

光源に対して、速さ(対光速比) b. で動く慣性系で その光子のエネルギー E 運動量 E

※ b.>0 のとき 光源が観測者から遠ざかる場合

■ ローレンツ変換すると

 E
=Γ(b.)*E0-Γ(b.)*b.*E0
=Γ(b.)*E0*(1-b.)
=E0*(1-b.)/root[(1-b.)*(1+b.)]
=E0*root[(1-b.)/(1+b.)]

 E/E0=root[(1-b.)/(1+b.)] .光のドップラー効果 光源が観測者から遠ざかる場合 b.>0

{あっさり簡単にできた!2015/3}

※ 音の場合 音の媒質(空気)に対する観測者の速さ u 音の速さV

観測者が音源から遠ざかる場合 nu/nu0=1-u/V

■ |b.|<<1 のとき E/E0=root[(1-b.)*(1-b.)]=1-b.

元々の波長 λ0 観測された波長 λ=λ0+Δλ とすれば E/E0=λ0/λ

 λ0/(λ0+Δλ)=1-b.

 b.=1-λ0/(λ0+Δλ)=Δλ/(λ0+Δλ) .

★ 我々の銀河の腕の中性水素原子 λ0=21_cm=210_mm Δλ=-0.1_mm

 b.=-0.1/209.9=-4.8*Ten(-4)

 v=-[3*Ten(8)]*[4.8*Ten(-4)]=-1.44*Ten(5)_m/sec=-144_km/sec

「光のドップラー効果」 2015/8

◎ 光子 静止質量 0 エネルギー=運動量(光速倍)

◆ 光源が静止している系で 光子 静止質量 0 エネルギー E0 運動量(光速倍) E0

光源に対して、速さ(対光速比) b. で動く慣性系で その光子のエネルギー E 運動量 E

■ E/E0=root[(1-b.)/(1+b.)] 光源が観測者から遠ざかる場合 b.>0

■ |b.|<<1 のとき b.=1-λ0/(λ0+Δλ)=Δλ/(λ0+Δλ)

☆宇宙膨張.赤方偏移☆

◎ 遠くの銀河からの光の波長のずれを観測すると、縦ドップラー効果の式から、銀河が遠ざかる速さを求めることができる。さらに、ハッブルの法則を使えば、銀河までの距離を見積もることができる。

「ハッブル定数」 2015/2 パーセク pc 光年 ly 1*pc=3.26*ly

ハッブル定数 H~70_(km/sec)/Mpc 光速 c=3*Ten(5)_km/sec

 c/H=3*Ten(5)/70_Mpc=[3*Ten(5)/70]*3.26*Ten(6)_ly~140_億光年

{単位の変換は面倒!2015/2}

◆ 光源が遠ざかる速さ(対光速比) b

元々の光の波長 λ0 エネルギー E0  観測した光の波長 λ エネルギー E Δλ=λ-λ0

 赤方偏移パラメータ(波長のずれ) z=Δλ/λ0

■ 宇宙膨張 λ/λ0=(観測時の宇宙スケール)/(光が放たれた時の宇宙スケール)

 λ/λ0=(λ0+Δλ)/λ0=1+Δλ/λ0=1+z

 (観測時の宇宙スケール)/(光が放たれた時の宇宙スケール)=1+z 

■ ドップラー効果 E/E0=root[(1-b)/(1+b)]
波長とエネルギーの関係 λ0/λ=E/E0 だから、

 λ/λ0=root[(1+b)/(1-b)]

 1+z=λ/λ0=root[(1+b)/(1-b)] b について解くと、

 b=[(1+z)^2-1]/[(1+z)^2+1] .

■ 観測により、おおよそ 銀河の後退速度 ∝ 銀河までの距離

銀河までの距離 d 後退速度 v=H*d ハッブル定数 H b=v/c

 d=(c/H)*z*(z+2)/(z^2+2*z+2)

ここで ハッブル定数 H~70_(km/sec)/Mpc c/H~140_億光年

 d=140*z*(z+2)/(z^2+2*z+2)_億光年 .赤方偏移パラメータと距離の関係

■ z<<1 のとき z*(z+2)/(z^2+2*z+2)=1-2/(z^2+2*z+2)=1-(1-z)=z

 d=140*z_億光年 .近い銀河の赤方偏移パラメータと距離の関係

{うまくできてるなあ!2015/2}

「宇宙膨張.赤方偏移」 2015/8

◆ 光源が遠ざかる速さ(対光速比) b

元々の光の波長 λ0 エネルギー E0  観測した光の波長 λ エネルギー E Δλ=λ-λ0

 赤方偏移パラメータ(波長のずれ) z=Δλ/λ0

ハッブル定数 H~70_(km/sec)/Mpc 光源までの距離 d

■ b=[(1+z)^2-1]/[(1+z)^2+1]

■ d=(c/H)*z*(z+2)/(z^2+2*z+2)=140*z*(z+2)/(z^2+2*z+2)_億光年

z<<1 のとき d=140*z_億光年

★ quaser3c273 Hα線 6563Å⇒7613Å z=7613/6563-1=0.16

 d=140*0.16=22_億光年

へび座にある銀河 z=0.203

★ z=0.4 b=1.56/3.56~0.44

電波銀河 3C324 水素原子の電波 21cm z=1.12

 Δλ/21=1.12 Δλ=23.52_cm λ=21+23.52=44.52_cm

★ z=10 のとき、

 z*(z+2)/(z^2+2*z+2)=10*12/(100+20+2)=120/122=0.98

 d=140*0.98=137_億光年

宇宙背景放射 λ0=1_μm λ=1_mm z~1000

☆ドップラー効果2次元-ローレンツ変換を使って☆

◎ 光を、エネルギーと運動量を持つ粒(光子)とみなし、その運動を、2つの慣性系で観測する。

◆ 2つの慣性系 光源が静止している慣性系(光源系) 観測者が静止している系(観測者系)
ふたつの系のx軸とxy平面とが一致している。光子の運動は、その平面上にある。光源系は、観測者系に対して、速さ(対光速比) b. で、x軸の正の方向に動く。

光源系で エネルギー E0 運動量(光速倍) <p0x p0y> E0=|<p0x p0y>|
光子の運動する方向とx軸との作る角 a0 p0x=E0*cos(a0) p0y=E0*sin(a0)

観測者系で エネルギー E 運動量(光速倍) <px py> E=|<px py>|
光子の運動する方向とx軸との作る角 a px=E*cos(a) py=E*sin(a)

■ ローレンツ変換して、

 E=Γ(b.)*E0+Γ(b.)*b.*p0x px=Γ(b.)*p0x+Γ(b.)*b.*E0 py=p0y .

光子の動く方向を示す a0,a について、考えてみよう。運動量の部分を、エネルギーと角で表すと、

 E=Γ(b.)*E0+Γ(b.)*b.*E0*cos(a0)=Γ(b.)*E0*[1+b.*cos(a0)]
 E*cos(a)=Γ(b.)*E0*cos(a0)+Γ(b.)*b.*E0=Γ(b.)*E0*[cos(a0)+b.]
 E*sin(a)=E0*sin(a0)

E,E0 を消去すると cos(a)=[cos(a0)+b.]/[1+b.*cos(a0)] .

この式を、cos(a0) について解くと、

 cos(a0)=[cos(a)-b.]/[1-b.*cos(a)] .

E を、観測者系の値で表せば、

 1+b.*cos(a0)
=1+b.*[cos(a)-b.]/[1-b.*cos(a)]
={[1-b.*cos(a)]+b.*[cos(a)-b.]}/[1-b.*cos(a)]
=(1-b.^2)/[1-b.*cos(a)]
=1/{Γ(b.)^2*[1-b.*cos(a)]}

 E/E0
=Γ(b.)/{Γ(b.)^2*[1-b.*cos(a)]}
=1/{Γ(b.)*[1-b.*cos(a)]} 

※ 観測者系とは、観測者がどこにいるかを特定しない。「その系で観測したら」という意味である。

※ b. の正負と、a0 の関係 次の4パターンがある。

@ 0<b.<1 & 0<.a0<.Pi/2 光源が、前方(x軸プラス方向)に光子を発する
A -1<b.<0 & Pi/2<.a0<.Pi 光源が、前方(x軸マイナス方向)に光子を発する
B 0<b.<1 & Pi/2<.a0<.Pi 光源が、後方に光子を発する
C -1<b.<0 & 0<.a0<.Pi/2 光源が、後方に光子を発する

@Aは、光源が観測者に近づいていく場合、BCは、光源が観測者から遠ざかる場合になる。{まぎらわしい、でもここが核心!2015/3}

以下、b. がプラスの場合のみ書いていく。

光源も、光子も、x軸の正の方向に動くとき(光源が観測者に近づく)
0<b.<1 a0=0 p0x=E0 p0y=0

 cos(a)=(1+b.)/(1+b.)=1 a=0

 E/E0
=Γ(b.)*(1+b.)
=(1+b.)/root[(1-b.)*(1+b.)]
=root[(1+b.)/(1-b.)] >1 
.近づくときの縦ドップラー効果。エネルギーが大きくなる。振動数が大きくなる。波長が短くなる。可視光は、青い光に近づく。

 b.=[(E/E0)^2-1]/[(E/E0)^2+1]

★ b.=3/5 のとき E/E0=root[(1+3/5)/(1-3/5)]=root4=2

★ b.=12/13 のとき E/E0=root[(1+12/13)/(1-12/13)]=root(25)=5

★ 赤 70*Ten(-6)_m 緑 55*Ten(-6)_m 赤が緑に見える E/E0=70/55=14/11

 b.=[(14/11)^2-1]/[(14/11)^2+1]=(14^2-11^2)/(14^2+11^2)=135/287~0.47

光源はx軸の正の方向に、光子はx軸の負の方向にの動くとき(光源が観測者から遠ざかる)
0<b.<1 a0=Pi p0x=-E0 p0y=0 {p0x<0 盲点!2013/2}

 cos(a)=(-1+b.)/(1-b.)=-1 a=Pi

 E
=Γ(b.)*E0-Γ(b.)*b.*E0
=Γ(b.)*E0*(1-b.)
=E0*(1-b.)/root[(1-b.)*(1+b.)]
=E0*root[(1-b.)/(1+b.)]

 E/E0=root[(1-b.)/(1+b.)] .遠ざかるときの縦ドップラー効果。エネルギーが小さくなる。振動数が小さくなる。波長が伸びる。可視光は、赤い光に近づく(赤方偏移)。

 b.=[1-(E/E0)^2]/[1+(E/E0)^2]

★ b.=3/5 のとき E/E0=root[(1-3/5)/(1+3/5)]=root(1/4)=1/2

★ E/E0=121.6/364.8=1/3 b.=(1-1/9)/(1+1/9)=8/10=4/5

★ 光子ロケット 光子ロケットが出す光子のエネルギー E0 観測したその光子のエネルギー E ロケットの速さ(対光速比) b

「光子ロケット」 2015/3

◆ 光子ロケット 最初の質量 m0 途中の質量 m 最初の速さ 0 途中の速さ(対光速比) b

■ b=[1-(m/m0)^2]/[1+(m/m0)^2]

 1-b=1-[1-(m/m0)^2]/[1+(m/m0)^2]=2*(m/m0)^2/[1+(m/m0)^2]

 1+b=1+[1-(m/m0)^2]/[1+(m/m0)^2]=2/[1+(m/m0)^2]

光のドップラー効果 E/E0=root[(1-b)/(1+b)]

 E/E0=m/m0 .

光源から真横に光子が発っせられたとき
0<b.<1 a0=Pi/2 p0x=0 p0y=E0

 cos(a)=b. 0<a<Pi/2 E/E0=Γ(b.) .エネルギーは大きくなる。

光源は真横に光子を発したのに、観測者系では、斜め前方に光子を発したように観測される。 .光行差 ヘッッドライト効果

★ b.=3/5 のとき cos(a)=3/5 a~53_°

E/E0=1 になるとき 光源系の値で cos(a0)=-[Γ(b.)-1]/[Γ(b.)*b.] .

観測者系の値で cos(a)=[Γ(b.)-1]/[Γ(b.)*b.] .

 このとき cos(a0)+cos(a)=0 a0+a=180_° .

★ b.=3/5 のとき Γ(3/5)=5/4 Γ(3/5)*(3/5)=3/4

 cos(a0)=-(5/4-1)/(3/4)=-1/3 a0~109_° a~71_°

★ b.=4/5 のとき Γ(4/5)=5/3 Γ(4/5)*(4/5)=4/3

 cos(a0)=-(5/3-1)/(4/3)=-1/2 a0=120_° a=60_°

観測者系で真横に動く光子 0<b.<1 a=Pi/2

 cos(a0)=-b. Pi/2<a0<Pi E/E0=1/Γ(b.) .光の横ドップラー効果。光源と観測者の距離は、ほぼ変わらないのに、ドップラー効果が起きる。特殊相対論効果で、動いている系の時間の進み方は遅くなる。振動数は小さくなる。エネルギーは小さくなる。

★ b.=3/5 のとき cos(a0)=-3/5 a~127_° 光源から斜め後方に発せられた光子が、観測者系では横向きの光子になる。

■ ロケットから見える宇宙

景色が前方に集まるように見える。前方にある星からの光の波長は、より短くなる。b.=3/5 のとき、前方にある星からの光の波長は半分になる。エネルギーは2倍になる。可視光は紫外線になり、赤外線が可視光になる。後方にある星からの光の波長は、より長くなる。

■ 光源が真っ直ぐにゆっくり観測者に近づくとき 0<b.<<1

 E/E0=root[(1+b.)/(1-b.)]=(1+b./2)^2=1+b.

エネルギーのずれ ΔE=E-E0

 ΔE/E0=E/E0-1=(1+b.)-1=b. .レーダーの原理

「光のドップラー効果-2次元」 2015/3

◆ 2つの慣性系 光源が静止している慣性系(光源系) 観測者が静止している系(観測者系)
ふたつの系のx軸とxy平面とが一致している。光子の運動は、その平面上にある。光源系は、観測者系に対して、速さ(対光速比) b. で、x軸の正の方向に動く。

光源系で エネルギー E0 運動量(光速倍) <p0x p0y> E0=|<p0x p0y>|
光子の運動する方向とx軸との作る角 a0 p0x=E0*cos(a0) p0y=E0*sin(a0)

観測者系で エネルギー E 運動量(光速倍) <px py> E=|<px py>|
光子の運動する方向とx軸との作る角 a px=E*cos(a) py=E*sin(a)

■ 光源系の値で表せば、

 cos(a)=[cos(a0)+b.]/[1+b.*cos(a0)] E/E0=Γ(b.)+Γ(b.)*b.*cos(a0)

観測者系の値で表せば、

 cos(a0)=[cos(a)-b.]/[1-b.*cos(a)] E/E0=1/[Γ(b.)-Γ(b.)*b.*cos(a)]

光源が観測者に近づく E/E0=root[(1+b.)/(1-b.)] 光の縦ドップラー効果

 b.=[(E/E0)^2-1]/[(E/E0)^2+1]

光源が観測者から遠ざかる E/E0=root[(1-b.)/(1+b.)]

 b.=[1-(E/E0)^2]/[1+(E/E0)^2]

光源から真横に光子が発っせられたとき cos(a)=b. 光行差 E/E0=Γ(b.)

観測者系で真横に動く光子 cos(a0)=-b. E/E0=1/Γ(b.) 光の横ドップラー効果

■ 光源が真っ直ぐにゆっくり観測者に近づくとき E/E0=1+b. ΔE/E0=b.

☆光の縦ドップラー効果☆

◎ 光源が、観測者から真っ直ぐ、一定速度で遠ざかる場合を考える。波長は伸び、振動数は小さくなり、可視光は赤い色へと色を変える。等速直線運動を考えればいいから、ローレンツ変換を使える。

■ 光では、次の2つの効果が合わさって、ドップラー効果を起こす。

@ 動いている系を他の系で観測すると、時間がゆっくり進むように観測される。相対論的効果である。

A 光源は、観測者からどんどん離れていくから、観測者に届く時間は、よりかかるようになる。音のドップラー効果と同じ効果である。

@Aより、1つの波が観測者に届く時間は、より大きくなる。振動数は減る。

◆ X系の原点から、周期1秒の光(電波)が出るとする。1秒ごとに、1つの波が出て行く。その1秒ごとの事象を考える。

X系は、x系の正の方向に、速さ v. で等速直線運道をする。

観測者:x系の原点

X系から出る光のそもそもの振動数 nu0 x系の観測者に届く光の振動数 nu

◇ X系での時間とX座標 <T|X)_X x系での時間とx座標 <t|x)_x

■ まず、X系の原点で1秒ごとに起きる事象 <0|0)_X,<1|0)_X,<2|0)_X,…

を考える。x系に変換し、さらに、原点にいる観測者に届く時刻を求める。

光の速さは、どの系でも c である。

事象はx系の原点から遠ざかっていくから、余計に時間がかかることに注意しよう。

 <0|0)_X ⇒ <0|0)_x

 <1|0)_X ⇒ <Γ|Γ*v.)_x 原点に光が届く時刻 Γ+Γ*v./c

 <2|0)_X ⇒ <2*Γ|2*Γ*v.)_x 原点に光が届く時刻 2*(Γ+Γ*v./c)

X系で1秒ごとの事象 ⇔ x系で (Γ+Γ*v./c) 秒ごとに観測者(原点)に届く

周期は、x系で (Γ+Γ*v./c) 倍になる。

周期1秒の光を考えたが、どの周期の光でも同様な計算ができる。

振動数 ∝ 1/周期 だから nu/nu0=1/(Γ+Γ*v./c)

 Γ+Γ*v./c=Γ*(1+v./c)=root[(1+v./c)/(1-v./c)] に注意して、

 nu/nu0=root[(1-v./c)/(1+v./c)] .光の縦ドップラー効果(光源が速さ v. で遠ざかるとき)

{最も根本的で、わかりやすい説明だと思う!自画自賛!2014/3}

▲ If{v./c<<1} nu/nu0=root[(1-v./c)^2]=1-v./c

音のドップラー効果 音の速さ Vs=c 遠ざかる場合を考えれば、

 nu/nu0=1/(1+v/c)=1-v./c A

@=A すなわち v./c<<1 で 光の縦ドップラー効果=音のドップラー効果

☆平面波☆

◎ 平面波をローレンツ変換して、光のドップラー効果を導出しよう。 

◆ X系で、X軸の負の方向に進む平面波 H(X,T)/H0=sin(W*T+K*X)

c=W/K だから H(X,T)/H0=sin[W*(T+X/c)]

ローレンツ変換して、x系の t,x で、どのように表されるかを考える。

■ x系の値 <t|x) にローレンツ変換する。

 T=Γ*(t-v.*x/c^2)  X=Γ*(x-v.*t)

 T+X/c
=Γ*[(t-v.*x/c^2)+(x-v.*t)/c]
=Γ*(t+x/c)*(1-v./c)=root[(1-v./c)/(1+v./c)]*(t+x/c)

 W*(T+X/c)=W*root[(1-v./c)/(1+v./c)]*(t+x/c) 負の方向に進む波

 x系の角振動数 w=W*root[(1-v./c)/(1+v./c)]

振動数の変化 nu/nu0=w/W=root[(1-v./c)/(1+v./c)] .
光の縦ドップラー効果(光源が速さ v. で遠ざかるとき)

※ 光源が遠ざかる v.>0 nu/nu0<1 赤方偏移

☆光の縦ドップラー効果☆

◆ 光源が観測者に対して動く速さ v

光源系(X系)での、元々の光の振動数と周期 nu0、ΔT

観測者系(x系)で観測される振動数と周期 nu_x、Δt_x

観測者が観測する振動数と周期 nu、Δt

■ 光源が動いていることによる効果

 Δt_k/ΔT=Γ(v) ゆっくりになる

■ 静止系での時間間隔 Δt_k で起きることが、ある1点に近づいていく。

時刻 0 での、光源と観測点の距離 x 到達するのにかかる時間 x/c

時刻 Δt_k での、光源と観測点の距離 x-v*Δt_k

 到達するのにかかる時間 (x-v*Δt_k)/c だから、

 Δt=Δt_k+(x-v*Δt_k)/c-x/c=Δt_k*(1-v/c)

■ 2つの効果を考え合わせて、

 Δt/ΔT=(Δt/Δt_k)*(Δt_k/ΔT)
=(1-v/c)*Γ(v)
=(1-v/c)/root(1-v^2/c^2)=root[(1-v/c)/(1+v/c)]

 Δt/ΔT=root[(1-v/c)/(1+v/c)]

 nu/nu0=ΔT/Δt=root[(1+v/c)/(1-v/c)] 近づくとき

遠ざかるとき nu/nu0=root[(1-v/c)/(1+v/c)] .赤方偏移

☆計算例-光の縦ドップラー効果☆

★ v/c=3/5 Δt/ΔT=root[(2/5)/(8/5)]=root(1/4)=1/2

★ v/c=3/5 で、地球に近づくロケット

 ロケット内の1秒、1年

 静止系で 5/4 秒、5/4 年 ※ 静止系に張り巡らされた無数の時計で観測

 地球で 1/2 秒、半年 早送り ※ 静止系のある1点で観測

★ v/c=3/5 で、地球から遠ざかるロケット

 ロケット内の1秒、1年

 静止系で 5/4 秒、5/4 年 ※ 静止系に張り巡らされた無数の時計で観測

 地球で 2 秒、2年 スローモーション ※ 静止系のある1点で観測

★ ロケットが v/c=4/5 で進み、6年かかって、ある星に到着し、また6年かかって、地球に戻って来たとしよう。ロケットからライブ映像を地球に向かって流し続ける。

 Γ=5/3 遠ざかるとき Δt/ΔT=3 近づくとき Δt/ΔT=1/3

行き ロケット内 6年 静止系 10年 地球 18年

 ロケット内での6年分の生活が、地上では18年かかって放映されることになる。

帰り ロケット内 6年 静止系 10年 地球 2年

 ロケット内での6年分の生活が、地上では2年で見れてしまう。

往復 ロケット内 12年 静止系 20年 地球 20年

※ ドップラー効果により、テレビの電波は、

遠ざかる時 振動数 1/3 波長 3倍

近づく時 振動数 3倍 波長 1/3

その振動数と波長に対応したテレビを開発する必要がある。

☆正方形はどう見えるか☆

横に動く正方形 □ -> は実際どう見えるか。進行方向に短くなって、長方形に見えるのだろうか。実は、正方形が向きを斜めにして ◇ -> 、横に動いていくように見える。

  光のドップラー効果.宇宙膨張  

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