物理 特殊相対性理論 2021.2-2019.5 Yuji Watanabe

☆ 光の横ドップラー効果 ☆

○ 光源が観測者に対して横に動いている場合、非相対論ではドップラー効果は起きない。振動数は変わらない。相対論では、横に動いているだけで、時間の進み方に変化が起きるから、ドップラー効果が起きる。  

A.力学 B.特殊相対性理論,電磁気 C.物理学その他 D.数学,その他

2*3=6 6/2=3 3^2=9 1000=10^3=Ten(3)           2021.2.8
微分 ; 2階微分 ;; 偏微分 : 積分 $ ネイピア数 e 虚数単位 i e^(i*x)=expi(x)
ベクトル <A> 縦ベクトル <A) 単位ベクトル <Au> 内積 * 外積 #   000

\3=2.99792458 光速 c=\3*Ten(8)_m/sec{定義値}
\e=1.6021766208 素電荷 qe=\e*Ten(-19)_C

相対論効果率 Γ(b)=1/root(1-b^2) Λ(b)=Γ(b)*b=b/root(1-b^2)
クーロン力定数 ke=1/(4*Pi*ε0)=c^2*Ten(-7)_N*m^2/C^2 ε0*μ0*c^2=1

〓〓〓 運動量とエネルギーのローレンツ変換.3次元 〓〓〓 

▢ 2つの慣性系 x系,X系 X系のx系に対する速度(対光速比) <xu>*b.

1粒子の運動 質量(光速の2乗倍) @m

x系で 速度(対光速比) <b>=<bx by bz> エネルギー E=@m*Γ(b)
 運動量(光速倍) <pc>=<pcx pcy pcz>=@m*Γ(b)*<b>=E*<b>

X系で同様に <bK>=<bKx bKy bKz> EK=@m*Γ(bK)
 <pcK>=<pcKx pcKy pcKz>=@m*Γ(bK)*<bK>=EK*<bK>

■ E=Γ(b.)*EK+Λ(b.)*pcKx

 pcx=Γ(b.)*pcKx+Λ(b.)*EK pcy=pcKy pcz=pcKz

〓〓〓 光の横ドップラー効果 〓〓〓 

▢ 2つの慣性系 観測者系,光源系 光源系の観測者系に対する速度(対光速比) <xu>*b

光源系で静止している光源から出された光が、観測者系でy軸に平行に飛んできて観測される。

光源系での振動数 ν0 観測者系で観測される振動数 ν 

1つの波を送り出すのにかかる時間(周期) 光源系で ΔT 観測者系で Δt

振動数と周期は反比例 ν/ν0=ΔT/Δt

■ 観測時刻の近辺で、光源と観測者の距離は変わらないとみなす。1つの波を送り出すのにかかる時間(周期)を考える。

ΔT は、光源系で静止している事象の時間間隔であり、Δt は、観測者系で位置が変化していく事象の時間間隔であるから、Δt の方が時間がかかる。

 Δt/ΔT=Γ(b)

 ν/ν0=ΔT/Δt=1/Γ(b)  振動数は小さくなる 赤方偏移

{本質的な、いい説明!2021.2}

▢ 2つの慣性系 観測者系,光源系 光源系の観測者系に対する速度(対光速比) <xu>*b

光源系で静止している光源から出された光が、観測者系でy軸に平行に飛んできて観測される。

量子力学より、光のエネルギーは振動数に比例する事がわかっているから、エネルギーの変換を考えればよい。

光源系で エネルギー E0 運動量(光速倍) <pc0>=<pc0x  -pc0y>
 E0^2=pc0x^2+pc0y^2

観測者系で E <pc>=<0  -pcy> {この設定が核心!} ※ 観測者にとって、「横向きの光」
 E=pcy

光源系での振動数 ν0 観測者系で観測される振動数 ν ν/ν0=E/E0

■ ローレンツ変換より、

 E=Γ(b)*E0+Γ(b)*b*pc0x

 0=Γ(b)*pc0x+Γ(b)*b*E0 E=pcy=pc0y

E0 と b を使って表す事を考える。

 pc0x=-b*E0 & pc0y=E E0^2=pc0x^2+pc0y^2 

 E0^2=(-b*E0)^2+E^2 

 E^2=(1-b^2)*E0^2

 E/E0=root(1-b^2)=1/Γ(b) 

 ν/ν0=E/E0=1/Γ(b)  振動数は小さくなる 赤方偏移

■ 光源系で エネルギー E0 運動量(光速倍) E0*<-b  -1/Γ(b)>

観測者系で エネルギー E0/Γ(b) 運動量(光速倍) E0*<0  -1/Γ(b)>

光源系で光源がやや後ろ向きに出した光が、観測者系では真横から出た光として観測される。(光行差)

運動量のx成分だけなくなったように見える  

〓〓〓 ドップラー効果.2次元 〓〓〓 

▢ 2つの慣性系 観測者系,光源系 光源系の観測者系に対する速度(対光速比) <xu>*b

光源系で静止している光源から出された光が、観測者系で観測される。

光源系で エネルギー E0 光子の運動する方向とx軸との作る角 a0 
運動量(光速倍) <pc0>=E0*<cos(a0)  sin(a0)>

観測者系で E 光子の運動する方向とx軸との作る角 a
運動量(光速倍) <pc>=E*<cos(a)  sin(a)> 

■ ローレンツ変換して、

 E=Γ(b)*E0+Γ(b)*b*E0*cos(a0)=Γ(b)*E0*[1+b*cos(a0)]

 E*cos(a)=Γ(b)*E0*cos(a0)+Γ(b)*b*E0=Γ(b)*E0*[cos(a0)+b]

 E*sin(a)=E0*sin(a0)

整理すると、

 E/E0=Γ(b)*[1+b*cos(a0)]=Γ(b)*[cos(a0)+b]/cos(a)=sin(a0)/sin(a)  

 1+b*cos(a0)=[cos(a0)+b]/cos(a)

 cos(a)=[cos(a0)+b]/[1+b*cos(a0)]  

また cos(a0)=[cos(a)-b]/[1-b*cos(a)]  

■ 1+b*cos(a0)
=1+b*[cos(a)-b]/[1-b*cos(a)]
={[1-b*cos(a)]+b*[cos(a)-b]}/[1-b*cos(a)]
=(1-b^2)/[1-b*cos(a)]
=1/{Γ(b)^2*[1-b*cos(a)]}

 E/E0
=Γ(b)/{Γ(b)^2*[1-b*cos(a)]}
=1/{Γ(b)*[1-b*cos(a)]}  

 E/E0=1/{Γ(b)*[1-b*cos(a)]}  

■ b の正負と、a0 の関係 次の4パターンがある。

① 0<b<1 & 0<a0<Pi/2 光源が、前方(x軸プラス方向)に光子を発する

② -1<b<0 & Pi/2<a0<Pi 光源が、前方(x軸マイナス方向)に光子を発する

③ 0<b<1 & Pi/2<a0<Pi 光源が、後方に光子を発する

④ -1<b<0 & 0<a0<Pi/2 光源が、後方に光子を発する

①②は、光源が観測者に近づいていく場合、③④は、光源が観測者から遠ざかる場合になる。{まぎらわしい、でもここが核心!2015/3}

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