◎ 小さな粒子には不思議な事が起きる　量子力学的効果　電子の干渉　トンネル効果

◇ ベクトル<A>　座標単位ベクトル<xu>,<yu>,<zu>　内積*　外積#　微分;x　時間微分'　積分$*dx　10^x=Ten(x)　exp(i*x)=expi(x)　〔物理定数〕 ★.

■ 非常に小さな物質の世界では変な事が起きる。常識では考えられない事が起きる。小さい物質は「あいまいな存在、定まらない存在、フワフワした存在」なのである。

◎ エネルギー、運動量の次元を考える

■ エネルギー E [質量*長さ^2/時間^2]　運動量 p [質量*長さ/時間]

　[エネルギー]=[運動量^2/質量]　[運動量]=[root(質量*エネルギー)]

■ プランク定数 h [エネルギー*時間]　振動数 nu [1/時間]

　h*nu [エネルギー] ★.

h/(2Pi)≡h. ディラック定数 [エネルギー*時間]　2Pi*nu≡w 角振動数 [1/時間]

　h.*w=h*nu [エネルギー] ★.

■ 波長 λ [長さ]　2Pi/λ≡k (角)波数 [1/長さ]

　h.*k [(エネルギー*時間)/長さ]
=[(質量*長さ^2/時間^2)*時間/長さ]
=[質量*長さ/時間]
=[運動量]

■

◎ 1924年 ド・ブロイ波(ルイ・ド・ブロイ が提唱　32才)

1925年 Heisenberg 不確定性原理　1926年 Schroedinger 波動方程式

■ 小さな粒子　波と粒子の二面性を持つと仮定して、

波として　振動数(周波数) nu　角振動数 w≡2Pi*nu　波長 λ　(角)波数 k≡2Pi/λ

粒子として　エネルギー E　運動量 p

波と粒子を結びつける関係として　�@ E=h*nu=h.*w ★.アインシュタインの仮説

　�A p=h.*k　λ≡2Pi/k=2Pi/(p/h.)=2Pi*h./p=h/p ★.ド・ブロイの仮説　ド・ブロイ波　

※ 波の位相速度とか群速度とか考えない場合は、小さな粒子の振動数とか波の速さなどは考えない方がよい。

◎ ド・ブロイの仮説により、電子を波と見なす事ができ、波長を想定できる

◆ 電子　質量 m　運動量 p　m*c^2≡@m　p*c≡pc

非相対論での運動エネルギー K=(1/2)*p^2/m=(1/2)*pc^2/@m

■ pc=root(2*@m*K)

ド・ブロイ波の波長 λ≡2Pi/k=h/p=h*c/(p*c)=h*c/pc=h*c/root(2*@m*K) ★.

● h*c~(1.986 445 68)*Ten(-25)_J*m~(1.239 842)*Ten(-6)_eV*m 

■ 電子　@m=0.510_MeV　K=Ten(n)_eV　のとき、

非相対論で、

　p*c
=root(2*@m*K)
=root{(2*[0.51*Ten(6)]*Ten(n)}
=root(1.02)*Ten(3+n/2)
~1.01*Ten(3+n/2)_eV

　λ
=[1.24*Ten(-6)]/[1.01*Ten(3+n/2)]
=1.23*Ten(-9-n/2)_eV

▲ 結晶の構造を探るのに、X線や電子を使う。X線や電子を、結晶格子に当てると、その反射が干渉し、模様になる。電子も干渉する。その模様を解析して、結晶構造を探る事ができる。

　入射粒子の波長~結晶格子の原子間距離 ★.

原子の直径~Ten(-10)_m であるから、電子を 100_eV 程度で加速すれば、干渉縞を得る事ができる。

■ 小さな粒子　相対論(非相対論の場合も含む)　v/c=b　m*c^2=@m　p*c=pc

　E=@m*Γ(b)　pc=@m*Γ(b)*b　E^2=@m^2+pc^2

運動エネルギー K を得た場合　E=@m+K

　pc^2=E^2-@m^2=(@m+K)^2-@m^2=2*@m*K+K^2

　λ=h*c/pc=h*c/root(2*@m*K+K^2) ★.

※ 相対論は、非相対論の場合を含んでいる

★ 電子　@m=0.510_MeV　K=10_keV　のとき、

　pc^2
=2*[0.51*Ten(6)]*Ten(4)+Ten(4)^2
=1.02*Ten(10)+Ten(8)
=1.03*Ten(10)

　pc~1.02*Ten(5)

　λ=[1.24*Ten(-6)]/[1.02*Ten(5)]~1.22*Ten(-11)_m

　b=pc/E=[1.02*Ten(5)]/[0.511*Ten(6)]=0.20　光速比 20%

★ 電子　@m=0.510_MeV　K=200_keV　のとき、

　pc^2
=2*[0.51*Ten(6)]*[2*Ten(5)]+[2*Ten(5)]^2
=2.04*Ten(11)+4*Ten(10)
=24.4*Ten(10)

　pc~4.94*Ten(5)

　λ=[1.24*Ten(-6)]/[4.94*Ten(5)]~2.51*Ten(-12)_m　原子より小さな構造を探る事ができる

　b=[4.94*Ten(5)]/[0.71*Ten(6)]~0.70　光速比 70%

{やっとわかってきた!わかってなかったなあ!2015/10}

■ 壁に、2つの隙間(slit)を作る。壁に向かって、パチンコ玉を打つ。壁にぶつかる玉もあるが、隙間を抜けていく玉もあるだろう(隙間の方が大きいとして)。壁の先にスクリーンを置けば、玉はスクリーンの２つの場所にその跡を残す。

 exp[-(x-0.5)^2]　exp[-(x+0.5)^2]　その和

■ スリット1だけの場合の確率分布 P1
スリット2だけの場合の確率分布 P2
スリットが2つある場合の確率分布 P12

　P12=P1+P2

■ 同様な実験を波で行う。水の波、空気の音波、真空中の光、どれでも同じである。
壁に向かって波を起こす。2つの隙間を波が通り抜け、広がるように進む。2カ所を通り抜けた波は、「干渉」を起こす。スクリーンには、強い波が来るところ、普通に波が来る所、波が来ない所、などが、順々に表れ、縞模様を作る。

■ スリット1だけの場合の波の強度の分布 I1
スリット2だけの場合の波の強度の分布 I2
スリットが2つある場合の波の強度の分布 I12

強度を複素数で表せば、{ ^}は複素数を表す、

　(スリット1だけの場合の波の高さ)={h1^}*expi(wt)
　(スリット1だけの場合の波の高さ)={h2^}*expi(wt)

　I1=|{h1^}|^2　I2=|{h2^}|^2

　I12=|{h1^}+{h2^}|^2
=|{h1^}|^2+|{h2^}|^2+2*|{h1^}|*|{h2^}|
=I1+I2+2*root[(I1)*(I2)]*cos(位相差)

{注}2つの複素数は、平面上のベクトルと見なすことができ、内積を求めると、cos(位相差)が出てくる。

■ 同様な実験を電子で行う。電子を壁に向かって、1個1個時間間隔をあけて打つ。スクリーンには、どんな痕跡を残すだろうか。2つの場所だけにその跡を残すのだろうか。たくさんの電子を時間をかけて打ち込むと、縞模様を作る。電子がよりたくさん届く場所、普通に届く場所、来ない場所が、順々に並び、縞模様を作る！

電子1個1個が、スリットが2つあるのを知っているかのように、振る舞う。

電子は、「あいまいな存在、定まらない存在、フワフワした存在」であって、2つのスリットを通り抜け、スクリーンにぶつかる時には、1個の粒子としての1つの痕跡を1つの場所に残すのだ。電子の大きさの目安 [Ten(-15)]m

■ スリット1だけの場合の電子の確率分布 P1　確率振幅 {Φ1^}
スリット2だけの場合の電子の確率分布 P2　確率振幅 {Φ2^}
スリットが2つある場合の電子の確率分布 P12

　P1=|{Φ1^}|^2　P2=|{Φ2^}|^2

　P12=|{Φ1^}+{Φ2^}|^2
=P1+P2+2*root[(P1)*(P2)]*cos(位相差)

■ 同様な実験を、炭素60個が結合し、正六角形と正五角形でできたサッカーボールのようになっているフラーレン(fullerene)という分子で行った。大きさは、 [Ten(-9)]m=1nm (ナノメートル)であって、電子の100万倍も大きい。縞模様を作った！(1999年ザイリンガー)

■ 2002年にフラーレンを多重スリットに向けて打ち込むという実験が行われた。

フラーレン　大きさ 1nm〜電子の100万倍　質量 1.2*[Ten(-24)]kg〜電子の100万倍
　速さ 200m/s　波長 0.0028nm

スリットの幅 100nm〜フラーレンの100倍

スクリーンまでの距離 1.25m

スクリーンに届いたフラーレンの第1ピークから第2ピークまでの距離 3000nm

電子の100万倍の大きさの粒子が、自分自身の大きさの100倍も広い間隔のスリットの存在を感知して、干渉を起こしていることになる！

■ 最小の生物ウイルスは、20nm〜100nmである。炭素60個のフラーレンの20倍〜100倍である。ウイルスを同様に2つのスリットに向かって打ち込むと、どうなるのだろう。1匹のウイルスは2つのスリットを通り抜け、スクリーンには縞模様を作るのだろうか？

◇ディラック定数 h.

■ ある粒子で、

　(位置の不確定さ)*(運動量の不確定さ)>=h./2

　(エネルギーの不確定さ)*(時間の不確定さ)>=h./2

■ 現在の位置と運動量(質量*速度)がわかれば、ニュートンの運動方程式により、過去や未来の運動の様子がわかる。ところが、小さな粒子では、両方いっぺんに値がわかることはなくなるので、過去や未来の運動の様子が求めることができない。

■ 単なる測定の誤差ではなく、(そういう風に書いてあるモノもよくある)、小さな物質の本質的な、「あいまいな存在、定まらない存在、フワフワした存在」という性質を示すものである。その例、

エネルギー0の状態から、非常に短い時間ならば、質量(エネルギー)を持つ粒子が生まれるということが起きる。

ヘリウムなどを絶対0度近くまで冷やす。ヘリウムの運動量は0に近づく。そうすると、(位置の不確かさ)は、ある程度の大きさを持つ。ある特定の場所に留まらず振動することになる。

■ 質量mの粒子を、ある範囲 Δx に閉じ込めることを考える。例えば、原子とか原子核に閉じ込めたい。Δx をある値より小さくするためには、不確定性原理より、運動量が大きくなくてはならない。閉じ込めるために必要な運動量PとエネルギーE は、

　P*Δx=h とすれば、
　P^2=2*m*E という関係があるから、

　E=[h/(Δx)]^2/(2m)]

◎電子(0.5MeV)を原子(Δx=0.4nm=4*[Ten(-10)]m)に閉じ込めるために必要なエネルギーE

　E〜10eV

◎電子(質量0.5MeV)を原子核(Δx=2*[Ten(-14)m]=原子の1/20000)に閉じ込めるために必要なエネルギーE

　E〜10eV*(20000)^2=4*[10^9]eV=4GeV -> 大きすぎて、電子は原子核に閉じ込めることができない！

◎陽子(質量1000MeV=電子の2000倍)を原子核(Δx=2*[Ten(-14)]m)に閉じ込めるために必要なエネルギーE

　E〜4*[10^9]eV/2000=2MeV <=> 実験値とほぼ一致する

■ 1つの箱に2匹の動物を入れ、自由に動けるようにする。部屋の真ん中にラインを引き、2匹の動物が、部屋の左右のどちらにいるのかを考える。2匹が特に関係なく、仲がよいとか悪いとかがなく、自由に動くとする。

2匹が部屋の左右のどちらにいるかという確率は次のようになる。

　左側に2匹ともいる　1/4

　左右に分かれ、1匹ずついる　1/2

　右側に2匹ともいる　1/4

動物を1匹ずつ区別して勘定しなくてはいけない。2枚のコインを振り、何枚表が出るのかという確率を求める問題と同じである。

■ 1つの箱に2個の小さな粒子(電子など)を入れ、自由に動けるようにする。部屋の真ん中にラインを引き、2個の粒子が部屋の左右のどちらにあるのかを考える。粒子同士は、反発しあうことも引き合うこともなく、自由に動くとする。

2個が部屋の左右のどちらにあるかという確率は次のようになる。

　左側に2個　1/3

　左右に1個ずつ　1/3

　右側に2個　1/3

2個の小さな粒子(電子など)は「あいまいな存在、定まらない存在、フワフワした存在」で、1個1個区別することができない。2個がいっしょになって、入り交じって存在するのである。

■ 電子は、核の周りを回っているイメージがある。電荷を帯びた物質が、等速直線運動(止まっている場合を含む)をしていないと、光を出し、その物質が持つエネルギーは減っていく。電子が核の周りを回転しているとすると、それは等速直線運動ではないから、光を出し、速さは遅くなり、しまいには、核と合体することになる。しかし、そんなことは起こらない。電子は、地球が太陽の周りを回るように、核の周りを回っているわけではない。電子は、核の周りにあるが、「あいまいな存在、定まらない存在、フワフワした存在」であって、その位置も、動きもあいまいなモノである。

■ 原子核は中央にプラス電荷の核があり、その周りにマイナス電荷の電子がある。電子がどこにあるかは、観測すればわかる。どこにどの確率であるかは、計算で求めることができる。数多く観測すれば、理論通りの場所に電子が存在する。

しかし、1個の電子が今どこにあるか？は、わからない。そして、それは、我々の測定の精度が悪いからわからないのではなく、電子そのものの存在が、「あいまいな存在、定まらない存在、フワフワした存在」であるからなのである。電子は、核の周りを覆うように存在するのだ。

■ 運動エネルギー+位置エネルギー=一定 の状態で運動している粒子を考える。

位置エネルギーが大きい場所では、運動エネルギーは小さくなる。位置エネルギーがさらに大きくなり、運動エネルギーが 0 になってしまう場所に粒子が来ると、粒子は止まってしまい、それより位置エネルギーが大きい場所には行けない。

ところが、小さな粒子(電子など)では、

その先の、位置エネルギーが高い場所まで進むことができるのだ。もちろん、確率は小さいのだが、0 ではなく、粒子が位置エネルギーの壁を乗り越えることが起きる。「トンネル効果」と言う。

■ アルファ崩壊(Alpha decay)　ウランなどの重い原子核が、アルファ粒子(陽子2個と中性子2個でできているヘリウム)を放出し、より軽い原子になる。

アルファ粒子は、原子核内の核力を振り切るだけのエネルギーを持つわけではない。トンネル効果により、低い確率ではあるが、核の外にしみ出すことができる。

半減期は、ウラン238が45億年、ウラン234が24万年、ラジウム226は1600年。
ウラン238の238は、陽子が92個、中性子が146個、その個数の和を示す。

■ 物質は、6種類のクォークと6種類のレプトンからできている。

我々の身近にある原子を作る陽子や中性子は、3つのクォークからできている。

核力を担う中間子は、2つのクォークからできている。

レプトンは、軽い順に、電子、ミュー粒子、タウ粒子の3種類がある。それぞれの粒子に対応する、ニュートリノがある。ニュートリノの質量は理論上0であるが、0ではないという実験結果が得られている。

■ 基本的な力は4種類しかないので、その力を伝える粒子も4種類ある。
強い力:8種のグルーオン
弱い力:3種のボゾン
電磁気力:光子
重力:重力子

　★　小さな粒子の不思議　★