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2016/1-2012/11 Yuji.W |
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☆水素原子模型☆ |
◎ 〔物理定数〕
◇ 累乗^ 10^x=Ten(x) exp(i*x)=expi(x) 複素共役z! ベクトル<A> 単位ベクトル<-u> 内積* 外積# 定積分${f(x)*dx}[x:a~b] 微分;x 2階微分;;x 時間微分y'
| ◇ボーアの量子条件◇ |
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『次元』 2015/10 ■ プランク定数 h h/(2Pi)≡h. ディラック定数 [エネルギー*時間] ■ 振動数 nu [1/時間] 2Pi*nu≡w 角振動数 [1/時間] h.*w=h*nu [エネルギー] ■ 波長 λ [長さ] 2Pi/λ≡k (角)波数 [1/長さ] h.*k [運動量] |
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『ド・ブロイ波』 2015/10 ■ 小さな粒子 波と粒子の二面性を持つと仮定して、 波として 振動数(周波数) nu 角振動数 w≡2Pi*nu 波長 λ (角)波数 k≡2Pi/λ 粒子として エネルギー E 運動量 p 波と粒子を結びつける関係として ① E=h*nu=h.*w アインシュタインの仮説 ② p=h.*k λ≡2Pi/k=2Pi/(p/h.)=2Pi*h./p=h/p ド・ブロイの仮説 ド・ブロイ波 |
■ 物質波の仮定を使うと、ボーアの量子条件 m*v*r=h. を導くことができる。ただし、ボーアさんは、物質波の理論が提唱される前に、量子条件を提唱している。
半径 r の円周上を、等速で動く粒子 質量 m 速さ v
物質波の波長と、円周の長さが等しいとする(基底状態で)。定常波ができている状態。
h/(m*v)=2Pi*r m*v*r=h/2Pi=h. ★ 角運動量=ディラック定数(ボーアの量子条件)
| ◇基底状態にある水素原子の模型◇ |
| 「ビリアル定理-1質点」 2015/3 ◇ 十分に長い時間平均 @ ◆ 1質点 位置 <r> その粒子への力 <F> <r>,<r>' が有限 ■ 逆2乗則の引力 <F> ∝ -<ru>/r^2 のとき、 @K>0 @U<0 E<0 @K : |@U| : |E|=1:2:1 ■ 距離に比例する力 <F> ∝ -<r> のとき、 @K=@U E=@K+@U ※ 両方とも、無限遠へ押しやる方向の力が働く場合は、成り立たない。 |
■ ニールス・ボーア 1885-1962 デンマーク 物理学者 1922ノーベル物理学賞
前期量子論 1913年に水素原子模型を提唱
◆ 水素原子の模型(基底状態)を次の様に仮定した
中心に陽子(質量~1000_MeV/c^2)、その周りを電子(質量~0.5_MeV/c^2)が等速円運動をする。陽子は動かない。2粒子間には、電気力のみ働く。
電子の質量
Me クーロン力の定数 ke=1/(4Pi*ε0) 回転半径 r
電子の電荷(陽子の電荷)
e
力
F=ke*e^2/r^2 位置エネルギー U=-ke*e^2/r
運動エネルギー K=(1/2)*Me*v^2 全エネルギー
E=K+U
微細構造定数を利用して (4Pi*ε0)*h./e^2~137/c
■ ビリアル定理より K>0 U<0 E<0 K : |U| : |E|=1:2:1
ke*e^2/r=2*(1/2)*Me*v^2 Me*r*v^2=ke*e^2 ①
{別解} 円運動をしているから ke*e^2/r^2=Me*v^2/r r*v^2=ke*e^2/Me
量子条件(基底状態) Me*r*v=h. ②
①②より r
, v を求めて v=ke*e^2/h.
r=h.^2/(ke*Me*e^2)=(4Pi*ε0)*h.^2/(Me*e^2)
この半径を、「ボーア半径」と呼び、普通、a0 で表す
ボーア半径 a0=(4Pi*ε0)*h.^2/(Me*e^2)~[5.291 772 1092]*Ten(-11)_m
■ 陽子による引力の元、ボーア半径で回転する電子が持つエネルギー E
E
=U/2
=-ke*e^2/(2*a0)
=-ke*e^2/[2*(4Pi*ε0)*h.^2/(Me*e^2)]
=-Me*{e^2/[(4Pi*ε0)*h.]}^2/2
ここで、微細構造定数を利用して、
E
~-Me*(c/137)^2/2
~-(Me*c^2)/(137^2*2)
~-0.51049*Ten(6)/(137^2*2)
~-13.6_eV
E~-13.6_eV K~+13.6_eV U~-27.2_eV ★
▲ 水素原子に、13.6_eV を加えれば、電子を無限遠へ飛ばすことができる。すなわち、
水素原子のイオン化エネルギー(結合エネルギー)~13.6_eV 測定値と一致{!}
{量子条件を仮定することにより、イオン化エネルギーを正確に求めることに成功している。ボーアさん、すごいなあ。}
{理論の展開がわかり、すっきりした!2015/3}
| ☆水素原子模型と太陽系☆ |
■ 水素原子模型 水素原子核の直径~[2.4*Ten(-15)]_m
ボーア半径(水素原子の大きさの目安) a0~[5.29*Ten(-11)]_m
原子の大きさ:原子核の大きさ
=2*[5.29*Ten(-11)]/[2.4*Ten(-15)]=44100
■ 太陽系 太陽の半径 Rs=[6.96*Ten(8)]_m
距離(太陽~地球) Dse=1.50*Ten(11)_m=1_AU
太陽の質量 Ms~1.99*Ten(30)_kg 地球の質量 Me=5.97*Ten(24)_kg
重力定数(万有引力定数) G~[6.67*Ten(-11)]_m^3/(kg*sec^2)
Dse:Rs=[1.50*Ten(11)]/[6.96*Ten(8)]=216
冥王星までの距離:Rs=39.5*216~8530
カイパーベルトまでの距離:Rs=100*216=21600
太陽系の端までの距離:Rs=50000*216=10800000~Ten(7)
▲ 水素原子のスカスカ感と太陽系のスカスカ感は通ずるものがある{2015/9!}
★ 水素原子模型 ★