お勉強しようUz 物理 力学

2015/11-2013/2 Yuji.W

☆運動のシミュレイション2

◎ コンピューター シミュレイション 平面上 2次元 バネ 重力 楕円 電磁気力  ☆

◇ 累乗^ 10^x=Ten(x) exp(i*x)=expi(x) ベクトル<A> 単位ベクトル<-u> 内積* 外積# 微分;x 2階微分;;x 時間微分y' 定積分${f(x)*dx}[x:a~b]物理定数

バネの運動

■ 質量mの重りを、バネ係数kのバネにつるし、上下に振動させる。バネの力の大きさは、釣り合いの位置からのずれに比例し、向きは逆になるとする。

ma = F = -kx

a=-(k/m)x

■ Δt=0.1  k/m=1  とした。

cos=理論値=cos[root(k/m)*t]

error=シミュレイションと理論値とのずれ

t

[v]

x

a

cos

error

0

0

1

-1

1

0

0.1

-0.05

0.995

-0.995

0.995

-4E-06

0.2

-0.15

0.9801

-0.98

0.9801

-2E-05

0.3

-0.248

0.9553

-0.955

0.9553

-4E-05

0.4

-0.343

0.921

-0.921

0.9211

-6E-05

0.5

-0.435

0.8775

-0.877

0.8776

-0.0001

0.6

-0.523

0.8252

-0.825

0.8253

-0.0001

0.7

-0.605

0.7647

-0.765

0.7648

-0.0002

0.8

-0.682

0.6965

-0.696

0.6967

-0.0002

0.9

-0.752

0.6213

-0.621

0.6216

-0.0003

1

-0.814

0.54

-0.54

0.5403

-0.0004

1.1

-0.868

0.4532

-0.453

0.4536

-0.0004

1.2

-0.913

0.3619

-0.362

0.3624

-0.0005

1.3

-0.949

0.267

-0.267

0.2675

-0.0005

1.4

-0.976

0.1694

-0.169

0.17

-0.0006

1.5

-0.993

0.0701

-0.07

0.0707

-0.0006

1.6

-1

-0.03

0.0299

-0.029

-0.0007

誤差0.1%以下

惑星の運動-楕円運動

■ 質量mの惑星が、質量Mの太陽の周りを回る。他の惑星の影響は考えない。2つの天体の距離をr、重力定数をG、加速度をA、ベクトルを<>で表すと、

<F>=-[GMm/r^2]<r>/r

x,y成分に分けて考えると、

Ax=-(GM)x/r^3、Ay=-(GM)y/r^3

Δt=0.1、GM=1

初期値 Vx(0)=0,x=0.5,Vy(0)=1.63,y=0

t

[Vx]

x

Ax

[Vy]

y

Ay

r

1/r^3

0

0

0.5

-4

1.63

0

0

0.5

8

0.1

-0.2

0.48

-3.68

1.63

0.163

-1.25

0.507

7.677

0.2

-0.568

0.4232

-2.9

1.505

0.313

-2.15

0.527

6.847

0.3

-0.858

0.3373

-1.96

1.29

0.443

-2.57

0.556

5.805

0.4

-1.054

0.2319

-1.11

1.033

0.546

-2.62

0.593

4.794

0.5

-1.165

0.1154

-0.45

0.772

0.623

-2.45

0.634

3.931

0.6

-1.211

-0.006

0.018

0.527

0.676

-2.19

0.676

3.241

0.7

-1.209

-0.127

0.342

0.308

0.706

-1.91

0.718

2.705

0.8

-1.175

-0.244

0.559

0.117

0.718

-1.65

0.758

2.292

0.9

-1.119

-0.356

0.702

-0.05

0.713

-1.41

0.797

1.974

1

-1.048

-0.461

0.796

-0.19

0.694

-1.2

0.833

1.728

1.1

-0.969

-0.558

0.856

-0.31

0.664

-1.02

0.867

1.536

1.2

-0.883

-0.646

0.895

-0.41

0.623

-0.86

0.897

1.385

1.3

-0.794

-0.725

0.919

-0.5

0.573

-0.73

0.924

1.267

1.4

-0.702

-0.795

0.933

-0.57

0.516

-0.61

0.948

1.174

1.5

-0.608

-0.856

0.942

-0.63

0.453

-0.5

0.969

1.1

1.6

-0.514

-0.908

0.947

-0.68

0.385

-0.4

0.986

1.043

1.7

-0.42

-0.95

0.95

-0.72

0.313

-0.31

1

1

1.8

-0.325

-0.982

0.952

-0.75

0.238

-0.23

1.01

0.969

1.9

-0.229

-1.005

0.953

-0.77

0.16

-0.15

1.018

0.949

2

-0.134

-1.018

0.955

-0.79

0.081

-0.08

1.022

0.938

2.1

-0.038

-1.022

0.957

-0.8

0.002

-0

1.022

0.936

2.2

0.0572

-1.017

0.959

-0.8

-0.08

0.074

1.02

0.944

2.3

0.1531

-1.001

0.962

-0.79

-0.16

0.151

1.013

0.961

2.4

0.2493

-0.976

0.964

-0.77

-0.23

0.232

1.004

0.988

2.5

0.3458

-0.942

0.967

-0.75

-0.31

0.318

0.991

1.026

↑右端がスタート、0.1秒ごとに青丸、0.5秒ごとに黄色い丸、
原点の赤い印が太陽の位置

■ 表から、2.1秒後に左端に行くので、周期4.2秒、長半径=(0.5+1.022)=0.761

彗星の軌道

■ 彗星の運動をイメージして、初期値を変えてみて、シミュレイションしてみた。赤い点が太陽の位置、緑の円が地球の軌道を表す。彗星と書いたが、この場合、土星の軌道ぐらいまでしか達していないので、彗星の軌道とは言えない。まあ、イメージということで。

↑ Vy(0)=1.942 とした。GM=1 としているので、小さな初期値の違いが大きな変化を産む。

電磁気力による運動

■ 原点にマイナスの電荷 z軸に平行に一様な磁場 プラスの電荷の運動

電気力(今の場合は引力)を受け原点に向かうが、速度が上がるに連れ、速度に対して右向きの磁気力を受け、右に曲がるようになる。終には、原点から遠ざかるような動きになる。だが、遠ざかる動きは、徐々に速さが遅くなる。遅くなれば、磁気力の影響は減る。止まれば、磁気力は0になり、電気力の引力のみになり、また、原点に向かう運動を始める。速度が上がれば、磁気力が強くなり、右向きに曲がるようになる…。

電磁気力による運動

 x''=-a*x/r^3+b*y'
 y''=-a*y/r^3-b*x'

グラフは、a=1 b=0.1
初期値 x=10 y=0 x'=y'=0
時間間隔1

▲ パラメーターの値を変えると、さまざまな動きになる。上のグラフは、値を適当に調整して得られたものである。

  運動のシミュレイション2  

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