物理 力学 2019.3~2013/1 Yuji.W
☆ 慣性テンソルから慣性モーメントへ
質量分布に対称性のある場合 回転軸が一定の場合  _

【演算】積 * 商 / 10^x=Ten(x) ネイピア数 e 虚数単位 i e^(i*x)=expi(x)
【微積分】微分 ;x 時間微分 ;t 時間微分 ' 積分 $
【ベクトル】ベクトル <A> 
内積 * 外積 # |<A>|=A <A>/A=<Au>

【座標】デカルト座標単位ベクトル <xu>,<yu>,<zu>
円柱座標 (h,a,z)_C <Ah Aa Az>_C 座標単位ベクトル <hu>,<au>,<zu>
球座標 (r,a,b)_S <Ar Aa Ab>_S 座標単位ベクトル <ru>,<au>,<bu>

 〔物理定数 定数.宇宙 力学の単位 電磁気の単位

〓 慣性テンソルを使うときの注意点 〓 .

慣性テンソルは、観測時刻における質量の位置に依る量である。質量が移動すれば、慣性テンソルは刻々とその値を変える。本当は、いちいちその値を求めないといけない。 _

面倒である。

固定軸での回転であったり、質量分布に対称性があると、観測時刻における角運動量や力の関係が、そのまま、同じ状況で表せる可能性がある。そういう場合は、観測時刻の慣性テンソルだけを求めて、後は、これと同じですよと言うことができる。

{このことをはっきり言ってくれないから、混乱する!2018/1}

〓 1質点円運動の慣性テンソル 〓 .

◆ 1質点 円運動 質点の位置 <r> 角速度 <w> <r>'=<w>#<r>

運動量 <p>=m*<r>' 原点に対する角運動量 <L>=<r>#<p>

 <L>=m*[<w>*r^2-<r>*(<r>*<w>)]

原点に対する慣性テンソル 〚I〛
=m*〚y^2+z^2 -x*y -x*z|
   -x*y x^2+z^2 -y*z|
   -x*z -y*z x^2+y^2〛

■ 〚I〛=〚I11 I12 I13|I21 I22 I23|I31 I32 I33〛 と表して、

 I11=m*(y^2+z^2) I12=I21=-m*x*y I13=I31=-m*x*z
 I22=m*(x^2+z^2) I23=I32=-m*y*z
 I33=m*(x^2+y^2)

■ <w>=<z>*wz のとき

原点に対する慣性モーメント <I>=m*<-x*z -y*z x^2+y^2>

 <L>=<I>*wz

■ 円柱座標(r.,a,z) <L>=m*[-<r.u>*r.*z+<z>*(x^2+y^2>)]*wz

原点に対する慣性モーメント <I>=m*[-<r.u>*r.*z+<z>*(x^2+y^2>)]

 <L>=<I>*wz

〓 回転軸の方向が一定 〓 .

◆ 剛体 回転軸:z軸 <w>=<z>*wz

慣性テンソル 〚I〛=〚I11 I12 I13|I21 I22 I23|I31 I32 I33〛

角運動量 <L>

<L>=〚I〛*(<z>*wz)=<I13 I23 I33>*wz _

※ 1質点のとき I13=-m*x*z I23=-m*y*z I33=m*(x^2+y^2)

■ さらに、質量分布がxy平面対称ならば I13=I23=0

 <L>=<z>*I33*wz _

剛体が回転しても、I33 の値は変わらないし、回転軸の方向も変わらないから、

 <L>'=<z>*I33*wz' _

〓 質量分布が平面対称 〓 .

◆ 剛体 質量分布がxy平面対称

慣性テンソル 〚I〛=〚I11 I12 I13|I21 I22 I23|I31 I32 I33〛

角速度 <w>=<wx wy wz> 角運動量 <L>

■ I13=I31=0 & I23=I32=0

 〚I〛=〚I11 I12 0|I21 I22 0|0 0 I33〛

 <L>=<I11*wx+I12*wy I21*wx+I22*wy I33*wz> _

〓 回転体剛体の慣性テンソル 〓 .

◆ 回転体剛体 回転軸:z軸 質量分布がxy平面対称 質量が回転軸からの距離の関数

質量の中心:原点 慣性モーメント Icz

z軸からの距離 r r~r+dr に含まれる質量 m(r)*dr

角速度 <w>=<z>*w 角運動量 <L>=<z>*Icz*w

■ Icz=${m(r)*r^2*dr} _

 <L>=<z>*Icz*w

剛体がz軸を回転しても、質量分布は変わらないから、Icz も変わらない。

 <L>'=<z>*Icz*w'

〓 対称な剛体の慣性テンソル 〓 .

■ <w>=<z>*wz <L>=<I13 I23 I33>*wz

■ 質量分布がxy平面対称

 <L>=<I11*wx+I12*wy I21*wx+I22*wy I33*wz>

■ <w>=<z>*wz 質量分布がxy平面対称

 <L>=<z>*I33*wz & <L>'=<z>*I33*wz'

■ 回転体剛体 角速度 <w>=<z>*w

質量分布がxy平面対称 質量が回転軸からの距離の関数 質量の中心:原点

z軸からの距離 r r~r+dr に含まれる質量 m(r)*dr

慣性モーメント Icz=${m(r)*r^2*dr}

 <L>=<z>*Icz*w & <L>'=<z>*Icz*w'

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