物理 力学  2017/10-2013/1 Yuji.W
剛体の慣性テンソル
慣性テンソル 慣性モーメント 平行軸の定理 垂直軸の定理 moment of inertia {慣性テンソルがいつのまにか慣性モーメントになっていて、わかりにくい!2016/1} _物理定数

【ベクトル】<A> 単位ベクトル <-u> 座標単位ベクトル <x> 内積 * 外積 #
【関数】10^x=Ten(x) exp(i*x)=expi(x) 微分 ; 時間微分 ' 積分 $

剛体の回転

質点系 複数の質点の集まり。各質点間の位置、距離は変わってよい。

剛体 各質点間の位置、距離が固定された、複数の質点の集まり。質量分布が連続でもよい。質点系よりもきびしい条件である。質点系に成り立つ性質はすべて、剛体でも成り立つ。

・それぞれの質点の回転半径は変わらない。
・各質点の角速度は同じ ※ 時間に依る変化はあってもよい

◇ 同質量2質点の慣性テンソル

◆ 同質量2質点 質量 m 同じ角速度 <w>

観測時刻おける位置 <r1>=<x1 y1 z1>,<r2>=<x2 y2 z2>

慣性テンソル [I] <L>=[I]*<w>

■ I11=m*(y1^2+z1^2+y2^2+z2^2)
 I12=-m*(x1*y1+x2*y2) I13=-m*(x1*z1+x2*z2)

 I21=I12 I22=m*(x1^2+z1^2+x2^2+z2^2) I23=-m*(y1*z1+y2*z2)

 I31=I13 I32=I23 I33=m*(x1^2+y1^2+x2^2+y2^2)

◆ 同質量の2質点 質量 m 同角速度でz軸の周りを回転 <w>=<z>*w

観測時刻おける位置 <r1>=<x1 y1 z1>,<r2>=<x2 y2 z2>

慣性モーメント <I>=<Ix Iy Iz> <L>=<I>*w

■ Ix=-m*(x1*z1+x2*z2) Iy=-m*(y1*z1+y2*z2)

 Iz=m*(x1^2+y1^2+x2^2+y2^2)

◇ 2質点剛体の質量の中心系での角運動量、慣性モーメント ◇ 

◆ 2質点剛体 質量 m1,m2 剛体の角速度 <w>

質量の中心系で 位置 <r1G>,<r2G> m1*<r1G>=-m2*<r2G>
角運動量 <L1G>,<L2G>

質量の中心系でのデカルト座標単位ベクトル <xG>,<yG>,<zG>

■ 回転の方程式 (<L1G>+<L2G>)'=<N1G>+<N2G>

<L1G>+<L2G>=m1*<r1G>#(<w>#<r1G>)+m2*<r2G>#(<w>#<r2G>)
=<w>*(m1*r1G^2+m2*r2G^2)
-<r1G>*(m1*<r1G>*<w>)-<r2G>*(m2*<r2G>*<w>)

■ <w>=<zG>*w
<r1G>=<xG>*x1G+<zG>*z1G <r2G>=<xG>*x2G+<zG>*z2G のとき

慣性モーメント <I>
=-<xG>*(m1*x1G*z1G+m2*x2G*z2G)+<zG>*(m1*x1G^2+m2*x2G^2)

 <L>=<I>*w _

<w>=<zG>*w <r1G>=<xG>*x1G <r2G>=<xG>*x2G のとき

慣性モーメント I=m1*x1G^2+m2*x2G^2 <L>=<zG>*I*w

剛体の慣性テンソル

■【 z軸回転の場合 】

 <w>=<z>*wz

 Lx=-m*x*z*wz Ly=-m*y*z*wz Lz=m*(x^2+y^2)*wz 

■【 質量がxy平面上にあり、z軸回転の場合 】

 <w>=<z>*wz

 Lx=0 Ly=0 Lz=m*(x^2+y^2)*wz

ここで 慣性モーメント Iz=m*(x^2+y^2) として Lz=Iz*wz .

▲ 質量が一平面上にあり、その平面に垂直な軸の回転を考えるときには、慣性テンソル(成分9個)を慣性モーメント(成分1個)に簡略化できる .

2質点の慣性テンソル

◎ テンソル(9つの成分) ⇒ モーメント(3つの成分) になぜなるのか

◆【 2質点の慣性テンソル 】質量 m1,m2 位置 (x1,y1,z1),(x2,y2,z2)

回転軸:z軸 角速度 wz 角運動量 <L>

■ <L>
=-<xu>*wz*(m1*x1*z1+m2*x2*z2)
-<yu>*wz*(m1*y1*z1+m2*y2*z2)
+<z>*wz*[m1*(x1^2+y1^2)+m2*(x2^2+y2^2)]

◆【 xy平面対称の2質点の慣性テンソル 】質量 m,m 位置 (x,y,z),(x,y,-z)

回転軸:z軸 角速度 wz 角運動量 <L>

■ <L>=<z>*2*wz*m*(x^2+y^2)

Iz=2*m*(x^2+y^2) として <L>=Iz*wz

▲ 質量分布がxy平面対称であって、z軸周りの回転を考えるときには、慣性テンソル(9つの成分)を考える必要はなくなる。 .{これがわかってなかった!2016/2}

▲ 質点の数が増えても、連続体になっても、同様な事が言える。

棒の慣性モーメント

◎ テンソルを使う必要がない

◆【 一様な棒の端に対する慣性モーメント 】線密度 λ=一定 長さ L 質量 M=λ*L x軸に分布

棒の端を通るz軸に対する慣性モーメント I

■ xy平面に対称であり、z軸に対する慣性を考えるから、Iz だけを求めればよい。

 x~x+dx にある質量=λ*dx

 Iz=${λ*x^2*dx}[x:0~L]=λ*[x^3/3][x:0~L]=λ*L^3/3=M*L^2/3 .

▲ Iz=M*(L*root3/3)^2~M*(0.577*L)^2 .全質量が、0.577*L の位置に集まっていると解釈できる

◆【 一様な棒の中心に対する慣性モーメント 】線密度 λ=一定 長さ L 質量 M=λ*L x軸に分布 棒の中心を通るz軸に対する慣性モーメント Ic

■ 棒を左右に分ける。質量 M/2 長さ L/2

 その慣性モーメント=(M/2)*(L/2)^2/3=M*L^2/24

 Ic=2*(M*L^2/24)=M*L^2/12 .

{だんだんわかってきたぞ!2016/2}

慣性モーメント.回転軸対称

◎ 質量分布がxy平面対称かつz軸対称 輪 円柱 中空の円柱 球

◆【 質量分布がxy平面対称かつz軸対称な物体のz軸に対する慣性モーメント 】

z軸からの距離 r r~r+dr に含まれる質量 m(r)*dr

z軸に対する慣性モーメント Icz

■ Icz=${m(r)*r^2*dr} .

■【 円環 】半径 R 線密度 λ 質量 M=2Pi*R*λ Icz=M*R^2 .

■【 円盤 】半径 R 面密度 σ=一定 M=Pi*R^2*σ

 m(r)=σ*2Pi*r

 Icz=σ*2Pi*${r*r^2*dr}[r:0~R]=2Pi*R^4*σ/4=M*R^2/2 .

▲ Icz=M*(root2*R/2)^2~M*(0.707*R)^2 と書けるから、全質量が 0.707*R の一に集まっていると解釈できる

■【 円柱 】半径 R 高さ H 密度 ρ=一定 M=Pi*ρ*H*R^2

 m(r)*dr=2Pi*r*ρ*H*dr

 Icz=Pi*ρ*H*R^4/2=M*R^2/2 .

■【 中空の円柱 】内半径 R1 外半径 R2 M=Pi*ρ*H*(R2^2-R1^2)

 Ic=Pi*ρ*H*(R2^4-R1^4)/2=M*(R2^2+R1^2)/2 .

■【 球 】半径 R 密度 ρ=一定 M=4Pi*ρ*R^3/3

回転軸に垂直な面でスライスし、薄い円柱を考える。面からの距離 z~z+dz

 薄い円柱の半径=root(R^2-z^2) 薄い円柱の質量=Pi*ρ*(R^2-z^2)*dz
 薄い円柱の慣性モーメント
=[Pi*ρ*(R^2-z^2)*dz]*(R^2-z^2)/2
=Pi*ρ*(R^4-2*R^2*z^2+Z^4)*dz/2

 Ic=2*(Pi*ρ/2)*${(R^4-2*R^2*z^2+z^4)*dz}[r0~R]

ここで ${(R^4-2*R^2*z^2+z^4)*dz}[r0~R]
=[R^4*z-2*R^2*z^3/3+z^5/5][r0~R]
=R^5-2*R^5/3+R^5/5
=(8/15)*R^5 だから、

 Ic=(8/15)*Pi*ρ*R^5=(2/5)*M*R^2 .

▲ Ic=M*[root(2/5)*R]^2~M*(0.63*R)^2

『慣性モーメント.軸対称』 2016/2

◆ 質量分布がある軸に対して対称 その軸に対する慣性モーメント Ic 半径 R 質量 M

■ 円環 Ic=M*R^2 円盤,円柱 Ic=M*R^2/2~M*(0.707*R)^2

中空の円柱 Ic=M*(R2^2+R1^2)/2 球 Ic=(2/5)*M*R^2~M*(0.63*R)^2

長方形の慣性テンソル

◆【 長方形 】横 W 縦 L 面密度 σ M=W*L*σ 慣性モーメント I

■【 軸:横の辺 】

回転半径 r r~r+dr に含まれる質量=L*σ*dr

 I
=${L*σ*r^2*dr}[r:0~W]
=L*σ*[r^3/3][r:0~W]
=L*σ*W^3/3
=M*W^2/3
.棒と同じ

■【 軸:横の辺と平行で、長方形の中心を通る 】

 Ic=2*(M/2)*(W/2)^2/3=M*W^2/12 .

■【 軸:長方形に垂直、頂点を通る 】

横軸:x軸 縦軸:y軸

 I=${σ*(x^2+y^2)*dx*dy}[x:0~W][y:0~L]
=σ*${(x^2+y^2)*dx*dy}[x:0~W][y:0~L]

 ${(x^2+y^2)*dx}[x:0~W]
=[x^3/3+x*y^2][x:0~W]
=W^3/3+W*y^2

 I
=σ*${(W^3/3+W*y^2)*dy}[y:0~L]
=σ*[W^3*y/3+W*y^3/3][y:0~L]
=σ*[W^3*L/3+W*L^3/3]
=σ*W*L*(W^2+L^2)/3
=M*(W^2+L^2)/3
.

■【 軸:長方形に垂直、長方形の中心を通る 】

 Ic=4*(M/4)*[(W/2)^2+(L/2)^2]/3=M*(W^2+L^2)/12 .

『長方形の慣性モーメント』 2016/2

◆【 長方形 】横 W 縦 L 面密度 σ M=W*L*σ 慣性モーメント I

■【 軸:横の辺 】I=M*W^2/3

■【 軸:横の辺と平行で、長方形の中心を通る 】Ic=M*W^2/12

■【 軸:長方形に垂直、頂点を通る 】I=M*(W^2+L^2)/3

■【 軸:長方形に垂直、長方形の中心を通る 】Ic=M*(W^2+L^2)/12

{わかってくるとおもしろいなあ!2016/2}

平行軸の定理

◆ x軸に並ぶ質点系 質量 m1,m2,… 位置 x1,x2,… m1+m2+…=M 質量の中心 G=(m1*r1+m2*r2+…)/M

原点を通る軸を回転軸とする慣性モーメント I
その軸に平行で、質量の中心を通る軸に対する慣性モーメント Ic

■ I=m1*r1^2+m2*r2^2+…

 Ic
=m1*(r1-G)^2+m2*(r2-G)^2+…
=m1*r1^2+m2*r2^2+…-2*(m1*r1+m2*r2+…)*G+(m1+m2+…)*G^2
=I-2*M*G^2+M*G^2
=I-M*G^2

 I=Ic+M*G^2 .平行軸の定理

■【 平行軸の定理の利用 】

質量M、長さLの棒(質量の分布は一様)を棒の端を軸として回転させたときの慣性モーメント I

 I ∝ M*L^2 比例定数を k とする I=k*M*L^2

 棒を半分に分けた場合の慣性モーメント=k*(M/2)*(L/2)^2=k*M*L^2/8

 Ic=2*(k*M*L^2/8)=k*M*L^2/4

平行軸の定理より I=Ic+M*(L/2)^2=Ic+M*L^2/4 だから、

 k*M*L^2=k*M*L^2/4+M*L^2/4

 k=k/4+1/4

 k=1/3

 I=M*L^2/3 .{積分しなくても、慣性モーメントを求めることができた!}

直交する軸の慣性モーメント

◆ 質点がxy平面上にある 質量 m1,m2,… 位置 (x1,y1,0),(x2,y2,0),…

それぞれの座標軸を回転軸とする慣性モーメント Ix,Iy,Iz

■ Ix=m1*y1^2+m2*y2^2+…

 Iy=m1*x1^2+m2*x2^2+…

 Iz=m1*(x1^2+y1^2)+m2*(x2^2+y2^2)+…=Ix+Iy .直交軸の定理

★ xy平面上に長方形 面密度 σ 横(x軸) W 縦(y軸) L M=σ*W*L

 Ix=M*W^2/12 Iy=M*L^2/12 Iz=M*(w^2+L^2)/12 .

★ 円盤 半径 R 幅 h 密度 ρ M=Pi*R^2*h*ρ

回転対称軸で Iz=M*R^2/2

円盤の中心を通る横回転で Iz=Ix+Iy Ix=Iy だから、

 Ix=Iy=M*R^2/4 .

円柱が横回転するときの慣性モーメント

■ 円柱(半径 R 高さ L) 密度 ρ M=Pi*R^2*L*ρ

回転対称軸で Iz=M*R^2/2

円柱の中心を通る横回転で Ix=Iy=M*R^2/4+M*L^2/12 .

{証明}ρ=M/[(Pi)R^2*L]

円柱を横に置いて、上から包丁でスライスして、円盤をたくさん作る。

中心からの距離 x x〜x+dx にある円盤を考えて、

円盤の慣性モーメント Ic=(1/4)*ρ*[(Pi)*R^2*dx]*R^2

回転軸から、x 離れているから、平行軸の定理より、

 dI=(1/4)*ρ*[(Pi)*R^2*dx]*R^2+ρ*[(Pi)*R^2*dx]*x^2
=ρ*(Pi)*R^2*[(1/4)*R^2+x^2]dx

{なかなかいいアイデアで求めてるぞ!}

 Ix=2*ρ*(Pi)*R^2*${(1/4)*R^2+x^2}dx[x:0->L/2]

${R^2+x^2}dx[x:0->L/2]=[(1/4)*R^2*x+x^3/3][x:0->L/2]
=R^2*L/8+L^3/24

 Ix=(1/4)*ρ*(Pi)*R^4*L+(1/12)*ρ*(Pi)*R^2*L^3
=(1/4)*M*R^2+(1/12)*M*L^2 』

{以上、私のアイデア! 2012/9 既存の資料には、もっと計算が難しい方法しか掲載されていない。}

{計算例}自転慣性モーメント,自転角運動量

■【 ジャイロ 】密度が一様な円盤だとする 質量 m=100_g 円盤の半径 r=3_cm

回転数 f=10_回/sec w=2Pi*fr~62.8_rad/sec

自転慣性モーメント I=(1/2)*m*r^2=(1/2)*0.01*0.03^2=4.5*Ten(-5)_kg*m^2

自転角運動量 LG=I*w=4.5*Ten(-5)*62.8~2.83*Ten(-3)_kg*m^2/sec

■【 地球 】密度一様な球 m=6*Ten(24)_kg r=6.4*Ten(6)_m

 T=1_day=8.64*Ten(4)_sec w=2Pi/T

自転慣性モーメント I
=(2/5)*Me*R^2
=(2/5)*5.974*Ten(24)*[6.357*Ten(6)]^2
=9.66*Ten(37)

 測定値 I=8.02*Ten(37)_kg*m^2 ※ 実際は、密度一様でないから

 wG=2Pi/86400=7.27*Ten(-5)_rad/sec

自転角運動量 LG=I*wG=[8.02*Ten(37)]*7.27*Ten(-5)~5.83*Ten(33)_kg*m^2/sec

■【 月 】地球と同様に考える m=7.3*Ten(22)_kg r=1.8*Ten(6)_m

 T=1_month=27.32*8.64*Ten(4)~2.36*Ten(6)_sec w=2Pi/T

自転慣性モーメント I=(2/5)*[7.3*Ten(22)]*[1.8*Ten(6)]^2~9.5*Ten(34)

 測定値 I=8.87*Ten(34)_kg*m^2 地球の 1/1000

自転角運動量 LG=I*w=[8.87*Ten(34)]*2Pi/[2.36*Ten(6)]~2.4*Ten(29)_kg*m^2/sec

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