物理 力学 2018/1-2013/1 Yuji.W
☆ 剛体の慣性テンソル
慣性テンソル 慣性モーメント moment of inertia _

【ベクトル】<A> 単位ベクトル <-u> 内積 * 外積 # 座標単位<x>,<y>,<z>
 円柱座標 <r.u>,<au>,<z> 球座標 <ru>,<au>,<bu>

【累乗】3^2=9 10^x=Ten(x) 【微積】xで微分 f(x);x 時間微分 ' 積分 $

ネイピア数ee^x=exp(x) 対数 log(a,x) log(e,x)=ln(x) log(10,x)=LOG(x)

虚数単位ii^2=-1 e^(i*x)=exp(i*x)=expi(x) 複素数zの共役複素数 \z

〓 慣性テンソルを使うときの注意点 〓 .

慣性テンソルは、観測時刻における質量の位置に依る量である。質量が移動すれば、慣性テンソルは刻々とその値を変える。本当は、いちいちその値を求めないといけない。 _

面倒である。

固定軸での回転であったり、質量分布に対称性があると、観測時刻における角運動量や力の関係が、そのまま、同じ状況で表せる可能性がある。そういう場合は、観測時刻の慣性テンソルだけを求めて、後は、これと同じですよと言うことができる。

{このことをはっきり言ってくれないから、混乱する!2018/1}

〓 1質点円運動の慣性テンソル 〓 .

◆ 1質点 円運動 質点の位置 <r> 角速度 <w> <r>'=<w>#<r>

運動量 <p>=m*<r>' 原点に対する角運動量 <L>=<r>#<p>

 <L>=m*[<w>*r^2-<r>*(<r>*<w>)]

原点に対する慣性テンソル [I]
=m*[y^2+z^2 -x*y -x*z|
   -x*y x^2+z^2 -y*z|
   -x*z -y*z x^2+y^2]

■ [I]=[I11 I12 I13|I21 I22 I23|I31 I32 I33] と表して、

 I11=m*(y^2+z^2) I12=I21=-m*x*y I13=I31=-m*x*z
 I22=m*(x^2+z^2) I23=I32=-m*y*z
 I33=m*(x^2+y^2)

■ <w>=<z>*wz のとき

原点に対する慣性モーメント <I>=m*<-x*z -y*z x^2+y^2>

 <L>=<I>*wz

■ 円柱座標(r.,a,z) <L>=m*[-<r.u>*r.*z+<z>*(x^2+y^2>)]*wz

原点に対する慣性モーメント <I>=m*[-<r.u>*r.*z+<z>*(x^2+y^2>)]

 <L>=<I>*wz

〓 質量分布が平面対称 〓 .

◆ 剛体 質量分布がxy平面対称

慣性テンソル [I]=[I11 I12 I13|I21 I22 I23|I31 I32 I33]

角速度 <w>=<wx wy wz> 角運動量 <L>

■ I13=I31=0 & I23=I32=0

 [I]=[I11 I12 0|I21 I22 0|0 0 I33]

 <L>=<I11*wx+I12*wy I21*wx+I22*wy I33*wz> _

〓 回転軸の方向が一定 〓 .

剛体 回転軸:z軸 <w>=<z>*wz

慣性テンソル [I]=[I11 I12 I13|I21 I22 I23|I31 I32 I33]

角運動量 <L>

<L>=[I]*(<z>*wz)=<I13 I23 I33>*wz _

※ 1質点のとき I13=-m*x*z I23=-m*y*z I33=m*(x^2+y^2)

■ さらに、質量分布がxy平面対称ならば I13=I23=0

 <L>=<z>*I33*wz _

剛体が回転しても、I33 の値は変わらないし、回転軸の方向も変わらないから、

 <L>'=<z>*I33*wz' _

〓 回転体剛体の慣性テンソル 〓 .

◆ 回転体剛体 回転軸:z軸 質量分布がxy平面対称 質量が回転軸からの距離の関数

質量の中心:原点 慣性モーメント Icz

z軸からの距離 r r~r+dr に含まれる質量 m(r)*dr

角速度 <w>=<z>*w 角運動量 <L>=<z>*Icz*w

■ Icz=${m(r)*r^2*dr} _

 <L>=<z>*Icz*w

剛体がz軸を回転しても、質量分布は変わらないから、Icz も変わらない。

 <L>'=<z>*Icz*w'

〓 対称な剛体の慣性テンソル 〓 .

■ <w>=<z>*wz <L>=<I13 I23 I33>*wz

■ 質量分布がxy平面対称

 <L>=<I11*wx+I12*wy I21*wx+I22*wy I33*wz>

<w>=<z>*wz 質量分布がxy平面対称

 <L>=<z>*I33*wz & <L>'=<z>*I33*wz'

回転体剛体 角速度 <w>=<z>*w

質量分布がxy平面対称 質量が回転軸からの距離の関数 質量の中心:原点

z軸からの距離 r r~r+dr に含まれる質量 m(r)*dr

慣性モーメント Icz=${m(r)*r^2*dr}

 <L>=<z>*Icz*w & <L>'=<z>*Icz*w'

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