物理 力学 2019.7-2012 Yuji.W
☆ 等速円運動 ☆
◎ 等速円運動 加速度 銀河 暗黒物質 ☆ uniform circular motion {基本的であるが、重要な事柄を含む!この辺りの理解が不十分だと、後々わからなくなる!} ★_
【ベクトル】ベクトル <A> 単位ベクトル
<-u> 内積
* 外積 #
【関数】10^x=Ten(x) 虚数単位 i ネイピア数
e e^(i*x)=expi(x)
【微分積分】微分
; 積分 $ 【行列テンソル】行列 [A]=[a b|c d] テンソル〚〛
【座標】デカルト座標単位ベクトル <xu>,<yu>,<zu>
円柱座標 (h,a,z _C) <Ah Aa Az _C> 座標単位ベクトル <hu>,<au>,<zu>
球座標 (r,a,b _S) <Ar Aa Ab _S> 座標単位ベクトル <ru>,<au>,<bu>
〓 等速円運動の加速度 〓 .
◎ 等速である円運動の加速度を図形的に求める
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『細長い二等辺三角形の底辺の長さ』 2015/11 ◤ 二等辺三角形 OAB OA=OB=r ∠AOB=a 0<a<<1 AB ? ■ AB=2*[r*sin(a/2)]=2*(a/2)=r*a |
◤ 1質点が等速円運動 半径 r=一定 角速度 w=一定 速さ v=r*w=一定
加速度 <Ac> 円の中心から質点へと向かう単位ベクトル <ru> 周期 T
微少時間 Δt に対して 時刻 t での速度 <v(t)> 時刻 t+Δt での速度 <v(t+Δt)>
<Ac>*Δt=<v(t+Δt)>-<v(t)>
■【 加速度 】
速さは変わらないから v(t+Δt)=v(t)=v=一定
微少時間 Δt で、
(速度の方向の変化量)=(質点の位置の方向の変化量)=w*Δt
細長い二等辺三角形の底辺の長さの公式を使って、
Ac=[v*(w*Δt)]/Δt=v*w=(r*w)*w=r*w^2 or Ac=v^2/r
加速度の方向は、上図では円の中心を向いていないが、Δt->0 の極限をとれば、円の中心方向になる。
<Ac>=-<ru>*r*w^2=-<ru>*v^2/r ★.
{こういう事だったんだなあ!わかってなかったなあ!2016/5}
〓 等速円運動 〓 .
◎ 運動の諸量を、力や回転半径で表す
◤ 1質点 質量 m 等速円運動 半径 r 速さ v 角速度 w=v/r 周期 T=2Pi/w
向心力 <F>=-<ru>*F
運動量の大きさ p=m*v 回転の中心に対する角運動量の大きさ L=r*p
運動エネルギー K=(1/2)*m*v^2 位置エネルギー U エネルギー E=K+U
■ F=m*v^2/r
v=root[(F/m)*r] w=root[(F/m)/r] T=2Pi*root(m*r/F)
p=root(m*F*r) L=root(m*F*r^3) K=(1/2)*F*r
■【バネ】<F>=-<ru>*k*r
v=root(k*r^2/m) w=root(k/m) T=2Pi*root(m/k)
p=root(m*k*r^2) L=root(m*k*r^4) K=(1/2)*k*r^2
K=(1/2)*k*r^2 U=(1/2)*k*r^2 E=k*r^2
■【逆2乗則の力】 <F>=-<ru>*k/r^2
v=root[(k/m)/r)] w=root[(k/m)/r^3] T=2Pi*root[(m/k)*r^3]
p=root(m*k/r) L=root(m*k*r)
K=(1/2)*k/r U=-k/r E=-(1/2)*k/r
■【重力】重力源の質量 M 〔 M>>m 〕 <F>=-<ru>*G*M*m/r^2
v=root(G*M/r) w=root(G*M/r^3) r^3*w^2=G*M
T=2Pi*root[r^3/(G*M)] T^2/r^3=4*Pi^2/(G*M)
p=m*root(G*M/r) L=m*root(G*M*r)
K=(1/2)*G*M*m/r U=-G*M*m/r E=-(1/2)*G*M*m/r
※ 2体問題で M:質量の和
■【電気力】電荷 -Q,q <F>=-<ru>*ke*Q*q/r^2
v=root[(ke*Q*q/m)/r)] w=root[(ke*Q*q/m)/r^3)]
T=2Pi*root[m*r^3/(ke*Q*q)]
p=root(m*ke*Q*q/r) L=root(m*ke*Q*q*r)
K=(1/2)*ke*Q*q/r U=-ke*Q*q/r E=-(1/2)*ke*Q*q/r
〓 回転による見かけの力 〓 .☆「バークレー力学」p152
◤ 地球の重力加速度 g=9.81_m/sec^2 半径 r(earth)=6378.137_km
等速円運動 回転半径 r=R(earth)=6.378*Ten(6)_m 角速度 w 周期 T=2*Pi/w
(遠心力の加速度)=g となった
■ (遠心力の加速度)=r*w^2 であるから、
g=r*(2*Pi/T)^2
T=2*Pi*root(r/g)
ここで root(r/g)=root[6.378*Ten(6)/9.81]~806
T=2*Pi*806=5061.68_sec=1.41_hour ★_
〓 中心力による円運動 〓
◎ 中心力によって等速円運動をする速さと半径の関係
◤ 1質点[質量 m] 等速円運動[半径 r 速さ v] 中心力の大きさ Fc=k*r^h
加速度 Ac=v^2/r
■ 運動方程式 Fc=m*Ac k*r^h=m*v^2/r
v=root(k/m)*r^(h+1)/2 ★
◎ 等速円運動をする軌道は安定しているのか
◤ 速さは変えないで、半径が微少量大きくなったとする r -> r+Δr |Δr/r|<<1
半径 r での中心力の大きさ Fc(r) 遠心力の大きさ Fout(r)
■ r で Fc(r)=k*r^h Fout(r)=m*[(k/m)*r^(h+1)]/r=k*r^h Fc(r)=Fout(r)
r+Δr で Fc(r+Δr)=k*(r+Δr)^h=k*r^(h-1)*(r+h*Δr)
Fc(r+Δr)/Fc(r)=[k*r^(h-1)*(r+h*Δr)]/(k*r^h)=1+h*Δr/r
遠心力は、速さは変わらず、半径だけが変わる場合を求めているから、
Fout(r+Δr)
=m*[(k/m)*r^(h+1)]/(r+Δr)
=k*r^(h+1)*(1-Δr/r)/r
=k*r^(h-1)*(r-Δr)
Fout(r+Δr)/Fout(r)=[k*r^(h-1)*(r-Δr)]/(k*r^h)=1-Δr/r
≫ 中心力 Fc(r+Δr)/Fc(r)=1+h*Δr/r 遠心力 Fout(r+Δr)/Fout(r)=1-Δr/r ★
▲ h=1 のとき ▼
Fc(r+Δr)/Fc(r)=1+Δr/r Fout(r+Δr)/Fout(r)=1-Δr/r
Δr>0 で Fc(r+Δr)>Fout(r+Δr)
外側に出たときには、中心力が遠心力より大きくなり、内側の軌道に戻る
Δr<0 で Fc(r+Δr)<Fout(r+Δr)
内側にずれたときには、遠心力が中心力より大きくなり、外側の軌道に戻る
Fc ∝ r のとき、等速円運動の軌道は安定している(小さな軌道のずれがあったときに、元に戻ろうとする) ★
▲ h=-2 のとき ▼
Fc(r+Δr)/Fc(r)=1-2*Δr/r Fout(r+Δr)/Fout(r)=1-Δr/r
Δr>0 で 中心力も遠心力も小さくなるが、中心力の減り方の方が大きいから、遠心力が勝ってしまう。より外側の軌道に移ろうとする。
Δr<0 で 中心力も遠心力も大きくなるが、中心力の増え方の方が大きいから、中心力が勝ってしまう。より内側の軌道に移ろうとする。
Fc ∝ 1/r^2 のとき、等速円運動の軌道は安定していない。軌道はすぐずれる傾向がある。 ★ {中学校の時から悩んできた謎の結論が一応出た!2015/8}
▲ h=-1 のとき ▼
Fc(r+Δr)/Fc(r)=1-Δr/r Fout(r+Δr)/Fout(r)=1-Δr/r
Δr>0 で 中心力も遠心力も小さくなるが、大きさは等しくなる。また、その軌道で、中心力と遠心力がつり合ってしまう。Δr<0 のときも同様。 ★
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