お勉強しようUz〕 物理 力学

2017/3-2012 Yuji.W

☆等速円運動

_ 等速円運動 加速度 銀河 暗黒物質 ☆ uniform circular motion {基本的であるが、重要な事柄を含む!この辺りの理解が不十分だと、後々わからなくなる!}

◇ベクトル<A> 単位ベクトル<xu> 縦ベクトル<t x) 内積* 外積#
微分;x 
時間微分' 積分$ 10^x=Ten(x) exp(i*x)=expi(x) _〔物理定数

☆等速円運動の加速度☆

◆ 等速円運動 半径 R 速さ v 加速度 a

等速直線運動をした場合との変位のずれ Δs a=2*Δs/Δt^2

■ 微少時間 Δt において、

 Δs=root[(v*Δt)^2+R^2]-R=R*(1/2)*(v*Δt/R)^2=(1/2)*v^2*Δt^2/R

 a=2*[(1/2)*v^2*Δt^2/R]/Δt^2=v^2/R

≫ a=v^2/R _

{別解}等速円運動の加速度

※ 等速でない円運動もある 以下、等速である円運動を扱う

『細長い二等辺三角形の底辺の長さ』 2015/11

◆ 二等辺三角形 OAB OA=OB=r ∠AOB=a 0<a<<1 AB ? 

■ AB=2*[r*sin(a/2)]=2*(a/2)=r*a

◆ 1質点が等速円運動 半径 r=一定 角速度 w=一定 速さ v=r*w=一定

加速度 <Ac> 円の中心から質点へと向かう単位ベクトル <ru> 周期 T

微少時間 Δt に対して 時刻 t での速度 <v(t)> 時刻 t+Δt での速度 <v(t+Δt)>

 <Ac>*Δt=<v(t+Δt)>-<v(t)>

■【 加速度 】

速さは変わらないから v(t+Δt)=v(t)=v=一定

微少時間 Δt で、

 (速度の方向の変化量)=(質点の位置の方向の変化量)=w*Δt

細長い二等辺三角形の底辺の長さの公式を使って、

 Ac=[v*(w*Δt)]/Δt=v*w=(r*w)*w=r*w^2 or Ac=v^2/r

加速度の方向は、上図では円の中心を向いていないが、Δt->0 の極限をとれば、円の中心方向になる。

 <Ac>=-<ru>*r*w^2=-<ru>*v^2/r .

{こういう事だったんだなあ!わかってなかったなあ!2016/5}

■【 回転周期 】

周期 T=(一周するのにかかる時間) 一周の長さ=2Pi*r 速さ v

 T=2Pi*r/v

{別解} 角度を考える 一周 2Pi_rad

 T=2Pi/w=2Pi/(v/r)=2Pi*r/v

{まとめ} T=2Pi/w=2Pi*r/v .

◇運動エネルギーと向心力◇

◆ 1質点が等速円運動 質量 m 半径 r=一定 角速度 w=一定 速さ v=r*w=一定

向心力(遠心力) F 周期 T 運動エネルギー K

■【 運動エネルギーと向心力 】

 K=(1/2)*m*v^2

 F=m*v^2/r=2*K/r .{わかってなかった!2016/12}

☆角運動量,回転エネルギー☆

◆ 1質点 質量 m 等速円運動 半径 r 角速度 w 速度 v=r*w

慣性モーメント I=m*r^2 角運動量 L 回転運動エネルギー Kr

■ L=r*(m*v)=m*r*(r*w)=m*r^2*w=I*w

 Kr=(1/2)*m*v^2=(1/2)*m*(r*w)^2=(1/2)*m*r^2*w^2=(1/2)*I*w^2

{まとめ} 慣性モーメント I=m*r^2

角運動量 L=I*w 回転運動エネルギー Kr=(1/2)*I*w^2 .

◇重力による等速円運動◇

◆ 重力源(質量 M) 質点 m 重力定数(万有引力定数) G~6.674

 力=G*M*m/r^2

■【 回転半径と角速度 】

運動方程式 G*M*m/r^2=m*r*w^2

 r^3*w^2=G*M .

■【 角運動量 】

回転半径 r で表せば、

 L/m=r^2*w=r^2*(G*M/r^3)^(1/2)=(G*M)^(1/2)*r^(1/2)=root(G*M*r)

■【 回転エネルギー 】

回転半径 r で表せば、

 Kr/m=(1/2)*r^2*w^2=(1/2)*r^2*(G*M/r^3)=(1/2)*G*M/r

■【 位置エネルギー、全エネルギー 】

 U/m=-G*M/r

 E/m=Kr/m+U/m=(1/2)*G*M/r-G*M/r=-(1/2)*G*M/r

 Kr:U:E=1:-2:-1 .

◇重力源の質量◇

◎ 重力源の周囲を回る天体の運動を観測すると、重力源の質量がわかる

● 重力定数(万有引力定数) G~6.674*Ten(-11)_m^3/(kg*sec^2)

◆ 重力源の質量 M 等速円運動をする質点 回転半径 r 角速度 w 周期 T=2Pi/w

重力定数(万有引力定数) G~6.674

■ r^3*w^2=G*M より、

 M=r^3*w^2/G=r^3*(2Pi/T)^2/G=(4*Pi^2/G)*r^3/T^2

ここで 4*Pi^2/G=4*Pi^2/[6.674*Ten(-11)]~5.91*Ten(11) だから、

 M=5.91*Ten(11)*r^3/T^2 .〔M_kg r_m T_sec〕

重力源の周りを等速円運動をする質点の運動を観測できれば、重力源の質量を計算できる{!}

■ 回転速度 v=r*w

 M
=r^3*(v/r)^2/G
=r*v^2/G
=r*v^2/[6.674*Ten(-11)]
=1.50*Ten(10)*r*v^2

≫ M=1.50*Ten(10)*r*v^2 .〔M_kg r_m v_m/sec〕

★ 太陽の質量 M

地球の公転 半径 r=1.50*Ten(11)_m 周期 T=1_year=3.1536*Ten(7)_sec

 M
=5.91*Ten(11)*[1.5*Ten(11)]^3/[3.1536*Ten(7)]^2
=[5.91*1.5^3/3.1536^2]*Ten(30)
=2.01*Ten(30)_kg
.実際の値 1.99*Ten(30)

{素晴らしい!2016/5}

★ 木星の質量 M

木星の衛星のガニメデの公転 半径 r=1.07*Ten(9)_m 月より少し遠い

 周期 T=7days 3hours 43minute
=86400*7+3600*3+60*43
=604800+10800+2580
=618180
~6.18*Ten(5)_sec

 M
=5.91*Ten(11)*[1.07*Ten(9)]^3/[6.18*Ten(5)]^2
=[5.91*1.07^3/6.18^2]*Ten(28)
=1.90*Ten(27)
.実際の値 1.898*Ten(27)_kg

 木星の質量/太陽の質量~1/1000

★ 我々の銀河の腕の回転速度 v=200_km/sec=2*Ten(5)_m/sec

 銀河の中心から腕までの距離 r
=20000_光年
=[2*Ten(4)]*[9.461*Ten(15)]
=1.89*Ten(20)_m

銀河の質量分布がすべて中心にあると仮定すると、

 M=[1.50*Ten(10)]*[1.89*Ten(20)]*[2*Ten(5)]^2=1.13*Ten(41)_kg .

 M/太陽質量~Ten(11)=1000億

実際のデータ 我々の銀河系全体の質量/太陽質量~2*Ten(12)=2兆

◇バイクの等速円運動◇

◎ バイクでコーナーを曲がる

◆ バイクが、水平道路上を等速円運動をする 回転半径 r 速さ v 人間とバイクの質量の和 m 道路からの抗力(垂直方向上向き) N 道路とバイクの摩擦力 F

道路の摩擦係数 1

バイクの道路との接点と、人間とバイクの質量の中心(重心)とが鉛直方向と作る角 a

■ つり合い m*g=N & m*v^2/r=F

傾く角度 tan(a)=F/N=(m*v^2/r)/(m*g)=v^2/(g*r) .

速さと回転半径が決まれば、傾く角度が決まる。

■ 摩擦力 F の最大値 F_max=N これ以上の摩擦力は生じない

最大の傾く角度 a_max tan(a_max)=F_max/N=N/N=1

回転半径が定まっているときの、速さの最大値 v_max

 1=tan(a_max)=v_max^2/(g*r)

 v_max=root(g*r) .

■ g=9.8_m/sec^2 r_m v_max_km/h とすれば、

 v_max*Ten(3)/60^2=root(9.8*r)

 v_max=root(9.8)*3.6*root(r)~11.3*root(r)_km/sec .

『バイクの転倒しないための最高速度』 2016/5

r_m

1_m

5_m

10_m

50_m

100_m

v_max_km/h

11_km/h

25_km/h

36_km/h

80_km/h

113_km/h

例えば、回転半径 10_m の場合、時速 36km 以上出すと、必ずスリップして転倒するという意味。

回転半径 5_m程度のヘアピンなら、時速20kmをめどにスピードダウンすべき!

■ 速さを定めたときに、転倒しないで等速円運動をするための、最小の回転半径 r_min

 r_min=v^2/(9.8*3.6^2)~0.0079*v^2_m .

『バイクの転倒しないための最少回転半径』 2016/5

時速

10

20

30

40

50

60

80

100

回転半径(m)

0.8_m

3_m

7_m

13_m

20_m

28_m

51_m

79_m

例えば、時速50kmで走るのなら、回転半径 20_m より急なカーブで曲がると、必ずスリップして転倒するという意味。

◇中心力による円運動◇

◎ 中心力によって等速円運動をする速さと半径の関係

◆ 1質点[質量 m] 等速円運動[半径 r 速さ v] 中心力の大きさ Fc=k*r^h

加速度 Ac=v^2/r

■ 運動方程式 Fc=m*Ac k*r^h=m*v^2/r

 v=root(k/m)*r^(h+1)/2 


◎ 等速円運動をする軌道は安定しているのか

◆ 速さは変えないで、半径が微少量大きくなったとする r -> r+Δr |Δr/r|<<1

半径 r での中心力の大きさ Fc(r) 遠心力の大きさ Fout(r)

■ r で Fc(r)=k*r^h Fout(r)=m*[(k/m)*r^(h+1)]/r=k*r^h Fc(r)=Fout(r)

r+Δr で Fc(r+Δr)=k*(r+Δr)^h=k*r^(h-1)*(r+h*Δr)

 Fc(r+Δr)/Fc(r)=[k*r^(h-1)*(r+h*Δr)]/(k*r^h)=1+h*Δr/r

遠心力は、速さは変わらず、半径だけが変わる場合を求めているから、

 Fout(r+Δr)
=m*[(k/m)*r^(h+1)]/(r+Δr)
=k*r^(h+1)*(1-Δr/r)/r
=k*r^(h-1)*(r-Δr)

 Fout(r+Δr)/Fout(r)=[k*r^(h-1)*(r-Δr)]/(k*r^h)=1-Δr/r

≫ 中心力 Fc(r+Δr)/Fc(r)=1+h*Δr/r 遠心力 Fout(r+Δr)/Fout(r)=1-Δr/r 

▲ h=1 のとき ▼

 Fc(r+Δr)/Fc(r)=1+Δr/r Fout(r+Δr)/Fout(r)=1-Δr/r

Δr>0 で Fc(r+Δr)>Fout(r+Δr)

 外側に出たときには、中心力が遠心力より大きくなり、内側の軌道に戻る

Δr<0 で Fc(r+Δr)<Fout(r+Δr)

 内側にずれたときには、遠心力が中心力より大きくなり、外側の軌道に戻る

Fc ∝ r のとき、等速円運動の軌道は安定している(小さな軌道のずれがあったときに、元に戻ろうとする) 

▲ h=-2 のとき ▼

 Fc(r+Δr)/Fc(r)=1-2*Δr/r Fout(r+Δr)/Fout(r)=1-Δr/r

Δr>0 で 中心力も遠心力も小さくなるが、中心力の減り方の方が大きいから、遠心力が勝ってしまう。より外側の軌道に移ろうとする。

Δr<0 で 中心力も遠心力も大きくなるが、中心力の増え方の方が大きいから、中心力が勝ってしまう。より内側の軌道に移ろうとする。

Fc ∝ 1/r^2 のとき、等速円運動の軌道は安定していない。軌道はすぐずれる傾向がある。  {中学校の時から悩んできた謎の結論が一応出た!2015/8}

▲ h=-1 のとき ▼

 Fc(r+Δr)/Fc(r)=1-Δr/r Fout(r+Δr)/Fout(r)=1-Δr/r

Δr>0 で 中心力も遠心力も小さくなるが、大きさは等しくなる。また、その軌道で、中心力と遠心力がつり合ってしまう。Δr<0 のときも同様。 

◇3質点(正三角形)の円運動-重力◇

 

 

 

◆ 以下、このページでは、

・すべて質点が1平面内にある

・その平面内で円運動をしている 半径 r

・質量は同じ m

・力は中心力のみ

・質量の中心を軸に回転する そこを原点とする 半径 r

・エネルギーの時間的変化はない @K=K @U=U◎ 同質量の3質点が、正三角形を保ったまま、重力を及ぼしあい、円運動をする。

◆ 正三角形の頂点に質点 1辺の長さ L 回転半径 r=(root3/3)*L

■ 1つの質点が、別の1質点から受ける力 f
1つの質点が、別の2つの質点から受ける力 F

 f=G*m^2/L^2 F=root3*f=root3*G*m^2/L^2

※F の方向は、回転の中心

 m*v^2/r=root3*G*m^2/L^2

 m*v^2
=root3*G*m^2*r/L^2
=root3*G*m^2*(root3/3)*L/L^2
=G*m^2/L

 K=3*(1/2)*m*v^2=(3/2)*G*m^2/L

また U=-3*(G*m^2/L)=-3*G*m^2/L

 2*@K+@U=0 が成り立っている。

※運動エネルギーK は、3質点分、位置エネルギーは、(2質点間に働く)*3

☆一様な重力場での円運動☆

◎ ひもの先に石をつけ振り回す、鉄棒で大車輪、ジュットコースター宙返り

◇ cos(a)=Ca sin(a)=Sa tan(a)=Ta

◆ 1質点(質量 m) 鉛直方向の円運動(半径 r) 真下からの角度 a

中心力(張力) T(a)*m*g 重力 m*g 速さ V(a)

■ 運動方程式、真上で m*V(Pi)^2/r=m*g*[T(Pi)+1] @

真下で m*V(0)^2/r=m*g*[T(0)-1] A

エネルギー保存 (1/2)*m*V(Pi)^2+2*r*m*g=(1/2)*m*V(0)^2 B

Bより V(0)^2-V(Pi)^2=4*g*r これと@Aより、

 g*r*[T(0)-1]-g*r*[T(Pi)+1]=4*g*r

 T(0)-T(Pi)=6  真下と真上の張力の差(単位 m*g)

■ 張力がヒモなどのとき、床の抗力などのとき T(Pi)>0 or T(Pi)=0

T(Pi)=0 のとき T(0)=6

 V(Pi)=root(g*r) V(0)=root(5*g*r)

 真下での遠心力=m*V(0)^2/r=5*m*g  最小値

▲ V(Pi)<root(g*r) だと、円運動を維持できない。

▲ 遠心力は、回転半径に依らない。

■ 棒や人間のとき 真上で、重さを支えられるとき T(Pi)<0 で構わない

ただし、@より -1≦T(Pi)

T(Pi)=-1 のとき T(0)=5

 V(Pi)=0 V(0)=root(4*g*r) 真下での遠心力=4*m*g  最小値

▲ 真上で瞬間静止してよい。

▲ 真下で、ひもには、遠心力+質量分=5*m*g の力がかかる。

体操の鉄棒の大車輪では、真下で、自分の体重の5倍の力がかかる。普通の人は、自分の体重の2倍〜3倍を支えるのが精一杯だろうから、大車輪はできない{!}

{きっちりまとめることができた!2014/3}

☆人工衛星の速さ☆

◎ 人工衛星の速さ

◆ 地球の表面上高さ H 質量 m 速さ v_m/sec 円運動

地球の半径(赤道) Re=6.378*Ten(6)_m 地球の重力加速度{定義値}=9.807_m/sec^2

■ v^2/(Re+H)=g*[Re/(Re+H)]^2

 v=root(g*Re)*root[Re/(Re+H)]

ここで root(g*Re)=root[9.807*6.378*Ten(6)]=7.909*Ten(3)_m

 v=7.909*Ten(3)*root[Re/(Re+H)]_m/sec

★ H=200_km のとき、

 root[Re/(Re+H)]=root(6378/6578)~0.9847

 v=7.909*Ten(3)*0.9847~7.788_m/sec 

◇密度一定の球が作る重力場での等速円運動◇

◎ 質量が一様に広がる球の内外での等速円運動

◆ 質点[質量 m] 等速円運動[半径 r 速さ v]

球[中心:原点 半径 R 密度 ρ=一定 全質量 M=(4/3)*ρ*Pi*R^3]

半径 r の位置の重力場、重力ポテンシャル <G(r)> , φ(r)

■ 運動方程式 m*v^2/r=m*G(r)

 v=root[r*G(r)] 

▲ r>R のとき ▼

 v=root(G*M/r)  外側ほど遅い

▲ r<R のとき ▼

 v=root(G*M/R^3)*r  外側ほど速い

◇気体モデルの球が作る重力場での等速円運動

◎ 密度 ∝ 1/r^2 球 銀河の回転 暗黒物質

◆ 球 中心:原点 半径 R 全質量 M 密度 ρ=M/(4Pi*R)/r^2

半径 r の位置の重力場、重力ポテンシャル <G(r)>=-<ru>*(G*M/R)/r

質点[質量 m] 等速円運動[半径 r〔r<R〕 速さ v]

■ 運動方程式 m*v^2/r=m*(G*M/R)/r

 v=root(G*M/R)=一定  銀河の回転のモデル(暗黒物質がある証拠)

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