☆ Maxwell方程式.電位とベクトルポテンシャル ☆

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〇 電位とベクトルポテンシャルを使って、マクスウェル方程式を表す　ローレンツゲージ　2022.7-2012.2　Yuji.W　★　2022.7-2012.2　Yuji.W

◇ 2*3=6　6/2=3　3^2=9　Ten(3)=10^3=1000　　000 py- 0table　
微分 ;　偏微分 :　積分 $　定積分 ${f(x)*dx 〔x|0~1〕}
ネイピア数 e　虚数単位 i　e^(i*x)=expi(x)
ベクトル <A>　|<A>|=A　<A>/A=<Au>　積 3*<A>　内積 <A>*<B>　外積 <A>#<B>　

◇ (3|=2.99792458　光速 c=(3|*Ten(8)_m/sec
速さ(対光速比) b　相対論効果率 Γ(b)=1/root(1-b^2)　Γ(b)*b=Λ(b)　

◇ (1.6|=1.6021766208　素電荷 qe=(1.6|*Ten(-19)_C=(1.6|*(3|*Ten(-10)_esu

クーロン力定数 ke=1/(4*Pi*ε0)=(3|^2*Ten(9)~8.99*Ten(9)_N*m^2/C^2　

CGS静電単位系で　ke=1_無次元　I=1_A ⇔ I/c=0.1_esu/cm
　Bcgs 1_G ⇔ 磁場 B=Ten(-4)_T ⇔ 磁場(光速倍) cB=(3|*Ten(4)_N/C　　　　2202.7

〓  電磁気に関する方程式　〓　微分 ;　偏微分 :　　22.6

▢ 電荷密度 ρ　電流(面)密度 <j>　電場 <E>　磁場 <B>　クーロン力定数 ke　

▷ Maxwell方程式

　① div<E>=4*Pi*ke*ρ　② <curl<E>>=-<B>:t

　③ div<B>=0　④ <curl<B>>=(4*Pi*ke/c^2)*<j>+(<E>:t)/c^2

 国際単位系(SI系)　ε0=1/(4*Pi*ke)　μ0=4*Pi*ke/c^2　ε0*μ0*c^2=1　

　① div<E>=ρ/ε0　② <curl<E>>=-<B>:t

　③ div<B>=0　④ <curl<B>>=μ0*<j>+(<E>:t)/c^2

 CGS静電単位系　ke=1　<Bcgs> ⇔ c*<B>　<Acgs> ⇔ c*<A>

　① div<E>=4*Pi*ρ　② <curl<E>>=-(<Bcgs>:t)/c

　③ div<B>=0　④ <curl<Bcgs>>=(4*Pi/c)*<j>+(<E>:t)/c

▷ 電荷の保存　div<j>=-ρ:t

▷ 電位 φ　ベクトルポテンシャル <A>　

　<E>=-grad(φ)-<A>:t　<B>=<curl<A>>　

▷ 電荷 q　速度(対光速比) <b>　ローレンツ力 <F>=q*(<E>+c*<b>#<B>)

〓　ゲージ変換　〓　

▢ 電磁ポテンシャル　電位 φ　ベクトルポテンシャル <A>

電場 <E>=-<grad(φ)>-<A>:t　磁場 <B>=<curl<A>>　

任意のスカラー関数 f(t,x,y,z) を使って、新しい電位とベクトルポテンシャルを作る。

　\φ=φ-f:t　<\A>=<A>+<grad(f)>　★　ゲージ変換

　<\E>=-<grad(\φ)>-<\A>:t　<\B>=<curl<\A>>　

このとき　<\E>=<E> , <\B>=<B>　★　

▷ <grad(\φ)>=<grad(φ)>-<grad(f:t)>

また　<\A>:t=<A>:t+<grad(f)>:t=<A>:t+<grad(f:t)>

　<\E>
=-grad(\φ)-<\A>:t　
=-<grad(φ)>+<grad(f:t)>-<A>:t-<grad(f:t)>
=-<grad(φ)>-<A>:t　
=<E>　

≫　<\E>=<E>　

▷ <\B>=<curl<\A>>=<curl<A>>+<curl<grad(f)>>

任意の関数 f に対して　<curl<grad(f)>>=0　だから、

　<\B>=<curl<A>>=<B>

≫　<\B>=<B>

〓　マクスウェル方程式を電位とベクトルポテンシャルで表す　〓　

▢ 電場 <E>　磁場 <B>　電位 φ　ベクトルポテンシャル <A>

{定義}　<E>=-<grad(φ)>-<A>:t　<B>=<curl<A>>　

▷ <E> の curl をとると、
　<curl<E>>=-<curl<grad(φ)>-<curl(<A>:t)>

任意のスカラー関数 f(t,x,y,z) に対して　<curl<grad(f)>=0　

また　<curl(<A>:t)>=<curl<A>>:t

⇒　<curl<E>>=-<curl(<A>:t)>=-<B>:t　★　Maxwell方程式の ② を満たす

▷ div<B>=div<curl<A>>

任意のベクトル <A> に対して　div<curl<A>>=0　だから、

　div<B>=0　★　Maxwell方程式の ③ を満たす

▲ <E>=-<grad(φ)>-<A>:t　<B>=<curl<A>>　と定義する事で、Maxwell方程式の ② と ③ を、自動的に満たす事がわかった。

▷ 次に、マクスウェル方程式の①と④を、電位とベクトルポテンシャルで表すことを考える。

Maxwell方程式 ① div<E>=4*Pi*ke*ρ　を使いたい。

　<E>=-<grad(φ)>-<A>:t

　div<E>=-div<grad(φ)>-div(<A>:t)

ラプラシアン △ を使って　div<grad(φ)>=△φ

また　div(<A>:t)=(div<A>):t

⇒　div<E>=-△φ-(div<A>):t

Maxwell方程式 ① を使って、

　4*Pi*ke*ρ=-△φ-(div<A>):t

　△φ+(div<A>):t=-4*Pi*ke*ρ

ローレンツゲージ　div<A>+(φ:t)/c^2=0　を使うと、

　△φ-(φ::t)/c^2=-4*Pi*ke*ρ　★　

▷ Maxwell方程式 ④ <curl<B>>=(4*Pi*ke/c^2)*<j>+(<E>:t)/c^2　を使いたい。

　<B>=<curl<A>>　

　<curl<B>=<curl<curl<A>>>　

ここで　任意のベクトル <A> に対して、

　<curl<curl<A>>>=-<△<A>>+<grad(div<A>)>　だから、

　<curl<B>=-<△<A>>+<grad(div<A>)>　

Maxwell方程式 ④ を使って、

　(4*Pi*ke/c^2)*<j>+(<E>:t)/c^2=-<△<A>>+<grad(div<A>)>　

　<△<A>>+(<E>:t)/c^2-<grad(div<A>)>=-(4*Pi*ke/c^2)*<j>　

ローレンツゲージ　div<A>+(φ:t)/c^2=0　を使うと、

　<△<A>>+(<E>:t)/c^2+<grad(φ:t)>/c^2=-(4*Pi*ke/c^2)*<j>　

　<△<A>>+[(<E>+<grad(φ)>):t]/c^2=-(4*Pi*ke/c^2)*<j>　★　

ここで　<E>=-grad(φ)-<A>:t　だったから、

　<△<A>>-(<A>::t)/c^2=-(4*Pi*ke/c^2)*<j>　★　

{すばらしい!美しい!22.6}

〓　Maxwell方程式.電位とベクトルポテンシャル　〓　時間微分 :t　　22.6

▢ 電荷密度 ρ　電流(面)密度 <j>　電場 <E>　磁場 <B>　

電位 φ　ベクトルポテンシャル <A>　クーロン力定数 ke　

ローレンツゲージ　div<A>+(φ:t)/c^2=0　

● Maxwell方程式　① div<E>=4*Pi*ke*ρ　② <curl<E>>=-<B>:t　
　③ div<B>=0　④ <curl<B>>=(4*Pi*ke/c^2)*<j>+(<E>:t)/c^2

▷ Maxwell方程式の ②③ は、自動的に満たす

 Maxwell方程式①　⇒　△φ-(φ::t)/c^2=-4*Pi*ke*ρ

 Maxwell方程式④　⇒　<△<A>>-(<A>::t)/c^2=-(4*Pi*ke/c^2)*<j>　

▷ 国際単位系(SI系)　ε0=1/(4*Pi*ke)　μ0=4*Pi*ke/c^2　ε0*μ0*c^2=1　

　△φ-(φ::t)/c^2=-ρ/ε0　<△<A>>-(<A>::t)/c^2=-μ0*<j>　

CGS静電単位系　ke=1　<Bcgs> ⇔ c*<B>　<Acgs> ⇔ c*<A>

　△φ-(φ::t)/c^2=-4*Pi*ρ　<△<Acgs>>-(<Acgs>::t)/c^2=-4*Pi*<j>/c　

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