山と宇宙とバスケ>お勉強>物理>電磁気  2014/4-2012/2 Yuji.W

☆電磁ポテンシャルのMaxwell方程式☆

◎ Maxwell方程式を、電位φ、ベクトルポテンシャル<A>を使って表す

◇表示のお約束◇ ベクトル<x,y> 単位ベクトル<xu> 縦ベクトル<x|y)
内積* 外積# 微分;x 時間微分' e^(i*x)=expi(x) 10^x=Ten(x)
cos(a)=Ca sin(a)=Sa tan(a)=Ta 
.<物理定数> 2014/4

☆電磁ポテンシャルの Maxwell方程式-このページの結論☆

「Maxwell方程式をφと<A>で書き直した式」時間微分' ε0*μ0*c^2=1

■  <E>=-<grad(φ)>-<A>' <B>=<curl<A>>

■  △φ-φ''/c^2=-ρ/ε0

 △<A>-<A>''/c^2=-μ0*<j>

 div<A>+φ'/c^2=0 ローレンツゲージ

■  △f=f''/c^2 を満たす任意の式 f で、

 <A>+<grad(f)> と φ-f' は、<A> と φ と、同じ電磁場を作る

■  静電磁場で

 △φ=-ρ/ε0 △<A>=-μ0*<j> div<A>=0

☆電磁ポテンシャルの Maxwell方程式を作る☆

■ Maxwell's equations 電荷密度 ρ 電流(面)密度 <j>

@ div<E>=ρ/ε0

A <curl<E>>=-<B>'

B div<B>=0 <B>=<curl<A>> と書ける。

C c^2*<curl<B>>=<j>/ε0+<E>'

◎ 電磁ポテンシャル(電位、ベクトルポテンシャル)を使う

〓◆ <E>=-<grad(φ)>-<A>' <B>=<curl<A>> とする

Maxwell方程式の <E>と<B>を消去すればよい

■ @の左辺=-div<grad(φ)>-div(<A>')=-△φ-div(<A>)'

@は △φ+div(<A>)'=-ρ/ε0 .

■ Aの左辺=-curl<grad(φ)>-<curl(<A>')>=-<curl<A>>'=-<B>'

自動的に、Aを満たしている

■ Bの左辺=div<curl<A>>=0 自動的にBを満たしている

■ Cの左辺=c^2*<curl<curl<A>>>

● <curl<curl<A>>>=<grad(div<A>)>-△<A>

 Cの左辺=c^2*<grad(div<A>)>-c^2*△<A>

 Cの右辺=<j>/ε0+<E>'=<j>/ε0-<grad(φ)>'-<A>''

 c^2*<grad(div<A>)>-c^2*△<A>=<j>/ε0-<grad(φ)>'-<A>''

 +c^2*△<A>-<A>''-<grad(c^2*div<A>+φ')>=-<j>/ε0

 △<A>-<A>''/c^2-<grad(div<A>+φ'/c^2)>=-μ0*<j>

ここで、φ、<A>の不定性を使って、

 div<A>+φ'/c^2=0 ローレンツゲージ とすれば、

 △<A>-<A>''/c^2=-μ0*<j> .

「電磁ポテンシャルで表した Maxwell方程式」

■ 電荷密度 ρ 電流(面)密度 <j> 電位 φ ベクトルポテンシャル <A>

@ △φ+(div<A>)'=-ρ/ε0

A △<A>-<A>''/c^2=-μ0*<j>

 ローレンツゲージ div<A>+φ'/c^2=0

 <E>=-<grad(φ)>-<A>' <B>=<curl<A>>

■ <A> を消去すると、

 △φ-φ''/c^2=-ρ/ε0 .

☆ゲージ変換☆

■ 任意の関数 f を使って、新しいベクトルポテンシャルと電位を作る。

旧電磁ポテンシャル φ,<A>

新電磁ポテンシャル \φ=φ-f' <\A>=<A>+<grad(f)>

2つの電磁ポテンシャルは、同じ電磁場を作る。

{確かめ}

 <\B>=<curl<\A>>
=<curl[<A>+<grad(f)>]>
=<curl<A>>+<curl<grad(f)>>
=<curl<A>>+0
=<curl<A>>
=<B>

 <\E>=-<grad(\φ)>-<\A>'
=-<grad(φ)>+<grad(f')>-(<A>+<grad(f)>)'
=-<grad(φ)>+<grad(f')>-<A>'-<grad(f')>
=-<grad(φ)>-<A>'
=<E>

☆Maxwell方程式@とCを、φと<A>で書き直す☆

◎ ローレンツのゲージを満たす、関数 f を求めよう。

元の電磁場 <E>,<B>,φ,<A> div<A>+φ'/c^2=0

新しい電磁場 <\E>,<\B>,\φ,<\A> div<\A>+\φ'/c^2=0

 <\A>=<A>+<grad(f)> \φ=φ-f' となっていれば、

 <\E>=<E> <\B>=<B> となる。

div<\A>+\φ'/c^2=0 より、

 div(<A>+<grad(f)>)+(φ'-f'')/c^2=0

 (div<A>+φ'/c^2)+(div<grad(f)>-f''/c^2=0

 △f=f''/c^2 -波動方程式。この式を満たす、任意の関数 f で変換された、新しい電磁場は、その値を変えない。

☆電磁波☆

■ ρ=0 の場 一次元進行波 △φ=φ;x;x

 φ;;x=φ''/c^2 X(x,t)=x-c*t φ=φ(X)=(Xの任意の関数)

{確かめ}φ;x=φ(X);X*X;x=φ(X);X φ;;x=φ(X);;X*X;x=φ(X);;X

 φ'=φ(X);X*X;t=-c*φ(X);X φ''=-c*φ(X);;X*X;t=+c^2*φ(X);;X

※φ=A*cos(x-c*t) でもいいし、φ=(x-c*t)^2 などでもいい{!}

. 電磁ポテンシャルのMaxwell方程式 .

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