物理　電磁気　2019/10-2012/1　Yuji.W

☆ 電磁気方程式 ☆

◎ Maxwell方程式 ★_

〔物理定数　定数.宇宙　力学の単位　電磁気の単位〕

〓　電磁気方程式(マクスウェル方程式)　〓 .

◇ クーロン力定数 ke=1/(4Pi*ε0)　μ0=1/(c^2*ε0)=4Pi*ke/c^2

▢ 電荷密度 ρ　電流(面)密度 <J>　電場 <E>　磁場 <B>

■ �@ div<E>=4Pi*ke*ρ　�A <curl<E>>=-<B>'
�B div<B>=0　�C <curl<B>>=4Pi*(ke/c^2)*<J>+<E>'/c^2

■ 国際単位系(SI系)で

�@ div<E>=ρ/ε0　�A <curl<E>>=-<B>'

�B div<B>=0　�C <curl<B>>=μ0*<J>+<E>'/c^2

■ CGS静電単位系で

�@ div<E>=4Pi*ρ　�A <curl<E>>=-<Bcgs>'/c

�B div<B>=0　�C <curl<Bcgs>>=(4Pi/c)*<J>+<E>'/c

■ 電荷の保存　div<J>=-ρ'

〓　古典物理　〓 .

■ 電荷の保存　div<J>=-ρ' ★_

力の法則　<F>=q*(<E>+<v>#<B>)

運動の法則　<p>'=<F>　ただし、<p>=m*<v>/root(1-v^2/c^2)

万有引力　<F>=-<ru>*G*M*m/r^2

〓　div,ガウスの定理　〓 .

■ div<A>=lim[体積->0]{$${<A>*<dS>}[閉曲面]/(閉曲面内の体積)}

■ <A>=<Ax Ay Az>　div<A>=Ax;x+Ay;y+Az;z

■ $$${div<A>*dV}[閉曲面内]=$${<A>*<dS>}[閉曲面]

〓　div<E>=4Pi*ke*ρ　〓 .　◇ 4Pi*ke=1/ε0

◎ なぜ、係数は　4Pi*ke　なのか?　

▢ 球電荷　半径 R　電荷密度 ρ=一定　体積 V　総電荷 Q=V*ρ

中心からの距離 r　r>R　そこでの電場 <E(r)>

■ <E(r)>=ke*Q/r^2　〔 クーロン力定数 ke=1/(4Pi*ε0) 〕

閉曲面:半径 r の球面　r>R

　$${<E(r)>*<dS>}[球面]=(ke*Q/r^2)*4Pi*r^2=4Pi*ke*Q　�@

球の内部で　div<E>=一定　だから、ガウスの定理より、

　$${<E(r)>*<dS>}[球面]=$$${div<E>*dV}[球]=div<E>*V　�A

�@�Aより　4Pi*ke*Q=div<E>*V

ここで　Q/V=ρ　だから、

　div<E>=4Pi*ke*(Q/V)=4Pi*ke*ρ=ρ/ε0 ★_

{矛盾がない、整合性が取れてる事が確認できた!2018/6}

〓　循環,curl,ストークスの定理　〓 .

■ <curl<A>>のz成分=lim[面積->0]{(z軸に対する循環)/(閉曲線内の面積)}

■ <curl<A>>=<Az;y-Ay;z　Ax;z-Az;x　Ay;x-Ax;y>

■ $${<curl<A>>*<dS>}[閉曲線内]=${<A>*<ds>}[閉曲線]

〓　定常状態で　<curl<E>>=0　〓 .

■ 定常状態で　<curl<E>>=-<B>'=0

仮に　0　でない場合を考える。

<E>の循環が　0　でない領域がある事を意味する。<E>を閉曲線で線積分をすると　0　でない領域があるという事だ。

<E>は単位電荷に働く力の大きさと方向を表している。<E>の線積分は、単位電荷をその方向に動かした場合の、エネルギーの変化量を表す。<E>を閉曲線で線積分をすると　0　でない領域があるという事は、その閉曲線でぐるっと一周すると、エネルギーの増減があるということだ。一周でなく、それを繰り返せば、エネルギーの変化量は増し、最後は無限大になってしまう。

そういう事は起きてはならない。したがって、

定常状態で　<curl<E>>=0 ★_

■ 磁場についてはどうだろう。

<B>は電荷に働く大きさと方向を直接表してはいない。力の方向は　<B>の方向ではなく、<B>に対して垂直の方向である。エネルギーの増減に寄与しない。したがって、

　<curl<B>>=0　でない領域があっても、構わない。

〓　磁荷がないこと　〓 .

@ �Bは　磁荷がないことを意味している

■ �A <curl<E>>=-<B>'

div をとると　左辺=div<curl<E>>=0

　右辺=-div(<B>')=-(div<B>)'

ここで　�B div<B>=0　より　右辺=-0'=0

⇒　�Bは �Aの発散と矛盾しない

〓　電荷の保存　〓 .

■ �C <curl<B>>=μ0*<J>+<E>'/c^2

div をとると　左辺=div<curl<B>>=0

　右辺=μ0*div<J>+div<E>'/c^2

ここで　�@ div<E>=ρ/ε0　を使えば　div(<E>')=(div<E>)'=ρ'/ε0　だから、

　右辺=μ0*div<J>+ρ'/(ε0*c^2)=μ0*div<J>+μ0*ρ'

よって　0=μ0*div<J>+μ0*ρ'

　div<J>=-ρ'

　div<J>=-ρ' ★_電荷の保存則

〓　波動方程式　〓 .

▢ 真空中　ρ=0　&　<J>=0

�@ div<E>=0　�A <curl<E>>=-<B>'　�B div<B>=0　�C <curl<B>>=<E>'/c^2

■ �A の curl をとると、

　左辺=<curl<curl<E>>>

ここで、任意のベクトルに対して　<curl<curl<>>>=<grad(div<>)>-Δ<>　だから、

　左辺=<GD<E>>-△<E>=-△<E>

一方　右辺=-<curl(<B>')>=-(<curl<B>>)'ここで �C を使えば、

　右辺=-<E>''/c^2

よって　-△<E>=-<E>''/c^2

　△<E>-<E>''/c^2=0 ★_電場の波動方程式　電場は真空中を速さ c で伝わる

■ �Cの curl をとると、

　左辺=<curlC<B>>=GD<B>-△<B>　※ 任意のベクトルに対して　<curl<curl<>>>=<grad(div<>)>-Δ<>　

ここで、�Bを使って　左辺=-△<B>

一方　右辺=<curl(<E>')>/c^2=(<curl<E>>)'/c^2=-<B>''/c^2

よって　-△<B>=-<B>''/c^2

　△<B>-<B>''/c^2=0 ★_磁場の波動方程式　磁場は真空中を速さ c で伝わる

〓　電荷の保存　〓 .

■ 電荷密度 ρ　電荷の数密度 N　電荷 +q　電荷の平均移動速度 <v>

　ρ=N*q

電流(面)密度 <J>=(単位面積、単位時間に過ぎる電荷量)=ρ*<v>=N*q*<v>

　電流 I=$${<J>*<dS>}

電荷は保存されるから、

　$${<J>*<dS>}[任意の閉曲面]=-Q(領域内)'

ガウスの定理より、左辺=$$${div<J>*dV}[領域]

右辺=-$$${ρ*dV}'　したがって、

　div<J>=-ρ' ★

■ マクスウェル方程式から、電荷の保存則を求める。

方程式�C c^2*<curl<B>>=<J>/ε0+<E>'　divをとると、

左辺∝div<curl<B>>=0
(右辺)*ε0=div<J>+ε0*div<E>'=div<J>+ε0*[div<E>]'

方程式�@を使うと、div<J>=-ρ'

〓　�Cの<E>'　〓 .

★ 電荷が中心にたくさんあり、そこから球対称に流れ出ていくとする。磁場は生まれるだろうか。(直線に流れる電流は、もちろん磁場を作った！)

■ 半径r内の全電荷Q(r)　電流密度のr方向の成分j(r) とすると、電荷保存の法則より、

4Pi*r^2*j(r)=-Q(r)' -> j(r)/ε0=-{1/[4Pi*ε0]}Q'/r^2

また、E={1/[4Pi*ε0]}Q(r)/r^2 だから、方程式�Cより、

c^2*<curl<B>>=<J>/ε0+<E>'
=-{1/[4Pi*ε0]}Q'/r^2+{1/[4Pi*ε0]}Q'/r^2=0

外側に流れ出る電流による磁場と、電荷が減り、電場が弱くなることによる磁場が相殺されてしまい、磁場は生まれない。

■ 充電中の、平板コンデンサーの近くの磁場を考えてみよう。

極板上の電荷Q

電線の電流I=Q'　電線の周りに磁場を作る。

電線の周りには、電場はない。電流による磁場ができる。電線を囲む、半径rの円を考えて、B={1/[4Pi*ε0*c^2]}2I/r

コンデンサーの間を通る、半径rの円を考えてみる。電流は流れていないが、電束の変化があるので、磁場が生まれる。

�@ div<E>=ρ/ε0 より、<E>=Q/ε0

�C c^2*<curl<B>>=<J>/ε0+<E>' の式で、

　左辺=c^2*2(pi)rB　右辺=0+Q'/ε0=I/ε0　だから、

　B={1/[4Pi*ε0*c^2]}2I/r

電線の周りの磁場とコンデンサーの間の磁場は等しい。

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