お勉強しようUz〕 物理 電磁気

2017/4-2012/1 Yuji.W

☆マクスウェル方程式☆

_ マクスウェル方程式 _〔物理定数

★ ベクトル <> 単位ベクトル <-u> 縦ベクトル <) 内積 * 外積 #
 微分 ; 
時間微分 ' 積分 $ 10^x=Ten(x) exp(i*x)=expi(x)

【国際単位系(SI系)】クーロン力定数 ke=1/(4Pi*ε0) ke/c^2=μ0/4Pi=Ten(-7)
 電場 <E> 磁場 <B> ベクトルポテンシャル <A>

【CGS静電単位系】ke=1_無次元 <Bcgs>=c*<B> <Acgs>=c*<A>

★ 速さ(対光速比) b 相対論的効果率 Γ(b)=1/root(1-b^2)
 運動量(光速倍) pc 質量(光速の2乗倍) @m 時間(光速倍) tc

☆マクスウェル方程式☆

『マクスウェル方程式』

◆ 電荷密度 ρ 電流(面)密度 <J> 電場 <E> 磁場 <B>

■ @ div<E>=4Pi*ke*ρ A <curl<E>>=-<B>'
B div<B>=0 C <curl<B>>=(4Pi*ke/c^2)*<J>+<E>'/c^2

■ 国際単位系(SI系)で @ div<E>=ρ/ε0 A <curl<E>>=-<B>'
B div<B>=0 C <curl<B>>=μ0*<J>+<E>'/c^2

■ CGS静電単位系で @ div<E>=4Pi*ρ A <curl<E>>=-<Bcgs>'/c
B div<B>=0 C <curl<Bcgs>>=(4Pi/c)*<J>+<E>'/c

{やっと整理できた!2016/12}

☆古典物理☆

■ 電荷の保存 div<J>=-ρ'

力の法則 <F>=q*(<E>+<v>#<B>)

運動の法則 <p>'=<F> ただし、<p>=m*<v>/root(1-v^2/c^2)

万有引力 <F>=-<ru>*G*M*m/r^2

☆電荷の保存☆

■ 電荷密度 ρ 電荷の数密度 N 電荷 +q 電荷の平均移動速度 <v>

 ρ=N*q

電流(面)密度 <J>=(単位面積、単位時間に過ぎる電荷量)=ρ*<v>=N*q*<v>

 電流 I=$${<J>*<dS>}

電荷は保存されるから、

 $${<J>*<dS>}[任意の閉曲面]=-Q(領域内)'

ガウスの定理より、左辺=$$${div<J>*dV}[領域]

右辺=-$$${ρ*dV}' したがって、

 div<J>=-ρ'

■ マクスウェル方程式から、電荷の保存則を求める。

方程式C c^2*<curl<B>>=<J>/ε0+<E>' divをとると、

左辺∝div<curl<B>>=0
(右辺)*ε0=div<J>+ε0*div<E>'=div<J>+ε0*[div<E>]'

方程式@を使うと、div<J>=-ρ'

☆Cの<E>'☆

電荷が中心にたくさんあり、そこから球対称に流れ出ていくとする。磁場は生まれるだろうか。(直線に流れる電流は、もちろん磁場を作った!)

■ 半径r内の全電荷Q(r) 電流密度のr方向の成分j(r) とすると、電荷保存の法則より、

4Pi*r^2*j(r)=-Q(r)' -> j(r)/ε0=-{1/[4Pi*ε0]}Q'/r^2

また、E={1/[4Pi*ε0]}Q(r)/r^2 だから、方程式Cより、

c^2*<curl<B>>=<J>/ε0+<E>'
=-{1/[4Pi*ε0]}Q'/r^2+{1/[4Pi*ε0]}Q'/r^2=0

外側に流れ出る電流による磁場と、電荷が減り、電場が弱くなることによる磁場が相殺されてしまい、磁場は生まれない。

■ 充電中の、平板コンデンサーの近くの磁場を考えてみよう。

極板上の電荷Q

電線の電流I=Q' 電線の周りに磁場を作る。

電線の周りには、電場はない。電流による磁場ができる。電線を囲む、半径rの円を考えて、B={1/[4Pi*ε0*c^2]}2I/r

コンデンサーの間を通る、半径rの円を考えてみる。電流は流れていないが、電束の変化があるので、磁場が生まれる。

@ div<E>=ρ/ε0 より、<E>=Q/ε0

C c^2*<curl<B>>=<J>/ε0+<E>' の式で、

 左辺=c^2*2(pi)rB 右辺=0+Q'/ε0=I/ε0 だから、

 B={1/[4Pi*ε0*c^2]}2I/r

電線の周りの磁場とコンデンサーの間の磁場は等しい。

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