お勉強しようUz〕 物理 電磁気

2017/1-2012/2 Yuji.W

☆ローレンツ力☆

. Lorentz力 電荷を持つ粒子が、電場や磁場から受ける力 _

★ ベクトル <> 単位ベクトル <-u> 縦ベクトル <) 内積 * 外積 #
 微分 ; 
時間微分 ' 積分 $ 10^x=Ten(x) exp(i*x)=expi(x)

【国際単位系(SI系)】クーロン力定数 ke=1/(4Pi*ε0) ke/c^2=μ0/4Pi
 電場 <E> 磁場 <B> ベクトルポテンシャル <A>

【CGS静電単位系】ke=1_無次元 <Bcgs>=c*<B> <Acgs>=c*<A>

★ 速さ(対光速比) b 相対論的効果率 Γ(b)=1/root(1-b^2)
 運動量(光速倍) pc 質量(光速の2乗倍) @m 時間(光速倍) tc

☆ローレンツ力☆

◎ 電荷がある場には、電場や磁場が生まれる。他の電荷は、電場や磁場から力を受ける。電荷が動いていても静止していても同じように受ける力は、電場から受けていると考える。電荷が動いているときに、その速さに比例する力は、磁場から受けると考える。

◆ 慣性系 電場 <E> 磁場 <B>

その系で動く電荷 +q 速度 <v> 電荷が受ける電磁気力 <F>

■ 国際単位系(SI系)で <F>=q*(<E>+<v>#<B>) _

CGS静電単位系で <F>=q*(<E>+<v>#<Bcgs>/c)

{復習}ローレンツ変換

『ローレンツ変換』 2017/1

◇ 速さ(対光速比) b.=v./c Γ(b.)=1/root(1-b.^2) 時間(光速倍) tc

◆ 2つの慣性系 x系,X系

・x軸とX軸とは重なる y軸‖Y軸 z軸‖Z軸 軸の正負の方向は同じ
・X系は、x軸の正の方向に動く 速さ(対光速比) b.
・原点が重なる時刻 0

ある事象が起きた時刻と位置 X系で <Tc X Y Z) x系で <tc x y z)

■ x=Γ(b.)*(X+b.*Tc) tc=Γ(b.)*(Tc+b.*X) y=Y z=Z

『動いている電場』 2017/1

◆ 2つの慣性系 X系で静止している電荷によって作られた電場 <EKx EKy EKz> x系で観測した電場 <Ex Ey Ez>
■ Ex=EKx Ey=Γ*EKy Ez=Γ*EKz 動いている電場は強くなる

『粒子系.力の関係』 2017/1

◆ 2つの慣性系 x系,O系 時刻 0 のみ考える

x系 粒子に働く力 <F>=<Fx Fy Fz> 粒子の速度(対光速比) <bx 0 0>

粒子静止系(O系) 粒子は時刻 0 で原点にあり静止している
粒子に働く力 <F>=<FOx FOy FOz>

 Γ=1/root(1-bx^2)

■ Fx=FOx Fy=FOy/Γ Fz=FOz/Γ 粒子静止系(O系)の力が最大

◇動いている電荷◇

● 静止している電荷 ガウスの法則

 ${<E>*<dS>}[電荷を囲む任意の閉曲面上]=4Pi*ke*q

■ 動いている電荷を、次のように定義する。

ある慣性系のある時刻において、その電荷を囲む任意の閉曲面(その慣性系で静止している)を考える。

 q=[1/(4Pi*ke)]*${<E>*<dS>}[閉曲面上]

◇動いている電荷が電場から受ける力◇

◎ 動いている電荷が、静止している電場から受ける力

◆ 慣性系 x系で
静止している電荷によって作られた電場 <E>=<xu>*Ex+<yu>*Ey
動いている電荷 q 時刻 0 で原点にあり、x軸方向に動いている そのときに電荷が受ける力 <F>=<xu>*Fx+<yu>*Fy

電荷と共に動く慣性系 粒子静止系(O系) 時刻 0 で原点に静止している(その瞬間のみ考える) X系に作られた電場 <EO>=<xu>*EOx+<yu>*EOy
電荷が受ける力 <FO>=<xu>*FOx+<yu>*FOy

 Γ(v/c)=1/root[1-(v/c)^2]

■ 粒子静止系(O系)で FOx=q*EOx FOy=q*EOy

動いている電場は強くなるから EOx=Ex EOy=Γ*Ey

粒子静止系(O系)の力が最大だから FOx=Fx FOy=Γ*Fy

まとめて Fx=FOx=q*EOx=q*Ex & Fy=FOy/Γ=q*EOy/Γ=q*(Γ*Ey)/Γ=q*Ey

 <F>=<xu>*q*Ex+<yu>*q*Ey=q*<E> .静止している電場から、電荷は静止していても動いていても同じ力を受ける

☆ローレンツ力の分解☆

◎ ローレンツ力を、運動方向成分と、その方向に垂直な平面上にある成分に分ける。

◆ ローレンツ力 <F>

電荷の動く方向単位ベクトル <vu> 電荷の速度 <v>=v*<vu>

それぞれのベクトルの<vu>方向成分を、

 (<F>*<vu>)*<vu>=<Fv>
 (<E>*<vu>)*<vu>=<Ev> (<B>*<vu>)*<vu>=<Bv>

<vu>方向成分を取り除いたベクトルを、

 <F⊥>=<F>-<Fv>
 <E⊥>=<E>-<Ev> <B⊥>=<B>-<Bv>

<Fv>,<Ev>,<Bv>,<vu>は、同じ方向
 <F⊥>,<E⊥>,<B⊥>は、同じ方向ではない

■ ローレンツ力(単位電荷当たり) <F>=q*(<E>+<v>#<B>)

 左辺=<Fv>+<F⊥>

 右辺/q
=(<Ev>+<E⊥>)+v*<vu>#(<Bv>+<B⊥>)
=(<Ev>+<E⊥>)+v*<vu>#<B⊥>
=<Ev>+(<E⊥>+v*<vu>#<B⊥>)

両辺とも、<vu>方向成分と、残りの成分に分けることができたから、

 <Fv>=q*<Ev> .

 <F⊥>=q*(<E⊥>+v*<vu>#<B⊥>) .

※ <E⊥>,<B⊥>は同じ方向とは限らない。それぞれ、<vu>成分を取り除いた残りの成分(<vu>方向に垂直な平面上にはある)という意味{!}

☆Lorentz力の大きさ☆

■ E=1  q=1 C〜6*10^18 個の電子 ⇒ F=1_N~100g重

■ B=1_Wb/m^2 =1_T v=1_m/sec  q=1 C ⇒ F=1_N~100g重

■ 1素粒子の電荷=1.602 176 565*10^(-19)_C

☆一様な電場での運動☆

■ 一様な重力場と同じである。電荷を持つ質点は、電場の向きに等加速度運動を、放物線を描く。

☆一様な磁場での運動☆

■ xy平面を動いていた電荷を持つ粒子に、一様な磁場<B>=B0<zu>をかけると、どんな運動をするだろうか。

磁場による力<Fb>=q*B0*<v>#<zu> z軸に垂直、すなわち、xy平面上にあり、動く向きと垂直である。粒子の速さは変わらず、平面上を円運動を描く。

■ シンクロトロン

質量m、電荷q、を一様な磁場B0<zu>で、xy平面上を、振動数fで円運動をする。

v=2(pi)r*f Fb=q*B0*v 回転に必要な力=m*v^2/r

必要な磁場B0=2(pi)fm/q 半径rや速さvに依らない。どこに、どんなスピードでシンクロトロンに入れても、同じ周波数で回転する。

■ 電荷を持つ粒子がz軸成分の速さを持って動いている。一様な磁場<B>=B0<zu>をかけると、どんな運動をするだろうか。

磁場による力<Fb>=q*B0*<v>#<zu> z軸に垂直、すなわち、xy平面上にあり、動く向きと垂直である。

z軸方向には、力は働かないので、速度のz軸方向の成分は変わらない。

xy平面成分は、動く方向と垂直に一定の力がかかるから、円運動を描く。

2つの方向を合わせて考えれば、螺旋(らせん)運動をすることがわかる。

☆電場による力=磁場による力☆

★ 電荷q 質量m 速さv 電場E 磁場B 速さと電場と磁場の方向は垂直
電荷をまっすぐに飛ばしたい。磁場Bの大きさを求めよう。重力は無視する。

E=v*B にすればよいから、B=E/v ★質量や電荷によらない。

{計算例} E=10^6V/m c=c/3 c=3*10^8m/sec

B=0.01Wb/m^2

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