☆ラグランジアンUz

　物理　解析力学　2019.8-2012.11　Yuji.W

☆ ラグランジアン ☆

◎ 解析力学　一般座標　◇ ラグランジアン ℒ　角運動量 L　★　

【数学】10^x=Ten(x)　ネイピア数 e　虚数単位 i　exp(i*x)=expi(x)　
dy/dx=y;x　∂y/∂x=y,x　時間微分 x;t=x'　積分 ${f(x)*dx}
ベクトル <A>　単位ベクトル <-u>　内積 *　外積 #　　　　　　　　2019.9.01

デカルト座標 <xu>,<yu>,<zu>　円柱座標 (h,a,z _C)　球座標 (r,a,b _S)　

〔物理定数　定数.宇宙　力学の単位　電磁気の単位〕

〓　ラグランジュ方程式　〓　

▢ 自由度 s　一般座標 qi〔 i=1,2,…,s 〕　ラグランジアン ℒ(qi,qi',t)

■ ラグランジュ方程式　(ℒ,qi');t=ℒ,qi〔 i=1,2,…,s 〕

〓　1質点1次元運動のラグランジアン　〓　◎ ◇ ● ▣

▢ 1質点1次元の運動　質量 m　位置 x　速度 v=x;t=x'　

運動エネルギー K=(1/2)*m*v^2

位置エネルギー U=U(x) と書ける場合　※ 位置エネルギーが、時間 t に陽に依る場合や、速度に依る場合(摩擦力)などは扱えない

力 F(x)=-U,x　

　ラグランジアン ℒ(x,v)=K(v)-U(x)=(1/2)*m*v^2-U(x)　★　

■ ℒ,v=m*v　(ℒ,v);t=m*(v;t)　①　

一方　ℒ,x=-U,x=F　②

①②より　m*(v;t)=F　★　ニュートンの運動方程式

〓　1質点のラグランジアン　〓　◎ ◇ ● ▣

▢ 1質点　質量 m　位置 <r>=<x y z>　速度 <v>=<r>;t=<x' y' z'>

v^2=x'^2+y'^2+z'^2　運動エネルギー K=(1/2)*m*v^2

位置エネルギー U(<r>) と書ける場合　※ 位置エネルギーが、時間 t に陽に依る場合や、v に依る場合(摩擦力、磁気力など)は、扱えない

力 <F(<r>,t)>=<Fx Fy Fz>=-<U,x U,y U,z>=-U,<r>　

　ラグランジアン ℒ=K-U(<r>,t)　★　

■ K,x'=m*x'　K,y'=m*y'　K,z'=m*z'　

　(ラグランジュ方程式の左辺)
=ℒ,<v>
=K,<v>
=<K,x' K,y' K,z'>
=m*<x' y' z'>
=m*<v>　

一方　U,x=-Fx　U,y=-Fy　U,z=-Fz　

　(ラグランジュ方程式の右辺)
=ℒ,<r>
=-U,<r>
=-<U,x U,y U,z>
=<Fx Fy Fz>
=<F>　

⇒　m*(<v>;t)=<F>　★　

〓　質点系のラグランジアン　〓　◎ ◇ ● ▣

▢ n個の質点

j番目の質点　質量 mj　位置 <rj>=<xj yj zj>　速度 <vj>=<rj>;t=<xj' yj' zj'>
　vj^2=xj'^2+yj'^2+zj'^2　〔 j=1,2,…,n 〕

運動エネルギー K=(1/2)*(m1*v1^2+m2*v2^2+…mn*vn^2)　

位置エネルギー U(<r1>,<r2>,…<rn>,t)　

j番目の質点にかかる力 <Fj>=<Fjx Fjy Fjz>=-<U,xj U,yj U,zj>=-U,<rj>　

　ラグランジアン ℒ=K-U　★　

■ K,x'=m*x'　K,y'=m*y'　K,z'=m*z'　

　(ラグランジュ方程式の左辺)
=ℒ,<v>
=K,<v>
=<K,x' K,y' K,z'>
=m*<x' y' z'>
=m*<v>　

一方　U,x=-Fx　U,y=-Fy　U,z=-Fz　

　(ラグランジュ方程式の右辺)
=ℒ,<r>
=-U,<r>
=-<U,x U,y U,z>
=<Fx Fy Fz>
=<F>　

⇒　m*(<v>;t)=<F>　★　

〓　ラグランジアンの任意性　〓　◎ ◇ ●

▣ ℒ=K-U という定義ではあるが、任意性がある。結局、次の式が成り立てばよいからである。

　(ℒ,q');t-ℒ,q=0

①ℒ を定数倍してもよい。　★　

②任意の関数 f(q,t)　{\ℒ}=ℒ+f'　★　のとき、

　\S=${\ℒ}dt[t:t1~t2]=$ℒdt[t:t1~t2]+${f'}dt[t:t1~t2]
=S+f(q2,t2)-f(q1,t1)

変分を考えると、第2項と第3項は消えるから、

　δ\S=δS

〓　線素と速度　〓　◎ ◇ ● ▣

▢ 線素ベクトル <dl>=<dx dy dz>　速度 <v>=<r>'=<x' y' z'>　v=|<v>|　

■ デカルト座標(x,y,z)　dl^2=dx^2+dy^2+dz^2　v^2=x'^2+y'^2+z'^2　

■ 円柱座標 (h,a,z _C)　x=h*cos(a)　y=h*sin(a)　

　dl^2=dh^2+h^2*da^2+dz^2　v^2=h'^2+h^2*a'^2+z'^2　

■ 球座標 (r,a,b _S)　x=r*sin(a)*cos(b)　y=r*sin(a)*sin(b)　z=r*cos(a)

　dl^2=dr^2+r^2*da^2+r^2*sin(a)^2*db^2　

　v^2=r'^2+r^2*a'^2+r^2*sin(a)^2*b'^2　

〓　一様な重力場　〓　◎ ◇ ●

▢ 一様な重力場　1質点1次元運動　自由落下　重力加速度 g　質量 m　鉛直方向下向き x軸

■ K=(1/2)*m*x'^2　U=-m*g*x　ℒ=(1/2)*m*x'^2+m*g*x

　p=ℒ,x'=m*x'　Q=ℒ,x=m*g

運動方程式　m*(x;;t)=m*g

　x;;t=g　★　

▢ 一様な重力場　1質点2次元運動　鉛直方向下向き x軸　横方向 y軸

■ K=(1/2)*m*(x'^2+y'^2)　U=-m*g*x　ℒ=(1/2)*m*(x'^2+y'^2)+m*g*x

　px=ℒ,x'=m*x'　py=ℒ;y'=m*y'　Qx=ℒ,x=m*g　Qy=ℒ;y=0

運動方程式　m*(x;;t)=m*g　&　m*(y;;t)=0

　x;;t=g　&　y;;t=0　★　

〓　調和振動子.1次元　〓　◎ ◇ ●

▢ 調和振動子.1次元　バネ定数 k　質量 m

振幅が十分に小さく、水平方向(x軸)に動く

■ K=(1/2)*m*x'^2　U=(1/2)*k*x^2　ℒ=(1/2)*m*x'^2-(1/2)*k*x^2

　p=ℒ,x'=m*x'　Q=ℒ,x=-k*x

運動方程式　m*(x;;t)=-k*x

　x;;t=-(k/m)*x　★　

▢ 単振り子　一様な重力場　長さ R　質量 m　振れる角度 a　※ a が一般座標

■ K=(1/2)*m*(R*a')^2　U=m*g*R*[1-cos(a)]

　ℒ=(1/2)*m*(R*a')^2-m*g*R*[1-cos(a)]

　p=ℒ,a'=m*R^2*a'　Q=ℒ,a=-m*g*R*sin(a)

運動方程式　m*R^2*(a;;t)=-m*g*R*sin(a)

　a;;t=-(g/R)*sin(a)　★　

〓　惑星の運動　〓　◎ ◇ ●

▢ 平面上の運動　惑星の質量 m　太陽の質量 M　円座標(r,a)　万有引力定数 G

■ K=(1/2)*m*(r'^2+r^2*a'^2)　U=-G*M*m/r

　ℒ=(1/2)*m*(r'^2+r^2*a'^2)+G*M*m/r

　pr=ℒ,r'=m*r'　pa=ℒ,a'=m*r^2*a'

　Qr=ℒ,r=m*r*a'^2-G*M*m/r^2　Qa=ℒ,a=0

運動方程式　m*(r;;t)=m*r*a'^2-G*M*m/r^2　&　m*[(r^2*a');t]=0

　r;;t=r*a'^2-G*M/r^2　&　(r^2*a');t=0　★　

〓　回転座標系　〓　◎ ◇ ●

『傾いた座標系』　2015/11

▢ 2つの平面上の座標系 xy系、XY系　原点は同じ

XY系は、xy系に対して、角度 a_rad だけ傾いている

■ <Xu>=<xu>*cos(a)+<yu>*sin(a)　<Yu>=-<xu>*sin(a)+<yu>*cos(a)

　<xu>=<Xu>*cos(a)-<Yu>*sin(a)　<yu>=<Xu>*sin(a)+<Yu>*cos(a)

■ ある点　xy系で (x,y)　XY系で (X,Y)

　x=X*cos(a)-Y*sin(a)　&　y=X*sin(a)+Y*cos(a)

　X=x*cos(a)+y*sin(a)　&　Y=-x*sin(a)+y*cos(a)

■ 回転行列 [R(a)]=[cos(a)　-sin(a) | sin(a)　cos(a)]

　<x,y)=[R(a)]*<X,Y)　<X,Y)=[R(-a)]*<x,y)

◎ 回転する座標系のラグランジアン

▢ 2つの平面上の座標系 xy系、XY系　原点は同じ

XY系は、xy系に対して、回転している　角速度 w=一定

1質点平面上の運動　力は働かない　等速直線運動　質量 m

K=(1/2)*m*(x'^2+y'^2)　U=0　ℒ=(1/2)*m*(x'^2+y'^2)

回転系XY系でのラグランジアンの表記 ?　

■ x=X*cos(w*t)-Y*sin(w*t)　&　y=X*sin(w*t)+Y*cos(w*t)

　x'
=X'*cos(w*t)-X*w*sin(w*t)-Y'*sin(w*t)-Y*w*cos(w*t)
=[X'*cos(w*t)-Y'*sin(w*t)]-w*[X*sin(w*t)+Y*cos(w*t)]

　y'
=X'*sin(w*t)+X*w*cos(w*t)+Y'*cos(w*t)-Y*w*sin(w*t)
=[X'*sin(w*t)+Y'*cos(w*t)]+w*[X*cos(w*t)-Y*sin(w*t)]

　[X'*cos(w*t)-Y'*sin(w*t)]^2+[X'*sin(w*t)+Y'*cos(w*t)]^2=X'^2+Y'^2

　[X*sin(w*t)+Y*cos(w*t)]^2+[X*cos(w*t)-Y*sin(w*t)]^2=X^2+Y^2

　-[X'*cos(w*t)-Y'*sin(w*t)]*[X*sin(w*t)+Y*cos(w*t)]
+[X'*sin(w*t)+Y'*cos(w*t)]*[X*cos(w*t)-Y*sin(w*t)]
=-X'*Y+X*Y'

　x'^2+y'^2=(X'^2+Y'^2)+w^2*(X^2+Y^2)+2*w*(-X'*Y+X*Y')

　ℒ=(1/2)*m*(X'^2+Y'^2)+(1/2)*m*w^2*(X^2+Y^2)+m*w*(-X'*Y+X*Y') 　★　

■ pX=ℒ;X'=m*X'-m*w*Y　&　pY=ℒ;Y'=m*Y'+m*w*X

　QX=ℒ;X=m*w^2*X+m*w*Y'　&　QY=ℒ;Y=m*w^2*Y-m*w*X'

運動方程式　m*X''-m*w*Y'=m*w^2*X+m*w*Y'

&　m*Y''+m*w*X'=m*w^2*Y-m*w*X'

整理すると、

　X''=w^2*X+2*w*Y'　&　Y''=w^2*Y-2*w*X'　★　

　★　ラグランジアン　★　☆ お勉強しよう　since 2011　Yuji.W ☆