物理 力学

2015/11-2012/11 Yuji.W

ラグランジアン

◎ 解析力学 一般座標 ◇ ラグランジアン Lg 角運動量 L

★ ベクトル <A> 単位ベクトル <-u> 内積 * 外積 # 微分 y;x 時間微分 x'
 定積分 ${f(x)*dx}[x:a~b] 10^x≡Ten(x) exp(i*x)≡expi(x)

◇一般座標◇

■ 一般に、位置を表す座標は、長さの次元を持つ。

例えば、半径が定まっている円周上の運動を考えると、回転角を与えれば、その位置は定まる。回転角は無次元であるが、位置を表す指標として扱える。このような数値も座標と考え、一般座標 と呼ぶ。q で表す事が多い。

一般座標の時間微分 q' を 一般速度 と言う。必ずしも〔長さ/時間〕という次元を持たなくてもよい。

ラグランジアン

『ラグランジアン.1次元』 ◇ 時間微分 ' ※ 次元の拡張は簡単 2015/11

※ 以下、位置エネルギーは、時間に陽に依らない場合

■ 一般座標 q 一般速度 q' 運動エネルギー K(q'^2) 位置エネルギー U(q)

 ラグランジアン Lg(q,q')=K(q'^2)-U(q)

一般運動量 p=Lg;q' 一般力 Q=Lg;q  運動方程式 p'=Q

{ひとつひとつ考えれば、難しくない!2015/11}

☆一様な重力場☆

◆ 一様な重力場 1質点1次元運動 自由落下 重力加速度 g 質量 m 鉛直方向下向き x軸

■ K=(1/2)*m*x'^2 U=-m*g*x Lg=(1/2)*m*x'^2+m*g*x

 p=Lg;x'=m*x' Q=Lg;x=m*g

運動方程式 m*x''=+m*g .


◆ 一様な重力場 1質点2次元運動 鉛直方向下向き x軸 横方向 y軸

■ K=(1/2)*m*(x'^2+y'^2) U=-m*g*x Lg=(1/2)*m*(x'^2+y'^2)+m*g*x

 px=Lg;x'=m*x' py=Lg;y'=m*y' Qx=Lg;x=m*g Qy=Lg;y=0

運動方程式 m*x''=m*g $ m*y''=0 .

☆調和振動子.1次元☆

◆ 調和振動子.1次元 バネ定数 k 質量 m

振幅が十分に小さく、水平方向(x軸)に動く

■ K=(1/2)*m*x'^2 U=(1/2)*k*x^2 Lg=(1/2)*m*x'^2-(1/2)*k*x^2

 p=Lg;x'=m*x' Q=Lg;x=-k*x

運動方程式 m*x''=-k*x .


◆ 単振り子 一様な重力場 長さ R 質量 m 振れる角度 a ※ a が一般座標

■ K=(1/2)*m*(R*a')^2 U=m*g*R*[1-cos(a)]

 Lg=(1/2)*m*(R*a')^2-m*g*R*[1-cos(a)]

 p=Lg;a'=m*R^2*a' Q=Lg;a=-m*g*R*sin(a)

運動方程式 m*R^2*a''=-m*g*R*sin(a) .

☆惑星の運動☆

◆ 平面上の運動 惑星の質量 m 太陽の質量 M 円座標(r,a) 万有引力定数 G

■ K=(1/2)*m*(r'^2+r^2*a'^2) U=-G*M*m/r

 Lg=(1/2)*m*(r'^2+r^2*a'^2)+G*M*m/r

 pr=Lg;r'=m*r' pa=Lg;a'=m*r^2*a'

 Qr=Lg;r=m*r*a'^2-G*M*m/r^2 Qa=Lg;a=0

運動方程式 m*r''=m*r*a'^2-G*M*m/r^2 & m*(r^2*a')'=0 .

◇最小作用の法則から◇

■ 1つの質点が動く 一般座標 q(t) q(t1)=q1 q(t2)=q2

 作用 S=${Lg(q,q',t)}dt[t:t1->t2]

最小作用の原理 … 「運動は、作用が最小になるように起きる。」

 そのときの一般座標 q(t) とすると、

 S0=${Lg(q,q',t)}dt[t:t1->t2]

■ 任意の変分 δq(t) を追加して、

ただし、始点と終点は一致するとして、δq(t1)=δq(t2)=0

 δS=${Lg(q+δq,q'+δq',t)}dt[t:t1->t2]-${Lg(q,q',t)}dt[t:t1->t2]
=${Lg;q*δq+Lg;q'*δq'}dt[t:t1->t2]

${Lg;q'*δq'}dt[t:t1->t2]
={Lg;q'*δq}[t:t1->t2]-${(Lg;q')'*δq}dt[t:t1->t2] だから、

 δS={Lg;q'*δq}[t:t1->t2]+${{Lg;q-(Lg;q')'}*δq*dt[t:t1->t2]
=${{Lg;q-(Lg;q')'}*δq*dt[t:t1->t2]

実際の運動では、任意の変分を加えても変化がないから、

 Lg;q-(Lg;q')'=0

 (Lg;q')'-Lg;q=0

一般運動量 p=Lg;q'=K;q' 一般力 Q=Lg;q=-U;q を導入すると、

 p'=Q 運動方程式

◇ラグランジアンの任意性◇

Lg=K-U という定義ではあるが、任意性がある。結局、次の式が成り立てばよいからである。

 (Lg;q')'-Lg;q=0

@Lg を定数倍してもよい。

A任意の関数 f(q,t) {\Lg}=Lg+f'  のとき、

 \S=${\Lg}dt[t:t1->t2]=$Lgdt[t:t1->t2]+${f'}dt[t:t1->t2]
=S+f(q2,t2)-f(q1,t1)

変分を考えると、第2項と第3項は消えるから、

 δ\S=δS

☆回転座標系☆

『傾いた座標系』 2015/11

◆ 2つの平面上の座標系 xy系、XY系 原点は同じ

XY系は、xy系に対して、角度 a_rad だけ傾いている

■ <Xu>=<xu>*cos(a)+<yu>*sin(a) <Yu>=-<xu>*sin(a)+<yu>*cos(a)

 <xu>=<Xu>*cos(a)-<Yu>*sin(a) <yu>=<Xu>*sin(a)+<Yu>*cos(a)

■ ある点 xy系で (x,y) XY系で (X,Y)

 x=X*cos(a)-Y*sin(a) & y=X*sin(a)+Y*cos(a)

 X=x*cos(a)+y*sin(a) & Y=-x*sin(a)+y*cos(a)

■ 回転行列 [R(a)]=[cos(a) -sin(a) | sin(a) cos(a)]

 <x,y)=[R(a)]*<X,Y) <X,Y)=[R(-a)]*<x,y)

◎ 回転する座標系のラグランジアン

◆ 2つの平面上の座標系 xy系、XY系 原点は同じ

XY系は、xy系に対して、回転している 角速度 w=一定

1質点平面上の運動 力は働かない 等速直線運動 質量 m

K=(1/2)*m*(x'^2+y'^2) U=0 Lg=(1/2)*m*(x'^2+y'^2)

回転系XY系でのラグランジアンの表記 ? 

■ x=X*cos(w*t)-Y*sin(w*t) & y=X*sin(w*t)+Y*cos(w*t)

 x'
=X'*cos(w*t)-X*w*sin(w*t)-Y'*sin(w*t)-Y*w*cos(w*t)
=[X'*cos(w*t)-Y'*sin(w*t)]-w*[X*sin(w*t)+Y*cos(w*t)]

 y'
=X'*sin(w*t)+X*w*cos(w*t)+Y'*cos(w*t)-Y*w*sin(w*t)
=[X'*sin(w*t)+Y'*cos(w*t)]+w*[X*cos(w*t)-Y*sin(w*t)]

 [X'*cos(w*t)-Y'*sin(w*t)]^2+[X'*sin(w*t)+Y'*cos(w*t)]^2=X'^2+Y'^2

 [X*sin(w*t)+Y*cos(w*t)]^2+[X*cos(w*t)-Y*sin(w*t)]^2=X^2+Y^2

 -[X'*cos(w*t)-Y'*sin(w*t)]*[X*sin(w*t)+Y*cos(w*t)]
+[X'*sin(w*t)+Y'*cos(w*t)]*[X*cos(w*t)-Y*sin(w*t)]
=-X'*Y+X*Y'

 x'^2+y'^2=(X'^2+Y'^2)+w^2*(X^2+Y^2)+2*w*(-X'*Y+X*Y')

 Lg=(1/2)*m*(X'^2+Y'^2)+(1/2)*m*w^2*(X^2+Y^2)+m*w*(-X'*Y+X*Y') .

■ pX=Lg;X'=m*X'-m*w*Y & pY=Lg;Y'=m*Y'+m*w*X

 QX=Lg;X=m*w^2*X+m*w*Y' & QY=Lg;Y=m*w^2*Y-m*w*X'

運動方程式 m*X''-m*w*Y'=m*w^2*X+m*w*Y'

& m*Y''+m*w*X'=m*w^2*Y-m*w*X'

整理すると、

 X''=w^2*X+2*w*Y' & Y''=w^2*Y-2*w*X' .

  ラグランジアン  

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