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2016/2-2012/10 Yuji.W

☆調和振動子.1次元☆

◎ 振動 1次元の調和振動子 単振動 ビリアル定理 harmonic oscillator

ベクトル<A> 座標単位ベクトル<xu>,<yu>,<zu> 内積* 外積# 微分;x 時間微分' 積分${f(x)*dx} 10^x=Ten(x) exp(i*x)=expi(x) 物理定数 .

◇1次元調和振動子(単振動)◇

◎ ずれに比例した引力が働く場合 振れ角の小さい振り子も当てはまる

◆ 調和振動子.1次元 |www-● 質点 m

力 F(x)=-k*x k>0 変位量に比例し、原点に向かう力

中心力であり、位置によって決まるから、振動する{!}。さらに、xの対称性があるから、1/4周期ずつにかかる時間は等しくなる。

角速度 w 周期 T

※ バネの先に重りをつけ振動させる場合、重りとバネがつり合っている位置からのずれの大きさを x とすれば、x に比例した力が働き、調和振動子として扱える。

■ 運動方程式 m*x''=-k*x

 x''=-(k/m)*x .

初期条件を適当に決めて x=x0*cos(w*t)〔w=root(k/m)〕

 T=2Pi/w=2Pi*root(m/k) .

▲@ 振幅 x0 は、初期条件によって決まる。
A 周期 T は、mとkの値で決まる。振幅によらない。

■ x'=-x0*w*sin(w*t) x''=-x0*w^2*cos(w*t)

 速さの最大値=x0*w 加速度の最大値=x0*w^2

 速さの最大値=振幅*角速度~円運動の半径*角速度~円運動の円周の速さ .

{なるほどね。おもしろい!}

◇調和振動子のエネルギー◇

◆ 調和振動子.1次元 x=x0*cos(w*t) x'=-x0*w*sin(w*t) 角速度 w=root(k/m)

運動エネルギー K(t) 位置エネルギー U(t)

■ K(t)
=(1/2)*m*x'
=(1/2)*m*(w*x0)^2*sin(w*t)^2
=(1/2)*k*x0^2*sin(w*t)^2

 U(t)
=(1/2)*k*x^2
=(1/2)*k*x0^2*cos(w*t)^2

 K(t)+U(t)=(1/2)*k*x0^2 .時間に依らない一定の値(つり合いの位置にある質点を、振幅x0の位置に持ってくるのにかかるエネルギー)

★ バネ 最大のび 0.1_m そのときの力 10_kg ‖

 k=10/0.1=100_kg重/m=980_N/m 全エネルギー=(1/2)*980*0.1^2=4.9_J

◇速さの2乗の変化量◇

◎ Δ(v^2) を求めよう。

◆ 調和振動子.1次元 x=x0*cos(w*t) v=x'=-x0*w*sin(w*t) 角速度 w=root(k/m)

■ (v^2)'=2*v*v'=2*x'*x''=2*x'*(-k*x/m)=-(k/m)*2*x*x'=-(k/m)*(x^2)'

時間で積分して Δ(v^2)=-(k/m)*Δ(x^2) .

★ t=0 から t=Pi/(2*w) まで変化するとき、

位置の変化 x=x0 x=0 Δ(x)=-x0 Δ(x^2)=x0^2

速さの変化 

 

 

 

2*[-x0*w*sin(w*t)]*[-x0*w^2*cos(w*t)]
=x0^2*w^3*[2*cos(w*t)*sin(w*t)]
=x0^2*w^3*sin(2*w*t)

 

 

 

 

質点(質量 m)に働く力 F(x)=-k*x k>0 v'=-(k/m)*x

● 原点に押し戻そうとする力であるから、振動を起こす。

角速度 w=root(k/m) 周期 T=2Pi/w=2Pi*root(m/k)

 x=x0*cos(w*t) v=-w*x0*sin(w*t)
 v'=-w^2*x0*cos(w*t)=-w^2*x0*cos(w*t)=-(k/m)*x

■ (v^2)'=2*v*v'=-2*x'*(k/m)*x=-2*(k/m)*x*x'

時間で積分すると、

 Δ(v^2)=-2*(k/m)*${x*dx}=-(k/m)*Δ(x^2) .

▲速さの2乗の変化量 ∝ 変位量の2乗の変化量

★t=0 の時 x=x0 v=0 v'=-(k/m)*x0

t=T/4 の時 w*t=Pi/2 x=0 v=-x0*root(k/m) v'=0

t=0~T/4 で、

 Δ(v^2)=[x0*root(k/m)]^2-0^2=x0^2*k/m
 -(k/m)*Δ(x^2)=-(k/m)*[0-x0^2]=x0^2*k/m

また ΔK=(1/2)*m*Δ(v^2)=(1/2)*k*x0^2 ΔU=-(1/2)*k*x0^2

◇周期をエネルギー積分より求める◇

「広義積分」

● ${[1/root(A^2-x^2)]*dx}[x:0~A]=lim[a->A]{arcsin(a/A)}=Pi/2

※元の関数は、x=A で発散してしまうが、その積分値は存在する{!}

◆ エネルギー保存より (1/2)*m*x'^2+(1/2)*k*x^2=E

振幅 X (1/2)*k*X^2=E 周期 T

■ x'^2=(k/m)*(X^2-x^2)

 x'=root(k/m)*root(X^2-x^2)

 t=root(m/k)*${[1/root(X^2-x^2)]*dx}

 T/4=root(m/k)*${[1/root(X^2-x^2)]*dx}[x:0~X]=root(m/k)*Pi/2

 周期 T=2Pi*root(m/k) .

 

 

エネルギー積分より、周期を求める 

エネルギー (1/2)*m*x'^2+(1/2)*k*x^2=(1/2)*k*x0^2

 dx/(x0^2-x^2)=root(k/m)*dt

● -1<x<1 x=sin(a) ${[1/root(1-x^2)]*dx}=a=arcsin(x)

● 正の数 A -A<x<A x=A*sin(a) ${[1/root(A^2-x^2)]*dx}=a=arcsin(x/A)

積分して arcsin(x/x0)=root(k/m)*t

 周期 T=4*root(m/k)*arcsin(x0/x0)=4*root(m/k)*(Pi/2)=2Pi*root(m/k) .

{計算が強引だが、こういう求め方も大事!2015/8}

★ T=10_sec x0=1_m

 w=2Pi/T=2Pi/10=0.628

 Vmax=1*0.628=0.628_m/sec 最大加速度 Acmax=1*0.628^2=0.39_m/sec^2

 

◇重ね合わせの原理◇

■ A*cos(x) も解、B*sin(x) も解である。そうすると、
A*cos(x)+B*sin(x) も解になる「重ね合わせの原理」。

{注}運動方程式のどの項も、x の一次式で表されるか、x に依らない場合、「重ね合わせの原理」が成り立つ。

{例}cos(x)+(1/2)*sin(x) のグラフを作ってみた。xの値は、円周率を単位にした数字である。2周期分表してある。

cos(x)+(1/2)*sin(x) のグラフは、cos(x)のグラフをただ、右に少しずらし、上下も多少大きくしただけのことだ。位相をずらし、振幅を変えただけだった。周期は、2ずつで、同じである。

■ [A/root(A^2+B^2)]=cos(a) -[B/root(A^2+B^2)]=sin(a) とおく。
cos(a)^2+sin(a)^2=1 となるので、そういうaの値は必ずある。

A*cos(x)+B*sin(x)
=[root(A^2+B^2)]*[cos(x)*cos(a)-sin(x)*sin(a)]
=[root(A^2+B^2)]*cos(x+a)

位相がaだけずれ、振幅が[root(A^2+B^2)]倍になっただけである。

■ @ x=A*cos(w*t)+B*sin(w*t)
A x=C*cos(w*t+Δ) 位相をずらす、振幅も変わる C=[root(A^2+B^2)]
B x=C*cos[w(t-t1)] 時間軸をずらす

@とAとBは、同じことである。

◇ビリアル定理◇

◇十分に長い時間平均 @

「倍角,半角の公式」

■ sin(2*a)=2*sin(a)*cos(a) cos(2*a)=2*cos(a)^2-1

■ sin(a/2)^2=(1-cos(a))/2 cos(a/2)^2=(1+cos(a))/2

● @(cos(x)^2)=${cos(x)^2}dx[x:1周期分]/1周期分
=${(1+C2x)/2}dx[x:1周期分]/1周期分
=(1/2)*[x+(1/2)*S2x][x:1周期分]/1周期分
=(1/2)*[1]=1/2

同様に @(Sx^2)=1/2

■ エネルギーの時間平均

 @K=(1/2)*m*(w*A)^2*@[sin(w*t)^2]
=(1/4)*m*(w*A)^2=(全エネルギー)/2

 [Kの時間平均]=${(1/2)m*A^2*w^2*sin(w*t)}dt
[t:0~2Pi/w]/[2Pi/w]
=(1/2)m*A^2*w^2*[t/2+1/(4*w)cos(2w*t)]
[t:0~2Pi/w]/[2Pi/w]
=(1/2)m*A^2*w^2*(pi)/w/[2Pi/w]
=(1/4)m*w^2*A^2=(全エネルギー)/2

 [Vの時間平均]=${(1/2)k*A^2*cos(w*t)^2}dt[t:0~2Pi/w]/[2Pi/w]
=(1/2)k*A^2*[t/2+1/(4*w)cos(2w*t)][t:0~2Pi/w]/[2Pi/w]
={(1/2)k*A^2*(pi)/w/[2Pi/w]=(1/4)k*A^2
=(1/4)m*w^2*A^2=(全エネルギー)/2

▲位置エネルギーの時間平均と、運動エネルギーの時間平均は、全エネルギーの半分になる。「ビリアル定理」(Virial theorem) .

◇HCl の振動◇

◆ 塩化水素の振動 H-www-Cl-www-H

3原子は直線上に並び、Cl は静止、H がその直線上を振動する

H の質量 m=1.7*Ten(-27)_kg バネ定数 k 振動数 f=9*Ten(13)_Hz 角速度 w

■ この振動数で光が放射されるとすれば、波長 λ

 λ=c/f=[3*Ten(8)]/[9*Ten(13)]~3*Ten(-6)_m 赤外線

 ● 可視光(緑)の波長 5*Ten(-7)_m

■ w=root(k/m) w=2Pi*f

 k
=4*Pi^2*m*f^2
=4*Pi^2*[1.7*Ten(-27)]*[81*Ten(26)]
=540_N/m

  調和振動子.1次元  

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