☆お勉強しようUz☆ 物理.熱力学

2016/6-2011/11 Yuji.W

気体の膨張,圧縮

◎ 理想気体 膨張 圧縮 断熱変化 等温変化 定積変化 定圧変化

● エネルギー 1_atm*l=101.325_J 1_J=9.8692*Ten(-3)_atm*l

● 気体定数 R=8.314_J/(K*mol) 273*R~2270_J/mol

◇ ベクトル<A> 縦ベクトル<A) 単位ベクトル<-u> 内積* 外積# 微分;x 時間微分' 10^x=Ten(x) exp(i*x)=expi(x) 共約複素数\z 物理定数.

◇これから考える事◇

■ 理想気体が詰まったピストン。

外部からピストンに熱を与える事ができる。熱を奪う事もできる。

気体は膨張する事で、外部に仕事をする。エネルギーを失う。逆に、外部から気体に仕事をし、エネルギーを与える事ができる。

気体は、化学変化を起こさない。相転移も起こさない。

エネルギーは、ピストンの動きの摩擦などに使われる事はなく、保存される。

☆準静的過程☆

準静的過程 ほぼ平衡(つり合っている)の状態での変化、過程。次のような場合である。

@熱源と気体の温度が等しい。

Aピストン内の気体の圧力と、外部の大気圧と、外力(重りなど)による圧力との和が等しい。

ただし、そうすると、@では、熱の移動が起きない。Aでは、ピストンは動かない。何の変化も起きない。それでは困るので、以下のように、準静的過程を考える。

例えば、ほんの少しだけ、熱源と気体の温度差をつける。温度の高い方から低い方へ、無限の時間をかけて、熱が移動する。

また、ほんの少しだけ、圧力の差をつける。無限の時間をかけて、ピストンが移動する。

☆熱力学の原理☆

クラウジウスの原理 熱は、低熱源から高熱源に、ひとりでに、流れない。

トムソンの原理 熱は、ひとりでに、力学的な仕事に変わらない。

◆ 理想気体が入ったピストン

ボルツマン定数 kB アボガドロ定数 Na 気体定数 R=Na*kB=8.314_J/(K*mol)

気体分子数 N_個 気体モル数 n=N/Na

圧力 P 体積 V 絶対温度 T

気体が得る熱量 Qin 気体が失う熱量 Qout

気体が外部にする仕事 Wout 気体が外部からされる仕事 Win

気体の内部エネルギー U

『Γ』 2016/6

Γ

Γ-1

1/(Γ-1)

単原子分子

5/3

2/3

3/2

2原子分子

7/5

2/5

5/2

3原子分子、光子

4/3

1/3

3

● Γ=5/3  Γ=7/5 、 Γ=4/3

■ 状態方程式 P*V=R*T=n*R*T

■ 内部エネルギー U=P*V/(Γ-1)=[R/(Γ-1)]*T .

■ エネルギー保存 ΔU=(Win-Wout)+(Qin-Qout) .熱力学の原理.第1法則

☆気体がする仕事☆

● 1気圧=1kg/cm^2

◆ 理想気体の準静的膨張 V~V+dV その時の気体の圧力 P 外部の圧力 P

気体が外部にする仕事 Wout

■ δW=力*動いた距離
=(圧力*断面積)*動いた距離
=圧力*(断面積*動いた距離)
=圧力*(増えた体積)

=P*dV .

≫ δW=P*dV .

※ 仕事は状態量ではなく、完全微分できないので、微少量を δW で表す

◇理想気体.準静的等温膨張◇

◆ 1モルの理想気体 熱源(温度 T)に接触させる

準静的等温膨張 [P1,V1,T] ⇒ [P,V,T] ⇒ [P2,V2,T]

 P1*V1=P*V=P2*V2=R*T 膨張するにつれ、気体の圧力は下がる。

温度一定だから、内部エネルギーも一定。

気体は外部に向かって仕事をする。そのままでは、気体の内部エネルギーが減少し、温度が下がってしまうので、外部から熱を注入し、温度が下がらないようにコントロールしつつ膨張させる。

気体が外部にした仕事 Wout 加えられた熱量 Qin Wout=Qin

■ Wout
=${P*dV}[V:V1~V2]
=R*T*${dV/V}[V:V1~V2]
=R*T*[ln(V)][V:V1~V2]
=R*T*ln(V2/V1)

≫ Qin=Wout=R*T*ln(V2/V1) .理想気体.準静的等温膨張

★ 1モル T=273 V2/V1=2 のとき Qin=Wout=2270*ln(2)~1570_J

◇理想気体.不可逆等温膨張◇

◆ 1モルの理想気体 外気圧一定のもと膨張させる 不可逆等温膨張

 [P1,V1,T] 外気圧Pout ⇒ [P,V,T] ⇒ [Pout,V2,T]

 P1>Pout V1<V2

 P1*V1=P*V=Pout*V2=R*T 膨張するにつれ、気体の圧力は下がる。

温度一定だから、内部エネルギーも一定。

気体は外部に向かって仕事をする。そのままでは、気体の内部エネルギーが減少し、温度が下がってしまうので、外部から熱を注入し、温度が下がらないようにコントロールしつつ膨張させる。

気体が外部にした仕事 Wout 加えられた熱量 Qin Wout=Qin

外部の気圧 Pout [P1,V1,T] ⇒ [P2,V2,T] ⇒  等温膨張

P1>P2 圧力 P2 でもって、外部に仕事をする

外部にした仕事 Wout 加えられた熱量 Qin

等温過程で、内部エネルギーは変化しないから Qin=Wout

■ P1*V1=P2*V2=R*T

 Qin=Wout=P2*(V2-V1)=R*T*(1-V1/V2) .理想気体.不可逆等温膨張

★ V2/V1=2 のとき Qin=Wout=R*T*(1-1/2)=0.5*R*T

 Qin/T=0.5*R

◇理想気体.準静的定圧膨張◇

◆ 理想気体 [P,V1,T1,U1]~[P,V2,T2,U2]

■ 状態方程式より V1/T1=V2/T2=R/P

膨張して外部に仕事をするのだが、圧力が減らないようにするために、外部からより多くの熱を与え、温度も上がるようにする。

 Wout=P*(V2-V1)

 ΔU=U2-U1=P*(V2-V1)/(Γ-1)

エネルギー保存より Qin
=ΔU+Wout
=P*(V2-V1)/(Γ-1)+P*(V2-V1)
=P*(V2-V1)*Γ/(Γ-1)

≫ Qin=P*(V2-V1)*Γ/(Γ-1) .理想気体.準静的定圧膨張

☆理想気体.準静的断熱過程☆

断熱変化=(熱を遮断した系の準静的過程)

◆ 理想気体 準静的断熱膨張 外部からの熱の出入りがない

圧力は下がっていく。外部の圧力も下げていき、準静的になるようにコントロールする。

気体は外部に向かって仕事をする。気体の内部エネルギーが減少する。温度が下がる。

 [P1,V1,T1,U1]~[P2,V2,T2,U2]

■ 理想気体 U=P*V/(Γ-1)

 dU=d(P*V)/(Γ-1)=(P*dV+V*dP)/(Γ-1) @

準静的断熱過程で dU=-P*dV A

@Aより (P*dV+V*dP)/(Γ-1)=-P*dV

 V*dP=-Γ*P*dV

 dP/P=-Γ*dV/V

 ln(P)=-Γ*ln(V)+積分定数

 ln(P*V^Γ)=積分定数

 P*V^Γ=一定 .理想気体.準静的断熱過程 ポアソンの関係式

また T*V^(Γ-1)=一定 .

▲ 等温膨張のとき P*V=一定 だから、同じ膨張に対しては、断熱膨張の場合の方が、より圧力が小さくなる。断熱膨張は、外部に仕事をして、内部エネルギーが減り、気体分子の並進運動エネルギーがより小さくなるからである。

1/3≦Γ-1≦2/3 だから 断熱膨張をすれば温度が下がり、断熱圧縮をすれば温度が上がる .

◇理想気体.準静的定積変化◇

◆ 理想気体 [P1,V,T1,U1]~[P2,V,T2,U2]

■ P1/T1=P2/T2=R/V

 Qin=ΔU=(P2-P1)*V/(Γ-1) .

{まとめ}気体の膨張,圧縮

『気体の膨張、圧縮』 2016/6

● 比熱比 Γ 単原子分子 Γ=5/3 2原子分子 Γ=7/5 3原子分子、光子 Γ=4/3

分子1個当たりの定積比熱 Cv=kB/(Γ-1) U=R*T/(Γ-1)=N*Cv*T

■ 状態方程式 P*V=R*T=(Γ-1)*U

理想気体.準静的等温膨張 Qin=Wout=R*T*ln(V2/V1)

理想気体.不可逆等温膨張 Qin=Wout=P2*(V2-V1)=R*T*(1-V1/V2)

理想気体.準静的断熱膨張 P*V^Γ=一定 T*V^(Γ-1)=一定 Wout=ΔU

理想気体.準静的定圧膨張 Qin=P*ΔV*Γ/(Γ-1)

理想気体.準静的定積変化 Qin=ΔU=ΔP*V/(Γ-1)

  気体の膨張,圧縮  

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