物理>電磁気  2014/4-2012/4 Yuji.W

☆静磁場のエネルギー☆

◎ 磁場のエネルギー

ベクトル<x,y> 単位ベクトル<xu> 縦ベクトル<x|y) 内積* 外積#  物理定数
微分;x 時間微分' e^(i*x)=expi(x) 10^x=Ten(x) cos=C sin=S tan=T【

静磁場のエネルギー

◎ 静磁場のエネルギー U=(1/2)*ε0*c^2*$$${<B>^2*dV}

● 静電場のエネルギー U=(1/2)*ε0*$$${<E>^2*dV}[全空間]

磁気モーメント <mm>=電流*回路の面積*<mmu>

一様な磁場で、a だけ傾けるのに必要なエネルギー U(a)=-<mm>*<B>

■ 静磁場のエネルギー 時間的変化がない磁場

 U=(1/2)*$$${<j>*<A>}dV

時間的変化のない場で <j>=<rot<B>> だから、

 U=[(ε0)*c^2/2]*$$${<rot<B>>*<A>}dV

ここで、$$${<rot<B>>*<A>}dV=$$${<B>*<rot<A>>}dV

{注} <rot<B>>*<A>=<B>*<rot<A>> ではない{!}


{証明}

<rot<B>>*<A>=(Bz;y-By;z)*Ax+(Bx;z-Bz;x)*Ay+(By;x-Bx;y)*Az

<B>*rot<A>=Bx*(Az;y-Ay;z)+By*(Ax;z-Az;x)+Bz*(Ay;x-Ax;y)

無限遠で By*Az->0 とすれば、積分は、 ${(By;x)*Az}dx=By*Az-${By*(Az;x)}dx=-${By*(Az;x)}dx

$$${<B>*rot<A>}dV
=-$$${Bz*(Ax;y)-By*(Ax;z)
+Bx*(Ay;z)-Bz*(Ay;x)
+By*(Az;x)-Bx*(Az;y)}dV
=+$$${Bx*(Az;y-Ay;z)+By*(Ax;z-Az;x)+Bz*(Ay;x-Ax;y)}dV
=+$$${<B>*<rot<A>>}dV 』


$$${<rot<B>>*<A>}dV=$$${<B>*<rot<A>>}dV
=$$${<B>*<B>}dV になるから、

 U=(1/2)*ε0*c^2*$$${<B>^2*dV}【

☆静電磁場のエネルギー密度☆

◎ ローレンツ変換前と後の静電磁場のエネルギー

「電磁場のローレンツ変換」2つの慣性系同士の電磁場の相対論的な変換

◆ 2つの慣性系 x系 <E>,<B> X系 <\E>,<\B>

原点同士が離れる速さ v. X系はx軸の正の方向へ、x系はX軸の負の方向へ

 Γ=1/root[1-(v./c)^2]

■ <Ex,Ey,Ez> <Bx,By,Bz>

 <\E>=<Ex , Γ*(Ey-v.*Bz) , Γ*(Ez+v.*By)>

 <\B>=<Bx , Γ*(By+v.*Ez/c^2) , Γ*(Bz-v.*Ey/c^2)>

c*<B>=<CB> v./c=b. と書くと、

 <\E>=<Ex , Γ*(Ey-b.*CBz) , Γ*(Ez+b.*CBy)>

 <\CB>=<CBx , Γ*(CBy+b.*Ez) , Γ*(CBz-b.*Ey>

■ \Ex=Ex <\Eyz>=Γ*(<Eyz>+v.*<xu>#<B>)

 \Bx=Bx <\Byz>=Γ*(<Byz>-v.*<xu>#<E>/c^2)

※ c*<B>=<CB> v./c=b. と書くと、

 \CBx=CBx <\CByz>=Γ*(<CByz>-b.*<xu>#<E>)

◆ 静電磁場のエネルギー密度 u=(1/2)*ε0*[E^2+CB^2] _J/m^3
ローレンツ変換後のエネルギー密度 \u

■ 2*u/ε0=(Ex^2+Ey^2+Ez^2)+(CBx^2+CBy^2+CBz^2)

 2*\u/ε0
={Ex^2+Γ^2*[(Ey-b.*CBz)^2+(Ez+b.*CBy)^2]}
+{CBx^2+Γ^2*[(CBy+b.*Ez)^2+(CBz-b.*Ey)^2]}
=(Ex^2+CBx^2)
+Γ^2*(1+b.^2)*[(Ey^2+Ez^2)+(CBy^2+CBz^2)]+
+4*Γ^2*b.*(-Ey*CBz+Ez*CBy)【

★ <E>=<xu>*Ex <CB>=<xu>*CBx
 <\E>=<E> <\CB>=<CB>

 u=\u

★ <E>=<yu>*Ey <CB>=0 2*u/ε0=Ey^2

 <\E>=<yu>*Γ*Ey <\CB>=-<zu>*Γ*b.*Ey

 2*\u/ε0=Γ^2*(1+b.^2)*Ey^2

★ <E>=0 <CB>=<yu>*CBy 2*u/ε0=CBy^2

 <\E>=<zu>*Γ*b.*CBy <\CB>=<yu>*Γ*CBy

 2*\u/ε0=Γ^2*(1+b.^2)*CBy^2

★ <E>=<xu>*Ex <CB>=<yu>*CBy 2*u/ε0=Ex^2+CBy^2

 <\E>=<xu>*Ex+<zu>*Γ*b.*CBy <\CB>=<yu>*Γ*CBy

 2*\u/ε0=Ex^2+Γ^2*(1+b.^2)*CBy^2

★ <E>=<yu>*Ey <CB>=<xu>*CBx 2*u/ε0=Ey^2+CBx^2

 <\E>=<yu>*Γ*Ey <\CB>=<xu>*CBx-<zu>*Γ*b.*Ey

 2*\u/ε0=CBx^2+Γ^2*(1+b.^2)*Ey^2

★ <E>=<yu>*Ey <CB>=<yu>*CBy 2*u/ε0=Ey^2+CBy^2

 <\E>=<yu>*Γ*Ey+<zu>*Γ*b.*CBy
 <\CB>=<yu>*Γ*CBy-<zu>*Γ*b.*Ey

 2*\u/ε0=Γ^2*(1+b.^2)*(Ey^2+CBy^2)

★ <E>=<yu>*Ey <CB>=<zu>*CBz 2*u/ε0=Ey^2+CBz^2

 <\E>=<yu>*(Γ*Ey-Γ*b.*CBz) <\CB>=<zu>*(Γ*CBz-Γ*b.*Ey)

 2*\u/ε0=Γ^2*(1+b.^2)*(Ey^2+CBz^2)-4*Γ^2*b.*Ey*CBz

★ <E>=<yu>*b.*CBz <CB>=<zu>*CBz 2*u/ε0=(1+b.^2)*CBz^2

 <\E>=0 <\CB>=<zu>*CBz/Γ 電場がなくなる

 2*\u/ε0=CBz^2/Γ^2

★ <E>=<yu>*Ey <CB>=<zu>*b.*Ey 2*u/ε0=(1+b.^2)*Ey^2

 <\E>=<yu>*Ey/Γ <\CB>=0 磁場がなくなる

 2*\u/ε0=Ey^2/Γ^2

 静磁場のエネルギー 

inserted by FC2 system