物理 電磁気

2017/8-2012/1 Yuji.W

球対称電荷

_ 球対称電荷 球状電荷 球対称重力場 _

◇ ベクトル <A> 単位ベクトル <-u> 座標単位ベクトル <x> 内積 * 外積 #
 積 * 商 / 10^x=Ten(x) exp(i*x)=expi(x) 微分 ; 
時間微分 ' 積分 $

◇ {定義値}2.99792458=@3 光速 c=@3*Ten(8)_m/sec (@3)^2=@9
国際単位系 クーロン力定数 ke=1/(4Pi*ε0)=c^2*Ten(-7)_N*m^2/C^2
 ε0*μ0*c^2=1_無次元 電場 <E>_N/C 磁場 <B>_T 磁場(光速倍) <cB>_N/C
CGS静電単位系 ke=1_無次元 電場 <E>_dyn/esu 磁場 <Bcgs>_G
 B=1_T ⇔ Bcgs=10000_G  〔電磁気の単位〕〔物理定数

◇有限な空間図形電荷の電位の次元解析◇

◆ 有限な空間電荷 電荷密度 ρ=一定 任意の観測点の電位 φ 全電荷 Q

■【 次元解析 】

 [Q]=[ρ]*[長さ^3]

 [φ]=[ke]*[Q]/[長さ]=[ke]*[ρ]*[長さ^3]/[長さ]=[ke]*[ρ]*[長さ^2]

≫ [φ]=[ke]*[ρ]*[長さ^2] .空間図形電荷の電位

◇相似な空間図形の電位◇

◆ 2つの相似な空間図形電荷 A,B 電荷密度 ρ=一定 相似比=a:b ある特定の位置の電位 φA,φB

■ 次元解析より [φ]=[ke]*[ρ]*[長さ^2] であるから φA:φB=a^2:b^2 .

◇球対称電荷が作る電場◇

◆ 球座標(r,a,b) 球対称電荷 ρ(r) 球[半径 r 中心:原点]内の電荷 Q(r)

観測点:原点からの距離 r 電位 φ(r) 電場 <E(r)>=<ru>*E(r)

■【 球内の電荷 】

 Q(r)=4Pi*${ρ(r)*r^2*dr}[r:0~r]

ρ(r)=一定 であれば Q(r)=4Pi*ρ*r^3/3=(4Pi/3)*r^3*ρ {当たり前!}

■【 電場 】

原点を中心とする半径 r の球を考える。

ベクトルのガウスの法則より、

 $${<E(r)>*<dS>}[S:球面]=$$${div<E>*dV}[V:球]

ここで 左辺=4Pi*r^2*E(r)

Maxwellの方程式より div<E>=4Pi*ke*ρ だから、

 右辺=4Pi*ke*${4Pi*ρ*r^2*dr}[r:0~r]=4Pi*ke*Q(r)

ゆえに 4Pi*r^2*E(r)=4Pi*ke*Q(r)

 E(r)=ke*Q(r)/r^2 .半径 r の球内の全電荷が原点に集まった場合と同じ

▲ 球の外側の電荷に影響を受けない。ただし、今の議論では、球対称電荷について考えているから、球の外側の電荷分布も球対称である必要がある。球の外側の電荷が、どんな分布でもいいというわけではない。 .

▲ 球対称重力場も同様な結果を得る事ができる


◎ 中空な球対称電荷が作る電場

◆ 球座標(r,a,b) 球対称電荷 ρ(r) r<R で ρ(r<R)=0

■ r<R で E(r)=0 φ(r)=一定 その球内では、電荷に力が働かない .

◇一様な電荷分布の球が作る電場◇

◆ 球[半径 R 中心:原点] 一様な電荷密度 ρ=一定 総電荷 Q=(4/3)*Pi*ρ*R^3

球[半径 r 中心:原点]内の電荷 q(r)=Q*(r/R)^3

電場 <E>=<ru>*E(r) 電位 φ(r)

■【 電場 】

球対称の電荷分布だから、ある点より内側の電荷にしか影響を受けない。外部の電荷の影響は受けない .

球の外部で <E(r)>=<ru>*ke*Q/r^2 .

球の内部で、

 <E(r)>
=<ru>*ke*q(r)/r^2
=<ru>*ke*[Q*(r/R)^3]/r^2
=<ru>*ke*(Q/R^3)*r
.

※ 電場は、任意の位置で有限であって、発散しない{重要!} .

▲ div(<ru>*r)=[(r^3);r]/r^2=3*r^2/r^2=3

 div<E>=ke*(Q/R^3)*3=ke*[(4/3)*Pi*ρ]*3=4*Pi*ke*ρ

ガウスの法則を満たしている

▲ ρ で表せば 外部で E=(4/3)*Pi*ke*ρ*R^3/r^2

内部で E=ke*(Q/R^3)*r=(4/3)*Pi*ke*ρ*r

■【 電位 】

球の外部で、無限遠の電位を 0 にすれば、

 φ(r)=-ke*Q*${(1/r^2)*dr}[r:∞~r]=ke*Q/r=ke*(Q/R)/(r/R)

球の内部で、

 φ(r)
=-ke*Q*${(1/r^2)*dr}[r:∞~R]-ke*(Q/R^3)*${r*dr}[r:R~r]
=ke*Q/R-ke*(Q/R^3)*(1/2)*(r^2-R^2)
=ke*Q/R-(1/2)*ke*(Q/R^3)*r^2+(1/2)*ke*Q/R
=(3/2)*ke*Q/R-(1/2)*ke*(Q/R^3)*r^2
=ke*(Q/R)*[3-(r/R)^2]/2

※ 電位も、任意の位置で有限であって、発散しない{重要!} .

■【 球の中心の電位 】

 φ(0)=(3/2)*ke*Q/R

ρ を使って表せば φ(0)=(3/2)*ke*(4/3)*Pi*R^3/R=2Pi*ke*R^2

『球電荷 一様な電荷』 2016/9

球の中心で E(0)=0 φ(0)/(ke*Q/R)=3/2

球の内部で E(r)=ke*(Q/R^3)*r φ(r)/(ke*Q/R)=[3-(r/R)^2]/2

球の外部で E(r)=ke*Q/r^2 φ(r)/(ke*Q/R)=r/R

※ 国際単位系で ke=1/(4Pi*ε0) CGS静電単位系で ke=1

▲一様な電荷分布の球が作る電位
縦軸の単位 ke*Q/R 横軸の単位 R

{より理解できた!おもしろいなあ!2016/1}

▲ 上記のポテンシャルの任意の場所にマイナス電荷をそっと(初速度0)置く。球の内部、外部で、電磁気以外の抵抗力を受けない場合、振動現象を起こす。

球の内部に置いた場合は、調和振動子(1次元のバネ振り子)の運動をする。

球の外部に、適当な初速度を与えて置けば、楕円軌道をえがく。惑星の運動と同じになる。

▲ 重力場や中性子の拡散の問題に適用できる。

◇金の原子核◇

◆ 金の原子核を、電荷が一様に分布する球とみなす 電荷 79*Qe 半径 6*Ten(-15)_m 中心の電位 φ(0)=(3/2)*ke*Q/R

■ φ(0)
=(3/2)*[9*Ten(9)]*[79*1.6*Ten(-19)]/[6*Ten(-15)]
=2.8*Ten(7)_V

{復習}簡単なポアソン方程式の解

『簡単なポアソン方程式の解』 2016/3

■【 Δf=k=定数 】〔C1,C2:積分定数〕

1次元 (1/2)*k*x^2+C1*x+C2

軸対称 (1/4)*k*r.^2+C1*ln(r.)+C2

球対称 (1/6)*k*r^2+C1/r+C2

■【 Δf=k*デルタ関数 】

軸対称 [k/(2*Pi)]*ln(r.)  球対称 -[k/(4*Pi)]/r

◇{別解}一様な電荷分布の球が作る電位◇

◎ ポアソン方程式を解く

◆ 球 半径 R 一様な電荷密度 ρ=一定 総電荷 Q=(4/3)*Pi*ρ*R^3 球の内部の電位 φ

■ 電位と電荷密度の関係 △φ=-4Pi*ke*ρ=一定

 φ=(1/6)*(-4Pi*ke*ρ)*r^2+C1/r+C2

r=0 で発散しないようにして C1=0

 φ=-(1/6)*4Pi*ke*ρ*r^2+C2

ρ の代わりに Q を使うと、

 φ
=-(1/6)*4Pi*ke*{Q/[(4/3)*Pi*R^3]}*r^2+C2
=-(1/2)*ke*(Q/R)*(r/R)^2+C2

≫ φ=-(1/2)*ke*(Q/R)*(r/R)^2+C2 .

◇球殻電荷が作る電場

◎ ガウスの法則を使わないで求めよう。

「円電荷が中心軸上に作る電場」 2015/6

◇ ke=1/(4Pi*ε0)=c^2*Ten(-7)=8.988*Ten(9)_N*m^2/C^2

◆ 円電荷 半径 R 総電荷 Q=2Pi*R*λ

観測点 円の中心軸にあって、円電荷の面からの高さ h h>0 電場の大きさ E(h)

■ E(z)=ke*Q*h/(R^2+h^2)^(3/2)

◆ 球殻電荷 表面に電荷 半径 R 電荷面密度 σ=一定 総電荷 Q=4Pi*R^2*σ

球の中心:原点 観測点:z軸上にあって、原点からの距離 r r>R

z軸からの角度 a a~a+da にある円電荷を考える

円電荷が観測点に作る電場の大きさ Ec 球殻電荷が観測点に作る電場の大きさ E ?

2つの電場は、対称性によりz軸成分しかない

■ 円電荷

 円の半径=R*sin(a) 総電荷=2*Pi*[R*sin(a)]*σ*(R*da)=(Q/2)*sin(a)*da

 円が作る平面と観測点との距離 h=r-R*cos(a)

 Ec
=ke*[(Q/2)*sin(a)*da]*h/[R^2*sin(a)^2+h^2]^(3/2)
=(ke*Q/2)*sin(a)*da*h/[R^2*sin(a)^2+h^2]^(3/2)

 E=${Ec*da}[a:0~Pi]

a から h に変数変換すると dh=+R*sin(a)*da [a:0~Pi]=[h:r-R~r+R]

 R^2*sin(a)^2+h^2
=R^2-R^2*cos(a)^2+h^2
=R^2-(r-h)^2+h^2
=2*r*h+R^2-r^2 だから、

 E=[ke*Q/(2*R)]*${[h/(2*r*h+R^2-r^2)^(3/2)]*dh}[h:r-R~r+R]

ここで (2*r*h+R^2-r^2)^(3/2)=(2*r)^(3/2)*[h+(R^2-r^2)/(2*r)]^(3/2)

 E
=[ke*Q/(2*R)]*[1/(2*r)^(3/2)]
*${{[h/[h+(R^2-r^2)/(2*r)]^(3/2)}*dh}[h:r-R~r+R] 

■ I1=${[1/(x+A)^(3/2)]*dx}=-2/root(x+A)

■ I2=${[x/(x+A)^(3/2)]*dx}

x+A=X と置けば x=X-A dx=dX

 被積分関数=(X-A)/X^(3/2)=X^(-1/2)-A*X^(-3/2)

積分すれば 2*root(X)+2*A/root(X) だから、

 I2
=2*root(x+A)+2*A/root(x+A)
=[2*(x+A)+2*A]/root(x+A)
=2*(x+2*A)/root(x+A)

{計算力がないのは致命傷だなあ!2015/6}

 ${{[h/[h+(R^2-r^2)/(2*r)]^(3/2)}*dh}
=2*[h+(R^2-r^2)/r]/root[h+(R^2-r^2)/(2*r)]

h=r+R のときの値

 2*[r+R+(R^2-r^2)/r]/root[r+R+(R^2-r^2)/(2*r)]
=2*[(r+R)*R/r]/root[(r^2+2*r*R+R^2)/(2*r)]
=2*[(r+R)*R/r]*root(2*r)/(r+R)
=2*root(2)*R/root(r)

h=r-R のときの値

 2*[r-R+(R^2-r^2)/r]/root[r-R+(R^2-r^2)/(2*r)]
=2*[(-r+R)*R/r]/root[(r^2-2*r*R+R^2)/(2*r)]
=-2*(r-R)*R/r]*root(2*r)/(r-R)
=-2*root(2)*R/root(r)

⇒ 定積分の値=4*root(2)*R/root(r)

 E=[ke*Q/(2*R)]*[1/(2*r)^(3/2)]*[4*root(2)*R/root(r)]=ke*Q/r^2 .

≫ E=ke*Q/r^2 .

{できた!計算力のなさで苦労した!でもできた!2015/6}

■ 電位 球の外部 φ=ke*Q/r 内部 φ=ke*Q/R

『球殻電荷の電場』 2016/8

◆ 球殻電荷[半径 R] 表面に電荷[電荷面密度 σ=一定] 総電荷 Q=4Pi*R^2*σ

■ 球の外部で <E>=<ru>*ke*Q/r^2 φ=ke*Q/r

内部で <E>=0 φ=ke*Q/R

■ Q の代わりに σ を使えば 内部で φ=4Pi*ke*σ*R

{計算例}球殻電荷

◆ 球の表面に電子がくっついている 半径 R=3*Ten(-7)_m 表面の電位 φ=-0.15_V

電荷 Q ? 電子 n_個 表面の電場 E ?

■ Q=-0.15*[3*Ten(-7)]/[9*Ten(9)]=5*Ten(-18)_C

 n=[5*Ten(-18)]/[1.6*Ten(-19)]=31_個

 E=0.15/[3*Ten(-7)]=5*Ten(5)_V/m

{計算例}球殻電荷

★ CGS静電単位系 R=20_cm φ=-1000_V=-3.3_静電ボルト

電子1個の電荷=4.8*Ten(-10)_esu 球の表面の電子の数密度 σ ?

 σ=φ/(4Pi*ke*R)
=-3.3/(4*3.14*1*20)/[-4.8*Ten(-10)]
~2.7*Ten(7)_個/cm^2

★ 地球[R=6378_km] Q=1_C 表面上の電場 E 地球の電位 V

 E
=ke*Q/r^2
=[8.988*Ten(9)]*1/[6.378*Ten(6)]^2
~2.2*Ten(-4)_V/m

 V=[8.988*Ten(9)]*1/[6.378*Ten(6)]~1400_V

◇中性水素が作る電場◇

□ バークレー物理学コース 電磁気 p50 の問題

● ボーア半径(水素原子の大きさの目安) a0
=(4Pi*ε0)*h.^2/(Me*e^2)
~(5.291 772 1092)*Ten(-11)_m

◆ 原点に +e 電子の分布 ρ(r)=C*exp[-r/(a0/2)]〔C:正の定数〕

球[半径 r 中心:原点] 内にある電子の電荷 -Q(r)

■ Q(r)=4Pi*C*${exp[-r/(a0/2)]*r^2*dr}[r:0~r]

 ${x^2*exp(-A*x)*dx}[x:0~x]
=2/A^3-exp(-A*x)*(x^2/A+2*x/A^2+2/A^3)

 ${r^2*exp[-r/(a0/2)]*dr}[0~r]
=2*(a0/2)^3-exp[-x/(a0/2)]*[(a0/2)*r^2+2*(a0/2)^2*x+2*(a0/2)^3]
=a0^3/4-exp[-x/(a0/2)]*(a0*r^2/2+a0^2*x/2+a0^3/4)

 ${r^2*exp[-r/(a0/2)]*dr}[0~a0]
=a0^3/4-exp(-2)*a0^3*(1/2+1/2+1/4)
=a0^3/4-exp(-2)*a0^3*(5/4)
=a0^3*[1/4-exp(-2)*(5/4)]
~a0^3*(1/4-0.169)
=0.081*a0^3

 ${r^2*exp[-r/(a0/2)]*dr}[0~∞]=a0^3/4=0.25*a0^3

 ${r^2*exp[-r/(a0/2)]*dr}[0~a0]/${r^2*exp[-r/(a0/2)]*dr}[0~∞]
=0.081/0.25
~0.324

 Q(a0)/Q(∞)=0.324 .

■ r=a0 での電場 E

CGS国際単位系で

 E
=+e/a0^2-0.324*e/a0^2
=0.676*e/a0^2
=0.676*4.802*Ten(-10)/(5.292^2*Ten(-18)
=0.676*4.802*Ten(-10)/(5.292^2*Ten(-18)
~1.2*Ten(7)_dyn/esu

{わーいできた!2016/8}

☆お勉強しよう 2017-2011 Yuji.W☆

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