☆ 球対称電荷 ☆ |
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◎ 球対称電荷 球状電荷 球対称重力場 ★_ |
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ベクトル <A> 内積 * 外積 # 10^x=Ten(x) 微分
;x 時間微分
' 積分 $
デカルト座標単位ベクトル
<xu>,<yu>,<zu> |
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\3=2.99792458{定義値} 光速 c=\3*Ten(8)_m/sec
\e=1.6021766208 素電荷
qe=\e*Ten(-19)_C 1_eV=\e*Ten(-19)_J
CGS静電単位系 ke=1 <Bcgs>=c*<B> <Acgs>=c*<A> |
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〓 有限な空間図形電荷の電位の次元解析 〓 . ◆ 有限な空間電荷 電荷密度 ρ=一定 任意の観測点の電位 φ 全電荷 Q ■【 次元解析 】 [Q]=[ρ]*[長さ^3] [φ]=[ke]*[Q]/[長さ]=[ke]*[ρ]*[長さ^3]/[長さ]=[ke]*[ρ]*[長さ^2] ≫ [φ]=[ke]*[ρ]*[長さ^2] ★.空間図形電荷の電位 |
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〓 相似な空間図形の電位 〓 . ◆ 2つの相似な空間図形電荷 A,B 電荷密度 ρ=一定 相似比=a:b ある特定の位置の電位 φA,φB ■ 次元解析より [φ]=[ke]*[ρ]*[長さ^2] であるから φA:φB=a^2:b^2 ★. |
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〓 球対称電荷が作る電場 〓 . ◆ 球座標(r,a,b) 球対称電荷 ρ(r) 球[半径 r 中心:原点]内の電荷 Q(r) 観測点:原点からの距離 r 電位 φ(r) 電場 <E(r)>=<ru>*E(r) ■【 球内の電荷 】 Q(r)=4Pi*${ρ(r)*r^2*dr}[r:0~r] ρ(r)=一定 であれば Q(r)=4Pi*ρ*r^3/3=(4Pi/3)*r^3*ρ {当たり前!} ■【 電場 】 原点を中心とする半径 r の球を考える。 ベクトルのガウスの法則より、 $${<E(r)>*<dS>}[S:球面]=$$${div<E>*dV}[V:球] ここで 左辺=4Pi*r^2*E(r) Maxwellの方程式より div<E>=4Pi*ke*ρ だから、 右辺=4Pi*ke*${4Pi*ρ*r^2*dr}[r:0~r]=4Pi*ke*Q(r) ゆえに 4Pi*r^2*E(r)=4Pi*ke*Q(r) E(r)=ke*Q(r)/r^2 ★.半径 r の球内の全電荷が原点に集まった場合と同じ ▲ 球の外側の電荷に影響を受けない。ただし、今の議論では、球対称電荷について考えているから、球の外側の電荷分布も球対称である必要がある。球の外側の電荷が、どんな分布でもいいというわけではない。 ★. ▲ 球対称重力場も同様な結果を得る事ができる ◎ 中空な球対称電荷が作る電場 ◆ 球座標(r,a,b) 球対称電荷 ρ(r) r<R で ρ(r<R)=0 ■ r<R で E(r)=0 φ(r)=一定 その球内では、電荷に力が働かない ★. |
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〓 一様な電荷分布の球が作る電場 〓 . ◆ 球[半径 R 中心:原点] 一様な電荷密度 ρ=一定 総電荷 Q=(4/3)*Pi*ρ*R^3 球[半径 r 中心:原点]内の電荷 q(r)=Q*(r/R)^3 電場 <E>=<ru>*E(r) 電位 φ(r) ■【 電場 】 球対称の電荷分布だから、ある点より内側の電荷にしか影響を受けない。外部の電荷の影響は受けない ★. 球の外部で <E(r)>=<ru>*ke*Q/r^2 ★. 球の内部で、 <E(r)> ※ 電場は、任意の位置で有限であって、発散しない{重要!} ★. ▲ div(<ru>*r)=[(r^3);r]/r^2=3*r^2/r^2=3 div<E>=ke*(Q/R^3)*3=ke*[(4/3)*Pi*ρ]*3=4*Pi*ke*ρ ガウスの法則を満たしている ▲ ρ で表せば 外部で E=(4/3)*Pi*ke*ρ*R^3/r^2 内部で E=ke*(Q/R^3)*r=(4/3)*Pi*ke*ρ*r ■【 電位 】 球の外部で、無限遠の電位を 0 にすれば、 φ(r)=-ke*Q*${(1/r^2)*dr}[r:∞~r]=ke*Q/r=ke*(Q/R)/(r/R) 球の内部で、 φ(r) ※ 電位も、任意の位置で有限であって、発散しない{重要!} ★. ■【 球の中心の電位 】 φ(0)=(3/2)*ke*Q/R ρ を使って表せば φ(0)=(3/2)*ke*(4/3)*Pi*R^3/R=2Pi*ke*R^2
{より理解できた!おもしろいなあ!2016/1} ▲ 上記のポテンシャルの任意の場所にマイナス電荷をそっと(初速度0)置く。球の内部、外部で、電磁気以外の抵抗力を受けない場合、振動現象を起こす。 球の内部に置いた場合は、調和振動子(1次元のバネ振り子)の運動をする。 球の外部に、適当な初速度を与えて置けば、楕円軌道をえがく。惑星の運動と同じになる。 ▲ 重力場や中性子の拡散の問題に適用できる。 |
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〓 金の原子核 〓 . ◆ 金の原子核を、電荷が一様に分布する球とみなす 電荷 79*Qe 半径 6*Ten(-15)_m 中心の電位 φ(0)=(3/2)*ke*Q/R
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φ(0) |
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〓 {復習}簡単なポアソン方程式の解 〓 .
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〓 {別解}一様な電荷分布の球が作る電位 〓 . ◎ ポアソン方程式を解く ◆ 球 半径 R 一様な電荷密度 ρ=一定 総電荷 Q=(4/3)*Pi*ρ*R^3 球の内部の電位 φ ■ 電位と電荷密度の関係 △φ=-4Pi*ke*ρ=一定 φ=(1/6)*(-4Pi*ke*ρ)*r^2+C1/r+C2 r=0 で発散しないようにして C1=0 φ=-(1/6)*4Pi*ke*ρ*r^2+C2 ρ の代わりに Q を使うと、 φ ≫ φ=-(1/2)*ke*(Q/R)*(r/R)^2+C2 ★. |
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〓 球殻電荷が作る電場 〓 . ◎ ガウスの法則を使わないで求めよう。
◆ 球殻電荷 表面に電荷 半径 R 電荷面密度 σ=一定 総電荷 Q=4Pi*R^2*σ 球の中心:原点 観測点:z軸上にあって、原点からの距離 r r>R z軸からの角度 a a~a+da にある円電荷を考える 円電荷が観測点に作る電場の大きさ Ec 球殻電荷が観測点に作る電場の大きさ E ? 2つの電場は、対称性によりz軸成分しかない ■ 円電荷 円の半径=R*sin(a) 総電荷=2*Pi*[R*sin(a)]*σ*(R*da)=(Q/2)*sin(a)*da 円が作る平面と観測点との距離 h=r-R*cos(a) Ec E=${Ec*da}[a:0~Pi] a から h に変数変換すると dh=+R*sin(a)*da [a:0~Pi]=[h:r-R~r+R] R^2*sin(a)^2+h^2 E=[ke*Q/(2*R)]*${[h/(2*r*h+R^2-r^2)^(3/2)]*dh}[h:r-R~r+R] ここで (2*r*h+R^2-r^2)^(3/2)=(2*r)^(3/2)*[h+(R^2-r^2)/(2*r)]^(3/2) E
${{[h/[h+(R^2-r^2)/(2*r)]^(3/2)}*dh} h=r+R のときの値 2*[r+R+(R^2-r^2)/r]/root[r+R+(R^2-r^2)/(2*r)] h=r-R のときの値 2*[r-R+(R^2-r^2)/r]/root[r-R+(R^2-r^2)/(2*r)] ⇒ 定積分の値=4*root(2)*R/root(r) E=[ke*Q/(2*R)]*[1/(2*r)^(3/2)]*[4*root(2)*R/root(r)]=ke*Q/r^2 ★. ≫ E=ke*Q/r^2 ★. {できた!計算力のなさで苦労した!でもできた!2015/6} ■ 電位 球の外部 φ=ke*Q/r 内部 φ=ke*Q/R
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〓 {計算例}球殻電荷 〓 . ◆ 球の表面に電子がくっついている 半径 R=3*Ten(-7)_m 表面の電位 φ=-0.15_V 電荷 Q ? 電子 n_個 表面の電場 E ? ■ Q=-0.15*[3*Ten(-7)]/[9*Ten(9)]=5*Ten(-18)_C n=[5*Ten(-18)]/[1.6*Ten(-19)]=31_個 E=0.15/[3*Ten(-7)]=5*Ten(5)_V/m |
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〓 {計算例}球殻電荷 〓 . ★ CGS静電単位系 R=20_cm φ=-1000_V=-3.3_静電ボルト 電子1個の電荷=4.8*Ten(-10)_esu 球の表面の電子の数密度 σ ? σ=φ/(4Pi*ke*R) ★ 地球[R=6378_km] Q=1_C 表面上の電場 E 地球の電位 V E V=[8.988*Ten(9)]*1/[6.378*Ten(6)]~1400_V |
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〓 中性水素が作る電場 〓 . □ バークレー物理学コース 電磁気 p50 の問題 ●
ボーア半径(水素原子の大きさの目安) a0 ◆ 原点に +e 電子の分布 ρ(r)=C*exp[-r/(a0/2)]〔C:正の定数〕 球[半径 r 中心:原点] 内にある電子の電荷 -Q(r) ■ Q(r)=4Pi*C*${exp[-r/(a0/2)]*r^2*dr}[r:0~r]
Q(a0)/Q(∞)=0.324 ★. ■ r=a0 での電場 E CGS国際単位系で E {わーいできた!2016/8} |
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☆ お勉強しよう 2018-2011 Yuji W. ☆ |