2013/6-2012 Yuji.W

☆電磁輻射☆

◎電磁輻射=輻射=放射=光=電波 電気双極振動子 Electric dipole oscillator
1つの平面上に、無数にある電荷が作る電場 ◆ ◇ 

☆遅延retarded Lienard-Wiechert Potential Heaviside-Feynmann

表示のお約束 物理定数 円周率Pi,Π 微分;x 時間微分' 複素数<|>
ベクトル<> 縦ベクトル<) 単位ベクトル<-u> 内積* 外積# 成分:x
sin(a)=Sa cos(2*b)=C2b tan(x)=Tx 10^n=Ten(n) e^(i*a)=expi(a)

☆動く電荷が作る電磁場☆

◎動く電荷が作る電磁場を考える。電荷の情報が観測者に届くには、時間のずれがあることに注意しなくてはいけない。情報が届いた時刻に、その電荷がどこにあり、どういう運動をしているかはわからない。

「動く電荷が作る電磁場」◇時間微分' Heaviside-Feynmann表記

◆観測点の位置:原点 観測点の時刻 t

※電荷の位置を原点にする場合がある。ベクトルの向きが逆になる。

時刻 tr での電荷の位置や運動の情報が、速さ cで、観測者に時刻 t に届くとする。

電荷 +q E0=q/(4Pi*ε0)=時間に依らない定数

時刻 tr での、電荷の位置 <r> 単位ベクトル <ru> 距離 r

遅延時間 Δt=t-tr=r/c

■<E(t)>/(-E0)=[<ru>/r^2+Δt*(<ru>/r^2)'+<ru>''/c^2][時刻tr]

 <B(t)>=-<ru>#<E(t)>/c

※<E(t)> の右辺は、すべて、時刻 tr に関する量

・<E> の第1項 クーロンの法則

・第2項 (遅延時間)*(クーロンの法則の時間変化率) 視線方向単位ベクトルの時間微分を含んでいる

・第3項 視線方向単位ベクトルの加速度成分 ⇒ 電磁輻射

☆動く電荷が作る電磁場の例☆

★電荷が止まっているとき

 <E(t)>/(-E0)=<ru>/r^2 クーロンの法則

 <B(t)> ∝ <ru>#<ru>=0

★電荷が、原点からまっすぐ一定の速さで遠ざかるとき、遠ざかる速さ v、

 <ru>'=0 (<ru>/r^2)'=-2*v*<ru>/r^3

 Δt*(<ru>/r^2)'=-2*(v/c)*<ru>/r^2

 <E(t)>/(-E0)=(1-2*v/c)*<ru>/r^2 弱くなる

 <B(t)> ∝ <ru>#<ru>=0

距離 r+v*Δt での静止した電荷が作る電磁場 <\E> v/c<<1 のとき、

 <E(t)>/(-E0)
=<ru>/(r+v*Δt)^2
=(1-2*v*Δt/r)*<ru>/r^2
=(1-2*v/c)*<ru>/r^2 だから、

 <E(t)>=<\E>

時刻 t の観測点(原点)での電場は、時刻 tr に、距離 r にある電荷が発した影響が観測点(原点)に届いたのであるが、それは、時刻 t の電荷の真の位置(r+v*Δt)に静止している電荷の影響が、瞬間的に観測点(原点)に届いたものと同じになる。 {とてもおもしろい!2013/6} ただし、v<<c のとき。

★視線方向に垂直な方向 <vu> に一定の速度 v で動く電荷

 r'=0 <ru>''=0 <ru>*<vu>=0 <ru>'=(v/c)*<vu>

 <E(t)>/(-E0)
=<ru>/r^2+<vu>*(v/c)*(r/c)/r^2
=<ru>/r^2+<vu>*(v/c^2)/r

 <B(t)>=-<ru>#<E(t)>/c=+E0*<ru>#<vu>*(v/c^3)/r

☆電磁輻射☆

◎十分遠い距離での、動く電荷による電磁場

■1/r^2 の項は、考えなくてもよいから、第3項だけ残る。さらに、視線方向の変化より、上下左右に動く変化の影響の方が大きいので、それだけ考える。

 <E>/(-E0)=<ru>/c^2'' 右辺は、遅延時刻 tr での量

■r>>1 r'~0 r~r 非相対論的 の場合 <r>と垂直な平面上のある方向 x

 電荷の加速度 Ax=r*|<ru>''|

 Ex=-[q/(4Pi*ε0*c^2)]*Ax/r 電磁輻射の式 ※右辺は、遅延時刻の量

☆☆

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☆電気双極振動子 electric dipole oscillator☆

{注}「電気双極子」とは、違う。

■電気双極振動子 電荷が単振動する。加速度運動だから、周囲に、電場と磁場を作る。

「電気双極振動子」-w^2*z0=A0 E0=q/(4Pi*ε0)

[+]極座標(r,a,b) z軸(鉛直方向)からの角度 a z軸に対しての回転角度 b

■原点に電気双極振動子(電荷 q z軸方向に振動 角振動数 w)
観測点からみた電荷の位置単位ベクトル <ru>
電荷の変位 z=z0*cos(wt)
加速度 Az=-w^2*z0*cos(wt)=A0*cos(wt)
視線方向に対する加速度 Az*Sa=A0*Sa*cos(wt)

振動子から観測点までに届く時間差を考慮して、

 E(r,θ,t)=-(A0*E0/c^2)*Sa*cos[w(t-r/c)]/r ★

▲電場の方向 a方向(z軸に平行か交わる) r方向の成分は 0
 電場の大きさ ∝ Sa xy平面で最大、z軸方向で 0
 電場の大きさ ∝ 1/r

■磁場 <B>=-<ru>#<E>/c
 磁場の方向 b方向(横) r方向の成分は 0
 磁場の大きさ ∝ 電場の大きさ

▲電場が等方的に広がれば、E ∝ 1/r^2 になる。
電気双極振動子による輻射は、振動する方向に対して垂直な面に近いほど強いので、1/r になる。

☆平面上に分布する振動電荷による電場☆

同じ振幅、同じ位相で振動する電荷が、無数に1つの平面上にある。振動面は、その平面上にある。遠く離れた場所での電場を求めよう。

■電荷 q 振幅 x0 角振動数 w 電荷の数面密度 η
 観測点と電荷との距離 r 観測点と平面との距離 z
 平面の中心(観測点からの垂線の足)と電荷との距離 ρ
 E0=q/(4Pi*ε0)

 E=(E0/c^2)*w^2*x0*η*expi(wt)*2(pi)
*${expi[-wr/c)]*ρ/r}dρ[ρ:0->∞]

r^2=ρ^2+z^2 (zは定数) だから、r*dr=ρ*dρ
積分内の ρ/r がうまく処理できて、

 ${expi[-wr/c)]*ρ/r}dρ[ρ:0->∞]
=${expi[-wr/c)]}dr[r:z->∞]
=+(c/w)i*expi[-wr/c)][r:z->∞]=+(c/w)i*[expi(-∞)-expi(-wz/c)]

■expi(-∞) は、大きさ 1 で、複素平面上で回転する複素数である。電荷の数面密度 η は一定の値として計算しているが、実際は、r >>1 で、 η は 0 と見なせるから、expi(-∞)->0 とすることにする。

 E=-i*[2(pi)*E0*w*x0*η/c]*expi[w*(t-z/c)]
=-i*ηq/[2(ε0)c]*w*x0*expi[w*(t-z/c)]
=-ηq/[2(ε0)c]*[電荷の速度|t-z/c|]

 電磁輻射 ★ 2013 Yuji.W

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