物理 電磁気 2018/6-2012/1 Yuji.W
☆ 電気双極子電場+一様な電場 ☆
◎ 電気双極子が作る電場+一様な電場 ★_ 00
◇ ベクトル <A> 内積 * 外積 # 10^x=Ten(x) 微分
;x 時間微分
' 積分 $
ネイピア数 e e^x=exp(x) i^2=-1 e^(i*x)=exp(i*x)=expi(x)
デカルト座標単位ベクトル <x>,<y>,<z> 球座標単位ベクトル <ru>,<a>,<b>
◇ 電磁気.国際単位系 クーロン力定数
ke=1/(4Pi*ε0) 〔
物理定数
〕
磁場 <B> 磁場(光速倍)
<cB> ベクトルポテンシャル <A>
CGS静電単位系 ke=1_無次元 <Bcgs>=<cB> <Acgs>=c*<A>
[国際単位系B=1_T]⇔[CGS静電単位系Bcgs=10000_G] 〔
電磁気単位 〕
〓 電気双極子 〓 ◇ ke=1/(4Pi*ε0)
● 球座標(r,a,b) 座標単位ベクトル <ru>,<a>,<b>
◆ 2つの点電荷 q,-q 2つの点電荷の距離 l -q から +q に向かうベクトル <l>
電気双極子モーメント <pd>=q*<l>
2つの点電荷の中点から観測点に向かうベクトル <r> |<r>|=r <ru>=<r>/r
0<l<<r 観測点における電位 φ 電場 <E>
■ φ=ke*<pd>*<r>/r^3=-ke*<pd>*<grad(1/r)>
<E>=ke*[<ru>*3*(<ru>*<pd>)-<pd>]/r^3
■ <pd>=<z>*pd=<z>*q*l のとき
φ/(ke*pd)=z/r^3=cos(a)/r^2
<E>/(ke*pd)
=[<x>*3*x*z+<y>*3*y*z+<z>*(3*z^2-r^2)]/r^5
=[<ru>*3*z-<z>*r]/r^4
=[<ru>*3*cos(a)-<z>]/r^3
=[<ru>*2*cos(a)+<a>*sin(a)]/r^3
〓 電気双極子+一様な電場 〓
◎ 電気双極子と同方向の電場を加える
◆ 原点にある電気双極子 <pd>=<z>*pd 一様な電場 <z>*E0=一定 E0>0
双極子が作る電位と電場 φ1 , <E1> 一様な電場が作る電位と電場 φ2 , <E2>
■【 等電位面 】
φ1=ke*pd*z/r^3 φ2=-E0*z 〔z=0 で φ1=φ2=0〕
φ1+ φ2=(ke*pd/r^3-E0)*z
電位=0 の面 φ1+ φ2=0 解くと z=0 , r=(ke*pd/E0)^(1/3)
1つめの解はxy平面 2つ目の解は球面 その半径 r0=(ke*pd/E0)^(1/3)
その球面とxy平面によって、空間は４つの領域に分けられ、電位の正負が決まる
また pd=(E0/ke)/r0^3=4Pi*ε0*E0/r0^3 ★_
■【 電場 】
<E1>=ke*pd*[<ru>*3*cos(a)-<z>]/r^3
<E2>=<z>*E0
<E1>+<E2>=<ru>*3*ke*pd*cos(a)/r^3+<z>*(E0-ke*pd/r^3) ★_
■【 r/r0 を使うと 】
ke*pd/r^3=(ke*pd/r0^3)/(r/r0)^3=E0/(r/r0)^3
<E1>+<E2>=<ru>*3*E0*cos(a)*r0^3/r^3+<z>*E0*(1-r0^3/r^3) ★_
■【 等電位面上で 】
r=r0 で <E1>+<E2>=<ru>*3*E0*cos(a) ★_
球面が等電位面なのだから、そこでの電場は動径成分だけになるのは当然
〓 双極子+一様な電場 その2 〓
◎ 電気双極子と逆方向の電場を加える
◆ 原点にある電気双極子 <pd>=<z>*pd 一様な電場 <E>=-<z>*2*ke*pd/R^3
電気双極子と一様な電場が作る電場 <E>
z軸からの角度 a <ru>*<z>=cos(a)
■
<E>
=ke*[<ru>*3*(<ru>*<z>*pd)-<z>*pd]/r^3-<z>*2*ke*pd/R^3
=ke*pd*[<ru>*3*(<ru>*<z>)-<z>*(1+2*r^3/R^3)]/r^3
r=R で、
<E>=[<ru>*(<ru>*<z>)-<z>]*3*ke*pd/R^3
[<ru>*(<ru>*<z>)-<z>]の<ru>成分
=[<ru>*(<ru>*<z>)-<z>]*<ru>
=<ru>*<z>-<z>*<ru>
=0
電場の<ru>成分=<E>*<ru>=0 ★.
また |<ru>*(<ru>*<z>)-<z>|^2
=[<ru>*(<ru>*<z>)-<z>]*[<ru>*(<ru>*<z>)-<z>]
=(<ru>*<z>)^2-2*(<ru>*<z>)^2+1
=1-(<ru>*<z>)^2
=1-cos(a)^2
=sin(a)^2
|<E>|=3*ke*pd*sin(a)/R^3 ★.
◆ 原点にある電気双極子 <pd>=<z>*pd
一様な電場 <E>=-<z>*2*ke*pd/R^3
電気双極子と一様な電場が作る電場 <E> z軸からの角度 a <ru>*<z>=cos(a)
■ r=R で、
<E>=[<ru>*(<ru>*<z>)-<z>]*3*ke*pd/R^3
電場の<ru>成分=<E>*<ru>=0 |<E>|=3*ke*pd*sin(a)/R^3
▲
合成電場の方向
オレンジの円は、(0,0,6)
で <E>=0 にした場合
電気力線は、半径 6 の円(球)を描く。