お勉強しようUz〕 物理 電磁気

2017/4-2012/1 Yuji.W

電気双極子

_ +q,-q の電荷がごく近くにある _〔物理定数

◇積* 商/ 微分;x 時間微分' 積分$ 10^x=Ten(x) exp(i*x)=expi(x)
 ベクトル<> 単位ベクトル<-u> 縦ベクトル<) 内積* 外積#

◇国際単位系(SI系) クーロン力定数 ke=1/(4Pi*ε0) ke/c^2=μ0/4Pi
 電場 <E> 磁場 <B> 磁場(光速倍) <cB> ベクトルポテンシャル <A>
◇CGS静電単位系 ke=1_無次元 <Bcgs>=c*<B> <Acgs>=c*<A>

電気双極子

電気双極子 +q と -q の電荷が近接してあるもの。微妙な位置のずれが、周囲の電場に影響を及ぼす。十分遠方では、電荷がないとみなせる。

▲ 電気双極子が作る電場の方向
正の電荷 z軸正の方向 負の電荷 z軸負の方向

☆距離の差☆

◎ 電気双極子の電場を求めるには、2点間の距離の扱いがポイント

◆ A(0,0,h/2) B(0,0,-h/2) P(x,y,z) OP=root(x^2+y^2+z^2)=r 0<h<<r

■【 PA 】

 PA^2
=x^2+y^2+(z-h/2)^2
=x^2+y^2+z^2-h*z+h^2/4
=r^2-h*z+h^2/4
=r^2*[1-z*h/r^2+(h/r)^2/4]
=r^2*(1-z*h/r^2)

 PA=r*root(1-z*h/r^2)=r*[1-(1/2)*z*h/r^2]

 PA^3=r^3*[1-(3/2)*z*h/r^2]

 1/PA=(1/r)*[1+(1/2)*z*h/r^2]

 1/PA^2=(1/r^2)*[1+z*h/r^2]

 1/PA^3=(1/r^3)*[1+(3/2)*h*z/r^2]

■【 PB 】

 PB^2=r^2*(1+z*h/r^2)

 PB=r*[1+(1/2)*z*h/r^2]

 PB^3=r^3*[1+(3/2)*z*h/r^2]

 1/PB=(1/r)*[1-(1/2)*z*h/r^2]

 1/PB^2=(1/r^2)*[1-z*h/r^2]

 1/PB^3=(1/r^3)*[1-(3/2)*h*z/r^2]

■【 差 】

 1/PA-1/PB=h*z/r^3

 1/PA^2-1/PB^2=2*h*z/r^4

 1/PA^3-1/PB^3=3*h*z/r^5 r:電気双極子の中心から観測点までの距離

◆ A(0,0,h/2) B(0,0,-h/2) P(x,y,z) OP=root(x^2+y^2+z^2)=r 0<h<<r

■ 1/PA-1/PB=h*z/r^3 1/PA^2-1/PB^2=2*h*z/r^4

 1/PA^3-1/PB^3=3*h*z/r^5

電気双極子の電場

◎ 電気双極子の軸上と真横の電場

◆ 電荷+qの位置 A(0,0,h/2) 電荷-qの位置 B(0,0,-h/2)

電気双極子 pd=q*h <pd>=<zu>*pd 電気双極子が作る電場 <E>

観測点 P(x,y,z) r=root(x^2+y^2+z^2) 0<h<<r

■ 軸上で 観測点P(0,0,z) z>0 r=z

 1/PA^2-1/PB^2=2*h*z/z^4=2*h/z^3 だから、

 E=ke*q*(1/PA^2-1/PB^2)=ke*q*2*h/z^3=2*ke*pd/r^3 _

■ 真横 観測点P(x,0,0) x>0 r=x PA=PB

2つの電荷が作る電場のx成分は、逆向きで大きさが等しい。z成分は、大きさも方向も等しい。

 正の電荷が作る電場のz成分=-(ke*q/x^2)*[(h/2)/x]=-(1/2)*ke*q*h/x^3

 E=-2*[(1/2)*ke*q*h/x^3=-ke*q*h/x^3=-ke*pd/r^3 _

{復習}距離 r に対する grad

■ <grad(z/r^3)>=-<3*x*z 3*y*z 3*z^2-r^2>/r^5

z軸上で <grad(z/r^3)>=-<zu>*2/|z|^3

xy平面で <grad(z/r^3)>=<zu>/r^3

■ <grad(z/r^3)>=-[<ru>*(<ru>*<zu>)*3-<zu>]/r^3

電気双極子の電位,電場

◆ 電荷+qの位置 A(0,0,h/2) 電荷-qの位置 B(0,0,-h/2)

電気双極子 pd=q*h <pd>=<zu>*pd

観測点 P(x,y,z) r=root(x^2+y^2+z^2) 0<h<<r

電気双極子が作る電場 <E> 電位 φ

■ 1/PA-1/PB=h*z/r^3 だから、

 φ(x,y,z)=ke*q*(1/PA-1/PB)=ke*q*h*z/r^3=ke*pd*z/r^3 _

{電位はスカラーだから、計算が簡単!2016/2}

■ <E>
=-<grad[φ(x,y,z)]>
=ke*pd*<3*x*z 3*y*z 3*z^2-r^2>/r^5 
_

■ <E>=ke*pd*[<ru>*(<ru>*<zu>)*3-<zu>]/r^3

ここで <pd>=<zu>*pd とすれば、

 <E>=ke*[<ru>*(<ru>*<pd>)*3-<pd>]/r^3 _

z軸方向の電気双極子として計算してきたが、<zu>などを使わないで表す事ができたから、任意の方向の電気双極子の電場を表している事になる。 _

『電気双極子の電場と電位』

◆ 電荷+qと-q 2つの電荷の距離 h

電気双極子 pd=q*h <pd>の方向:-qから+qに向かう方向

双極子の中心から観測点に向かって 距離 r 方向 <ru> h<<r

電気双極子が作る電場 <E>

■ <E>=ke*[<ru>*3*(<ru>*<pd>)-<pd>]/r^3

軸上で <E>=ke*<pd>*2/r^3 真横で <E>=-ke*<pd>/r^3

■ <pd>=<zu>*pd のとき、

 <E>=ke*pd*<3*x*z 3*y*z 3*z^2-r^2>/r^5

▲ z成分がなくなるのは 3*z^2-r^2=0

 3*z^2-(x^2+y^2+z^2)=0

 2*z^2=x^2+y^2 その点とxy平面が作る角 a

 tan(a)=1/root2=root2/2

 a=35°

☆電気双極子が作る場で点電荷が受ける力☆

◆ 電気双極子 <pd>=<zu>*pd 位置:原点 正点電荷が受ける力

■ 上記の欄のグラフは、電気双極子が作る電場の方向を表している。正点電荷が受ける力の方向を表す。

z軸正方向にある正点電荷は、無限遠に飛び去る。ただし、1/|z|^3 の力だから、急激に遅くなる。

z軸負方向にある正点電荷は、原点に向かって来る。

z軸上にはなく、xy平面のz軸正の方向にある正点電荷は、初め原点から遠ざかるが、徐々にxy平面に向かうようになり、やがて、xy平面を横切る。横切った後、原点から遠ざかるが、やがて、原点に向かうようになる。

{別解}電気双極子の電場

◎ 電位の grad をとる

<grad(<pd>*<ru>/r^2)> を求めたい <pd>=<pdx pdy pdz>=定ベクトル

 <pd>*<ru>/r^2=<pd>*<r>/r^3=(pdx*x+pdy*y+pdz*z)/r^3

 <grad(<pd>*<ru>/r^2)>のx成分
=[<pd>*<ru>/r^2];x
=pdx/r^3+(pdx*x+pdy*y+pdz*z)*[(1/r^3);x]

ここで (1/r^3);x=[(1/r^3);r]*[r;x]=(-3/r^4)*x/r=-3*x/r^5 だから、

 <grad(<pd>*<ru>/r^2)>のx成分
=pdx/r^3-(pdx*x+pdy*y+pdz*z)*3*x/r^5
=pdx/r^3-<pd>*<r>*3*x/r^5
=pdx/r^3-<ru>*<pd>*3*x/r^4

同様にして y成分=pdy/r^3-<ru>*<pd>*3*y/r^4
 z成分=pdz/r^3-<ru>*<pd>*3*z/r^4

 <grad(<pd>*<ru>/r^2)>
=<xu>*pdx/r^3-<xu>*(<ru>*<pd>)*3*x/r^4
+<yu>*pdy/r^3-<yu>*(<ru>*<pd>)*3*y/r^4
+<zu>*pdz/r^3-<zu>*(<ru>*<pd>)*3*z/r^4
=<pd>/r^3-<ru>*(<ru>*<pd>)*3/r^3
=<pd>-<ru>*(<ru>*<pd>)*3]/r^3

≫ <grad(<pd>*<ru>/r^2)>=[<pd>-<ru>*(<ru>*<pd>)*3]/r^3 _

■ <E>
=-ke*<grad(<pd>*<ru>/r^2)>
=[<ru>*3*(<ru>*<pd>)-<pd>]*ke/r^3 
_

{素晴らしい!できた!2016/2}

☆分子の電気双極子☆

● e=1.6022*Ten(-19)_C 1_D=3.33564*Ten(-30)_C*m

HCl 

原子間距離 1.274*Ten(-10)_m

 pd=[1.6022*Ten(-19)]*[1.274*Ten(-10)]~20.4*Ten(-30)_C*m

実測値 pd(HCl)=3.70*Ten(-30)_C*m 3.70/20.4~0.18

完全に [H+…Cl-] と分かれているわけではなく、電子が Cl に少しだけ寄っているという事。

■ pd(OH)=5.03*Ten(-30)_C*m

 pd(H2O)=2*pd(OH)*cos(52.5°)=6.07*Ten(-30)_C*m

 pd(NH3)=4.94*Ten(-30)_C*m

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