☆ 電気双極子.電位,電場 ☆

《 お勉強しよう　力学　特殊相対性理論　電磁気　物理学一般　数学　Python　日本史,偉人伝,生物,国語 》
《 物理定数　定数.宇宙　力学の単位　電磁気の単位　自然単位系 》

〇 2つの近接した点電荷　電気双極子　電気双極子が作る電位、電場　2022.7-2012.1

◇ 2*3=6　6/2=3　3^2=9　Ten(3)=10^3=1000　　000 py- 0table　
微分 ;　偏微分 :　積分 $　定積分 ${f(x)*dx 〔x|0~1〕}
ネイピア数 e　虚数単位 i　e^(i*x)=expi(x)
ベクトル <A>　|<A>|=A　<A>/A=<Au>　積 3*<A>　内積 <A>*<B>　外積 <A>#<B>　

◇ (1.6|=1.6021766208　素電荷 qe=(1.6|*Ten(-19)_C=(1.6|*(3|*Ten(-10)_esu

クーロン力定数 ke=1/(4*Pi*ε0)=(3|^2*Ten(9)~8.99*Ten(9)_N*m^2/C^2　

CGS静電単位系で　ke=1_無次元　I=1_A ⇔ I/c=0.1_esu/cm
　Bcgs 1_G ⇔ 磁場 B=Ten(-4)_T ⇔ 磁場(光速倍) cB=(3|*Ten(4)_N/C　　　　2022.7

〓　距離の差　〓　

▢ デカルト座標 (x,y,z)　原点 O　

3点 P,A,B　P(x,y,z)　A(x+Δx/2,0,0)　B(x-Δx/2,0,0)

PO=r=root(x^2+y^2+z^2)　PA=r1　PB=r2　0<Δx<<r

▷ r2-r1=Δx*x/r　1/r1-1/r2=Δx*x/r^3

　1/r1^2-1/r2^2=Δx*2*x/r^4　1/r1^3-1/r2^3=Δx*3*x/r^5

▲ 偏微分　r:x=x/r　(1/r):x=-x/r^3　(1/r^2):x=-2*x/r^4　(1/r^3):x=-3*x/r^5　

〓　電気双極子が作る電位　〓　

◎ 電位はスカラー量だから、方向や成分を考える必要がなく、計算が楽になる。

▢ 円柱座標 (h,a,z _C)　r=root(h^2+z^2)　

電気双極子　正の定数 l　l/r<<1
電荷 +q の位置 A <zu>*l/2　電荷 -q の位置 B -<zu>*l/2　
pd=q*l　<pd>=<zu>*pd　

クーロン力定数 ke=1/(4*Pi*ε0)　

電場はz軸対称　観測点 P <hu>*h+<zu>*z　電位 φ

▷ l/r<<1 において　1/PA=1/r+(1/2)*l*z/r^3　&　1/PB=1/r-(1/2)*l*z/r^3

　1/PA-1/PB=[1/r+(1/2)*l*z/r^3]-[1/r-(1/2)*l*z/r^3]=l*z/r^3

　φ=ke*q*(1/PA-1/PB)=ke*q*l*z/r^3=ke*pd*z/r^3　★　

双極子の中心からみた観測点の位置 <r>  |<r>|=r  <ru>=<r>/r 

内積　<pd>*<r>=(<zu>*pd)*(<hu>*h+<zu>*z)=pd*z　だから、

　φ=ke*<pd>*<r>/r^3　★　

さらに　<grad(1/r)>=-<ru>/r^2=-<r>/r^3  だから、

　φ=-ke*<pd>*<grad(1/r)>　★　

{まとめ}　φ=ke*pd*z/r^3=ke*<pd>*<r>/r^3=-ke*<pd>*<grad(1/r)>　★　

〓　<grad(z/r^3)> , <curl(<-y x 0>/r^3)> , <curl(<au>*h/r^3)>　〓　22.5

▢ デカルト座標 (x,y,z)　r=root(x^2+y^2+z^2)　

円柱座標 (h,a,z_C)　座標単位ベクトル <hu(a)>,<au(a)>,<zu>　
　h=root(x^2+y^2)　

▷ <grad(z/r^3)>=-<3*x*z  3*y*z  3*z^2-r^2>/r^5　

　<curl(<-y x 0>/r^3)>=<3*x*z  3*y*z  3*z^2-r^2>/r^5

▷ <-y x 0>=<au>*h

　<curl(<au>*h/r^3)>=[<hu>*3*h*z+<zu>*(3*z^2-r^2)]/r^5

〓　電気双極子が作る電場　〓　

● 円柱座標で　<grad(f)>=<hu>*(f:h)+<au>*(f:a)/h+<zu>*(f:z)

▢ 円柱座標 (h,a,z _C)　r=root(h^2+z^2)

電気双極子　pd=q*l　<pd>=<zu>*pd　

電位 φ=ke*pd*z/r^3　電場 <E>=-<grad(φ)>

▷ <E>
=-<grad(φ)>　
=ke*pd*[<hu>*3*h*z+<zu>*(3*z^2-r^2)]/r^5　
=ke*pd*<3*x*z  3*y*z  3*z^2-r^2>/r^5　★　

★ z軸上正の領域で　h=0 , r=z　<E>=<zu>*2*ke*pd/z^3　

★ z=0 の面上で　z=0 , r=h　<E>=-<zu>*ke*pd/h^3　

〓　電気双極子が作る電場-2-　〓　

▢ <pd>=<zu>*pd  <E>=ke*pd*<3*x*z  3*y*z  3*z^2-r^2>/r^5 

　<r>=<x y z>  <ru>=<r>/r=<x y z>/r

▷ <E>/ke
=[<ru>*3*(<ru>*<pd>)-<pd>]/r^3
=[<r>*3*(<r>*<pd>)/r^5-<pd>/r^3　★　

{確かめ}　内積 <ru>*<pd>=<ru>*<zu>*pd=pd*z/r　

　<ru>*3*(<ru>*<pd>)=(<x y z>/r)*3*(pd*z/r)=<x y z>*3*pd*z/r^2　

また　<pd>/r^3=<zu>*pd/r^3

　[<ru>*3*(<ru>*<pd>)-<pd>]/r^3
=[<x y z>*3*pd*z/r^2-<zu>*pd/r^3]　
=pd*<3*x*z  3*y*z  3*z^2-r^2>/r^5　

〓　電気双極子.電位,電場　〓　22.5

▢ デカルト座標 (x,y,z)　円柱座標 (h,a,z_C)
　h=root(x^2+y^2)　r=root(x^2+y^2+z^2)=root(h^2+z^2)

原点に電気双極子　電荷 q , -q　距離 d　方向 z軸方向

電気双極子 <zu>*q*d=<zu>*pd=<pd>　

観測点 (x,y,z) , (h,a,z_C)　0<d<<r　電位 φ　電場 <E>

▷ φ=ke*pd*z/r^3=ke*<pd>*<r>/r^3=-ke*<pd>*<grad(1/r)>

▷ <E>
=ke*pd*[<hu>*3*h*z+<zu>*(3*z^2-r^2)]/r^5
=ke*pd*<3*x*z  3*y*z  3*z^2-r^2>/r^5
=ke*[<r>*3*(<r>*<pd>)-<pd>*r^2]/r^5

☆ お勉強しよう　since 2011　Yuji Watanabe