物理 力学

2015/8-2012 Yuji.W

☆いろいろな重力場

◎ 重力場 重力ポテンシャル 円環 円柱対称 球殻 球対称 一様な球

◇ベクトル<> 座標単位ベクトル<xu>,<yu>,<zu> 内積* 外積#
微分; 
時間微分' 積分$ 10^x=Ten(x) e^(i*x)=expi(x) 物理定数  2015/08/14

◇質点が作る重力場.重力ポテンシャル◇

◎ 電場.電位を利用する ◇ 重力定数 G

『点電荷が作る電場』 2015/8 ◇ ke=1/(4Pi*ε0)

◆ 電荷 Q が、r だけ離れた観測点に作る電場 <E(r)> 電位 φ(r)

観測点にある電荷 q に働く力の大きさ <F(r)>

■ <E(r)>=<ru>*ke*Q/r^2 φ(r)=ke*Q/r <F(r)>=q*<E(r)>=<ru>*ke*q*Q/r^2

◆ 質点 M が、r だけ離れた観測点に作る重力場 <G(r)>

重力場 <G(r)>:単位質量が受ける力(重力加速度)

重力ポテンシャル φ(r):単位質量当たりの位置エネルギー

観測点にある質点 m に働く力の大きさ <F(r)>

■ 重力は引力である事に注意して、

<G(r)>=<ru>*G*M/r^2 φ(r)=-G*Q/r <F(r)>=m*<G(r)>=-<ru>*G*m*M/r^2

◇密度一定の球が作る重力場

◎ 質量が一様に広がる球

◆ 球 中心:原点 半径 R 密度 ρ=一定 全質量 M=(4/3)*ρ*Pi*R^3

半径 r の位置の重力場、重力ポテンシャル <G(r)> , φ(r)

■ 質量分布は球対称であるから、当然、<G(r)> , φ(r) も球対称。球対称の場合、次のような重要な、有用な定理がある。

半径 r の位置の重力場、重力ポテンシャルは、半径 r の内側の総質量が原点にある場合と同じになる。外側の質量(もちろん、外側も球対称分布)には影響されない。

▲ r>R のとき ▼

 <G(r)>=-<ru>*G*M/r^2

 φ(r)=-G*M/r+積分定数 r->∞ で φ(r)->0 として 積分定数=0 φ(r)=-G*M/r

▲ r=R のとき ▼

 <G(r)>=-<ru>*G*M/R^2 φ(r)=-G*M/R

▲ r<R のとき ▼

半径 r 内にある質量 M(r)=M*(r/R)^3

 <G(r)>
=-<ru>*G*M(r)/r^2
=-<ru>*G*[M*(r/R)^3]/r^2
=-<ru>*(G*M/R^3)*r 
外側ほど、重力の大きさは大きい

 φ(r)=+(G*M/R^3)*r^2/2+積分定数 r=R の値を比べて 積分定数=-(3/2)*(G*M/R)

 φ(r)=+(G*M/R^3)*r^2/2-(3/2)*(G*M/R)=(G*M/R^3)*(r^2-3*R^2)/2 

▲ r=0 で ▼

 <G(r)>=0 φ(r)=-(3/2)*(G*M/R)〔r->∞ で φ(∞)->0〕

『密度が一定の球が作る重力場』 2015/8

◆ 球 中心:原点 半径 R 密度 ρ=一定 全質量 M=(4/3)*ρ*Pi*R^3

半径 r の位置の重力場、重力ポテンシャル <G(r)> , φ(r)

■ r->∞ <G(r)>->0 φ(∞)->0

r>R <G(r)>=-<ru>*G*M/r^2 φ(r)=-G*M/r

r=R <G(r)>=-<ru>*G*M/R^2 φ(r)=-G*M/R

r<R <G(r)>=-<ru>*(G*M/R^3)*r φ(r)=(G*M/R^3)*(r^2-3*R^2)/2

r=0 <G(r)>=0 φ(r)=-(3/2)*(G*M/R)

◇気体モデルの球が作る重力場

◎ 密度 ∝ 1/r^2 球

◆ 球 中心:原点 半径 R 密度 ρ=k/r^2〔k:正の定数〕 全質量 M

半径 r の位置の重力場、重力ポテンシャル <G(r)>

■ 球殻 r~r+dr にある質量=4Pi*r^2*(k/r^2)*dr=4Pi*k*dr

 半径 r 内の球にある質量=${4Pi*k*dr}[r:0~r]=4Pi*k*r

 全質量 M=4Pi*k*R k=M/(4Pi*R)

 半径 r 内の球にある質量=4Pi*[M/(4Pi*R)]*r=(M/R)*r

0<r<R で

 <G(r)>=-<ru>*G*[(M/R)*r]/r^2=-<ru>*(G*M/R)/r 

いろいろな重力場 

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