2015/8-2012 Yuji.W |
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☆いろいろな重力場☆ |
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◎ 重力場 重力ポテンシャル 円環 円柱対称 球殻 球対称 一様な球 |
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◇ベクトル<> 座標単位ベクトル<xu>,<yu>,<zu> 内積* 外積# |
◎ 電場.電位を利用する ◇ 重力定数 G
◆ 質点 M が、r だけ離れた観測点に作る重力場 <G(r)> 重力場 <G(r)>:単位質量が受ける力(重力加速度) 重力ポテンシャル φ(r):単位質量当たりの位置エネルギー 観測点にある質点 m に働く力の大きさ <F(r)> ■ 重力は引力である事に注意して、 <G(r)>=<ru>*G*M/r^2 φ(r)=-G*Q/r <F(r)>=m*<G(r)>=-<ru>*G*m*M/r^2 |
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◎ 質量が一様に広がる球 ◆ 球 中心:原点 半径 R 密度 ρ=一定 全質量 M=(4/3)*ρ*Pi*R^3 半径 r の位置の重力場、重力ポテンシャル <G(r)> , φ(r) ■ 質量分布は球対称であるから、当然、<G(r)> , φ(r) も球対称。球対称の場合、次のような重要な、有用な定理がある。 半径 r の位置の重力場、重力ポテンシャルは、半径 r の内側の総質量が原点にある場合と同じになる。外側の質量(もちろん、外側も球対称分布)には影響されない。 ▲ r>R のとき ▼ <G(r)>=-<ru>*G*M/r^2 φ(r)=-G*M/r+積分定数 r->∞ で φ(r)->0 として 積分定数=0 φ(r)=-G*M/r ▲ r=R のとき ▼ <G(r)>=-<ru>*G*M/R^2 φ(r)=-G*M/R ▲ r<R のとき ▼ 半径 r 内にある質量 M(r)=M*(r/R)^3 <G(r)> φ(r)=+(G*M/R^3)*r^2/2+積分定数 r=R の値を比べて 積分定数=-(3/2)*(G*M/R) φ(r)=+(G*M/R^3)*r^2/2-(3/2)*(G*M/R)=(G*M/R^3)*(r^2-3*R^2)/2 ★ ▲ r=0 で ▼ <G(r)>=0 φ(r)=-(3/2)*(G*M/R)〔r->∞ で φ(∞)->0〕
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◎ 密度 ∝ 1/r^2 球 ◆ 球 中心:原点 半径 R 密度 ρ=k/r^2〔k:正の定数〕 全質量 M 半径 r の位置の重力場、重力ポテンシャル <G(r)> ■ 球殻 r~r+dr にある質量=4Pi*r^2*(k/r^2)*dr=4Pi*k*dr 半径 r 内の球にある質量=${4Pi*k*dr}[r:0~r]=4Pi*k*r 全質量 M=4Pi*k*R k=M/(4Pi*R) 半径 r 内の球にある質量=4Pi*[M/(4Pi*R)]*r=(M/R)*r 0<r<R で <G(r)>=-<ru>*G*[(M/R)*r]/r^2=-<ru>*(G*M/R)/r ★ |
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★ いろいろな重力場 ★ |