☆ 力学的相似 ☆ |
〇 同次関数 ケプラーの第3法則 「ランダウ=リフシッツ 理論物理学教程 力学」 2024.3-2012.1 Yuji.W ★ |
▢ 2*3=6 Ten(3)=10^3=1000 微分 ; 偏微分 : 積分 $ e^(i*x)=expi(x) |
〓 同次関数 〓 ◎ homogeneous function 斉次関数 〇 例えば 変数 x,y x,yの関数 f(x,y)=x^2+3*x*y+4*y^2 ★ すべての項の次数が2次で同じである。定数項はない。こういう関数を「2次の同次関数」という。 定数 α に対して、 f(α*x,α*y) f(α*x,α*y)=α^2*f(x,y) 一般に、k次の同次関数 f(x,y) f(α*x,α*y)=α^k*f(x,y) ★ さらに、変数の数が増えても同様に考える事ができる。 〇 同次関数 1変数0次 f(x)=定数 1変数1次 f(x) ∝ x 比例する場合のみ ※ 一般の1次関数は同次関数ではない 1変数 -1 次 f(x) ∝ 1/x 反比例する場合のみ 2変数 -1 次 f(x,y) ∝ 1/root(x^2+y^2) or f(x) ∝ 1/root(x^2+3*x*y+4*y^2) など 3変数 -1 次 f(x,y,z) ∝ 1/root(x^2+y^2+z^2) など 1変数 -2 次 f(x) ∝ 1/x^2 x^2 に反比例する場合のみ 2変数 -2 次 f(x,y) ∝ 1/(x^2+y^2) or f(x) ∝ 1/(x^2+3*x*y+4*y^2) など 3変数 -2 次 f(x,y,z) ∝ 1/(x^2+y^2+z^2) など {全然わかってなかった!23.5} |
〓 力学的相似 〓 ◎ 以下、1質点の運動について記述する。2質点以上に拡張するのは簡単である。 ▢ 1質点の運動 質量 m 位置 <r> 運動エネルギー K=(1/2)*m*(<r>;t) 位置エネルギー U(m , <r>) ただし、正の定数 α , γ
定数 k 定数 h=1 or h=0 に対して、 次の2つの運動の関係を考える。正の定数 α , β , γ として、 ① 質量 m 位置 <r> , 時間 t 位置は、すべての座標を α倍しているから、2つの運動の軌道は「相似」である。 ★ ▷ ①の物理量に対する、②の物理量について考える。 速さ α/β 倍 運動エネルギー γ*(α/β)^2 倍 位置エネルギー γ^h*α^k 倍 次の関係を満たせば、運動方程式は同じになり、同じ結果を得る事ができる。 γ*(α/β)^2=γ^h*α^k ⇒ γ^(1-h)*α^(2-k)=β^2 ★ |
〓 力学的相似 〓 《 力学的相似 24.3 》 ▢ 1質点の運動 質量 m 位置 <r> 位置エネルギー U(m , <r>) ただし、正の定数 α , γ
定数 k 定数 h=1 or h=0 に対して、 次の2つの運動の関係を考える。正の定数 α , β , γ として、 ① 質量 m 位置 <r> , 時間 t 位置は、すべての座標を α倍しているから、2つの運動の軌道は「相似」である。 ▷ 次の関係を満たせば、①と②の運動方程式は同じになり、同じ結果を得る事ができる。 γ^(1-h)*α^(2-k)=β^2 |
〓 力学的相似.調和振動子 〓 ▢ 調和振動子 1次元運動 位置エネルギーは (変位量)^2 に比例する ▷ (位置エネルギー) ∝ x^2 ⇒ k=2 また 質量には依らないから h=0 次の場合に運動方程式は同じになる γ^(1-0)*α^(2-2)=β^2 ⇒ γ=β^2 ★ ▷ 質量が同じである場合 γ=1 β=1 周期は振幅に依らず一定になる ★ 振り子の等時性 ▷ 質量が変化する場合 (時間の比)=root(質量の比) ★ 例えば、質量が 2倍 になれば、周期は root(2)倍 になる |
〓 力学的相似.一様な重力場.自由落下運動 〓 ▢ 一様な重力場 自由落下運動 質点の質量 m ▷ (位置エネルギー) ∝ m*x ⇒ h=1 , k=1 次の場合に運動方程式は同じになる γ^(1-1)*α^(2-1)=β^2 ⇒ α=β^2 ★ (落下距離) ∝ (時間)^2 質量に依らない値 ★ |
〓 力学的相似.惑星の運動 〓 ▢ 重力源の質量 M=一定 惑星の質量 m 距離 r ▷ (位置エネルギー) ∝ m/r ⇒ h=1 , k=-1 次の場合に運動方程式は同じになる γ^(1-1)*α^(2+1)=β^2 ⇒ α^3/β^2=一定 ★ 惑星の質量には依らない ※ ランダウの教科書では、これを「ケプラーの第3法則」であると書いてあるが、それは間違い。力学的相似は、あくまで軌道が相似である場合を考えている。離心率が同じである場合だけを考えている。 それに対して、「ケプラーの第3法則」 (軌道の長径)^3/(周期)^2=一定 ★
♡ ここがわからず、何十年も悩んでしまった{!2024.3} |
〓 力学的相似.惑星の運動-2- 〓 ▢ 重力源の質量が変化する場合を考える ▷ 速さ α/β 倍 運動エネルギー (α/β)^2 倍 位置エネルギー (重力源の質量の比)/α 倍 次の場合に運動方程式は同じになる (α/β)^2=(重力源の比)/α ⇒ α^3=β^2*(重力源の質量の比) ★ ▷ 同じ軌道をえがく場合 α=1 ⇒ β=1/root(重力源の質量の比) 例えば、重力源の質量の比が 2倍 になれば、位置エネルギーも 2倍 になり、 ▷ β=1 周期が同じになるためには、 α=(重力源の質量の比)^(1/3) ★ 例えば、重力源の質量の比が 2倍 になれば、 (長さの比)=2^(1/3)~1.26 ★ |
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