☆お勉強しようUz☆ 物理.力学

2016/3-2012/12 Yuji.W

力学的相似

◎ 力学的相似 いろいろな比 一様な重力場 距離の逆2乗則 調和振動子 ケプラーの第3法則 {わかり出すと、いろいろ利用できて、おもしろい!}

◇ ベクトル<A> 縦ベクトル<A) 単位ベクトル<-u> 内積* 外積# 微分;x 時間微分' 10^x=Ten(x) exp(i*x)=expi(x) 共約複素数\z  物理定数 .

◇図形の相似と座標変換◇

■ 関数 f(x,y)=0 その関数を満たす平面上の任意の点 (x,y)

点 (x,y) に対して s倍 した点 (X,Y) X=s*x Y=s*y f(X/s,Y/s)=0

関数 f(x,y)=0 が描く図形と、関数 f(X/s,Y/s)=0 が描く図形は相似(相似の中心は原点 相似比 s)

★ x^2+y^2=R^2 半径 R の円

 (X/s)^2+(Y/s)^2=R^2 X^2+Y^2=(s*R)^2 半径 s*R の円

★ 放物線 y=a*x^2

放物線を a 倍すると Y/a=a*(X/a)^2 Y=X^2

任意の放物線と、放物線 y=x^2 は相似 ⇒ すべての放物線は相似 .{初めて聞いた時は感動したなあ!2015/7}

◇距離と、かかる時間◇

◎ 位置エネルギー U ∝ x^k の場合に、ある特定の運動にかかる時間と距離の関係を考える

★ 1質点[質量 m] 等速円運動 回転半径 r 力=-k/x^2 回転周期 T

 U=-k/x ∝ x^(-1)

運動方程式 m*x*w^2=k/x^2 w^2 ∝ 1/x^3 w ∝ 1/x^(3/2)

 T ∝ 1/w ∝ x^(3/2)

★ 等速直線運動 進む距離 x かかる時間 T

 U ∝ x^0 T ∝ x

★ 一様な重力場[重力加速度 g] 自由落下運動[質量 m] 距離 x 落ちるのにかかる時間 T

 U=m*g*x ∝ x

 (1/2)*g*T^2=x T ∝ x^(1/2)

1次元調和振動子 質点 m ばね定数 k 周期 T 振幅 x0

 U=(1/2)*k*x^2 ∝ x^2

 T=定数(x に依らない)

U ∝ x^k k の値

-1

0

1

2

k

T ∝ x^k k の値

3/2

1

1/2

0

1-k/2

◇力学的相似◇

■ ある運動の運動エネルギーと位置エネルギー K,U

別の運動の運動エネルギーと位置エネルギー \K,\U

 K/U=\K/\U のとき 運動の形が同じ 力学的相似 

◆ 運動@ (x,y,z,t) その運動の運動エネルギーと位置エネルギー K,U

距離を α 倍、時間を β 倍した運動A (\x,\y,\z,\t) \K,\U

\x=α*x \y=α*y \z=α*z \t=β*t

U ∝ (距離)^k U(α*x,α*y,α*z)=α^k*U(x,y,z) と表せる場合

運動@と運動Aが力学的相似 α と β の関係 ? 

位置エネルギー \U/U=U(α*x,α*y,α*z)/U(x,y,z)=α^k*U(x,y,z)/U(x,y,z)=α^k

運動エネルギー \K/K=(長さ/時間)^2=(α/β)^2

相似になるのは (α/β)^2=α^k β=α^(1-k/2) .

U ∝ (距離)^k と表せるとき 相似な運動で 時間 ∝ (距離)^(1-k/2) .


◆ ある運動で 距離 l 時間 t 速さ v 運動エネルギー K 角運動量 L

力学的相似な運動で \l,\t,\v,\K,\L

U ∝ (距離)^k U(α*x,α*y,α*z)=α^k*U(x,y,z) と表せる場合

■ 同様にして、力学的相似を拡張できる

 \t/t=(\l/l)^(1-k/2) \v/v=(\l/l)^(k/2) \K/K=(\l/l)^k

 \L/L=(\v/v)*(\l/l)=(\l/l)^(1+k/2)

\t/t を基準にすると、

 \l/l=(\t/t)^[2/(2-k)] \v/v=(\t/t)^[k/(2-k)] \K/K=(\t/t)^[2*k/(2-k)]

 \L/L=(\t/t)^[(2+k)/(2-k)] 

等速直線運動 力 0 U=一定 k=0 

 \t/t=\l/l 進む距離は時間に比例する

 \v/v=1 速さは変わらない \K/K=1 運動エネルギーも変わらない

 \L/L=\l/l 角運動量(等速直線運動にも角運動量はある)は、距離に比例する

一様な重力場 力 一定 U ∝ x k=1 

 \t/t=(\l/l)^(1/2) 距離が2倍になれば、かかる時間は root2 倍

 \v/v=(\l/l)^(1/2) 距離が2倍になれば、速さは root2 倍

 \K/K=\l/l 運動エネルギーは、距離に比例する

 \L/L=(\l/l)^(3/2) 距離が2倍になれば、角運動量は 2*root2 倍

\t/t を基準にすると、

 \l/l=(\t/t)^2 時間が2倍、3倍、…となると、進む距離は4倍、9倍、…

 \v/v=\t/t 速さは時間に比例する

 \K/K=(\t/t)^2 時間が2倍、3倍、…となると、運動エネルギーは4倍、9倍、…

 \L/L=(\t/t)^3 時間が2倍、3倍、…となると、角運動量は8倍、27倍、…

調和振動子 力 ∝ -x U ∝ x^2 k=2 

 \t/t=1 周期は、振幅に依らない

 \v/v=\l/l 原点を通る速さは、振幅に比例する

 \K/K=(\l/l)^2 振幅が2倍、3倍、…となると、運動エネルギーは4倍、9倍、…

 \L/L=(\l/l)^2 振幅が2倍、3倍、…となると、角運動量は4倍、9倍、…

逆2乗則 力 ∝ -1/r^2 U ∝ -1/r k=-1 

 \t/t=(\l/l)^(3/2) 周期 ∝ (軌道半径)^(3/2) ケプラーの第3法則

 \v/v=(\l/l)^(-1/2) 公転速度 ∝ 1/root(軌道半径)

 \K/K=(\l/l)^(-1) 運動エネルギー ∝ 1/(軌道半径)

 \L/L=(\l/l)^(1/2) 公転角運動量 ∝ root(軌道半径)

 \l/l=(\t/t)^(2/3) ケプラーの第3法則

 \v/v=(\t/t)^(-1/3) 公転速度 ∝ 1/(周期)^3

 \K/K=(\t/t)^(-2/3) 運動エネルギー ∝ 1/(周期)^(2/3)

 \L/L=(\t/t)^(1/3) 公転角運動量 ∝ 周期^(1/3)

『力学的相似.逆2乗則の力』 2015/12 ケプラーの第3法則の拡張

◆ 逆2乗則の力 位置エネルギー ∝ -1/r

■ 周期 ∝ (軌道半径)^(3/2) ケプラーの第3法則

公転速度 ∝ 1/root(軌道半径) ∝ 1/(周期)^3

運動エネルギー ∝ 1/(軌道半径) ∝ 1/(周期)^(2/3)

公転角運動量 ∝ root(軌道半径) ∝ 周期^(1/3)

 {いちいち方程式を解かなくても、これだけの事がわかる!おもしろい!2015/12}

◇力学的相似-太陽系の惑星◇

■ 太陽系の主な惑星の公転運動を調べる。太陽からの距離(半径)、周期、軌道速度を調べてみた。地球の値を、1 にしてある。

『太陽系の惑星の運動.力学的相似』 2015/12

 ■

金星

地球

火星

木星

半径

0.723

1

1.52

5.2

(半径)^3

0.378

1

3.511

141

周期

0.625

1

1.908

12.065

(周期)^2

0.391

1

3.64

146

速度

1.174

1

0.808

0.439

1/(速度)^2

0.726

1

1.53

5.19

力学的相似より (半径)^3/(周期)^2=一定=1 & (速度)^2*(半径)=一定=1

 (半径)^3=(周期)^2 & 1/(速度)^2=半径 ほぼ成り立っている

{おもしろいなあ!2015/7}

  力学的相似  

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