☆お勉強しようUz☆ 物理.電磁気

2016/3-2012/12 Yuji.W

ラザフォード散乱

◎ 荷電粒子同士による散乱 金箔にアルファ線を当てる ケプラー問題 斥力 Rutherford scattering

◇ ベクトル<A> 縦ベクトル<A) 単位ベクトル<-u> 内積* 外積# 微分;x 時間微分' 10^x=Ten(x) exp(i*x)=expi(x) 共約複素数\z 物理定数 .

{復習}ケプラー問題.斥力、散乱断面積

『ケプラー問題.斥力』 2016/3

◆ ケプラー問題 円座標(r,a) 1質点(質量 m) <F>=-<ru>*k/r^2 k<0 で斥力 ※ 電気力 k=-[1/(4Pi*ε0)]*q1*q2

■ r^2*a'=一定=b 角運動量 L=m*r^2*a'=一定 a=0 のとき r=r0

 r=[b^2*m/(-k)]/{[1+b^2*m/(-k)/r0]*cos(a)-1}

b^2*m/(-k)=\l 1+b^2*m/(-k)/r0=\e として、

 r=\l/[\e*cos(a)-1]

■ A=\l/(\e^2-1) B=\l/root(\e^2-1) F=\e*\l/(\e^2-1) と置けば、

 (x-F)^2/A^2-y^2/B^2=1 双曲線(原点:x軸のマイナス側の焦点)

 A:双曲線の中心からx切片までの距離
 F:双曲線の中心から焦点までの距離

■ A^2+B^2=F^2 B^2/A=\l F/A=\e

 マイナス側の焦点から、軌道への最短距離 r0=F+A=\l/(\e-1)

■ 衝突係数(漸近線と焦点との距離)=B=\l/root(\e^2-1)

 r0/衝突係数=root[(\e+1)/(\e-1)]

 ■ 2*m*E=L^2*(\e^2-1)/\l^2 .

■ 漸近線とx軸とが作る角 \a tan(\a)=B/A=root(\e^2-1)

無限遠からの軌道が、無限遠への軌道へと、向きが変わる角度 a_bend

 cos(a_bend)=2/\e^2-1

『散乱断面積』 2016/3

■【 散乱 】

標的をz軸上に1個固定する。入射粒子を多数、z軸のマイナス側から、z軸に平行に入射する。それぞれの粒子は、それぞれの方向に散乱される。次の2つの量は、1対1に対応するとする。

 入射粒子が通過した位置 ⇔ 散乱される方向 

入射の断面積 σ 散乱される立体角 o

 微分断面積 σ;o=(入射の断面積)/(散乱後の立体角の大きさ)

■【 z軸対称の場合 】

球座標[(r,a,b) z軸と作る角 a z軸の周りの回転角 b]

衝突係数 h=(入射粒子の軌道とz軸との距離) 散乱角 a

 σ;o=[h/sin(a)]*|h;a|

◇ラザフォード散乱◇

◆ 1911年 ラザフォード散乱 クーロン散乱

「金箔にアルファ線を当てると、大部分は透過する。一部、大きな角度で散乱される。」原子の内部に、正電荷を持つ核が存在する証拠となった。

正電荷が、正電荷に近づく運動、すなわち、ケプラー問題の斥力の場合に相当する。距離の逆2乗の中心力(斥力)を受けて運動する。必ず、双曲線を描く。

●アルファ線の電荷 +2 質量数 4  金箔の電荷 +79 質量数 197

◇軌道◇

●アルファ線の電荷 +2 質量数 4  金箔の電荷 +79 質量数 197

◆ 衝突する粒子の電荷 q 質量 m 衝突される粒子の電荷 Q 質量 M m<<M

 k=+[1/(4Pi*ε0)]*Q*q 

 電気力 F(r)=k/r^2 位置エネルギー U(r)=+k/r

■【 軌道 】

 r^2*a'=一定=b 角運動量 L=m*b=m*r^2*a'=一定 最短距離 r0

 l=b^2*m/k=L^2/(m*k)

 e=1+b^2*m/k/r0=1+L^2/(m*k*r0)

 双曲線の中心からx切片までの距離 A=l/(e^2-1)=[L^2/(m*k)]/(e^2-1)

 衝突係数(漸近線と焦点との距離) B=l/root(e^2-1)=[L^2/(m*k)]/root(e^2-1)

 双曲線の中心から焦点までの距離 F=e*l/(e^2-1)=[L^2/(m*k)]*e/(e^2-1)

 A^2+B^2=F^2 B^2/A=l F/A=e

 r0=F+A=l/(e-1)=[L^2/(m*k)]/(e-1)

 r0/B=root[(e+1)/(e-1)]

■【 全エネルギー 】

 2*m*E
=L^2*(e^2-1)/l^2
=L^2*(e^2-1)/[L^2/(m*k)]^2
=m^2*k^2*(e^2-1)/L^2

 2*E*L^2=m*k^2*(e^2-1) .

衝突係数 B を使うと B=[L^2/(m*k)]/root(e^2-1) より、

 2*B*E=k*root(e^2-1) e^2=1+(2*B*E/k)^2 .

■ 無限遠での速さ v(∞)

角運動量 L は、保存されている。いつでも一定の値をとる。

無限遠での速度を含む直線と、双曲線の焦点(力の源)との距離は、衝突係数 B になるから、

 L=m*v(∞)*B

無限遠での全エネルギーは、運動エネルギーだけになるから、

 E=(1/2)*m*v(∞)^2

上記の2式より、v(∞) を消去すれば、

 E=(1/2)*m*[L/(m*B)]^2

 2*m*B*E^2=L^2 .

◇散乱角◇

■【 漸近線 】

 漸近線とx軸とが作る角 \a tan(\a)=B/A=root(e^2-1)

 散乱角(無限遠からの軌道が、無限遠への軌道へと、向きが変わる角度) a_bend

 a_bend=Pi-2*\a

 a_bend/2=Pi/2-\a

 tan(a_bend/2)=tan(Pi/2-\a)=1/tan(\a)=1/root(e^2-1)

 cos(a_bend/2)=root(e^2-1)/e

 sin(a_bend/2)=1/e

ここで e^2=1+(2*B*E/k)^2 を使うと root(e^2-1)=2*B*E/k だから、

 tan(a_bend/2)=1/root(e^2-1)=k/(2*B*E) .

 〔k=+[1/(4Pi*ε0)]*Q*q 全エネルギー E 衝突係数 B〕

{復習した!2016/3}{やったあ、できたあ。ずいぶん、面倒だったなあ!2012/12}

以下、散乱角 a_bend=a と書くと、

 tan(a/2)=1/root(e^2-1)=k/(2*B*E)

 cos(a/2)=root(e^2-1)/e=2*B*E/root(k^2+2*B*E)

 sin(a/2)=1/e=k/root(k^2+2*B*E)

■【 衝突係数 h 】

 h=(1/2)*(k/E)/tan(a/2)〔散乱角 a〕

 [1/f(x)];x=-[f(x);x]/f(x)^2 & tan(a);a=1/cos(a)^2

 tan(a/2);a=1/[2*cos(a/2)^2]

 [1/tan(a/2)];a
=-[tan(a/2);a]/tan(a/2)^2
=-{1/[2*cos(a/2)^2]}*[cos(a/2)^2/sin(a/2)^2]
=-1/[2*sin(a/2)^2

 h;a=-(1/4)*(k/E)/sin(a/2) .

■【 最短距離と散乱角 】

 r0/h=root[(e+1)/(e-1)] & 2*h*E=k*root(e^2-1) より h を消去すると、

 r0=root[(e+1)/(e-1)]*[root(e^2-1)*k/(2*E)]=(e+1)*k/(2*E)

ここで sin(a/2)=1/e を使うと、

 r0=[k/(2*E)]*[1+1/sin(a/2)] .

◇ラザフォードの散乱公式◇

◆ 1つの粒子を打ち込む場合、E はコントロールする事ができるが、衝突係数は、非常に小さいので、コントロールできない。多数の粒子を打ち込む事を考える。

粒子の進む方向(すべての粒子は平行に進む) z軸 マイナス側からプラス側へ

単位時間に単位断面積を通る粒子の数(一定) N

原点に、+電荷を置く

衝突係数に応じて、ある散乱角で曲がる。現象は、z軸に対して対称である。

{注}以下、a_bend=a と表記する。

■ h=(1/2)*(k/E)/tan(a/2)

 h/sin(a)=(1/2)*(k/E)/[tan(a/2)*sin(a)]

ここで tan(a/2)*sin(a)
=[sin(a/2)/cos(a/2)]*[2*sin(a/2)*cos(a/2)]
=2*sin(a/2)^2 だから、

 h/sin(a)=[k/(4*E)]/sin(a/2)^2

また h;a=-(1/2)*(k/E)*(1/2)/sin(a)^2=-(1/4)*(k/E)/sin(a/2)^2

 |h;a|=[k/(4*E)]/sin(a/2)^2

 σ;o
=[h/sin(a)]*|h;a|
={[k/(4*E)]/sin(a/2)^2}*{[k/(4*E)]/sin(a/2)^2}
=[k/(4*E)]^2/sin(a/2)^4

≫ σ;o=[k/(4*E)]^2/sin(a/2)^4 .ラザフォードの散乱公式

〔k=Q*q/(4Pi*ε0) E=(1/2)*m*v(∞)^2〕

{やっと、たどりついた。手間がかかった!2012/12}{復習した!2016/3}

『ラザフォード散乱』 2015/8

散乱角 a_°

0

10

20

30

60

90

120

150

180

1/sin(a/2)

11.5

5.76

3.86

2

1.27

1.15

1.04

1

1/sin(a/2)^4

17490

1100

222

16

2.6

1.7

1.2

1

▲ 10°~180° を測定するには、10000倍以上のレンジを持つ計数管を使う必要がある{!}

■ アルファ粒子 q=2*e 金 Q=79*e ke*e^2~2.31*Ten(-28)_J*m~1.44*Ten(-9)_eV

 k=ke*e^2*2*79=[1.44*Ten(-9)]*158=2.28*Ten(-7)_eV*m

★ アルファ粒子 E=5_MeV 光速に近い速さ 金に最も近づく距離 r_min

 r_min=k/E=[2.28*Ten(-7)]/[5*Ten(6)]=4.56*Ten(-14)

原子核の大きさは、これより小さいと見積もれる。原子の大きさ~Ten(-10)_m だから、原子の中身はほとんど空間であると言える。

◇最短距離◇

◎ 正の荷電粒子を、原子核に向けて打ち込む

● ke*e^2=[2.307*Ten(-28)]_J*m=[1.440*Ten(-9)]_eV*m

◆ 荷電粒子[質量 m 電荷 z*e 運動エネルギー K] 原子核[質量 M 電荷 Z*e]

最短距離 r_min m<<M 原子核は静止

■ K=ke*e^2*Z*z/r_min

 r_min=ke*e^2*Z*z/K 

★ アルファ粒子[z=2 K=6_MeV]を、鉄の原子核[Z=26]に衝突させる

 r_min=[1.440*Ten(-9)]*26*2/[6*Ten(6)]~1.25*Ten(-14)_m

  ラザフォード散乱  

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