☆お勉強しようUz☆ 物理.力学

2016/9-2012 Yuji.W

☆月へ.ホーマン軌道☆

◎ 月へ 宇宙船の軌道 円軌道から楕円軌道へ

◇ ベクトル<A> 縦ベクトル<A) 単位ベクトル<-u> 内積* 外積# 微分;x 時間微分' 10^x=Ten(x) exp(i*x)=expi(x) 共約複素数\z 物理定数.

{復習}楕円

『楕円』 2016/9

◆ 楕円 長半径 A 短半径 B 焦点 F 離心率 e 0≦e<1 通径 l

最短距離 r0 最遠距離 r1

■ x^2/A^2+y^2/B^2=1 F=root(A^2-B^2) e=F/A l=B^2/A

■ r0=A*(1-e) r1=A*(1+e) e=(1-r0/r1)/(1+r0/r1) A=(r0+r1)/2

■ 楕円の面積=Pi*A*B

{復習}楕円運動をする質点の速さ

『楕円運動をする質点の速さ』 2016/9

◆ 最短距離 r0 最遠距離 r1 そこでの速さ v0,v1

離心率 e r1/r0=(1+e)/(1-e)

最短距離を半径とする円運動の速さ vc=root(G*M/r0)

■ v0/vc=root(1+e) v1/v0=(1-e)/(1+e) v1/vc=(1-e)/root(1+e)

『楕円運動のエネルギー』 2016/9

運動エネルギー/\K

位置エネルギー/\K

全エネルギー /\K

円.最短距離で

1

-2

-1

楕円.最短距離で

1+e

-2

-(1-e)

楕円.最遠距離で

(1-e)^2/(1+e)

-2*(1-e)/(1+e)

-(1-e)

◇円運動から楕円運動へ◇

◎ 重力源の周囲を円運動をする物体が、なんらかの方法で、接線方向にその速さを増すとする。その後の軌道はどうなるだろうか。

※ 速さを増す方向が接線方向でない場合は、別に計算する必要がある。このページでは、接線方向に速さを増す場合だけを考える。

■【 軌道 】

動かない重力源からの重力のみを受けて運動をする物体の軌道は、次の4種類に限られる。

 @ 円 A 楕円 B 放物線 C 双曲線


◆ 重力源の質量 M

元の円運動 半径 r0 速さ vc=root(G*M/r0)

元の円の接線方向に瞬間的に加速する 加速直後の速さ V ※ だんだん遅くなる

その後の軌道について、次の事がわかる。

@ 重力のみを受けて動くので、楕円を描く。(速さが大きくなれば、放物線、双曲線になる)。

A 楕円軌道をする物体の速度の半径方向成分が 0 であるのは、最短地点か最遠地点に限られる。加速した地点が最短地点になる。

新しい楕円軌道の離心率 e 最遠距離 r1

円軌道から楕円軌道に変わる軌道を「ホーマン軌道」と言う

■【 離心率 】

最短距離 r0 での速さが V である楕円で、

 V/vc=root(1+e) 1+e=(V/vc)^2

■【 長半径、最遠距離、最遠距離での速さ 】

離心率が求められたので、後は、なんでも求める事ができる

長半径 A A/r0=1/(1-e)

最遠距離 r1 r1/r0=(1+e)/(1-e) e=(r1/r0-1)/(r1/r0+1)

最遠距離での速さ v1

 v1/V=(1-e)/(1+e) v1/vc=(1-e)/root(1+e)

{おもしろいなあ!長年の疑問が解けた!やったあ!2016/9}

■【 速さの制限 】

楕円軌道であるためには e<1

 (V/vc)^2-1 < 1

 V/vc < root2 .

V/vc ≧ root2 だと、放物線か双曲線になり、そのままだと、戻って来れなくなる

 V=root2*vc 宇宙速度、脱出速度

★ V/vc=1.1 のとき、

 1+e=1.21 e=0.21

 r1/r0=(1+e)/(1-e)=1.21/0.79~1.53

速さを 1割増しにすると、およそ 1.5倍の距離の所まで行ける

★ V=10.9_km/sec vc=7.78_km/sec のとき、

 1+e=(10.9/7.78)^2~1.401^2~1.963

 e=0.963 1-e=0.037

 r1/r0=(1+e)/(1-e)=1.963/0.037~53

※ root2*vc~11 であるから 10.9_km/sec は、脱出速度にかなり近い。放物線や双曲線になってしまう速さに近いという事である。

◇月へ.ホーマン軌道◇

◎ 地球の周りを円運動している。接線方向に加速し、楕円軌道になり、月の軌道にまで達したい。

◆ 地球の周りを円運動 高度 200_km 回転半径 6578_km 速さ vc

接線方向に加速し、達した速さ V

新しい楕円軌道の離心率 e 最遠距離 r1 長半径 A 周期 T

※ 本当は、月の重力も影響している。その効果は無視して考えてみる。

■【 必要な速さ V 】

 vc=root{[3.99*Ten(14)]/[6.578*Ten(6)]}~7.78*Ten(3)_m/sec

 r1/r0=384400/6578~58.44

 e=(r1/r0-1)/(r1/r0+1)=57.44/59.44~0.966

 V/vc=root(1.966)~1.402

 V=7.78*1.402~10.91_km/sec .

※ アポロの公式記録「高度 200_km で、10.915_km/sec に加速した」

{素晴らしい!2016/9}

■【 周期 】

 A=(r0+r1)/2=(6578+384400)/2~195500

月の公転周期は 27.322_day だから、ケプラーの法則より、

 (T/22.322)^2=(195500/384400)^3~0.1315497

 T/27.322=root(0.1315497)~0.362

 T=27.322*0.362=9.89_day

 片道にかかる日数=9.89/2~4.95_day=4日と23時間 .

※ アポロの公式記録「4日20時間」

{おもしろいなあ!長年の疑問が解決できた!2016/9}

◇ランデブー&ドッキング◇

◎ 地球の周囲を円運動しているロケットが2台ある。同じ高度を、同じ速さで進んでいる。近づき、そして、ドッキングするためには、どうしたらよいか。

■ 接線方向に加速すると、楕円軌道を描き、高度が徐々に上がってしまう。

加速したロケットから、他方のロケットは近づいては来るが、徐々に下方に見えるようになる。そのままだと、高度のずれが大きくなり、すれ違ってしまう。

今度は減速し、高度が下がるようにする。

または、最初に加速するときに、接線方向に加速するのではなく、やや下方に向かって加速すればよい。

  月へ.ホーマン軌道  

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