☆お勉強しようUz☆ 物理.力学

2016/9-2012 Yuji.W

ロケットの運動

◎ 質量が減っていく場合の運動 運動量保存 ロケット 多段ロケット

ツィオルコフスキー ロシアの科学者 1857-1935

◇ ベクトル<A> 縦ベクトル<A) 単位ベクトル<-u> 内積* 外積# 微分;x 時間微分' 10^x=Ten(x) exp(i*x)=expi(x) 共約複素数\z 物理定数.

◇物体の分裂◇

◎ 物体が分裂するときの、運動量保存を考える

◆ 1次元 外力なし 物体@が2つの物体ABに分裂する

BがAを後方に速さ u で押し出した A[質量 Δm 速さ v-u] B[質量 m-Δm 速さ v+Δv]

m @-v->

Δm A-(v-u)-> (m-Δm) B--(v+Δv)->

■ 外力がないから、運動量が保存される m*v=Δm*(v-u)+(m-Δm)*(v+Δv)

 m*v=Δm*v-Δm*u+m*v+m*Δv-Δm*v-Δm*Δv

Δm , Δv は微少量として 0=-Δm*u+m*Δv Δv=u*Δm/m .

◇ロケットの運動.1次元.外力なし◇

◎ ロケットの運動を考える。ロケットは自分の質量の一部を、後方に噴き出し、運動量を得て、速さを増す。

■ 前項の結果より 増加する速さ=Δv=u*Δm/m=押し出した速さ*減った質量/質量

この式を微分で表したい。Δm は減っていく量だから -dm としなければならない。{核心!}

 dv=-u*dm/m

u:定数 v,m:変数 vはmの関数として、

 v=-u*ln(m)+積分定数

初めの質量を m0、初めの速さを 0 とすれば、

 v=-u*ln(m)+u*ln(m0)=u*ln(m0/m) .ロケット方程式 by Tsiolkovskiy 1897 {明治30年頃!}

m/m0 は 1 から 0 まで減少する

m/m0

1

0.9

0.8

0.7

0.6

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

0

v/u

0

0.11

0.22

0.36

0.51

0.69

0.92

1.20

1.61

2.30

▲ ロケットの質量の9割を失うと、2.3倍の速さを得る事ができる(非相対論)

◇多段ロケット◇

■ 1段ロケット =-[80%]*(10%)*[10%>

質量 燃料80% 燃料タンクなど不要な物10% ロケット本体10%

質量の 80% を失うと、v/V~1.61 となる。

◆ 2段ロケット =-[40%]*(10%)*[40%]*[10%>

40% 燃料に使う。そこで、燃料タンクなど不要な物10%を捨てる。その10%分は、後方に V で噴出させるわけではないので、速度獲得には役にたたない。質量は50%になった。そこからさらに、40%使い、10% 残す。

■ 1段ロケット v/V=-ln(0.6)~0.51

2段ロケット v/V=-ln(10/50)~1.61

最終速度~0.51+1.61~2.11~1段ロケットの 1.3 倍

▲ 不要な物は早く捨てて、身軽になった方がよい{!}

◆ 3段ロケット =-[30%]*(5%)*[20%]*(5%)*[20%]*[10%>

■ 1段ロケット v/V=-ln(0.7)~0.36

2段ロケット v/V=-ln(35/65)~0.62

3段ロケット v/V=-ln(10/30)~1.10

最終速度~0.36+0.62+1.10~2.08~2段ロケットとほぼ同じ

▲3段目のロケットだけでも、噴出速度を大きくできれば、最終速度を大きくすることができる。

  ロケットの運動  

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