物理　力学　2021.2-2012　Yuji Watanabe

○ 質量変化がある運動　★　

A.力学　B.特殊相対性理論,電磁気　C.物理学その他　D.数学,その他

2*3=6　6/2=3　3^2=9　1000=10^3=Ten(3)　　　　　　　　　　　2021.2.8
微分 ;　2階微分 ;;　偏微分 :　積分 $　ネイピア数 e　虚数単位 i　e^(i*x)=expi(x)
ベクトル <A>　縦ベクトル <A)　単位ベクトル <Au>　内積 *　外積 #　　　000

〓〓〓　ロケットの運動　〓〓〓　

○ ロケットは、自分自身の質量の一部を後方に噴出することによって、推力を得る。ロケットの質量は徐々に減少していくから、ロケットの速さを増す効果は徐々に大きくなる。　★　

▢ 直線上の運動　外力なし　ロケットの質量 m　ロケットの速さ v

後方に噴出させた物質の(ロケットに対する)速さ u=一定　

m と v の関係を知りたい。立式するときに符号が混乱するので、次のような、時間を逆転した現象を考える。求めたいのは、m と v の関係 であって、時間は考えていないので、問題ない。　★　

ロケットの質量 m　速さ v　　微小噴出物の質量 dm　観測系に対する速さ -u+v

以上の2つが衝突し合体する　その質量 m+dm　その速さ v+dv

■ 外力は働かない場合を考えているから、運動量は保存される。

　m*v+dm*(-u+v)=(m+dm)*(v+dv)

2次微小量は省略して　m*v-dm*u+dm*v=m*v+m*dv+dm*v

　-dm*u=m*dv

　dv/dm=-u/m　★　v は m の減少関数

m=m0 のとき v=0 として、

　v=-u*ln(m/m0)　★　ロケット方程式　by Tsiolkovskiy 1897 {明治30年頃!}

{時間を逆転するというのは、いいアイデアだと思う。自画自賛!2021.2}

■ m=m0-Δm　とすると

　v/u=-ln(m/m0)=-ln(1-Δm/m0)

▲ ロケットの質量の減っていく量 Δm/m0 が大きくなれば、ロケットの速さは急激に増えていく。{対数関数というよりは、「2乗に比例」に近い感じ!2021.2}　★　

★ Δm/m0=0.99　99%を消費し、1%しか残っていない場合

　v/u=-ln(0.99)~4.60　噴出する速さの 4.6倍 の速さしか得られない

■ 初めの方　Δm/m0<<1　のとき　v/u=Δm/m0　★　速さは質量の減少量に比例する

★ Δm/m0=0.01 のとき v/u=0.01　Δm/m0=0.05 のとき v/u=0.05　

　Δm/m0=0.1 のとき v/u=0.1　

〓〓〓　多段ロケット　〓〓〓　

○ ロケットの燃料が占める質量は大きい。したがって、燃料タンクなども巨大になる。不要になったタンクなどは途中で捨てて、より軽くなった方が、より速い速度を得る事ができる。

▢ 次の、2種類の方法を考える

① 1段ロケット　=-[80%]*(10%)*[10%>

質量　燃料80%　燃料タンクなど不要な物10%　ロケット本体10%

② 2段ロケット　=-[40%]*(10%)*[40%]*[10%>

40% 燃料に使う。そこで、燃料タンクなど不要な物10%を捨てる。その10%分は、後方に u で噴出させるわけではないので、速度獲得には役にたたない。質量は50%になった。そこからさらに、40%使い、10% 残す。

■ ① 1段ロケット　質量の 80% を失う

　v/u=-ln(0.2)~1.61
■ ② 2段ロケット　=-[40%]*(10%)*[40%]*[10%>

 1段ロケット　v/u=-ln(0.6)~0.51

2段ロケット　v/u=-ln(10/50)~1.61

　(最終速度)=0.51+1.61=2.12~1段ロケットの 1.3 倍

☆ お勉強しよう　since 2011　Yuji Watanabe