物理-力学　　2014/8-2012/12　　Yuji.W

◎ 2質点　換算質量　相対座標　☆relative motion

■ 2体問題(2質点の運動に関する問題)では、当然、質点系、質量の中心系の性質が使える。

◎ この問題に触れている資料は少ない

◆ 質点が受ける力　外力 <F1>,<F2>　総外力 <F>=<F1>+<F2>

質点�@から�Aへの内力 <f12>　質点�Aから�@への内力 <f21>
　<f12>+<f21>=0　同様に他の内力も考える

質量の中心 <G>=(m1*<r1>+m2*<r2>)/M

質量の中心系での個々の質点の運動量 <p1G>,<p2G>

　<p1G>=<p1>-m1*<G>'

■ 質量の中心の運動　<p>'=M*<G>''=<F>〔★〕外力のみ

■ 質量の中心系での質点1の運動 <p1G>'
=[<F1>*m2/M-<F2>*m1/M]+(<f21>+<f31>)〔★〕

★IF{ m1=m2=m }

　<p1G>'=[2*<F1>-<F2>]/3+(<f21>+<f31>)〔★〕

★IF{ 一様な重力場、他の外力なし }　重力加速度 <g>

　<F1>=m1*<g>　<F2>=m2*<g>

　<p1G>'に対する外力=<g>*m1*m2/M-<g>*m2*m1/M=0〔★〕

　<p1G>'=<f21>+<f31>〔★〕内力のみ

ちなみに　<G>''=<g>

{ちゃんと書いてある資料は少ない!2014/7}

◎ 換算質量を導入する

■ 2質点 m1,m2　m1+m2=M　換算質量 m.=m1*m2/M

　1/m.=1/m1+1/m2　「調和平均」

※ 2質点の値に対して、ひとつ定まる。m1に対するものと、m2に対するものと、２つあるわけでない{!2014/3}

★IF{ m1=m2 }　m.=m1/2=m2/2

★IF{ m1<<m2 }　m.~m1　極端に軽い方

★IF{ m1<m2 }　0.5<m./m1<1　軽い方の 0.5倍~1倍　★・

{証明}　m1<m2 のとき　m2=k*m1　と置くと　k>1

　m./m1=m2/(m1+m2)=k*m1/[(1+k)*m1]=k/(1+k)

k>1 で　0.5<k/(1+k)<1　だから　0.5<m./m1<1　』

★ 太陽、地球、月の質量〔単位 Ten(22)_kg〕

　200000000　600　7

　太陽と地球の換算質量~地球の質量

　地球と月の換算質量
=600*7*Ten(44)/[607*Ten(22)]
=6.9*Ten(22)
~月より少し軽い

◎ 相対座標を導入する

◆ 2質点の位置 <r1>,<r2>

相対座標 <r12>=<r1>-<r2>　<r21>=<r2>-<r1>

 ■ 別の慣性系を考える。

　<r1h>=<r1>-<h>　<r2h>=<r2>-<h>

　<r12h>=<r1h>-<r2h>=<r1>-<r2>=<r12>
　<r12h>'=<r12>'　★・

系を変えても、相対運動の速度は、変化しない。{とても大事。核心。見過ごしていた!2012/12}

■ 2質点の質量の中心 <G>=(m1*<r1>+m2*<r2>)/M 〔M=m1+m2〕

　<G>=(<r1>-<r2>)*m1/M+<r2>

点 <G> は、2点<r1>,<r2>を結ぶ線分上にあり、その線分を、m2:m1 に内分する点である。

　<r1G>
=<r1>-<G>
=<r1>-(m1*<r1>+m2*<r2>)/M
=(<r1>-<r2>)*m2/M
=<r12>*m2/M

　<r2G>=<r2>-<G>=-<r12>*m1/M

　<r1G>=<r12>*m2/M　　<r2G>=-<r12>*m1/M　★・

<r12>と<G>の運動が分かれば、<r1>,<r2>もわかる

◆ 2質点(質量 m1,m2)　M=m1+m2　換算質量 m.=m1*m2/M

位置 <r1>,<r2>　相対座標 <r12>=<r1>-<r2>

質点1への力　外力 <F1>　内力 <f21>
質点2への力　外力 <F2>　内力 <f12>=-<f21>

運動方程式　m1*<r1>''=<F1>+<f21>　m2*<r2>''=<F2>-<f21>

■ <r12>''
=<r1>''-<r2>''
=(<F1>/m1+<f21>/m1)-(<F2>/m2-<f21>/m2)
=(<F1>/m1-<F2>/m2)+<f21>*(1/m1+1/m2)
=(<F1>/m1-<F2>/m2)+<f21>/m.

　m.*<r12>''
=(<F1>*m./m1-<F2>m./m2)+<f21>
=(<F1>*m2/M-<F2>*m1/M)+<f21>

　m.*<r12>''=(<F1>*m2/M-<F2>*m1/M)+<f21>　★・相対座標の運動方程式

★IF{ <F1>=<F2>=0 }　m.*<r12>''=<f21>

★IF{ <F1>/<F2>=m1/m2 }　<F1>*m2/M-<F2>*m1/M=0

　m.*<r12>''=<f21>

■ 質点�@=月　質点�A=地球　外力なし　<f21>=-<r12u>*G*m1*m2/r12^2

　m.*<r12>''=-<r21u>*G*m1*m2/r12^2

　<r12>''=-<r12u>*(m1+m2)*G/r12^2　★・

■ m.*<r12>'
=(m1*m2/M)*(<r1>'-<r2>')
=<p1>*m2/M-<p2>*m1/M

　そもそも　<p>=M*<G>'

● <r1G>=<r12>*m2/M　<r2G>=-<r12>*m1/M

■ 質量の中心系の角運動量を、相対座標で表そう

　<LG>
=m1*<r1G>#<r1G>'+m2*<r2G>#<r2G>'
=<r12>#<r12>'*m.*m2/M+<r12>#<r12>'*m.*m1/M
=<r12>#(m.*<r12>')

　<LG>=<r12>#(m.*<r12>')　★・2体問題のG系の角運動量

　<L>=<LG>+<G>#(M*<G>')=<r12>#(m.*<r12>')+<G>#(M*<G>')

■ r1G'^2=r12'^2*(m2/M)^2　r2G'^2=r12'^2*(m1/M)^2

　2*KG
=m1*r1G'^2+m2*r2G'^2
=r12'^2*m.*m2/M+r12'^2*m.*m1/M
=m.*r12'^2

　KG=(1/2)*m.*r12'^2　★・2体問題のG系の運動エネルギー

　K=KG+(1/2)*M*G'^2=(1/2)*m.*r12'^2+(1/2)*M*G'^2　★・

◆ 2質点(質量 2*m,m)　等速直線運動　外力なし

質点�@はx軸、質点�Aはy軸　<r1>=<2,0>*t　<r2>=<0,1>*t

■ <r1>'=<2,0>　<r2>'=<0,1>

　<p1>=2*m*<r1>'=m*<4,0>　<p2>=m*<0,1>　<p>=m*<4,1>

　<L>=<L1>=<L2>=0

　K1=(1/2)*(2*m)*4=4*m　K2=(1/2)*m　K=(9/2)*m

■ 質量の中心

　<G>=[2*m*<2,0>*t+m*<0,1>*t]/(3*m)=<4,1>*t/3　<G>'=<4,1>/3

　M*<G>'=3*m*<4,1>/3=m*<4,1>

　M*<G>#<G>'=0

　(1/2)*M*G'^2=(1/2)*(3*m)*17/9=(17/6)*m

■ 質量の中心系(G系)

　<r1G>=<r1>-<G>=<2,-1>*t/3　<r2G>=<-4,2>*t/3

　<r1G>'=<2,-1>/3　<r2G>'=<-4,2>/3

　<p1G>=2*m*<2,-1>/3=m*<4,-2>/3
　<p2G>=m*<-4,2>/3　　<p1G>+<p2G>=0　★・

　<L1G>=2*m*<r1G>#<r1G>'=2*m*[<2,-1>*t/3]#[<2,-1>/3]=0
　<L2G>=0　　<LG>=0

　<LG>+M*<G>#<G>'=0=<L>　★・

　KG1=(1/2)*(2*m)*5/9=(5/9)*m　K2G=(10/9)*m　KG=(5/3)*m

　KG+(1/2)*M*G'^2=(5/3)*m+(17/6)*m=(9/2)*m=K　★・

■ 相対座標　m.=(2*m)*m/(3*m)=(2/3)*m　軽い方より少し軽い

　<r12>=<r1>-<r2>=<2,0>*t-<0,1>*t=<2,-1>*t　<r12>'=<2,-1>

　<r1G>-<r2G>=<2,-1>*t/3-<-4,2>*t/3=<6,-3>*t/3=<2,-1>*t

　m.*<r12>#<r12>'=0=<LG>　★・

　(1/2)*m.*r12'^2=(1/2)*(2/3)*m*5=(5/3)*m=KG　★・

{ひとつひとつ求めてみると、おもしろい、勉強になる!2014/7}

◆ 同質量の2質点(質量 m)

　<r1>=<1,t>　<r2>=<2*t,1>　等速直線運道をしている　外力なし

■ <r1>'=<0,1>　<r2>'=<2,0>

　<p1>=m*<0,1>　<p2>=m*<2,0>　<p>=m*<2,1>

　<L1>=m*<1,t>#<0,1>=<zu>*m　<L2>=-<zu>*2*m

　<L>=-<zu>*m

　K1=(1/2)*m　K2=2*m　K=(5/2)*m

■ 質量の中心

　<G>=(<1,t>+<2*t,1>)*m/2=<t+1/2,t/2+1/2>　<G>'=<1,1/2>

　M*<G>'=2*m*<1,1/2>=m*<2,1>

　M*<G>#<G>'
=2*m*(<2*t+1,t+1>/2)#<1,1/2>
=m*<2*t+1,t+1>#<1,1/2>
=<zu>*(t+1/2-t-1)*m
=-<zu>*m/2 

　(1/2)*M*G'^2=(1/2)*(2*m)*5/4=(5/4)*m

■ 質量の中心系(G系)

　<r1G>=<1,t>-<t+1/2,t/2+1/2>=<-t+1/2,t/2-1/2>
　<r2G>=<2*t,1>-<t+1/2,t/2+1/2>=<t-1/2,-t/2+1/2>

　<r1G>'=<-1,1/2>　<r2G>'=<1,-1/2>

　<p1G>=m*<-1,1/2>　<p2G>=m*<1,-1/2>　<p1G>+<p2G>=0　★・

　<L1G>
=m*<r1G>#<r1G>'
=m*<-t+1/2,t/2-1/2>#<-1,1/2>
=-<zu>*m/4
　<L2G>
=m*<t-1/2,-t/2+1/2>#<1,-1/2>
=-<zu>*m/4

　<LG>=<L1G>+<L2G>=-<zu>*m/2

　<LG>+M*<G>#<G>'=-<zu>*m/2-<zu>*m/2=-<zu>*m=<L>　★・

　KG1=(1/2)*m*5/4=(5/8)*m　K2G=(5/8)*m　KG=(5/4)*m

　KG+(1/2)*M*G'^2=(5/4)*m+(5/4)*m=(5/2)*m=K　★・

■ 相対座標　m.=m/2

　<r12>=<1,t>-<2*t,1>=<-2*t+1,t-1>　<r12>'=<-2,1>

　m.*<r12>#<r12>'
=(m/2)*<-2*t+1,t-1>#<-2,1>
=<zu>*(m/2)*(-2*t+1+2*t-2)
=-<zu>*m/2
=<LG>　★・

　(1/2)*m.*r12'^2=(1/2)*(m/2)*5=(5/4)*m=KG　★・

◎ 2質点の円運動　外力なし

◆ 2質点(質量 m1,m2)　距離 R=一定　角速度 w=一定　内力 f0

回転の中心 原点　回転半径 r1,r2　r1+r2=R

m1+m2=M　換算質量 m.=m1*m2/M

■ 運動方程式　m1*r1*w^2=m2*r2*w^2=f0

　m1*r1=m2*r2=f0/w^2　★・円運動の運動方程式

　r1/r2=m2/m1　回転の中心と質量の中心が一致する　★・

2質点間の距離 R を使って、運動方程式を書き直すと、

　r1=R*m2/M　r2=R*m1/M

　m1*(R*m2/M)=m2*(R*m1/M)=f0/w^2

　m.*R=f0/w^2　★・2質点の距離 R を使った場合の運動方程式
ここで、換算質量を使わなければならない(Rは回転半径でないから)

{両方の質点の運動方程式になっている!知らなかったなあ!2014/7}

■ 運動エネルギー K
=(1/2)*m1*(r1*w)^2+(1/2)*m2*(r2*w)^2
=(1/2)*w^2*(m1*r1^2+m2*r2^2)

ここで　m1*r1^2=m1*(R*m2/M)^2=R^2*m.^2/m1
　m2*r2^2=R^2*m.^2/m2

　m1*r1^2+m2*r2^2=R^2*m.^2/m1+R^2*m.^2/m2=m.*R^2

　K=(1/2)*m.*(R*w)^2

■ 慣性モーメント I=m1*r1^2+m2*r2^2=m.*R^2

　K=(1/2)*I*w^2

◆ 内力が重力のとき　f0=G*m1*m2/R^2

■ m.*R=(G*m1*m2/R^2)/w^2

　R^3*w^2=G*M=G*(m1+m2)　★・

■ 地球 m1=5.97*Ten(24)_kg　月 m2=7.35*Ten(22)_kg

公転周期 T=27日7時間43分=655時間43分=39343分=2.36*Ten(6)秒

月と地球の距離 R=3.84*Ten(8)_m　G=6.67*Ten(-11)

　R^3*w^2
=R^3*(2Pi/T)^2
=[3.84*Ten(8)]^3*4*Pi^2/[2.36*Ten(6)]^2
=4.01*Ten(14)　�@

　G*(m1+m2)
=6.67*Ten(-11)*[5.97*Ten(24)+7.35*Ten(22)]
=6.67*Ten(-11)*6.04*Ten(24)
=4.02*Ten(14)　�A　　※ 換算質量の補正をしないと 3.98*Ten(14)

　�@~�A　{素晴らしい!2014/7}

★　2体問題　★