物理 力学  2017/9-2012/8 Yuji.W

 ☆ 滑車の回転

滑車の左右に重りをつけ、滑車を回転させる _物理定数

【ベクトル】<A> 単位ベクトル <-u> 座標単位ベクトル <x> 内積 * 外積 #
【関数】10^x=Ten(x) exp(i*x)=expi(x) 微分 ; 時間微分 ' 積分 $

◇ 滑車の回転 ◇

◎ 滑車の左右に重りをつける。重い重りの方に回転していく。滑車の質量、慣性モーメントを考慮する。重りをつけているひもは滑車の面で滑らないとする。重りが動いた距離の分だけ、滑車が回転する。ひもの質量は無視できる。

◆ 一様な重力場[重力加速度 g] 滑車[半径 R 慣性モーメント I]

重りの質量 m1,m2 m1>m2

重りの位置 x 重い方の重りは下向き、軽い方のは上向き

滑車の回転角 a_rad x=R*a

ひもの張力 T1,T2 T1≠T2 ※ T1=T2 とすると、滑車が回転しないから

■【 重りの運動方程式 】 m1*x''=m1*g-T1…@ & m2*x''=T2-m2*g…A

■【 滑車の回転の方程式 】I*a''=R*(T1-T2)

変数を a から x にすれば I*x''=R^2*(T1-T2)…B

■【 落下加速度 x'' 】

張力 T1,T2 を消去する。

(@+A)*R^2+B [(m1+m2)*R^2+I]*x''=(m1-m2)*g*R^2

 [(m1+m2)*R^2+I]*x''=(m1-m2)*g*R^2

 x''=g*(m1-m2)/(m1+m2+I/R^2)=一定 _

■【 滑車が密度一定の円柱であるとき 】I/R^2=M/2

 x''=g*(m1-m2)/(m1+m2+M/2) _

◇ エネルギー.滑車の回転 ◇

◆ 一様な重力場[重力加速度 g] 滑車[半径 R 慣性モーメント I]

重り[質量 m1,m2 m1>m2

重りが移動した距離 x 重り1は下がる 重り2は上がる{核心!}

滑車の回転角 a_rad x=R*a

重りの運動エネルギー K1,K2 位置エネルギー U1,U2 滑車の回転エネルギー Kr

t=0 のとき x=0 , x'=0 , a=0 , a'=0 , K1=K2=U1=U2=Kr=0

■【 移動量 】

 x''=g*(m1-m2)/(m1+m2+I/R^2)=一定

 x'=g*t*(m1-m2)/(m1+m2+I/R^2)

 x=(1/2)*g*t^2*(m1-m2)/(m1+m2+I/R^2)

■【 重りのエネルギー 】

 K1+K2=(1/2)*(m1+m2)*x'^2
=(1/2)*[g*t*(m1-m2)/(m1+m2+I/R^2)]^2*(m1+m2)

 U1=-m1*g*x=-(1/2)*g^2*t^2*m1*(m1-m2)/(m1+m2+I/R^2)

 U2=+m2*g*x=(1/2)*g^2*t^2*m2*(m1-m2)/(m1+m2+I/R^2)

 U1+U2=-(1/2)*[g*t*(m1-m2)/(m1+m2+I/R^2)]^2*(m1+m2+I/R^2)

 K1+K2+U1+U2
=(1/2)*[g*t*(m1-m2)/(m1+m2+I/R^2)]^2*[(m1+m2)-(m1+m2+I/R^2)]
=-(1/2)*[g*t*(m1-m2)/(m1+m2+I/R^2)]^2*I/R^2 _

■【 滑車のエネルギー 】

 Kr=(1/2)*I*a'^2=(1/2)*x'^2*I/R^2
=(1/2)*[g*t*(m1-m2)/(m1+m2+I/R^2)]^2*I/R^2 _

■【 エネルギー保存 】

 K1+K2+U1+U2+Kr=0 _エネルギーは保存される

■【 密度一定の円柱の場合 】I/R^2=M/2

重り K1+K2+U1+U2=-[g*t*(m1-m2)/(m1+m2+M/2)]^2*M/4 _

滑車 Kr=[g*t*(m1-m2)/(m1+m2+M/2)]^2*M/4 _


★ m1=2_kg m2=1_kg 円柱の滑車[M=2_kg] ‖

 x''=g*(2-1)/(2+1+2/2)=g/4 x'=g*t/4 x=g*t^2/8

 K1+K2=(1/2)*(2+1)*x'^2=(1/2)*(2+1)*(g*t/4)^2=g^2*t^2*3/32

 U1+U2=-(2-1)*g*x=-g^2*t^2/8

 K1+K2+U1+U2=g^2*t^2*(3/32-1/8)=-g^2*t^2/32

 Kr=(1/2)*(I/R^2)*x'^2=(1/2)*(2/2)*(g*t/4)^2=g^2*t^2/32

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