物理 力学 2018/1-2012/8 Yuji.W

☆ 滑車の回転

滑車に重りをつけ、滑車を回転させる _

ベクトル<A> 単位ベクトル<-u> 内積* 外積# デカルト座標<x>,<y>,<z>
円柱座標<r.u>,<au>,<z> 球座標<ru>,<au>,<bu>

yをxで微分 y;x 時間微分 ' 積分 $ 3^2=9 10^x=Ten(x)

ネイピア数 e e^x=exp(x) 対数 log(a,x) log(e,x)=ln(x) log(10,x)=LOG(x)
虚数単位 i 
i^2=-1 e^(i*x)=exp(i*x)=expi(x) 
複素数zの共役複素数 \z

〓 固定軸がある場合の剛体の運動 〓 .

◆ 剛体 全質量 M 剛体はある固定軸の周りの回転または揺れる

質量の中心と固定軸との距離 Rg 剛体の振れ角 a 角速度 a'

固定軸に対する角運動量 L
固定軸に対する慣性モーメント I 質量の中心に対する慣性モーメント Ic
 I=Ic+M*Rg^2

外力による、固定軸に対するトルクの和 N

■ L=I*a' L'=N _

※ I が回転した方向に依らない値であれば L'=I*a''=N

※ 一様な重力に依るトルクは、全質量が質量の中心にあるとして、そこに重力がかかるとして計算できる。

〓 滑車の回転 〓 .

◎ 円柱の滑車にひもを巻き付け、端に重りをつける。滑車の慣性モーメントを考えれば、重りは自由落下より遅く落ちる。

◆ 一様な重力場[重力加速度 g] 滑車[半径 R 慣性モーメント I=(1/2)*M*R^2]

重りの質量 m 重りの位置 x 滑車の回転角 a_rad x=R*a ひもの張力 T

■ 重りの運動方程式 m*x''=m*g-T @

滑車の回転の方程式 I*a''=R*T 変数を a から x にして I*x''=R^2*T A

@Aより、T を消去して m*x''=m*g-(I/R^2)*x''

 (m+I/R^2)*x''=m*g

 (m+M/2)*x''=m*g

 x''/g=1/[1+M/(2*m)] _

★ M/m=1 のとき x''/g=2/3

〓 滑車の回転、重りが左右 〓 .

◎ 滑車の左右に重りをつける。重い重りの方に回転していく。滑車の質量、慣性モーメントを考慮する。重りをつけているひもは滑車の面で滑らないとする。重りが動いた距離の分だけ、滑車が回転する。ひもの質量は無視できる。

◆ 一様な重力場[重力加速度 g] 滑車[半径 R 慣性モーメント I]

重りの質量 m1,m2 m1>m2

重りの位置 x 重い方の重りは下向き、軽い方のは上向き

滑車の回転角 a_rad x=R*a

ひもの張力 T1,T2 T1≠T2 ※ T1=T2 とすると、滑車が回転しないから

■【 重りの運動方程式 】 m1*x''=m1*g-T1…@ & m2*x''=T2-m2*g…A

■【 滑車の回転の方程式 】I*a''=R*(T1-T2)

変数を a から x にすれば I*x''=R^2*(T1-T2)…B

■【 落下加速度 x'' 】

張力 T1,T2 を消去する。

(@+A)*R^2+B [(m1+m2)*R^2+I]*x''=(m1-m2)*g*R^2

 [(m1+m2)*R^2+I]*x''=(m1-m2)*g*R^2

 x''=g*(m1-m2)/(m1+m2+I/R^2)=一定 _

■【 滑車が密度一定の円柱であるとき 】I/R^2=M/2

 x''=g*(m1-m2)/(m1+m2+M/2) _

〓 エネルギー.滑車の回転 〓 .

◆ 一様な重力場[重力加速度 g] 滑車[半径 R 慣性モーメント I]

重り[質量 m1,m2 m1>m2

重りが移動した距離 x 重り1は下がる 重り2は上がる{核心!}

滑車の回転角 a_rad x=R*a

重りの運動エネルギー K1,K2 位置エネルギー U1,U2 滑車の回転エネルギー Kr

t=0 のとき x=0 , x'=0 , a=0 , a'=0 , K1=K2=U1=U2=Kr=0

■【 移動量 】

 x''=g*(m1-m2)/(m1+m2+I/R^2)=一定

 x'=g*t*(m1-m2)/(m1+m2+I/R^2)

 x=(1/2)*g*t^2*(m1-m2)/(m1+m2+I/R^2)

■【 重りのエネルギー 】

 K1+K2=(1/2)*(m1+m2)*x'^2
=(1/2)*[g*t*(m1-m2)/(m1+m2+I/R^2)]^2*(m1+m2)

 U1=-m1*g*x=-(1/2)*g^2*t^2*m1*(m1-m2)/(m1+m2+I/R^2)

 U2=+m2*g*x=(1/2)*g^2*t^2*m2*(m1-m2)/(m1+m2+I/R^2)

 U1+U2=-(1/2)*[g*t*(m1-m2)/(m1+m2+I/R^2)]^2*(m1+m2+I/R^2)

 K1+K2+U1+U2
=(1/2)*[g*t*(m1-m2)/(m1+m2+I/R^2)]^2*[(m1+m2)-(m1+m2+I/R^2)]
=-(1/2)*[g*t*(m1-m2)/(m1+m2+I/R^2)]^2*I/R^2 _

■【 滑車のエネルギー 】

 Kr=(1/2)*I*a'^2=(1/2)*x'^2*I/R^2
=(1/2)*[g*t*(m1-m2)/(m1+m2+I/R^2)]^2*I/R^2 _

■【 エネルギー保存 】

 K1+K2+U1+U2+Kr=0 _エネルギーは保存される

■【 密度一定の円柱の場合 】I/R^2=M/2

重り K1+K2+U1+U2=-[g*t*(m1-m2)/(m1+m2+M/2)]^2*M/4 _

滑車 Kr=[g*t*(m1-m2)/(m1+m2+M/2)]^2*M/4 _


★ m1=2_kg m2=1_kg 円柱の滑車[M=2_kg] ‖

 x''=g*(2-1)/(2+1+2/2)=g/4 x'=g*t/4 x=g*t^2/8

 K1+K2=(1/2)*(2+1)*x'^2=(1/2)*(2+1)*(g*t/4)^2=g^2*t^2*3/32

 U1+U2=-(2-1)*g*x=-g^2*t^2/8

 K1+K2+U1+U2=g^2*t^2*(3/32-1/8)=-g^2*t^2/32

 Kr=(1/2)*(I/R^2)*x'^2=(1/2)*(2/2)*(g*t/4)^2=g^2*t^2/32

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