物理 > 力学  2015/7-2012/8  Yuji.W

☆滑車の回転☆

◎ 滑車の左右に重りをつけ、滑車を回転させる

「慣性モーメント」 2015/7

■ 面密度一定 半径 R 質量 M I0=M*R^2 円柱 Ic/I0=1/2

〔表記2015/06/16〕ベクトル<> 座標単位ベクトル<xu>,<yu>,<zu> 内積* 外積#
微分; 
時間微分' 積分$ 10^x=Ten(x) e^(i*x)=expi(x) 物理定数 

◇滑車の回転◇

◎ 滑車の左右に重りをつける 重い重りの方に回転していく

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◆ 滑車 面密度一定 半径 R 質量 M I=(1/2)*M*R^2

重りの質量 m1,m2

重りをつけているひもは滑車の面で滑らないとする(重りが動いた距離の分だけ、滑車が回転する) ひもの質量は無視できるとする

重りの位置 x 重い方の重りは下向き、軽い方のは上向き t=0 で x=0 , x'=0

滑車の回転角 a_rad t=0 で a=0 , a'=0  x=R*a

ひもの張力 T1,T2 T1≠T2 ※ T1=T2 とすると、滑車が回転しないから

■ 滑車に働くトルク(滑車の中心に対して)=R*(T1-T2)

 回転の方程式 [(1/2)*M*R^2]*a''=R*(T1-T2) 変数を a から x にすれば、

 [(1/2)*M*R^2]*x''/R=R*(T1-T2)

 x''=2*(T1-T2)/M …@

重りの運動方程式 m1*x''=m1*g-T1 …A m2*x''=T2-m2*g …B

@ABより T1,T2 を消去して x''=g*(m1-m2)*/(m1+m2+M/2)  質量のみで決まる

◇滑車の回転-エネルギー◇

◎ エネルギーを考える

「1次元エネルギー保存の場での運動」

■ 1次元エネルギー保存の場の方程式 x(t)'^2=k*x(t) k=定数

t=0 で x(0)=0 , x(0)'=0 の場合 x(t)=(k/4)*t^2

◆ 滑車の回転エネルギー Kp 重りの運動エネルギー K 重りの位置エネルギー U

■ Kp=(1/2)*I*a'^2=(1/2)*[(1/2)*M*R^2]*(x'/R)^2=(1/4)*M*x'^2

 K=(1/2)*m1*x'^2+(1/2)*m2*x'^2=(1/2)*Σm*x'^2

 Kp+K
=(1/4)*M*x'^2+(1/2)*Σm*x'^2
=(1/4)*(M+2*Σm)*x'^2
=(1/4)*(M+2*Σm)*{2*[g*Δm/(M+2*Σm)]*t}^2
=g^2*[Δm^2/(M+2*Σm)]*t^2 

 U
=m2*g*x-m1*g*x
=-Δm*g*x
=-Δm*g*[g*Δm/(M+2*Σm)]*t^2
=-g^2*[Δm^2/(M+2*Σm)]*t^2 

 Kp+K+U=0 時間に依らずに常に 0 {素晴らしい!2015/7}

滑車の回転 

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