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☆ 滑車の回転 ☆ |
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〇 円環 円柱 球 2024.3-2012.8 Yuji.W ★ |
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◇ 2*3=6
Ten(3)=10^3=1000 微分 ; 偏微分 : 積分 $ e^(i*x)=expi(x) |
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〓 剛体.慣性テンソル 〓 《 剛体.慣性テンソル24.3 》 ◇ ベクトル <A> 縦ベクトル <A) 成分は同じ ▢ 慣性系 (x,y,z) 質点系剛体 以下 i=1,2,… 質量 mi 質点の位置 <ri> .. Ixx=Σ{mi*(yi^2+zi^2)} Ixy=-Σ{mi*xi*yi}
Ixz=-Σ{mi*xi*zi} 原点に対する慣性テンソル [I]=[Ixx Ixy Ixz|Ixy Iyy Iyz|Ixz Iyz Izz] .. <Ix)=<Ixx Ixy Ixz) <Iy)=<Ixy Iyy Iyz) <Iz)=<Ixz Iyz Izz) .. [I]=[<Ix)&<Iy)&<Iz)] 角速度 <w> どの質点でも同じ 質点系剛体の原点に対する角運動量 <L> 質点系剛体の原点に対する回転運動エネルギー Kr ▷ <L)=[I]*<w)=<Ix)*wx+<Iy)*wy+<Iz)*wz , <L>=<Ix>*wx+<Iy>*wy+<Iz>*wz .. <L>;t=<w>#<L> Kr=(1/2)*<w>*<L> ▷ xy平面とyz平面とxz平面に対して、質量分布が対称であるとき、(慣性主軸をとったとき) Ixy=Ixz=Iyz=0 .. <L)=<Ixx*wx Iyy*wy Izz*wz) , <L>=<Ixx*wx Iyy*wy Izz*wz> ▢ 剛体が固定軸(z軸)の周りをの回転 角速度 <w>=<zu>*wz z軸に対する質点系剛体の慣性モーメント <Iz>=<Ixz Iyz Izz> 質点系剛体の原点に対する角運動量 <L>=<Lx Ly Lz> ▷ <L)=<Iz)*wz , <L>=<Iz>*wz 一般に、x成分とy成分も持つ ▷ さらに、質量分布がxy平面に対して対称であるとき Ixz=Iyz=0 Lz=Izz*wz ▲ Izzを 「慣性」と言う。おのおのの質点の回転半径は、剛体が回転しても変化しない。したがって、慣性も変化しない。 Izz=Σ{mi*(xi^2+yi^2)}=一定 |
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〓 円環,円柱,球の慣性モーメント 〓 《 円環,円柱,球の慣性モーメント24.3 》 ▢ [円環 線密度 λ=一定 円柱,球 密度 ρ=一定] 半径 R 質量 M 回転軸 質量の中心を通り、円環面や円柱の底面に垂直 慣性モーメント Ic ▷ Ic(円環)=2*Pi*R^3*λ=M*R^2 > Ic(円柱)=(Pi/2)*ρ*H*R^4=(1/2)*M*R^2 > Ic(球)=(8/15)*Pi*ρ*R^5=(2/5)*M*R^2 |
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〓 滑車の回転 〓 ○ 滑車にひもを巻き付け、ひもの端に重りをつける。滑車が回り、重りが落ちて行く。滑車の慣性モーメントを考えれば、重りは自由落下より遅く落ちる。 ▢ 一様な重力場 重力加速度 g 重りの質量 m 滑車 摩擦なし 質量 M 半径 R 重りにかかる重力 m*g ひもの張力 F 重りが落下した距離 x 滑車が回転した角 a_rad x=R*a ▷ 重りの運動方程式 m*(x;;t)=m*g-F ① 一方 (滑車の角運動量)=Ic*(a;t) (滑車へのトルク)=F*R 滑車の運動方程式 Ic*(a;;t)=F*R > Ic*(x;;t)/R=F*R > (Ic/R^2)*(x;;t)=F ② ①②より、F を消去して、 > x;;t=g/[1+Ic/(m*R^2)] 修正加速度 @g=g/[1+Ic/(m*R^2)]=g/[1+(k*M*R^2)/(m*R^2)]=g*m/(m+k*M) > @g/g=m/(m+k*M) として、 > x;;t=@g ★ 等加速度運動 滑車の質量の分だけ小さくなる > x;t=@g*t > x=(1/2)*@g*t^2 ▷ エネルギーを考える。 重りの位置エネルギー U=-m*g*x=-(1/2)*m*g*@g*t^2 ★ 重りの運動エネルギー K=(1/2)*m*(@g*t)^2=(1/2)*m*@g^2*t^2 ★ 滑車の回転運動エネルギー Kr > U+K+Kr=-(1/2)*@g*t^2*(-m*g+m*@g+k*M*@g) ここで -m*g+m*@g+k*M*@g 時間に依らず、常に U+K+Kr=0 ★ |
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〓 滑車の回転 〓 《 滑車の回転24.3 》 ○ 滑車にひもを巻き付け、ひもの端に重りをつける。滑車が回り、重りが落ちて行く。 ▢ 一様な重力場 重力加速度 g 重りの質量 m 滑車 摩擦なし 質量 M 半径 R 重りが落下した距離 x t=0 で x=0 , x;t=0 ▷ 修正加速度 @g=g*m/(m+k*M) x;;t=@g x;t=@g*t x=(1/2)*@g*t^2 ▷ 重りの位置エネルギー U=-m*g*x=-(1/2)*m*g*@g*t^2 重りの運動エネルギー K=(1/2)*m*@g^2*t^2 滑車の回転運動エネルギー Kr=(1/2)*Ic*(x;t)^2/R^2=(1/2)*k*M*@g^2*t^2 時間に依らず、常に U+K+Kr=0 |
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