☆ 逆2乗則の斥力による運動 ☆

uzお勉強しよう 数学 力学 特殊相対性理論 電磁気 量子力学 物理学一般

〇 双曲線 正電荷同士の衝突など 衝突径数 impact parameter  2023.5-2012.11 Yuji.W

◇ 2*3=6 Ten(3)=10^3=1000 微分 ; 偏微分 : 積分 $ e^(i*x)=expi(x)
ベクトル <A> 単位ベクトル <xu> 内積 * 外積 # 

〓 双曲線.デカルト座標&円座標 〓 23.5 

双曲線 2つの焦点までの距離の差が一定 

▢ x軸対称、y軸対称であって、x軸正の方向と負の方向に開く双曲線 

 x^2/A^2-y^2/B^2=1 〔 正の定数 A , B 〕焦点 F=root(A^2+B^2) 

▷ 漸近線 y=±(B/A)*x

▷ (漸近線の交点と、双曲線の頂点との距離)=A 

衝突径数(漸近線と焦点との最短距離) Ip=B

離心率 e=F/A 通径(焦点での双曲線の幅の半分) l=B^2/A 

▷ 漸近線とx軸との角 a0 tan(a0)=B/A cos(a0)=A/F=1/e sin(a0)=B/F=Ip/F 

▷ 散乱角 a_bend=Pi-2*a0 Ip=A*tan(a0)=A/tan(a_bend/2) 

▷ A=l/(e^2-1) Ip=B=root(A*l)=l/root(e^2-1) F=A*e=l*e/(e^2-1) 

▷ 円座標(r,a _C) r*cos(a)=x+F r*sin(a)=y r=root[(x+F)^2+y^2] 

離心率 e 通径 l 

 r*[e*cos(a)-1]=l 原点 左側の焦点 右に開く放物線

 r*[e*cos(a)+1]=l 原点 左側の焦点 左に開く放物線

▷ r_min=l/(e-1) A/r_min=1/(e+1)

 Ip/r_min=B/r_min=root[(e-1)/(e+1)] F/r_min=e/(e+1) 

〓  中心力による運動 〓 22.8 

▢ 1質点 質量 m 中心力による運動 円座標(r,a) 力[動径成分 Fr 接線成分 Fa=0]

速さ v 運動エネルギー K

▷ r^2*(a;t)=一定=b 角運動量 L=m*b

▷ 軌道の形 (1/r);;a+1/r=-Fr*r^2/(m*b^2)

▷ v^2=b^2*{[(1/r);a]^2+1/r^2} K=(1/2)*m*b^2*{[(1/r);a]^2+1/r^2}

〓 逆2乗則の斥力による運動.軌道 〓

◎ 原子核に陽電子が衝突する場合など

▢ 円座標(r,a) 1質点の運動 質量 m

力[1.中心力 2.逆2乗則 3.斥力] <F>=<ru>*Fr Fr=k/r^2 k>0
例えば k=ke*Q*q

運動は一平面上に限られる 双曲線or直線上を動く

r^2*(a;t)=一定=b 通径 l=m*b^2/k >0 

無限遠での速さ v_max 衝突径数(焦点から漸近線までの最短距離) Ip 
rの最小値 r_min そのときの速さ v_min b=Ip*v_max=r_min*v_min

▷ 軌道の形を求める方程式 (1/r);;a+1/r=-Fr*r^2/(m*b^2)=-k/(m*b^2)=-1/l <0

 (1/r);;a+1/r=-1/l  

解 1/r=[e*cos(a)-1]/l すなわち r*[e*cos(a)-1]=l  

※ 無限遠から来る。r=∞ の解を持たなければならないから e≧1  

{確かめ} (1/r);a=-e*sin(a)/l 

 (1/r);;a=-e*cos(a)/l 

 (1/r);;a+1/r=-e*cos(a)/l+[e*cos(a)-1]/l=-1/l

▷ a=0 のとき r=r_min=l/(e-1)  

▷ cos(a0)=1/e とすれば |a|<a0 で解を持つ双曲線 a=a0 で r=∞  

 (双曲線の漸近線がx軸と作る角)=a0 cos(a0)=1/e

〓 速さ 〓

▢ 円座標(r,a _C) 速さ v(a)

▷ l^2*{[(1/r);a]^2+1/r^2}
=e^2*sin(a)^2+[e*cos(a)-1]^2
=e^2-2*e*cos(a)+1
=1+e^2-2*e*cos(a)

 [(1/r);a]^2+1/r^2=[1+e^2-2*e*cos(a)]/l^2

 v^2
=b^2*[[(1/r);a]^2+1/r^2] 
=(b/l)^2*[1+e^2-2*e*cos(a)] 

 v=(b/l)*root[1+e^2-2*e*cos(a)]  

▷ a=0 のとき v=v_min

 v_min^2=(b/l)^2*(1+e^2-2*e)=(b/l)^2*(1-e)^2 

e≧1 , b>0 , l>0 であったから v_min=(b/l)*(e-1)  

そのとき r_min=b/v_min=l/(e-1)  

▷ cos(a0)=1/e a=a0 のとき v=v_max

 1+e^2-2*e*cos(a0)=1+e^2-2=e^2-1

 v_max=(b/l)*root[1+e^2-2*e*cos(a0)]=(b/l)*root(e^2-1)  

▷ b=r^2*(a;t)

a=0 のとき r=r_min r*(a;t)=v_min

 b=r_min*v_min

cos(ao)=1/e a=a0 のとき b=(漸近線と焦点との距離)*v_max=Ip*v_max

{まとめ}  b=r_min*v_min=Ip*v_max

=== まとめ === 

 v=(b/l)*root[1+e^2-2*e*cos(a)]

 v_min=(b/l)*(e-1) r_min=l/(e-1) v_max=(b/l)*root(e^2-1) Ip=l/(e^2-1)

ただし、

・力 Fr=k/r^2 k>0

・r^2*(a;t)=一定=b 角運動量 L=m*b 通径 l=m*b^2/k 

・無限遠での速さ v_max 衝突径数(焦点から、漸近線までの最短距離) Ip

・rの最小値 r_min そのときの速さ v_min b=Ip*v_max=r_min*v_min

〓 エネルギー 〓

▢ 円座標(r,a) 運動エネルギー K(r) 位置エネルギー U(r)=k/r >0 

全エネルギー E=K+U=一定

▷ r=r_min でのエネルギーを考えて、

 U(r_min)=k/r_min

 K(r_min)
=(1/2)*m*v_min^2
=(1/2)*m*b^2/r_min^2
=(1/2)*(k*l)/r_min^2
=(1/2)*k*r_min*(e-1)/r_min^2
=(1/2)*k*(e-1)/r_min  

 E
=K(r_min)+U(r_min)
=k/r_min+(1/2)*k*(e-1)/r_min
=(1/2)*k*(e+1)/r_min

 E=(1/2)*k*(e+1)/r_min  

 e=2*E*r_min/k-1  

▷ A/r_min=1/(e+1) 

 E=(1/2)*k*(e+1)/r_min=(1/2)*k*(e+1)/[A*(e+1)]=(1/2)*k/A 

 A=k/(2*E)  

ただし、

 漸近線の交点と、双曲線の頂点との距離 A 

 力 <F>=<ru>*k/r^2 質点の全エネルギー E=(1/2)*m*v_max

〓 散乱角 〓

▢ 漸近線とx軸との角 a0 散乱角 a_bend=Pi-2*a0 a0=Pi/2-a_bend/2

漸近線の交点と、双曲線の頂点との距離 A

衝突径数(漸近線と焦点との最短距離) Ip=A*tan(a0) 

▷ 双曲線の性質

漸近線とx軸との角 a0 散乱角 a_bend=Pi-2*a0 a0=Pi/2-a_bend/2 
漸近線の交点と、双曲線の頂点との距離 A 
衝突径数(漸近線と焦点との最短距離) Ip
=A*tan(a0) 

 tan(a0)
=tan(Pi/2-a_bend/2)
=sin(Pi/2-a_bend/2)/cos(Pi/2-a_bend/2) 
=cos(a_bend/2)/sin(a_bend/2) 
=1/tan(a_bend/2)

 Ip=A*tan(a0)=A/tan(a_bend/2)  

▷ 力 <F>=<ru>*k/r^2 k>0 を受ける質点の運動は双曲線になる。
漸近線の交点と、双曲線の頂点との距離 A 

質点の全エネルギー E=(1/2)*k*(e+1)/r_min=(1/2)*k/A 

 A=k/(2*E)  

▷ 図形的な性質 Ip=A/tan(a_bend/2) と 力学的な結果 A=k/(2*E) より、

 Ip=[k/(2*E)]/tan(a_bend/2)  

{図形的な性質と、力学的な結果とを分けて考えないと混乱する!23.5}

〓 逆2乗則の斥力による運動 角度、長さ 〓

▢ 双曲線 円座標(r,a _C)で l/r=e*cos(a)-1 l>0 , e>1
a0=arccos(1/e) 0≦|a|<a0 で、跳ね返されて、右側に開く双曲線

2次元デカルト座標で x^2/A^2-y^2/B^2=1〔A,B:正の定数〕

漸近線とx軸とが作る角 a0 衝突径数(焦点から漸近線までの最短距離) Ip 

無限遠からの軌道が、無限遠への軌道へと、向きが変わる角度 a_bend

● A=l/(e^2-1) B=l/root(e^2-1) F=A*e=l*e/(e^2-1)

▷ tan(a0)=B/A=[l/root(e^2-1)]/[l/(e^2-1)]=root(e^2-1)  

▷ a_bend=Pi-2*a0

 cos(a_bend)=cos(Pi-2*a0)=-cos(2*a0)=2*cos(a0)^2-1=2*(A/F)^2-1

ここで A/F=1/e であったから、

 cos(a_bend)=2*(A/F)^2-1=2/e^2-1  

▷ tan(a0)=B/A より、

 cos(a0)=1/root[1+tan(a0)^2]=1/root[1+(B/A)^2]=A/root(A^2+B^2)=A/F

 sin(a0)=tan(a0)*cos(a0)=(B/A)*(A/F)=B/F

 Ip=F*sin(a0)=F*B/F=B

≫ Ip=B  

▷ 焦点からの距離の最小値 r_min=l/(e-1) だったから、

 r_min/Ip
=[l/(e-1)]/B
=[l/(e-1)]/[l/root(e^2-1)]
=root(e^2-1)/(e-1)
=root[(e+1)/(e-1)]

≫ r_min/B=r_min/Ip=root[(e+1)/(e-1)]  

▷ 長さに関してまとめると、

 A=l/(e^2-1) B=l/root(e^2-1) F=A*e=l*e/(e^2-1)

 e=F/A & l=B^2/A 

 r_min/l=1/(e-1) Ip=B r_min/B=r_min/Ip=root[(e+1)/(e-1)]

〓 逆2乗則の斥力による運動 速さ、エネルギー 〓

▢ 双曲線 円座標(r,a _C)で l/r=e*cos(a)-1 l>0 , e>1
a0=arccos(1/e) 0≦|a|<a0 で、跳ね返されて、右側に開く双曲線

漸近線とx軸とが作る角 a0 衝突径数(焦点から漸近線までの最短距離) Ip 

速さ r_min で v_min 無限遠で v_max

▷ v_min=(b/l)*(e-1) & v_max=(b/l)*root(e^2-1)  

 v_min/v_max=(e-1)/root(e^2-1)=root[(e-1)/(e+1)]

{別解} b=Ip*v_max=r_min*v_min & r_min/B=r_min/Ip=root[(e+1)/(e-1)] より、

 v_min/v_max=Ip/r_min=root[(e-1)/(e+1)] 

▷ 無限遠で K(∞)=(1/2)*m*v_max^2=(1/2)*m*v_min^2*(e+1)/(e-1)

 U(∞)=0

任意の位置で E=(1/2)*m*v_max^2=(1/2)*m*v_min^2*(e+1)/(e-1)  

● Fr=k/r^2 r^2*(a;t)=一定=b 通径 l=m*b^2/k b/l=(速さ) ●

▷ r_min で、

 K(r_min)=(1/2)*m*v_min^2  

また U(r_min)=k/r_min

 r_min/l=1/(e-1) & k=m*b^2/l だったから、

 k/r_min=(m*b^2/l)/[l/(e-1)]=m*(b/l)^2*(e-1)

さらに v_min=(b/l)*(e-1) だったから 

 k/r_min=m*[v_min/(e-1)]^2*(e-1)=m*v_min^2/(e-1)

 U(r_min)=k/r_min=m*v_min^2/(e-1)  

⇨ E=K(r_min)+U(r_min)=(1/2)*m*v_min^2*[1+2/(e-1)]=(1/2)*m*v_min^2*(e+1)/(e-1)

≫ E=(1/2)*m*v_min^2*(e+1)/(e-1)  

{まとめ} E=K(∞)=K(r_min)+U(r_min)=(1/2)*m*v_min^2*(e+1)/(e-1)  

{やっとできた!何回も計算間違いした!2021.2}

▷ r_min で K(r_min)=(1/2)*m*v_min^2=(1/2)*m*IP^2*v_max^2/r_min^2

 U(r_min)=k/r_min

 (1/2)*m*IP^2*v_max^2/r_min^2+k/r_min=(1/2)*m*v_max^2 

 (1/r_min)^2+2*[k/(m*IP^2*v_max^2)]*(1/r_min)-1/IP^2=0  

〓 逆2乗則の斥力による運動.向きが変わる角度 〓

▢ 双曲線 衝突径数(焦点から漸近線までの最短距離) Ip 離心率 e 通径 l

無限遠からの軌道が、無限遠への軌道へと、向きが変わる角度 a_bend

▷ Ip=B=l/root(e^2-1) 

 e^2-1=l^2/Ip^2

 e=root(1+l^2/Ip^2)  

▷ 1/e^2=1/(1+l^2/Ip^2)=Ip^2/(Ip^2+l^2)

 2/e^2-1=2*Ip^2/(Ip^2+l^2)-1=(Ip^2-l^2)/(Ip^2+l^2)

 cos(a_bend)=2/e^2-1=(Ip^2-l^2)/(Ip^2+l^2)  

〓 逆2乗則の斥力による運動 〓 23.5 

▢ 円座標(r,a) 1質点の運動 質量 m

力[1.中心力 2.逆2乗則 3.斥力] <F>=<ru>*Fr Fr=k/r^2 k>0

▷ 運動は一平面上 双曲線or直線

 r^2*(a;t)=一定=b 角運動量 L=m*b 通径 l=m*b^2/k >0 

軌道の形を求める方程式 (l/r);;a+l/r+1=0 

離心率 e e≧1 として 解 r*[e*cos(a)-1]=l 原点 左側の焦点 右に開く放物線

 r_min=l/(e-1) 

▷ b=r^2*(a;t)=r_min*v_min=Ip*v_max=一定

 v(a)=(b/l)*root[1+e^2-2*e*cos(a)]

 v_min=(b/l)*(e-1) v_max=(b/l)*root(e^2-1) 

  全エネルギー E=(1/2)*k*(e+1)/r_min=(1/2)*m*v_min^2*(e+1)/(e-1) 

 e=2*E*r_min/k-1 

また E=(1/2)*k/A A=k/(2*E) 

▷ 双曲線上の任意の点 P(x,y) |PF2-PF1|=2*A 

▷ 漸近線とx軸との角 a0 tan(a0)=B/A cos(a0)=A/F sin(a0)=B/F 

漸近線の交点と、双曲線とx軸との交点との距離 A

衝突径数(漸近線と焦点との最短距離) Ip=B 離心率 e=F/A

通径 l=(焦点を通りy軸に平行な直線と双曲線との交点と、焦点との距離)=B^2/A 

 A=l/(e^2-1) Ip=B=l/root(e^2-1) F=A*e=l*e/(e^2-1) 

 e=root(1+l^2/Ip^2) 

▷ 散乱角 a_bend=Pi-2*a0 a0=Pi/2-a_bend/2 tan(a0)=1/tan(a_bend/2)

図形的な性質 Ip=A/tan(a_bend/2) と 力学的な結果 A=k/(2*E) より、

 Ip=[k/(2*E)]/tan(a_bend/2) 

▷ 無限遠からの軌道が、無限遠への軌道へと、向きが変わる角度 a_bend=Pi-2*a0

 cos(a_bend)=2/e^2-1=(Ip^2-l^2)/(Ip^2+l^2) 

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