お勉強しようUz〕 物理 力学

2017/2-2012/11 Yuji.W

ケプラー問題.斥力

. 距離の逆2乗に比例する中心力(斥力)による運動 双曲線

10^x=Ten(x) exp(i*x)=expi(x) 微分;x 時間微分' 積分$ ベクトル<A> 座標単位ベクトル<xu> 縦ベクトル<A) 内積* 外積#  _

★質量(光速の2乗倍)@m 時間(光速倍)tc 速度(対光速比)<b> 運動量(光速倍)<pc> ★国際単位系(SI系)で クーロン力定数 ke=1/(4Pi*ε0) ε0*μ0*c^2=1 磁場<B> 磁場(光速倍)<cB> CGS静電単位系で ke=1_無次元 SI系の<cB>⇔CGS静電単位系の<B> 〔物理定数〕 _

{復習} r=l/[1+e*cos(a)]

『r=l/[1+e*cos(a)]』 2016/3

■ l>0 & 0<e<1 楕円

長径 A=l/(1-e^2) 短径 B=l/root(1-e^2)

楕円の中心から焦点までの距離 F=root(A^2-B^2)=e*l/(1-e^2)

 r0=A-F=l/(1+e)

■ l>0 & e>1 双曲線(原点:x軸のマイナス側の焦点)

双曲線の中心からx切片までの距離 A=l/(e^2-1) B=l/root(e^2-1)

双曲線の中心から焦点までの距離 F=root(A^2+B^2)=e*l/(e^2-1)

 r0=F-A=l/(e+1)

■ l<0 & e>1 双曲線(原点:x軸のプラス側の焦点) -l=\l >0

双曲線の中心からx切片までの距離 A=\l/(e^2-1)

B=\l/root(e^2-1)

双曲線の中心から焦点までの距離 F=root(A^2+B^2)=e*\l/(e^2-1)

 r0=F+A=\l/(e-1)

漸近線とx軸とが作る角 \a tan(\a)=root(e^2-1)

衝突係数(漸近線と焦点との距離)=\l/root(e^2-1)

◇ケプラー問題.斥力◇

◆ ケプラー問題 円座標(r,a)

1質点(質量 m) <F>=-<ru>*k/r^2 U(r)=-k/r k<0 で斥力

※ 電気力 k=-[1/(4Pi*ε0)]*q1*q2

■ r^2*a'=一定=b 角運動量 L=m*r^2*a'=一定 a=0 のとき r=r0

 r=[b^2*(m/k)]/{1+[b^2*(m/k)/r0-1]*cos(a)}

 r=-[b^2*m/(-k)]/{1-[1+b^2*m/(-k)/r0]*cos(a)}

 r=[b^2*m/(-k)]/{[1+b^2*m/(-k)/r0]*cos(a)-1}

b^2*m/(-k)=\l 1+b^2*m/(-k)/r0=\e として、

 r=\l/[\e*cos(a)-1] .

★ \l=1 , \e=2

a→

0

Pi/6

Pi/4

Pi/3

cos(a)

1

0.866

0.707

0.5

r

1

1.37

2.41

x軸のプラス側から、マイナス側の焦点(力の中心)に近づいてきて、反発されて、x軸のプラス側の無限遠に遠ざかる

 双曲線の中心からx切片までの距離=1/3
 双曲線の中心から焦点までの距離=2/3
 焦点までの最短距離=1

■ A=\l/(\e^2-1) B=\l/root(\e^2-1) F=\e*\l/(\e^2-1) と置けば、

 (x-F)^2/A^2-y^2/B^2=1 .双曲線(原点:x軸のマイナス側の焦点)

 A:双曲線の中心からx切片までの距離
 F:双曲線の中心から焦点までの距離

■【 A,B,F の関係 】

 A^2+B^2
=\l^2/(\e^2-1)^2+\l^2/(\e^2-1)
=\l^2/(\e^2-1)^2*[1+(\e^2-1)]
=\e^2*\l^2/(\e^2-1)^2
=F^2

≫ A^2+B^2=F^2 .

 B^2/A=\l F/A=\e .

 マイナス側の焦点から、軌道への最短距離 r0
=F+A
=\e*\l/(\e^2-1)+\l/(\e^2-1)
=\l/(\e-1) 
.

■【 漸近線 】

漸近線とx軸とが作る角 \a tan(\a)
=B/A
=[\l/root(\e^2-1)]/[\l/(\e^2-1)]
=root(\e^2-1) 
.

■【 衝突係数(漸近線と焦点との距離) 】

 衝突係数
=F*sin(\a)
=F*(B/F)
=B
=\l/root(\e^2-1) 
.

 r0/衝突係数
=[\l/(\e-1)]/[\l/root(\e^2-1)]
=root[(\e+1)/(\e-1)] 
.

■【 全エネルギー 】

 2*m*E=L^2*(\e^2-1)/\l^2 .

◇軌道が曲がる角度◇

■ 漸近線とx軸とが作る角 \a tan(\a)=root(\e^2-1)

 sin(\a)=root(\e^2-1)/\e cos(\a)=1/\e

無限遠からの軌道が、無限遠への軌道へと、向きが変わる角度 a_bend

 a_bend=Pi-2*\a

 cos(a_bend)
=cos(Pi-2*\a)
=-cos(2*\a)
=2*cos(\a)^2-1
=2/\e^2-1

≫ cos(a_bend)=2/\e^2-1 .

{まとめ}ケプラー問題.斥力

『ケプラー問題.斥力』 2016/3

◆ ケプラー問題 円座標(r,a) 1質点(質量 m) <F>=-<ru>*k/r^2 k<0 で斥力 ※ 電気力 k=-[1/(4Pi*ε0)]*q1*q2

■ r^2*a'=一定=b 角運動量 L=m*r^2*a'=一定 a=0 のとき r=r0

 r=[b^2*m/(-k)]/{[1+b^2*m/(-k)/r0]*cos(a)-1}

b^2*m/(-k)=\l 1+b^2*m/(-k)/r0=\e として、

 r=\l/[\e*cos(a)-1]

■ A=\l/(\e^2-1) B=\l/root(\e^2-1) F=\e*\l/(\e^2-1) と置けば、

 (x-F)^2/A^2-y^2/B^2=1 双曲線(原点:x軸のマイナス側の焦点)

 A:双曲線の中心からx切片までの距離
 F:双曲線の中心から焦点までの距離

■ A^2+B^2=F^2 B^2/A=\l F/A=\e

 マイナス側の焦点から、軌道への最短距離 r0=F+A=\l/(\e-1)

■ 衝突係数(漸近線と焦点との距離)=B=\l/root(\e^2-1)

 r0/衝突係数=root[(\e+1)/(\e-1)]

 ■ 2*m*E=L^2*(\e^2-1)/\l^2 .

■ 漸近線とx軸とが作る角 \a tan(\a)=B/A=root(\e^2-1)

無限遠からの軌道が、無限遠への軌道へと、向きが変わる角度 a_bend

 cos(a_bend)=2/\e^2-1

◇2つの点電荷の衝突◇

◆ 原点に電荷 Q 非常に重く動かないとする

xy平面上をx軸と平行に高速でほぼ等速直線運動をする電荷 q 速さ v x軸との距離 h

q が Q から受けるy軸方向の力による運動量の変化量 py 非常に小さいとする

時間 t 電荷の位置 (x,h) x=v*t r=root(x^2+h^2)

■ 位置(x,h)にあるときに受ける力=ke*q*Q/r^2

 そのy成分=(ke*q*Q/r^2)*(h/r)=ke*q*Q*h/r^3

 微少力積=(ke*q*Q*h/r^3)*dt=(ke*(q*Q*h/v)/r^3)*dx

 py
=(q が Q から受けるy軸方向の力積の和)
=2*(ke*(q*Q*h/v)*${dx/r^3}[x:0~∞]

● r=root(x^2+A^2) のとき  ${dx/r^3}=(1/A^2)*x/r

ここで ${dx/r^3}[x:0~∞]=(1/h^2)*[x/r][x:0~∞]=1/h^2

 py=2*ke*q*Q/(h*v) _

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