☆ 逆2乗則の斥力による運動 ☆ |
〇 双曲線 正電荷同士の衝突など 衝突径数 impact parameter ★ 2023.5-2012.11 Yuji.W |
◇ 2*3=6 Ten(3)=10^3=1000 微分 ; 偏微分 : 積分 $ e^(i*x)=expi(x) |
〓 双曲線.デカルト座標&円座標 〓 23.5 〇 双曲線 2つの焦点までの距離の差が一定 ▢ x軸対称、y軸対称であって、x軸正の方向と負の方向に開く双曲線 x^2/A^2-y^2/B^2=1 〔 正の定数 A , B 〕焦点 F=root(A^2+B^2) ▷ 漸近線 y=±(B/A)*x ▷ (漸近線の交点と、双曲線の頂点との距離)=A 衝突径数(漸近線と焦点との最短距離) Ip=B 離心率 e=F/A 通径(焦点での双曲線の幅の半分) l=B^2/A ▷ 漸近線とx軸との角 a0 tan(a0)=B/A cos(a0)=A/F=1/e sin(a0)=B/F=Ip/F ▷ 散乱角 a_bend=Pi-2*a0 Ip=A*tan(a0)=A/tan(a_bend/2) ▷ A=l/(e^2-1) Ip=B=root(A*l)=l/root(e^2-1) F=A*e=l*e/(e^2-1) ▷ 円座標(r,a _C) r*cos(a)=x+F r*sin(a)=y r=root[(x+F)^2+y^2] 離心率 e 通径 l r*[e*cos(a)-1]=l 原点 左側の焦点 右に開く放物線 r*[e*cos(a)+1]=l 原点 左側の焦点 左に開く放物線 ▷ r_min=l/(e-1) A/r_min=1/(e+1) Ip/r_min=B/r_min=root[(e-1)/(e+1)] F/r_min=e/(e+1) |
〓 中心力による運動 〓 22.8 ▢ 1質点 質量 m 中心力による運動 円座標(r,a) 力[動径成分 Fr 接線成分 Fa=0] 速さ v 運動エネルギー K ▷ r^2*(a;t)=一定=b 角運動量 L=m*b ▷ 軌道の形 (1/r);;a+1/r=-Fr*r^2/(m*b^2) ▷ v^2=b^2*{[(1/r);a]^2+1/r^2} K=(1/2)*m*b^2*{[(1/r);a]^2+1/r^2} |
〓 逆2乗則の斥力による運動.軌道 〓 ◎ 原子核に陽電子が衝突する場合など ▢ 円座標(r,a) 1質点の運動 質量 m 力[1.中心力 2.逆2乗則 3.斥力] <F>=<ru>*Fr Fr=k/r^2 k>0 運動は一平面上に限られる 双曲線or直線上を動く r^2*(a;t)=一定=b 通径 l=m*b^2/k >0 無限遠での速さ v_max 衝突径数(焦点から漸近線までの最短距離) Ip ▷ 軌道の形を求める方程式 (1/r);;a+1/r=-Fr*r^2/(m*b^2)=-k/(m*b^2)=-1/l <0 (1/r);;a+1/r=-1/l ★ 解 1/r=[e*cos(a)-1]/l すなわち r*[e*cos(a)-1]=l ★ ※ 無限遠から来る。r=∞ の解を持たなければならないから e≧1 ★ {確かめ} (1/r);a=-e*sin(a)/l (1/r);;a=-e*cos(a)/l (1/r);;a+1/r=-e*cos(a)/l+[e*cos(a)-1]/l=-1/l ▷ a=0 のとき r=r_min=l/(e-1) ★ ▷ cos(a0)=1/e とすれば |a|<a0 で解を持つ双曲線 a=a0 で r=∞ ★ (双曲線の漸近線がx軸と作る角)=a0 cos(a0)=1/e |
〓 速さ 〓 ▢ 円座標(r,a _C) 速さ v(a) ▷ l^2*{[(1/r);a]^2+1/r^2} [(1/r);a]^2+1/r^2=[1+e^2-2*e*cos(a)]/l^2 v^2 v=(b/l)*root[1+e^2-2*e*cos(a)] ★ ▷ a=0 のとき v=v_min v_min^2=(b/l)^2*(1+e^2-2*e)=(b/l)^2*(1-e)^2 e≧1 , b>0 , l>0 であったから v_min=(b/l)*(e-1) ★ そのとき r_min=b/v_min=l/(e-1) ★ ▷ cos(a0)=1/e a=a0 のとき v=v_max 1+e^2-2*e*cos(a0)=1+e^2-2=e^2-1 v_max=(b/l)*root[1+e^2-2*e*cos(a0)]=(b/l)*root(e^2-1) ★ ▷ b=r^2*(a;t) a=0 のとき r=r_min r*(a;t)=v_min b=r_min*v_min cos(ao)=1/e a=a0 のとき b=(漸近線と焦点との距離)*v_max=Ip*v_max {まとめ} b=r_min*v_min=Ip*v_max === まとめ === v=(b/l)*root[1+e^2-2*e*cos(a)] v_min=(b/l)*(e-1) r_min=l/(e-1) v_max=(b/l)*root(e^2-1) Ip=l/(e^2-1) ただし、 ・力 Fr=k/r^2 k>0 ・r^2*(a;t)=一定=b 角運動量 L=m*b 通径 l=m*b^2/k ・無限遠での速さ v_max 衝突径数(焦点から、漸近線までの最短距離) Ip ・rの最小値 r_min そのときの速さ v_min b=Ip*v_max=r_min*v_min |
〓 エネルギー 〓 ▢ 円座標(r,a) 運動エネルギー K(r) 位置エネルギー U(r)=k/r >0 全エネルギー E=K+U=一定 ▷ r=r_min でのエネルギーを考えて、 U(r_min)=k/r_min K(r_min) E E=(1/2)*k*(e+1)/r_min ★ e=2*E*r_min/k-1 ★ ▷ A/r_min=1/(e+1) E=(1/2)*k*(e+1)/r_min=(1/2)*k*(e+1)/[A*(e+1)]=(1/2)*k/A A=k/(2*E) ★ ただし、 漸近線の交点と、双曲線の頂点との距離 A 力 <F>=<ru>*k/r^2 質点の全エネルギー E=(1/2)*m*v_max |
〓 散乱角 〓 ▢ 漸近線とx軸との角 a0 散乱角 a_bend=Pi-2*a0 a0=Pi/2-a_bend/2 漸近線の交点と、双曲線の頂点との距離 A 衝突径数(漸近線と焦点との最短距離) Ip=A*tan(a0) ▷ 双曲線の性質 漸近線とx軸との角 a0 散乱角
a_bend=Pi-2*a0 a0=Pi/2-a_bend/2 tan(a0) Ip=A*tan(a0)=A/tan(a_bend/2) ★ ▷ 力 <F>=<ru>*k/r^2 k>0 を受ける質点の運動は双曲線になる。 質点の全エネルギー E=(1/2)*k*(e+1)/r_min=(1/2)*k/A A=k/(2*E) ★ ▷ 図形的な性質 Ip=A/tan(a_bend/2) と 力学的な結果 A=k/(2*E) より、 Ip=[k/(2*E)]/tan(a_bend/2) ★ {図形的な性質と、力学的な結果とを分けて考えないと混乱する!23.5} |
〓 逆2乗則の斥力による運動 角度、長さ 〓 ▢ 双曲線 円座標(r,a _C)で l/r=e*cos(a)-1 l>0 , e>1 2次元デカルト座標で x^2/A^2-y^2/B^2=1〔A,B:正の定数〕 漸近線とx軸とが作る角 a0 衝突径数(焦点から漸近線までの最短距離) Ip 無限遠からの軌道が、無限遠への軌道へと、向きが変わる角度 a_bend ● A=l/(e^2-1) B=l/root(e^2-1) F=A*e=l*e/(e^2-1) ▷ tan(a0)=B/A=[l/root(e^2-1)]/[l/(e^2-1)]=root(e^2-1) ★ ▷ a_bend=Pi-2*a0 cos(a_bend)=cos(Pi-2*a0)=-cos(2*a0)=2*cos(a0)^2-1=2*(A/F)^2-1 ここで A/F=1/e であったから、 cos(a_bend)=2*(A/F)^2-1=2/e^2-1 ★ ▷ tan(a0)=B/A より、 cos(a0)=1/root[1+tan(a0)^2]=1/root[1+(B/A)^2]=A/root(A^2+B^2)=A/F sin(a0)=tan(a0)*cos(a0)=(B/A)*(A/F)=B/F Ip=F*sin(a0)=F*B/F=B ≫ Ip=B ★ ▷ 焦点からの距離の最小値 r_min=l/(e-1) だったから、 r_min/Ip ≫ r_min/B=r_min/Ip=root[(e+1)/(e-1)] ★ ▷ 長さに関してまとめると、 A=l/(e^2-1) B=l/root(e^2-1) F=A*e=l*e/(e^2-1) e=F/A & l=B^2/A r_min/l=1/(e-1) Ip=B r_min/B=r_min/Ip=root[(e+1)/(e-1)] |
〓 逆2乗則の斥力による運動 速さ、エネルギー 〓 ▢ 双曲線 円座標(r,a _C)で l/r=e*cos(a)-1 l>0 , e>1 漸近線とx軸とが作る角 a0 衝突径数(焦点から漸近線までの最短距離) Ip 速さ r_min で v_min 無限遠で v_max ▷ v_min=(b/l)*(e-1) & v_max=(b/l)*root(e^2-1) ★ v_min/v_max=(e-1)/root(e^2-1)=root[(e-1)/(e+1)] {別解} b=Ip*v_max=r_min*v_min & r_min/B=r_min/Ip=root[(e+1)/(e-1)] より、 v_min/v_max=Ip/r_min=root[(e-1)/(e+1)] ▷ 無限遠で K(∞)=(1/2)*m*v_max^2=(1/2)*m*v_min^2*(e+1)/(e-1) U(∞)=0 任意の位置で E=(1/2)*m*v_max^2=(1/2)*m*v_min^2*(e+1)/(e-1) ★ ● Fr=k/r^2 r^2*(a;t)=一定=b 通径 l=m*b^2/k b/l=(速さ) ● ▷ r_min で、 K(r_min)=(1/2)*m*v_min^2 ★ また U(r_min)=k/r_min r_min/l=1/(e-1) & k=m*b^2/l だったから、 k/r_min=(m*b^2/l)/[l/(e-1)]=m*(b/l)^2*(e-1) さらに v_min=(b/l)*(e-1) だったから k/r_min=m*[v_min/(e-1)]^2*(e-1)=m*v_min^2/(e-1) U(r_min)=k/r_min=m*v_min^2/(e-1) ★ ⇨ E=K(r_min)+U(r_min)=(1/2)*m*v_min^2*[1+2/(e-1)]=(1/2)*m*v_min^2*(e+1)/(e-1) ≫ E=(1/2)*m*v_min^2*(e+1)/(e-1) ★ {まとめ} E=K(∞)=K(r_min)+U(r_min)=(1/2)*m*v_min^2*(e+1)/(e-1) ★ {やっとできた!何回も計算間違いした!2021.2} ▷ r_min で K(r_min)=(1/2)*m*v_min^2=(1/2)*m*IP^2*v_max^2/r_min^2 U(r_min)=k/r_min (1/2)*m*IP^2*v_max^2/r_min^2+k/r_min=(1/2)*m*v_max^2 (1/r_min)^2+2*[k/(m*IP^2*v_max^2)]*(1/r_min)-1/IP^2=0 ★ |
〓 逆2乗則の斥力による運動.向きが変わる角度 〓 ▢ 双曲線 衝突径数(焦点から漸近線までの最短距離) Ip 離心率 e 通径 l 無限遠からの軌道が、無限遠への軌道へと、向きが変わる角度 a_bend ▷ Ip=B=l/root(e^2-1) e^2-1=l^2/Ip^2 e=root(1+l^2/Ip^2) ★ ▷ 1/e^2=1/(1+l^2/Ip^2)=Ip^2/(Ip^2+l^2) 2/e^2-1=2*Ip^2/(Ip^2+l^2)-1=(Ip^2-l^2)/(Ip^2+l^2) cos(a_bend)=2/e^2-1=(Ip^2-l^2)/(Ip^2+l^2) ★ |
〓 逆2乗則の斥力による運動 〓 23.5 ▢ 円座標(r,a) 1質点の運動 質量 m 力[1.中心力 2.逆2乗則 3.斥力] <F>=<ru>*Fr Fr=k/r^2 k>0 ▷ 運動は一平面上 双曲線or直線 r^2*(a;t)=一定=b 角運動量 L=m*b 通径 l=m*b^2/k >0 軌道の形を求める方程式 (l/r);;a+l/r+1=0 離心率 e e≧1 として 解 r*[e*cos(a)-1]=l 原点 左側の焦点 右に開く放物線 r_min=l/(e-1) ▷ b=r^2*(a;t)=r_min*v_min=Ip*v_max=一定 v(a)=(b/l)*root[1+e^2-2*e*cos(a)] v_min=(b/l)*(e-1) v_max=(b/l)*root(e^2-1) 全エネルギー E=(1/2)*k*(e+1)/r_min=(1/2)*m*v_min^2*(e+1)/(e-1) e=2*E*r_min/k-1 また E=(1/2)*k/A A=k/(2*E) ▷ 双曲線上の任意の点 P(x,y) |PF2-PF1|=2*A ▷ 漸近線とx軸との角 a0 tan(a0)=B/A cos(a0)=A/F sin(a0)=B/F 漸近線の交点と、双曲線とx軸との交点との距離 A 衝突径数(漸近線と焦点との最短距離) Ip=B 離心率 e=F/A 通径 l=(焦点を通りy軸に平行な直線と双曲線との交点と、焦点との距離)=B^2/A A=l/(e^2-1) Ip=B=l/root(e^2-1) F=A*e=l*e/(e^2-1) e=root(1+l^2/Ip^2) ▷ 散乱角 a_bend=Pi-2*a0 a0=Pi/2-a_bend/2 tan(a0)=1/tan(a_bend/2) 図形的な性質 Ip=A/tan(a_bend/2) と 力学的な結果 A=k/(2*E) より、 Ip=[k/(2*E)]/tan(a_bend/2) ▷ 無限遠からの軌道が、無限遠への軌道へと、向きが変わる角度 a_bend=Pi-2*a0 cos(a_bend)=2/e^2-1=(Ip^2-l^2)/(Ip^2+l^2) |
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