☆お勉強しようUz☆ 物理.力学

2016/3-2012/11 Yuji.W

ケプラー問題.引力

◎ ケプラー問題 中心力 逆2乗則 楕円 双曲線 放物線

◇ ベクトル<A> 縦ベクトル<A) 単位ベクトル<-u> 内積* 外積# 微分;x 時間微分' 10^x=Ten(x) exp(i*x)=expi(x) 共約複素数\z  物理定数 .

{復習} r=l/[1+e*cos(a)]

★ l=1 e=2 引力 双曲線

a→

0

Pi/6

Pi/4

Pi/3

Pi/2

2Pi/3

cos(a)

1

0.866

0.707

0.5

0

-0.5

r

0.33

0.37

0.41

0.5

1

★ l=-1 e=2 斥力 双曲線

a→

2Pi/3

3Pi/4

5Pi/6

Pi

cos(a)

-0.5

-0.707

-0.866

-1

r

2.42

1.37

1

『r=l/[1+e*cos(a)]』 2016/3

■ l>0 & 0<e<1 楕円

長径 A=l/(1-e^2) 短径 B=l/root(1-e^2)

楕円の中心から焦点までの距離 F=root(A^2-B^2)=e*l/(1-e^2)

 r0=A-F=l/(1+e)

■ l>0 & e>1 双曲線(原点:x軸のマイナス側の焦点)

双曲線の中心からx切片までの距離 A=l/(e^2-1) B=l/root(e^2-1)

双曲線の中心から焦点までの距離 F=root(A^2+B^2)=e*l/(e^2-1)

 r0=F-A=l/(e+1)

■ l<0 & e>1 双曲線(原点:x軸のプラス側の焦点) -l=\l >0

双曲線の中心からx切片までの距離 A=\l/(e^2-1) B=\l/root(e^2-1)

双曲線の中心から焦点までの距離 F=root(A^2+B^2)=e*\l/(e^2-1)

 r0=F+A=\l/(e-1)

漸近線とx軸とが作る角 \a tan(\a)=root(e^2-1)

衝突係数(漸近線と焦点との距離)=\l/root(e^2-1)

◇ケプラー問題◇

ケプラー問題 距離の逆2乗に比例する中心力による運動。斥力であってもよい。

運動は、初速度と原点を含む平面に限られる

◆ ケプラー問題 円座標(r,a)

1質点(質量 m) <F>=-<ru>*k/r^2 U(r)=-k/r k>0 で引力

※ 重力 k=G*M*m 電気力 k=-ke*q1*q2=-[1/(4Pi*ε0)]*q1*q2

■【 軌道 】

r^2*a'=一定=b a=0 のとき r=r0

 r=[b^2*(m/k)]/{1+[b^2*(m/k)/r0-1]*cos(a)} . 

b^2*(m/k)=l b^2*(m/k)/r0-1=e として、

 r=l/[1+e*cos(a)] . 

■【 角運動量、全エネルギー 】

 角運動量 L=m*b 全エネルギー E

 2*m*E=L^2*(e^2-1)/l^2

◇双曲線-引力◇

「双曲線」

■ x^2/A^2-y^2/B^2=1 A>0 B>0 f=root(A^2+B^2) f>A f>B

 x切片=±A y切片はない 漸近線 y=±(B/A)*x

 焦点 (f,0) & (-f,0)

■ 双曲線上の任意の点から、2つの焦点までの距離 r+,r-

 |(r+)-(r-)|=2*A

■ 焦点 f-,f+ 漸近線の交点 X x切片 x+,x-

 並んでいる順 f- x- X x+ f+

 s(f~X)=f=root(A^2+B^2)

 s(x~X)=A

 s(f~x)=f-A=r_min

◆ k>0 & e>1

■ E=(e^2-1)*(1/2)*m*(k/h)^2

■ r=l-r*e*cos(a) から、e>1 に注意して、

 (x-f)^2/A^2-y^2/B^2=1

ただし、A=l/(e^2-1) >0 B=l/root(e^2-1) >0 f=e*l/(e^2-1) >0

{確かめ}A^2+B^2=l^2[1/(e^2-1)^2+1/(e^2-1)]=l^2*e^2/(e^2-1)^2

 f=root(A^2+B^2)=e*l/(e^2-1)

■ y=0 のとき x=±A+f

 (x+)=A+f=l/(e^2-1)+e*l/(e^2-1)=l*(e+1)/(e^2-1)=l/(e-1)

 (x-)=-A+f=-l/(e^2-1)+e*l/(e^2-1)=l*(e-1)/(e^2-1)=l/(e+1)

■ 焦点 f-,f+ 漸近線の交点 X x切片 x+,x-

 並んでいる順 f- x- X x+ f+

 s(f~X)=f=root(a^2+b^2)=[e/(e^2-1)]*l

 s(x~X)=A=[1/(e^2-1)]*l

 s(f~x)=r_min=f-A=[1/(e+1)]*l

「双曲線-引力」

■ k>0 & e>1 で双曲線

■ A=l/(e^2-1) >0 B=l/root(e^2-1) >0 f=e*l/(e^2-1) >0

 (x-f)^2/A^2-y^2/B^2=1 マイナス側の焦点が原点

■ 焦点 f-,f+ 漸近線の交点 X x切片 x+,x-

 並んでいる順 f- x- X x+ f+

 s(f~X)=f=root(a^2+b^2)=[e/(e^2-1)]*l

 s(x~X)=A=[1/(e^2-1)]*l

 s(f~x)=r_min=f-A=[1/(e+1)]*l

◇双曲線-漸近線◇

「双曲線」

■ x^2/a^2-y^2/b^2=1 a>0 b>0 f=root(a^2+b^2) f>a f>b

 x切片=±a y切片はない 漸近線 y=±(b/a)*x

 焦点 (f,0) & (-f,0)

■ 双曲線上の任意の点から、2つの焦点までの距離 r+,r-

 |(r+)-(r-)|=2*a

■ x軸上で r+_min=r-_min=f-a

◆ k>0 & e>1 漸近線がx軸と成す角 a_∞ <(Pi)/2

■ r=l/(1+e*cos(a)] e>1

 1+e*cos(a_lim)=0 (Pi)/2<a_lim<(Pi)

 a_lim=(Pi)-a_∞

 cos[(Pi)-a_∞]=-1/e

 cos(a_∞)=1/e

 tan(a_∞)=root(e^2-1)  {注}0<a_∞<(Pi)/2

■ {別解}漸近線 y=±(b/a)*x より、

 tan(a_∞)=B/A=[l/root(e^2-1)]/[l/(e^2-1)]=root(e^2-1)  {ナイス!}

■ 双曲線の軌道が存在する範囲

(焦点(中心力の源)-軌道のx切片-漸近線の交点 の順に並んでいる)

焦点を原点とする円座標(r,a)で、-a_∞<a<a_∞

漸近線がx軸と成す角 a_∞ より、x軸に近い方

「ケプラー問題-双曲線」

◆ 中心力 F(r)=-k/r^2 角運動量 h=m*r^2*a' 通径 l=h^2/(k*m)

 エネルギー E=(1/2)*m*r'^2+(1/2)*h^2/(m*r^2)-k/r

 離心率^2=e^2=1+2*E*h^2/(m*k^2)

 E=(e^2-1)*(1/2)*m*(k/h)^2

■ 軌道方程式 l/r=1+e*cos(a)

◆ k>0 & e>1 で双曲線

■ A=l/(e^2-1) >0 B=l/root(e^2-1) >0 f=e*l/(e^2-1) >0

 (x-f)^2/A^2-y^2/B^2=1 マイナス側の焦点が原点

■ 焦点 f-,f+ 漸近線の交点 X x切片 x+,x-

 並んでいる順 f- x- X x+ f+

 s(f~X)=f=root(a^2+b^2)=[e/(e^2-1)]*l

 s(x~X)=A=[1/(e^2-1)]*l

 s(f~x)=r_min=f-A=[1/(e+1)]*l

■ 漸近線がx軸と成す角 a_∞ tan(a_∞)=root(e^2-1)

◇放物線◇

「放物線、原点からの距離」

■ y=a*x^2-c a>0 c>0

原点から、放物線上の任意の点までの距離 r

y=-1/(2*a) のとき (r_min)^2=c/a-1/(4*a^2)

ただし、c<1/(2*a) のとき r_min=c

◆ k>0 & e=1

■ E=0 K=U

■ r=l/(1+cos(a)] a=0 で r_min=l/2 a=(Pi) で r_max=∞

 r=l-r*cos(a) ⇒ r^2=[l-r*cos(a)]^2

xy座標に直せば、

 x^2+y^2=(l-x)^2

 x=-(1/2)*y^2/l+(1/2)*l  左側に開いた放物線

■ 1/[2*(y^2 の係数の絶対値)]=l x切片の絶対値=l/2 だから、

原点から、放物線上の任意の点までの距離の最小値は、r_min=l/2

▲こんな事言わなくても、r,a の軌道方程式から、a=0 で r_min になるのは、明か。ただし、x軸について対称な放物線でも、x切片が最小値にならない場合もあることを、強調したかっただけ。{2012/12}

■ ビリアル定理は成り立たない 有界でないから

  ケプラー問題.引力  

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