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◎ ケプラー問題 中心力 逆2乗則 楕円 双曲線 放物線 |
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◇ ベクトル<A> 縦ベクトル<A) 単位ベクトル<-u> 内積* 外積# 微分;x 時間微分' 10^x=Ten(x) exp(i*x)=expi(x) 共約複素数\z 物理定数 ★. |
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★ l=1 e=2 引力 双曲線
★ l=-1 e=2 斥力 双曲線
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■ ケプラー問題 距離の逆2乗に比例する中心力による運動。斥力であってもよい。 運動は、初速度と原点を含む平面に限られる ◆ ケプラー問題 円座標(r,a) 1質点(質量 m) <F>=-<ru>*k/r^2 U(r)=-k/r k>0 で引力 ※ 重力 k=G*M*m 電気力 k=-ke*q1*q2=-[1/(4Pi*ε0)]*q1*q2 ■【 軌道 】 r^2*a'=一定=b a=0 のとき r=r0 r=[b^2*(m/k)]/{1+[b^2*(m/k)/r0-1]*cos(a)} ★. b^2*(m/k)=l b^2*(m/k)/r0-1=e として、 r=l/[1+e*cos(a)] ★. ■【 角運動量、全エネルギー 】 角運動量 L=m*b 全エネルギー E 2*m*E=L^2*(e^2-1)/l^2 |
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◆ k>0 & e>1 ■ E=(e^2-1)*(1/2)*m*(k/h)^2 ■ r=l-r*e*cos(a) から、e>1 に注意して、 (x-f)^2/A^2-y^2/B^2=1 ★ ただし、A=l/(e^2-1) >0 B=l/root(e^2-1) >0 f=e*l/(e^2-1) >0 {確かめ}A^2+B^2=l^2[1/(e^2-1)^2+1/(e^2-1)]=l^2*e^2/(e^2-1)^2 f=root(A^2+B^2)=e*l/(e^2-1) ■ y=0 のとき x=±A+f (x+)=A+f=l/(e^2-1)+e*l/(e^2-1)=l*(e+1)/(e^2-1)=l/(e-1) (x-)=-A+f=-l/(e^2-1)+e*l/(e^2-1)=l*(e-1)/(e^2-1)=l/(e+1) ■ 焦点 f-,f+ 漸近線の交点 X x切片 x+,x- 並んでいる順 f- x- X x+ f+ s(f~X)=f=root(a^2+b^2)=[e/(e^2-1)]*l s(x~X)=A=[1/(e^2-1)]*l s(f~x)=r_min=f-A=[1/(e+1)]*l
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◆ k>0 & e>1 漸近線がx軸と成す角 a_∞ <(Pi)/2 ■ r=l/(1+e*cos(a)] e>1 1+e*cos(a_lim)=0 (Pi)/2<a_lim<(Pi) a_lim=(Pi)-a_∞ cos[(Pi)-a_∞]=-1/e cos(a_∞)=1/e tan(a_∞)=root(e^2-1) ★ {注}0<a_∞<(Pi)/2 ■ {別解}漸近線 y=±(b/a)*x より、 tan(a_∞)=B/A=[l/root(e^2-1)]/[l/(e^2-1)]=root(e^2-1) ★ {ナイス!} ■ 双曲線の軌道が存在する範囲 (焦点(中心力の源)-軌道のx切片-漸近線の交点 の順に並んでいる) 焦点を原点とする円座標(r,a)で、-a_∞<a<a_∞ 漸近線がx軸と成す角 a_∞ より、x軸に近い方
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◆ k>0 & e=1 ■ E=0 K=U ■ r=l/(1+cos(a)] a=0 で r_min=l/2 a=(Pi) で r_max=∞ r=l-r*cos(a) ⇒ r^2=[l-r*cos(a)]^2 xy座標に直せば、 x^2+y^2=(l-x)^2 x=-(1/2)*y^2/l+(1/2)*l ★ 左側に開いた放物線 ■ 1/[2*(y^2 の係数の絶対値)]=l x切片の絶対値=l/2 だから、 原点から、放物線上の任意の点までの距離の最小値は、r_min=l/2 ▲こんな事言わなくても、r,a の軌道方程式から、a=0 で r_min になるのは、明か。ただし、x軸について対称な放物線でも、x切片が最小値にならない場合もあることを、強調したかっただけ。{2012/12} ■ ビリアル定理は成り立たない 有界でないから |
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★ ケプラー問題.引力 ★ |