|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
◎ 惑星の運動 2体問題 ケプラー問題 ケプラーの法則 エネルギー ホーマン軌道 力学的相似 ☆ 通径 latus rectum 離心率 eccentricity |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
◇ ベクトル<A> 縦ベクトル<A) 単位ベクトル<-u> 内積* 外積# 微分;x 時間微分' 10^x=Ten(x) exp(i*x)=expi(x) 共約複素数\z 物理定数 ★. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
■ |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
◎ 惑星の運動 2体問題-重力 ■ 太陽の重力による惑星の運動を考えたい。 各惑星には、他の惑星を始め、太陽系内にあるすべての重力源からの重力が働くし、さらに、太陽系外からの重力も働くわけだが、それらは一切無視し、太陽の重力だけを考える。 太陽とその惑星との2体問題になるのだが、太陽の質量は圧倒的に大きいので、次のように考える。 ・太陽は原点に固定されている 中心力であるから、角運動量は保存され、それぞれの惑星の運動は一平面上に限られる。 全エネルギーが負のとき、必ず楕円運動になり、同じ軌道を繰り返し回る ★_ 以上の事は、ケプラー問題(距離の逆2乗に比例する中心力による運動。斥力であってもよい。)に応用することができる。 ■
■ ハレー彗星 長半径 17.8_AU 遠日点距離 35.1_AU 周期 75.3_year ■ 月の地球に対する軌道の離心率 0.055 r_min/r_max=(1-e)/(1+e)=0.90 地球から見た月の大きさは1割増減する |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
『2体問題』 2015/15 ◆ 2質点 孤立系(外力なし) 内力は2質点間に働く重力のみ 相対座標 r 内力 f=-G*m1*m2/r^2 ■ 運動方程式 r''=-G*(m1+m2)/r^2 質量の和{!} |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
◆ 重力源 質量 M 原点 1質点 質量 m 原点からの距離 r 質点に働く力 <F>=-<ru>*G*M*m/r^2 位置エネルギー U(r)=-G*M*m/r
■ 手始めに、円運動の場合を考えてみよう。r=R=一定 運動方程式 m*(-<ru>*R*a'^2+<au>*R*a'')=-<ru>*G*M*m/R^2 方位角方向 R*a''=0 a'=一定 半径方向 R*a'^2=G*M/R^2 a'=root(G*M/R^3) a'^2*R^3=一定 L=m*root(G*M*R) 周期 T=2Pi*root[R^3/(G*M)] ■ 質点が (r,a) にあるときの運動方程式 m*[<ru>*(r''-r*a'^2)+<au>*(r^2*a)'/r]=-<ru>*G*M*m/r^2 半径方向 r''-r*a'^2=-G*M/r^2 方位角方向 (r^2*a)'=0 方位角方向の式から r^2*a'=一定=b 角運動量 L=m*r*(r*a')=m*r^2*a'=m*b ■ 次に1つめの式をつかって、r と a の関係式(軌道の式)を作りたい。時間は消去したい。 次の量を定義する u=1/r ★_{核心!先人達が工夫した所!2014/3} u と a の関係式を作ろう。 時間微分が出てきたら a'=b/r^2=b*u^2 を使って、u の式に直してしまう。そうすることによって、時間微分の項をなくし、 u と a だけの式にしてしまう。{核心!} u'=(u;a)*a'=(u;a)*b*u^2 まず、r',r'' を求めよう。 r'=(1/u)'=-u'/u^2=-[(u;a)*b*u^2]/u^2=-b*(u;a) bは定数 r''=-b*(u;a)'=-b*(u;;a)*a'=-b*(u;;a)*[b*u^2]=-b^2*u^2*(u;;a) 以上2つの式を r''-r*a'^2=-G*M/r^2 に代入して、 -b^2*u^2*(u;;a)-(1/u)*(b*u^2)^2=-G*M*u^2 b^2*(u;;a)+b^2*u=G*M u;;a+u=G*M/b^2 ここで、通径 l=b^2/(G*M)=(r^2*a')^2/(G*M)=L^2/(G*M*m^2) を使って、 u;;a+u=1/l ★_惑星の軌道を求める式 {ずいぶん簡単になった!2014/6} ■ 積分定数を e/l と置いて 解 u=[1+e*cos(a)]/l {確かめ} u;a=-sin(a)*e/l u;;a=-cos(a)*e/l u;;a+u=-cos(a)*e/l+[1+e*cos(a)]/l=1/l u を元に戻すと r*[1+e*cos(a)]=l ★_rとaの関係(軌道の式)
ここで b=r^2*a' l=b^2/(G*M)=(r^2*a')^2/(G*M)=L^2/(G*M*m^2) ▲ 距離 r は、角度 a に依って、一意的に定まる量。距離の逆2乗の中心力を受ける質点は、螺旋運動とか、めちゃくちゃな形の軌道にはならない。定まった軌道を描く ★_{おもしろい!2012/12} |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
◎ 惑星の運動の軌道の式はわかった。見慣れた楕円の式に直そう。 ◆ 1質点(質量 m 原点からの距離) 重力源(質量 M 原点にある) 中心力 <F>=-<ru>*G*M*m/r^2 円座標(r,a) b=r^2*a'=一定 角運動量 L=m*b 通径 l=b^2/(G*M)=L^2/(G*M*m^2) ◎ r*[1+e*cos(a)]=l ★ rとaの関係(軌道の式) e=積分定数 この式から 楕円の式 x^2/A^2+y^2/B^2=1 を作りたい ■ x=r*cos(a)+F F=定数 y=r*sin(a) と置いて、 短半径 B を求めよう y=r*sin(a)=l*sin(a)/[1+e*cos(a)] (y/l);a cos(a)=-e のとき (y/l);a=0 sin(a)=±root(1-e^2) cos(a)=-e & sin(a)=+root(1-e^2) のとき y_max=l*root(1-e^2)/(1-e^2)=l/root(1-e^2) この値が、短半径 B になる B=l/root(1-e^2) 長半径 A を求めよう a=0 のとき r_min=l/(1+e) a=Pi のとき r_max=l/(1-e) 2*A=r_min+r_max=l/(1+e)+l/(1-e)=2*l/(1-e^2) A=l/(1-e^2) 焦点 F F^2=A^2-B^2=l^2/(1-e^2)^2-l^2/(1-e^2)=l^2*e^2/(1-e^2)^2 F=l*e/(1-e^2) F/A=[l*e/(1-e^2)]/[l/(1-e^2)]=e ----- まとめ ----- r*[1+e*cos(a)]=l A=l/(1-e^2) B=l/root(1-e^2) F=root(A^2-B^2) と定め、 x=r*cos(a)+F y=r*sin(a) と置けば、 x^2/A^2+y^2/B^2=1 となる。また e=F/A となり、離心率を表す。 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
◎ 楕円の円座標(極座標)表示を、xy座標表示に直す ◆ 円座標(r,a) 楕円 r*[1+e*cos(a)]=l 0≦e<1 l>0 r>0 a=0 のとき r_min=l/(1+e) a=Pi のとき r_max=l/(1-e) 3つの量を次のように定める。 A=(r_min+r_max)/2=(l/2)*[1/(1+e)+1/(1-e)]=l/(1-e^2) F=A*e=l*e/(1-e^2) B=A*root(1-e^2)=l/root(1-e^2) A>0 , F≧0 , B>0 すると、次のような関係もある。 F^2+B^2=A^2 e=F/A 1-e^2=B^2/A^2 l=B^2/A ■ x=r*cos(a) , y=r*sin(a) と置けば、 root(x^2+y^2)+x*F/A=B^2/A これで、x,y,A,B,C で表現できてる{!} x^2+y^2=(B^2/A-x*F/A)^2=B^4/A2-2*x*F*B^2/A^2+x^2*F^2/A^2 x^2*(1-F^2/A^2)+2*x*F*B^2/A^2+y^2=B^4/A2 x^2*B^2/A^2+2*x*F*B^2/A^2+y^2=B^4/A2 x^2+2*x*F+y^2*A^2/B^2=B^2 (x+F)^2+y^2*A^2/B^2=B^2+F^2 (x+F)^2+y^2*A^2/B^2=A^2 (x+F)^2/A^2+y^2/B^2=1 ★ 楕円(中心 (-F,0) 長半径 A 短半径 B) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
★ 長半径 A , 短半径 B と 離心率 e の関係の例
{楕円を書けと言われると、B/A=0.5 ぐらいを書くかな。そのとき、焦点は 長半径の 9/10 ほどの所にある。かなりずれた位置にある!2015/5} ★ 惑星の軌道
★ e=0.1 のとき A/l=1/(1-e^2)~1.010 B/l=1/root(1-e^2)~1.005 F/l~0.101 r_min/l=0.91 r_max/l=1.11 ★ e=0.5 のとき A/l=1/(1-e^2)~1.33 B/l=1/root(1-e^2)~1.15 F/l=0.67 r_min/l=0.66 r_max/l=2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
◆ 角運動量 L 重力源の質量 M 質点の質量 m 通径 l=L^2/(G*M*m^2) 重力源からの距離 r r_min/l=1/(1+e) r_max/l=1/(1-e) ■ l を消去して (1-e)/(1+e)=r_min/r_max=k と置けば、 1-e=k*(1+e) 1-e=k+k*e e=(1-k)/(1+k) ★ ★ k=0.9 e=0.1/1.9~0.05 ★ k=0.5 e=0.5/1.5~0.33 ★ 地球 太陽に対して r_min=1.471*Ten(11)_m r_max=1.521*Ten(11)_m k=1.471/1.521~0.9671 1/300 程度のずれ e=0.0329/1.9671~0.0167 B/A=root(1-e^2)~0.9999 10cm対9.999cm 0.01mm 短くする{!} ★ 月 地球に対して r_min=3.63*Ten(8)_m r_max=4.05*Ten(8)_m k=3.63/4.05~0.896 e=0.104/1.896~0.055 1/200 程度のずれ ★ ハレー彗星 r_min=0.586_au r_max=35.082_au k=r_min/r_max=0.586/35.082~0.0167 e=0.9833/1.0167~0.967 A=(0.586+35.082)/2=35.668/2=17.834_au |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
■ 円運動の場合 r=R=一定 運動方程式 R*a'^2=G*M/R^2 a'=root(G*M/R^3) 周期 T=2Pi/a'=2Pi*root[R^3/(G*M)] {別解} 面積速度*2=R^2*a'=b=root(G*M*R) 円の面積=Pi*R^2 周期 T=Pi*R^2/(b/2)=2*Pi*R^2/root(G*M*R)=2*Pi/root(G*M/R^3) T^2/R^3=4*Pi^2/(G*M)=一定 ★ ■ 楕円運動の場合 r_min と r_max がわかれば 長半径 A=(r_min+r_max)/2 k=r_min/r_max を求めて e=(1-k)/(1+k) 通径 l=A*(1-e^2) 短半径 B=A*root(1-e^2)=l/root(1-e^2) 焦点 F=e*A 面積速度*2=b=root(G*M*l)=root[G*M*A*(1-e^2)] 周期
T 重力源の質量 M 質点の軌道の長半径 A 周期 T T^2/A^3=4*Pi^2/(G*M)=一定 ★ 質点の質量や短半径に依らない(ケプラーの第3法則) {なぜ、長半径だけに依るのか謎だった、わかった!2015/5} ● 地球 A=1_AU T=1_yea ● 月 A=384400_km T=27.322_day ★ 「かぐや」 r_max=3.844*Ten(5)_km r_min=7380_km A=(384400+7380)/2=391780/2=195890_km 長半径の比=[3.844*Ten(5)/195800]=1.96 1.96^(3/2)=root(7.5295)~2.744 T=27.322/2.744~9.96_day ★ ▲ 1つの重い重力源に対して、楕円運動をする、複数の軽い質量の質点で、 T^2/A^3 は、等しい値をとるという意味。 ■ 実際の太陽系のデータで計算してみた。地球の半径、公転周期を1として、その比で示してある。本当は、円ではなく、楕円軌道なので、軌道長半径という量で計算してある。
ケプラーの第3法則は、かなりの精度(誤差0.5%程度)で成り立っていることがわかる。 ★ 地球 A=1_au 周期 T=1_year ハレー彗星 A=17.834_AU 周期 T=root(17.834^3)=75.3_year {!} ★ 月 地球に対して r_min=363300_km r_max=405500_km A=(363300+405500)/2=768800/2=384400_km 周期 27.322_day~656_hour 人工衛星 地球に対して r_min=225+6378=6603_km r_max=710+6378=7088_km A=(6603+7088)/2=13691/2=6245.5 周期 T 長半径の比=384400/6245.5~61.55 ケプラーの法則より T=656/61.55^(3/2)=656/483~1.36_hour |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
◆ 重い重力源(質量 M) その周りを楕円運動する質点の、周期 T、長半径 A ケプラーの第3法則 M*T^2/A^3=4*Pi^2/G=宇宙のどこでも同じ値 ★ 質量が未知の重力源に対して、その周りを楕円運動をする星の周期と長半径がわかれば、求める事ができる ★ {素晴らしい!} ある重力源(質量 M1) その周りを楕円運動をする天体の周期 T1 長半径 A1 別の重力源(質量 M2) その周りを楕円運動をする天体の周期 T2 長半径 A2 ■ M1*T1^2/A1^3=M2*T2^2/A2^3 M1/M2=(T1/T2)^2/(A1/A2)^3 ★ ★ 地球 周期 365_day 公転半径 1.496*Ten(11)_m 月 周期 27.322_day 公転半径 3.844*Ten(8)_m 地球の質量 Me 太陽の質量 Ms Ms/Me ? {解} 周期の比=365/27.322~13.36 13.36^2~178.5 公転半径の比=[1.496*Ten(11)]/[3.844*Ten(8)]~389.2 389.2^3~5.895*Ten(7) Ms/Me=5.895*Ten(7)/178.5~3.30*Ten(5) ★ 実際の値
Ms/Me ★ 木星の衛星イオ 木星に対する公転周期 1.769_day 公転半径 4.218*Ten(8)_m 月 周期 27.322_day 公転半径 3.844*Ten(8)_m 木星の質量 Mj {解} 周期の比=27.322/1.769~15.44 15.44^2~238.4 公転半径の比=[3.844*Ten(8)]/[4.218*Ten(8)]~0.9113 0.9113^3~0.7568 Mj/Me=238.4/0.7568~315 ★ |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
◆ 地球 楕円軌道 離心率 e=0.0167 太陽からの距離 r 最小値 r_min 最大値 r_max そこでの速さ v_max , v_min ■ 面積速度一定の法則より r_min*v_max=r_max*v_min ★ 軌道の式より r_max/r_min=(1+e)/(1-e)=1.0167/0.9833~1.034 v_max/v_min=r_max/r_min=1.034 ★ ◆ ハレー彗星 周期 T=75.3_year A=17.834_au 最小値 r_min=0.6_au 最大値 r_max そこでの速さ v_max , v_min ■ r_max=2*A-r_min=2*17.834-0.6~35.1 v_max/v_min=r_max/r_min=38.1/0.6~63.5 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
◆ 重力加速度(単位質量に働く重力) G*M/R^2 地球で g=9.807_m/sec^2 月で gm ■ gm/g=(Mm/Me)/(Rm/Re)=(1/81.3)/(1738/6378)^2~0.166 ★ gm=g*0.166=9.807*0.166~1.628_m/sec^2 ◆ 月が、地球の表面上にある単位質量の物体に及ぼす大きさ \g 月-地球 Dm=384400_km Dm/Re=384400/6378~60.27 \g/g=(Mm/Me)/(Dm/Re)=(1/81.3)/60.27^2~3.39*Ten(-6) ★ |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
■ x'=(r*cos(a))'=r'*cos(a)-r*sin(a)*a' y'=(r*sin(a))'=r'*sin(a)+r*cos(a)*a' x'^2+y'^2=r'^2+r^2*a'^2=r'^2+(L/m)^2/r^2 運動エネルギー
K 位置エネルギー U=-G*M*m/r エネルギー E=(1/2)*m*[r'^2+(L/m)^2/r^2]-G*M*m/r ★ {確かめ} If{円運動 r=一定=R} R^3*a'^2=G*M K=(1/2)*m*(L/m)^2/R^2=(1/2)*m*R^2*a'^2=(1/2)*G*M*m/R 位置エネルギー U=-G*M*m/R ※ 2*K+U=0 ビリアル定理 エネルギー E=-(1/2)*G*M*m/R ■ 離心率 e と、エネルギー E の関係を求めよう。E を表す式から、r',r を消去すればよい。 E を表す式 E=(1/2)*m*[r'^2+(L/m)^2/r^2]-G*M*m/r 2*m*E=m^2*r'^2+L^2/r^2-2*G*M*m^2/r @ u=1/l+(e/l)*cos(a) u;a=-(e/l)*sin(a) r'=-b*(u;a)=b*(e/l)*sin(a)=[e*L/(m*l)]*sin(a) m^2*r'^2=(L/l)^2*e^2*sin(a)^2 @ A 1/r=[1+e*cos(a)]/l L^2/r^2=(L/l)^2*[1+e*cos(a)]^2 A @+A=(L/l)^2*(1+2*e*cos(a)+e^2) B
2*G*M*m^2/r 2*m*E=@+A-B=(L/l)^2*(e^2-1) うまく a の項が消えてくれた{!} e^2=1+2*m*E*l^2/L^2 ★ 離心率と E の関係 ※
通径 l=L^2/(G*M*m^2) ▲ e=0 円運動 l=R 2*m*(-E)=(L/R)^2 ■ e について 離心率 e は、そもそも、ただの積分定数にすぎなかったし、エネルギーとは、e^2 として、関係を作っているので、e が負の数であってもかまわない。だが、軌道方程式は、e*cos(a) として、関係式を作っているから、 e*cos(a) を -e*cos(a) とわざわざしても、それは、 -e*cos(a)=e*cos(Pi-a) と同じことになる。 e を負の数にすることは、ただ、軌道の向きを変えただけに過ぎなくなる。したがって、e>0 として話を進めても構わないことがわかる。 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
■ r^2*a'=b=root(G*M*l)=root[G*M*A*(1-e^2)] r=r_max で r_max^2*a'_min=root[G*M*A*(1-e^2)] r_max*a'_min K 一方 U=-G*M*m/r_max=-G*M*m/[A*(1+e)] だから、 E E=-G*M*m/(2*A) ★_エネルギーが長半径で決まる {できた!2015/6} |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
◆ 重力源の質量 M 質点の質量 m 長半径 A 重力源と質点との距離 r ■ E=-G*M*m/(2*A) K=(1/2)*m*v^2 U=-G*M*m/r -G*M*m/(2*A)=(1/2)*m*v^2-G*M*m/r v=root[G*M*(2/r-1/A)] ★_質点の質量に依らない ● 重力源:地球 Vce1=root(G*Me/Re)=7.91_km/sec 重力源:太陽 Vcs1=root(G*Ms/De)=29.8_km/sec 地球の公転速度 ■ 重力源が太陽の場合、 v 重力源が地球の場合、 v ■ r=r_max=A*(1+e) のとき そこでの円運動の速さ Vmin=root(G*M/r_max) 2/r-1/A=2/[A*(1+e)]-1/A=[2-(1+e)]/[A*(1+e)]=(1-e)/[A*(1+e)] v_min v_min=Vmin*root(1-e) ★ K_min=(1/2)*m*v_min^2=(1/2)*(1-e)*m*V^2 ★_ 楕円運動の場合は、円運動の場合より、速さが遅く、運動エネルギーが足りない。遠心力が足りずに、内側に戻って来ることになる。 ■ r=r_min=A*(1-e) のとき そこでの円運動の速さ Vmax=root(G*M/r_min) 2/r-1/A=2/[A*(1-e)]-1/A=[2-(1-e)]/[A*(1-e)]=(1+e)/[A*(1-e)] v_max=root[(G*M/A)*(1+e)/(1-e)]=Vmax*root(1+e) v_max=Vmax*root(1+e) ★ K_max=(1/2)*(1+e)*m*V^2 ★ 楕円運動の場合は、円運動の場合より、速さが速く、運動エネルギーが余っている。重力を振り切り、外側に向かって動いていく。 ■ r=A で v=root(G*M/A) ★ 円運動の場合と同じ |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
■ |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
◆ 地球から金星へ 地球から火星へ 楕円軌道 平均軌道半径 金星 Av=0.72_AU 火星 Am=1.52_AU 公転速度 地球 Ve=30_km/sec 金星 Vv=Ve/root(0.72)~30/0.85~35_km/sec 火星 Vm=Ve/root(1.52)~30/1.23~24_km/sec ■ 地球から金星へ r_min=0.72_AU r_max=1_AU A=(0.72+1)/2=0.86_AU 1+e=1/0.86=1.16 1-e=0.72/0.86=0.84 周期=root(0.86^3)=0.80_year ★ v_max=Vv*root(1+e)=35*root(1.16)~37.7_km/sec ★ 金星に到着時 金星に追いつく v_min=Ve*root(1-e)=30*root(0.84)~27.5_km/sec ★ 地球からの出発時 ■ 地球から火星へ r_min=1 r_max=1.52_AU A=(1+1.52)/2=1.26 1+e=1.52/1.26=1.21 1-e=1/1.26=0.79 周期=root(1.26^3)=1.4_year ★ v_max=Ve*root(1+e)=30*root(1.21)~33_km/sec ★ 地球からの出発時 v_min=Vm*root(1-e)=24*root(0.79)~21_km/sec ★ 火星に到着時 火星に追いついてもらう ★ 地球から太陽へ r_min=0.01_AU r_max=1_AU A=(0.01+1)/2=0.505_AU 1+e=1/0.505=1.98 1-e=0.01/0.505=0.02 周期=root(0.505^3)=root(0.1289)=0.36_year ★ r_min での円運動の速さ=Ve/root(0.01)=30/0.1=300_km/sec v_max=Vv*root(1+e)=300*root(1.98)~300*1.407~420_km/sec ★ v_min=Ve*root(1-e)=30*root(0.02)~30*0.14~4.2_km/sec ★ 地球からの出発時 ★ 地球から木星へ r_min=1_AU r_max=5.2_AU 木星 A=3.1_AU 木星の公転周期=root(5.2^3)=root(140.608)~11.9_year 人口衛星の周期=root(3.1^3)=root(29.791)~5.5_year 1+e=5.2/3.1~1.68 root(1.68)~1.3 v_max=29.8*1.3~39_km/sec ★ 出発時の速さ ★ 地球の上空から月へ 「かぐや」 r_max=384400_km r_min=7380_km r_max/r_min~52 A=(384400+7380)/2=391780/2=195890_km T=9.96_day 月の平均軌道速度(r_max で) 1.022_km/sec 1-e=r_min/A=7380/195890~0.0377 root(1-e)~0.193 v_min=V*root(1-e)=1.022*0.193~0.197_km/sec~200_m/sec ★ 到着時の速さ r=r_min
での円運動の公転速度 1+e=r_max/A=384400/195890~1.9623 root(1.9623)~1.4 v_max=7.37*1.4~10.3_km/sec ★ 出発時の速さ ★ M=5.29*Ten(22)_kg G*M=[5.29*Ten(22)]*[6.67*Ten(-11)]~3.53*Ten(12) r_max=1100_km r_min=700_km A=900_km G*M/r_max=3.53*Ten(12)/1100000~3.2*Ten(6) root[3.2*Ten(6)]~1800 G*M/r_min=3.53*Ten(12)/700000~5.04*Ten(6) root[5.04*Ten(6)]~2500 1+e=1100/900=11/9 root(1+e)=root(11)/3~3.33/3=1.11 1-e=700/900=7/9 root(1-e)=root7/3~2.643/3=0.881 円運動の速さ Vmin=root(G*M/r_max)=1800_m/sec Vmax=root(G*M/r_min)=2500_m/sec 楕円運動の速さ v_min=1800*0.881~1590_m/sec v_max~2500*1.11~2750_m/sec |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
■ 太陽系の主な惑星の、太陽からの距離、公転周期、軌道速度を調べてみた。地球の値を、基準にして表してある。 力学的相似より 半径^3/周期^2=一定 速度^2*半径=一定 速度^3*周期=一定
▲ 半径^3/周期^2 速度^2*半径 速度^3*周期 が、ほぼ一定の値をとっていることがわかる。力学的相似のよい例になっている。{おもしろいなあ!2015/7} |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
★ 惑星の運動 ★ |