◎ 原点からの距離に比例する引力　ビリアル定理

◇ ベクトル<A>　縦ベクトル<A)　単位ベクトル<-u>　内積*　外積#　微分;x　時間微分'　10^x=Ten(x)　exp(i*x)=expi(x)　共約複素数\z　物理定数- ★.

◎ 距離に比例する中心力　円運動

◆ 1質点(質量 m)　距離に比例する中心力(引力)　<F>=-<ru>*k*r

角運動量は保存され、1平面内の運動になる。円座標(r,a)で表せる。

■ 運動方程式　r''-r*a'^2=-(k/m)*r　�@　2*r'*a'+r*a''=0　�A

�Aより　(r^2*a')'/r=0　r^2*a'=一定=角運動量/m

◆ 円運動(半径 R)

■ U=(1/2)*k*R^2

運動方程式　R*a'^2=(k/m)*R　a'=root(k/m)=一定

　K=(1/2)*m*v^2=(1/2)*m*(R*a')^2=(1/2)*k*R^2=U【★】

▲ 距離に比例する力の場合の、ビリアル定理の例

※ バネに重りを付け振り回す場合　バネの伸びた分だけに比例する力であって、原点からの距離に比例する力ではない。

◆ 1質点(質量 m)　<F>=-<ru>*k*r

■ デカルト座標(x,y) で扱ってみよう。r=root(x^2+y^2)

<ru>=<x,y>/r　<F>=-<x,y>*k　<r>''=<x'',y''>

運動方程式　m*x''=-k*x　m*x''=-k*y【★】

x,y は完全に分離している。角振動数 w=root(k/m)　周期 T=2Pi/w

　x/x0=cos(w*t))　y/y0=cos(w*t+α)【★】

楕円運動をする。円や直線もありうる。

◆ x=x0*cos(w*t))　位相差 α=-Pi/2　y=y0*sin(w*t)

エネルギーを求めよう。

◇ 長い時間での平均 @

● @[sin(w*t)^2]=1/2　@[cos(w*t)^2]=1/2

■ 位置エネルギー U
=(1/2)*k*r^2
=(1/2)*k*(x^2+y^2)
=(1/2)*k*[x0^2*cos(w*t)^2+y0^2*sin(w*t)^2]　�@

速度を求めて　x'=-x0*w*sin(w*t)　y'=y0*w*cos(w*t)

　v^2
=x^2+y'^2
=w^2*[x0^2*sin(w*t)^2+y0^2*cos(w*t)^2]

　運動エネルギー K
=(1/2)*m*v^2
=(1/2)*m*w^2*[x0^2*sin(w*t)^2+y0^2*cos(w*t)^2]
=(1/2)*k*[x0^2*sin(w*t)^2+y0^2*cos(w*t)^2]　�A

�@�Aより　U+K=(1/2)*k*(x0^2+y0^2)=一定

　@U=@K=(1/4)*k*(x0^2+y0^2)【★】距離に比例する力の場合のビリアル定理の例

　★　距離に比例する中心力　★