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☆ 斜面を転がり落ちる ☆ |
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〇 円柱や球が斜面を転がり落ちる 接触点に対する回転 瞬間静止系 2024.3-2012.8 Yuji.W ★ |
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◇ 2*3=6
Ten(3)=10^3=1000 微分 ; 偏微分 : 積分 $ e^(i*x)=expi(x) |
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〓 剛体.慣性テンソル 〓 《 剛体.慣性テンソル24.3 》 ◇ ベクトル <A> 縦ベクトル <A) 成分は同じ ▢ 慣性系 (x,y,z) 質点系剛体 以下 i=1,2,… 質量 mi 質点の位置 <ri> .. Ixx=Σ{mi*(yi^2+zi^2)} Ixy=-Σ{mi*xi*yi}
Ixz=-Σ{mi*xi*zi} 原点に対する慣性テンソル [I]=[Ixx Ixy Ixz|Ixy Iyy Iyz|Ixz Iyz Izz] .. <Ix)=<Ixx Ixy Ixz) <Iy)=<Ixy Iyy Iyz) <Iz)=<Ixz Iyz Izz) .. [I]=[<Ix)&<Iy)&<Iz)] 角速度 <w> どの質点でも同じ 質点系剛体の原点に対する角運動量 <L> 質点系剛体の原点に対する回転運動エネルギー Kr ▷ <L)=[I]*<w)=<Ix)*wx+<Iy)*wy+<Iz)*wz , <L>=<Ix>*wx+<Iy>*wy+<Iz>*wz .. <L>;t=<w>#<L> Kr=(1/2)*<w>*<L> ▷ xy平面とyz平面とxz平面に対して、質量分布が対称であるとき、(慣性主軸をとったとき) Ixy=Ixz=Iyz=0 .. <L)=<Ixx*wx Iyy*wy Izz*wz) , <L>=<Ixx*wx Iyy*wy Izz*wz> ▢ 剛体が固定軸(z軸)の周りをの回転 角速度 <w>=<zu>*wz z軸に対する質点系剛体の慣性モーメント <Iz>=<Ixz Iyz Izz> 質点系剛体の原点に対する角運動量 <L>=<Lx Ly Lz> ▷ <L)=<Iz)*wz , <L>=<Iz>*wz 一般に、x成分とy成分も持つ ▷ さらに、質量分布がxy平面に対して対称であるとき Ixz=Iyz=0 Lz=Izz*wz ▲ Izzを 「慣性」と言う。おのおのの質点の回転半径は、剛体が回転しても変化しない。したがって、慣性も変化しない。 Izz=Σ{mi*(xi^2+yi^2)}=一定 |
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〓 円環,円柱,球の慣性モーメント 〓 《 円環,円柱,球の慣性モーメント24.3 》 ▢ [円環 線密度 λ=一定 円柱,球 密度 ρ=一定] 半径 R 質量 M 回転軸 質量の中心を通り、円環面や円柱の底面に垂直 慣性モーメント Ic ▷ Ic(円環)=2*Pi*R^3*λ=M*R^2 .. Ic(円柱)=(Pi/2)*ρ*H*R^4=(1/2)*M*R^2 .. Ic(球)=(8/15)*Pi*ρ*R^5=(2/5)*M*R^2 |
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〓 斜面を転がり落ちる 〓 ▢ 一様な重力場 平らな斜面に回転体(円環or円柱or球)をそっと置く。重力がかかり、転がり落ちる。斜面には摩擦があり、滑る事はないとする。 斜面(平面)の角度 o 回転体 質量 m 半径 R 回転軸に対する慣性モーメント Ic=k*m*R^2 回転した角 a 斜面上の移動距離 x=R*a 時刻 0 で静止 ▷ 回転体に働く力は、次の3つ 1. 重力 m*g 斜面方向の成分 m*g*sin(o) 2. 斜面からの摩擦力(斜面方向上向き) F これが回転体を回す ▷ 回転体の並進運動(質量の中心の運動)の運動方程式 .. m*(x;;t)=m*g*sin(o)-F ① 回転体の回転に関する運動方程式 .. Ic*(a;;t)=F*R .. Ic*(x;;t)/R=F*R .. (Ic/R^2)*(x;;t)=F ② ①②より、F を消去して、 .. (m+Ic/R^2)*(x;;t)=m*g*sin(o) .. x;;t=g*sin(o)/[1+Ic/(m*R^2)] 修正重力定数 @g=g/[1+Ic/(m*R^2)]=g/(1+k) として、 .. x;;t=@g*sin(o) ★ 等加速度運動 円柱 k=1/2 球 k=2/5 滑り落ちる場合 k=0 |
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〓 斜面を転がり落ちる、エネルギー 〓 ▢ 重力による位置エネルギー U 回転体の並進運動(質量の中心の運動)エネルギー Kt 回転エネルギー Kr ▷ x;;t=@g*sin(o) より x;t=@g*sin(o)*t x=(1/2)*@g*sin(o)*t^2 また a;t=@g*sin(o)*t/R .. U=-m*g*x*sin(o)=-(1/2)*m*g*@g*sin(o)^2*t^2 .. Kt=(1/2)*m*(x;t)^2=(1/2)*m*@g^2*sin(o)^2*t^2
.. Kr=(1/2)*Ic*(a;t)^2 .. U+Kt+Kr=(1/2)*m*@g*sin(o)^2*t^2*[-g+@g*(1+k)] ここで -g+@g*(1+k)=-g+g=0 ≫ U+Kt+Kr=0 ★ |
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〓 斜面を転がり落ちる、接触点に対する回転、瞬間静止系 〓 ○ 回転体が転がり落ちるのをイメージするのではなく、ある瞬間を切り取って、接触点に対する回転を考える。『瞬間静止系』 ▢ 回転体と斜面の接触点 O 瞬間的に点Oを中心に回転すると考える。 ▷ 点O に対するトルク(力のモーメント)を考えると、斜面からの抗力と摩擦力は、点Oを通るから、寄与しない。重力によるトルクだけ考えればよい。 ★ {接触点に対する回転を考える最大の利点!} .. (点Oに対するトルク)=m*g*sin(o)*R ▷ 点Oに対する慣性モーメント I 質量の中心に対する慣性モーメント Ic 水平軸の定理より I=Ic+m*R^2=k*m*R^2+m*R^2=(1+k)*m*R^2 ▷ 点Oに対する回転の方程式 I*(a;;t)=m*g*sin(o)*R .. [(1+k)*m*R^2]*[(x;;t)/R]=m*g*sin(o)*R .. x;;t=g*sin(o)/(1+k) 修正重力定数 @g=g/[1+Ic/(m*R^2)]=g/(1+k) として、 ≫ x;;t=@g*sin(o) ★ |
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