☆お勉強しようUz☆ 物理.力学

2016/4-2012/11 Yuji.W

崩壊

◎ {参考}「力学(増訂第3版)」ランダウ、リフシッツ 1974

◇ ベクトル<A> 縦ベクトル<A) 単位ベクトル<-u> 内積* 外積# 微分;x 時間微分' 10^x=Ten(x) exp(i*x)=expi(x) 共約複素数\z 物理定数.

☆粒子の崩壊☆

■ このページで考える「崩壊」

・1個の粒子が、2個の粒子に崩壊する
外力なし 崩壊前の粒子は等速直線運動
・崩壊後の2粒子は相互作用をしない 崩壊後は、それぞれ等速直線運動

運動量は、崩壊前と崩壊後で保存される。崩壊前の粒子が持つ内部エネルギーの一部が、崩壊後の2粒子の運動エネルギーになる。

☆質量の中心系で☆

◆ 質量の中心系 全運動量 0 崩壊前の粒子は静止

崩壊後の2粒子の質量 m1,m2 換算質量 m.=m1*m2/(m1+m2) 速さ v1G,v2G

崩壊後の運動量 p1G,p2G 崩壊エネルギー E

■ 崩壊後の2粒子は、任意の方向に飛び去る事ができる。ただし、全運動量は 0 であるから、それぞれの運動量の大きさは等しく、方向は逆である。

 pG=m1*v1G=m2*v2G

 v1G=pG/m1 v2G=pG/m2 .

エネルギー保存 E=(1/2)*(pG^2/m1+pG^2/m2)

 右辺=(1/2)*pG^2*(1/m1+1/m2)=(1/2)*pG^2/m.

≫ E=(1/2)*pG^2/m. .

◇崩壊◇

◆ 1粒子が2粒子に崩壊する。崩壊前の粒子の進む方向を x軸、崩壊現象はx軸を含む一平面上に限られるから、その平面を xy平面とする。

2粒子の質量 m1,m2

崩壊前の粒子の速度を <xu>*V その粒子と共に進む系:質量の中心系

崩壊後の粒子の速さ 質量の中心系で v1G,v2G 実験室系で v1,v2

粒子@の崩壊角 質量の中心系で aG 実験室系で a
粒子Aの崩壊角 質量の中心系で aG 実験室系で b

運動量は保存されるので、下図にようになる。

実験室系

●-->
m2->↓ m1-->↑

<xu>*V
<cos(b) sin(b)>*v2 <cos(a) sin(a)>*v1

質量の中心系

|●|
↓<-m2 m1->↑

0
-<cos(aG) sin(aG)>*v2G <cos(aG) sin(aG)>*v1G

V:崩壊前の粒子の速さ⇒コントロールできるとする

v1G,v2G:質量の中心系での粒子の速さ⇒崩壊エネルギーと質量に依る、ある定まった量だとする

◎ a,aG,v1 などの関係を知りたい

{復習}三角関数

■ tan(a)=sin(a)/cos(a) tan(-a)=-tan(a)
 tan(Pi/2-a)=1/tan(a) tan(Pi-a)=-tan(a)

■ sin(a+b)=sin(a)*cos(b)+cos(a)*sin(b)=cos(a)*cos(b)*[tan(a)+tan(b)]

■ cos(a+b)=cos(a)*cos(b)-sin(a)*sin(b)=cos(a)*cos(b)*[1-tan(a)*tan(b)]

■ tan(a+b)=[tan(a)+tan(b)]/[1-tan(a)*tan(b)]

■ 1+tan(a)^2=1/cos(a)^2

{復習}三角形.2辺挟角

『三角形.2辺挟角』 2016/4

◎ 外角を使った場合の2辺挟角

◆ 下図において、e,x を定めると、2辺挟角を決めた事になるから、
三角形の大きさと形が決まる。
辺 x の長さは固定し、角 e の大きさを変化させると、a,y が変化する。

■【 a のとりうる値 】

x<1 のとき a の最大値 a_max a の変域 0<a≦a_max

 a=a_max となるとき 直角三角形 sin(a_max)=x

 a<a_max である a に対して e は2つの値を取りうる

■【 a,e,x,y 】x/sin(a)=y/sin(Pi-e)=y/sin(e)

 1=y*cos(a)+x*cos(Pi-e)=y*cos(a)-x*cos(e)

■【 e,x ⇒ y,a 】y^2=x^2+2*x*cos(e)+1

 tan(a)=sin(e)/[cos(e)+1/x]

■【 a,x ⇒ y,e 】y=cos(a)±root[x^2-sin(a)^2]

 cos(e)=-sin(a)^2/x±cos(a)*root[1-sin(a)^2/x^2]

◇粒子@について◇

◆ 1粒子が2粒子に崩壊する。粒子@だけに注目する。

崩壊前の粒子の速度 <V>

崩壊後の粒子の速さ 質量の中心系で <v1G> 実験室系で <v1>

粒子@の崩壊角 質量の中心系で aG 実験室系で a

 <v1>=<v1G>+<V>

三角形OAB を作ると、

 OA=v1 OB=V AB=v1G ∠O=a ∠Bの外角=aG

V,v1G は定まった量 質量の中心系での崩壊角 aG を変化させると、v1,a が変化する。

次のように置き換えれば x=v1G/V y=v1/V e=aG

後は、単純に、三角形.2辺挟角の辺の長さと角の大きさを求める問題になる。

■ 【 a ⇒ v1 】v1/V=cos(a)±root[(v1G/V)^2-sin(a)^2] .

■【 崩壊角 a の最大値 】

質量の中心系での粒子@の方位角 aG は、任意の値を取る事ができる。※ 本当はx軸対称の現象。今はxy平面に限定して扱っている。

v1G>V のとき、

aG が 0~2*Pi と変化するにつれて、a も 0~2*Pi と変化する。

v1G<V のとき、

aG が 任意の値をとっても、a の値は限られる。a の最大値を a_max とすれば、

 <v1>⊥<v1G> になって sin(a_max)=v1G/V .

 そのとき aG=a_max+Pi/2

■【 aG ⇒ a 】 tan(a)=sin(aG)/[cos(aG)+V/v1G] .

■【 a ⇒ aG 】

 cos(aG)=-(V/v1G)*sin(a)^2±cos(a)*root[1-(V/v1G)^2*sin(a)^2] .

■【 aG の解の個数 】V/v1G>1 のとき aG の解は 2つ

『崩壊』 2016/4

◆ 1粒子が2粒子に崩壊する。粒子@だけに注目する。

崩壊前の粒子の速度 <V>

崩壊後の粒子の速さ 質量の中心系で <v1G> 実験室系で <v1>

粒子@の崩壊角 質量の中心系で aG 実験室系で a

■ v1=V*cos(a)±root[v1G^2-V^2*sin(a)^2]

 tan(a)=sin(aG)/[cos(aG)+V/v1G]

 cos(aG)=-(V/v1G)*sin(a)^2±cos(a)*root[1-(V/v1G)^2*sin(a)^2]

◇粒子Aについて◇

◆ <v2>=<v2G>+<V>

三角形OAB を作ると、

 OA=v2 OB=V AB=v2G ∠O=a ∠B=aG ※ ここが外角にならない

■【 b ⇒ v2 】

余弦定理より v2G^2=V^2+v2^2-2*V*v2*cos(b)

 v2=V*cos(b)±root[v2G^2-V^2*sin(b)^2] .

■【 aG ⇒ b 】

正弦定理より

 v2G/sin(b)=V/sin(Pi-aG-b)

ここで sin(Pi-aG-b)=sin(aG+b)=sin(aG)*cos(b)+cos(aG)*sin(b)

 sin(aG)*cos(b)+cos(aG)*sin(b)=sin(b)*V/v2G

 sin(aG)*cos(b)=sin(b)*[V/v2G-cos(aG)]

 tan(b)=sin(aG)/[-cos(aG)+V/v2G] .

■【 b ⇒ aG 】

 tan(a)=sin(aG)/[cos(aG)+V/v1G] のとき、

 cos(aG)=-(V/v1G)*sin(a)^2±cos(a)*root[1-(V/v1G)^2*sin(a)^2] だった

今は tan(b)=sin(aG)/[-cos(aG)+V/v2G] だから、

 cos(aG)=+(V/v2G)*sin(b)^2±cos(b)*root[1-(V/v2G)^2*sin(b)^2] .

◇a と b◇

◎ 粒子@の崩壊角 a 粒子Aの崩壊角 b a と b の関係?

■【 a と b 】

 tan(a)*[V/v1G+cos(aG)]=tan(b)*[V/v2G-cos(aG)]=sin(aG)

cos(a)=Ca cos(b)=Cb sin(a)=Sa sin(b)=Sb tan(a)=Ta tan(b)=Tb cos(aG)=c sin(aG)=s と表すと、

 Ta*(V/v1G+c)=Tb*(V/v2G-c)=s

 v1G=pG/m1 v2G=pG/m2 を使って、

 Ta*(m1*V/pG+c)=Tb*(m2*V/pG-c)=s

この式から c と s を消去すればよい。

 c=(V/pG)*(m2*Tb-m1*Ta)/(Ta+Tb)

 s=(V/pG)*(m1+m2)*Ta*Tb/(Ta+Tb)

c^2+s^2=cos(aG)^2+sin(aG)^2=1 だから、

 (m2*Tb-m1*Ta)^2+(m1+m2)^2*Ta^2*Tb^2=(Ta+Tb)^2*(pG/V)^2

 左辺
=m2^2*Tb^2-2*m1*m2*Ta*Tb+m1^2*Ta^2

+m1^2*Ta^2*Tb^2+2*m1*m2*Ta^2*Tb^2+m2^2*Ta^2*Tb^2
=m1^2*Ta^2*(1+Tb^2)+m2^2*Tb^2*(1+Ta^2)

-2*m1*m2*Ta*Tb*(1-Ta*Tb)

tan の代わりに cos と sin を使うと、

 左辺
=m1^2*Sa^2/Ca^2*Cb^2+m2^2*Sb^2/Ca^2*Cb^2

-2*m1*m2*Sa*Sb*cos(a+b)/(Ca^2*Cb^2)
=[m1^2*Sa^2+m2^2*Sb^2-2*m1*m2*Sa*Sb*cos(a+b)]/(Ca^2*Cb^2)

また (Ta+Tb)^2=sin(a+b)^2/[Ca^2*Cb^2] だから、

 右辺=(pG/V)^2*sin(a+b)^2/[Ca^2*Cb^2]

したがって、

 m1^2*Sa^2+m2^2*Sb^2-2*m1*m2*Sa*Sb*cos(a+b)
=(pG/V)^2*sin(a+b)^2

 (m1/m2)*Sa^2+(m2/m1)*Sb^2-2*Sa*Sb*cos(a+b)
=[(pG/V)^2/(m1*m2)]*sin(a+b)^2

 (m1/m2)*sin(a)^2+(m2/m1)*sin(b)^2-2*sin(a)*sin(b)*cos(a+b)
=[(pG/V)^2/(m1*m2)]*sin(a+b)^2 
.

さらに 崩壊エネルギー E=(1/2)*pG^2/m.=(1/2)*pG^2*(m1+m2)/(m1*m2)

を使うと、

 [(pG/V)^2/(m1*m2)]=2*E/(m1+m2) だから、

≫ (m1/m2)*sin(a)^2+(m2/m1)*sin(b)^2-2*sin(a)*sin(b)*cos(a+b)
=2*{E/[V^2*(m1+m2)]}*sin(a+b)^2 
.

{やっと復習できた!2016/4}{苦労した!三角関数の理解不足!2014/5}

◇a+b◇

◎ 粒子@の崩壊角 a 粒子Aの崩壊角 b a+b ?

◆ tan(a)=sin(aG)/[V/v1G+cos(aG)] tan(b)=sin(aG)/[V/v2G-cos(aG)]

 tan(a+b) ?

■ tan(a+b)=[tan(a)+tan(b)]/[1-tan(a)*tan(b)] を使う

■ cos(a)=Ca cos(b)=Cb sin(a)=Sa sin(b)=Sb tan(a)=Ta tan(b)=Tb cos(aG)=c sin(aG)=s と表すと、

 Ta*(V/v1G+c)=Tb*(V/v2G-c)=s

■【 Ta+Tb 】

 Ta+Tb
=s*[1/(V/v1G+c)+1/(V/v2G-c)]
=s*V*[1/v1G+1/v2G]/[(V/v1G+c)*(V/v2G-c)]
=s*V*(v1G+v2G)/{(v1G*v2G)*[(V/v1G+c)*(V/v2G-c)]}

■【 1-Ta*Tb 】

 1-s^2/[(V/v1G+c)*(V/v2G-c)]
=[(V/v1G+c)*(V/v2G-c)-s^2]/[(V/v1G+c)*(V/v2G-c)]

 分子
=V^2/(v1G*v2G)+c*V*(1/v2G-1/v1G)-c^2-s^2
=V^2/(v1G*v2G)+c*V*(v1G-v2G)/(v1G*v2G)-1
=[V^2+c*V*(v1G-v2G)-v1G*v2G]/(v1G*v2G)

 1-Ta*Tb
=[V^2+c*V*(v1G-v2G)-v1G*v2G]/{(v1G*v2G)*[(V/v1G+c)*(V/v2G-c)]}

■【 tan(a+b) 】

 tan(a+b)=s*V*(v1G+v2G)/[V^2+c*V*(v1G-v2G)-v1G*v2G]

 tan(a+b)=sin(aG)*V*(v1G+v2G)/[V^2+V*(v1G-v2G)*cos(aG)-v1G*v2G] .

◇運動エネルギー分布◇

◆ 多数の粒子が2つの粒子に崩壊する。粒子@だけ考える。質量 m

質量の中心系(初めに粒子が静止している場合) 外力なし 等方的に崩壊する

立体角 o 粒子@の崩壊角 aG

■【 崩壊角に対する分布 】

軸対称だから do=2Pi*|sin(aG)*d(aG)|=2Pi*d[cos(aG)]

 崩壊角 aG~aG+d(aG) に崩壊してくる分布(確率) do/(4*Pi)
=2Pi*d[cos(aG)]/(4*Pi)
=(1/2)*d[cos(aG)] 
.

■【 質量の中心系で 】

速さは vG で一定だから、運動エネルギー KG=(1/2)*m*vG^2=ある特定の値

■【 実験室系で 】

<v>=<vG>+<V> より <vG>と<V>とが作る角の外角=aG に注意して

余弦定理より v^2
=vG^2+V^2-2*vG*V*cos(Pi-aG)
=vG^2+V^2+2*vG*V*cos(aG)

 K=(1/2)*m*[vG^2+V^2+2*vG*V*cos(aG)] . K は、aG の単調減少関数

aG=0 で K=(1/2)*m*(vG+V)^2 最大値
 aG=Pi/2 で K=(1/2)*m*(vG^2+V^2)
 aG=Pi で K=(1/2)*m*(vG-V)^2 最小値

 dK/d[cos(aG)]=m*vG*V=定数 .運動エネルギーの分布は一様である。(ある特定の運動エネルギーの所が起きやすいなどとかは起きない)
{やっと理解できた!2016/4}

 運動エネルギーの最大値と最小値の差
=(1/2)*m*(vG+V)^2-(1/2)*m*(vG-V)^2
=(1/2)*m*4*vG*V
=2*m*vG*V

 運動エネルギーが K~K+dK になる分布(確率)=dK/(2*m*vG*V) .

{計算例}aG ⇒ a

◆ tan(a)=sin(aG)/[cos(aG)+V/vG]

★ V/vG=0.5 tan(a)=sin(aG)/[cos(aG)+0.5]

『崩壊角 V/vG=0.5』 2016/4

aG/Pi

0

1/6

1/3

1/2

2/3

5/6

1

cos(aG)

1

0.866

0.5

0

-0.5

-0.866

-1

sin(aG)

0

0.5

0.866

1

-0.866

0.5

0

tan(a)

0

0.366

0.866

2

-1.366

0

a/Pi

0

0.112

0.227

0.352

0.5

0.701

1

★ V/vG=2 tan(a)=sin(aG)/[cos(aG)+2]

  a_max/Pi=arcsin(0.5)/Pi=0.167 a_max=30_° そのとき aG=120_°

『崩壊角 V/vG=2』 2016/4

aG/Pi

0

1/6

1/3

1/2

2/3

5/6

1

cos(aG)

1

0.866

0.5

0

-0.5

-0.866

-1

sin(aG)

0

0.5

0.866

1

0.866

0.5

0

tan(a)

0

0.174

0.302

0.5

0.577

0.441

0

a/Pi

0

0.055

0.106

0.148

0.167

0.132

0

a/Pi_°

10°

19°

27°

30°

24°

{こういう地道な計算が大事!2016/4}

{計算例}a ⇒ aG

◆ cos(aG)=-(V/vG)*sin(a)^2±cos(a)*root[1-(V/vG)^2*sin(a)^2]

 @=(V/vG)*sin(a)^2 A=cos(a)*root[1-(V/vG)^2*sin(a)^2]

★ V/vG=0.5 のとき

 @=0.5*sin(a)^2 A=cos(a)*root[1-sin(a)^2/4]

『崩壊角 V/vG=0.5』 2016/4

a

0

Pi/6

Pi/3

Pi/2

2Pi/3

5Pi/6

Pi

sin(a)

0

1/2

root3/2

1

root3/2

1/2

0

sin(a)^2

0

1/4

3/4

1

3/4

1/4

0

@

0

0.125

0.375

0.5

0.375

0.125

0

sin(a)^2/4

0

1/16

3/16

1/4

3/16

1/16

-1

cos(a)

1

0.866

0.5

0

-0.5

-0.866

-1

A

1

0.839

0.451

0

-0.451

-0.839

-1

cos(aG) 根号+

1

0.714

0.076

-0.5

-0.826

-0.964

-1

aG/Pi

0

0.247

0.476

0.667

0.809

0.914

1

cos(aG) 根号-

-1

-0.964

-0.826

-0.5

0.076

0.714

1

aG/Pi

1

0.914

0.809

0.667

0.476

0.247

0

※ 根号の前が - の時の意味がよくわからない。図を書くと、当てはまらない答である事がすぐわかる。

★ V/vG=2 のとき

tan(a)=sin(aG)/[cos(aG)+2] a_max/Pi=arcsin(0.5)/Pi=0.167

『崩壊角 V/vG=2』 2016/4

aG/Pi

0

1/6

1/3

1/2

2/3

5/6

1

tan(a)

0

0.174

0.302

0.5

0.577

0.441

0

a/Pi

0

0.055

0.106

0.148

0.167

0.132

0

 @=2*sin(a)^2 A=cos(a)*root[1-4*sin(a)^2]

 cos(aG)=-@±A

『崩壊角 V/vG=2』 2016/4

 

a/Pi

0

1/12

1/6

sin(a)

0

0.259

0.5

sin(a)^2

0

0.067

0.25

cos(a)

1

0.966

0.866

@

0

0.134

0.5

4*sin(a)^2

0

0.268

1

A

1

0.826

0

-@+A

1

0.692

-0.5

aG/Pi

0

0.257

2/3

-@-A

-1

-0.960

-0.5

aG/Pi

1

0.910

2/3

※ a:0~a_max で 次の2つの分がある

aG:0~2*Pi/3 と増加する分(根号の前が +)
aG:1~2*Pi/3 と減少する分(根号の前が -)

◇実験室系での崩壊角に対する分布◇

◆ 崩壊角 質量の中心系で aG 実験室系で a

崩壊前の実験室系での粒子の速さ V 崩壊後の粒子@の質量の中心系での速さ vG

 cos(aG)=-(V/vG)*sin(a)^2+cos(a)*root[1-(V/vG)^2*sin(a)^2]

 ※ 根号の前の - の項は捨てた

以下 cos(aG)=-k*s^2+c*root(1-k^2*s^2) と書く

◎ 分布 do/(4*Pi)=(1/2)*d[cos(aG)] を a で表したい

■【 V/vG<1 のとき 】

d[cos(aG)]=[cos(aG);a]*da だから cos(aG);a を求めていく

第1項 -(k*s^2);a=-2*k*s*c

第2項の根号 [root(1-k^2*s^2)];a=-k^2*s*c/root(1-k^2*s^2) だから、

第2項 [c*root(1-k^2*s^2)];a
=-s*root(1-k^2*s^2)-k^2*s*Ca^2/root(1-k^2*s^2)
=-s*[(1-k^2*s^2)+k^2*c^2]/root(1-k^2*s^2)

ここで (1-k^2*s^2)+k^2*c^2
=1+k^2*(c^2-s^2)
=1+k^2*cos(2*a) だから、

 [c*root(1-k^2*s^2)];a=-s*[1+k^2*cos(2*a)]/root(1-k^2*s^2)

まとめて cos(aG);a=-2*k*s*c-s*[1+k^2*cos(2*a)]/root(1-k^2*s^2)

分布の絶対値を考えて、

 分布
=(1/2)*|d[cos(aG)]|
=s*{2*k*c+[1+k^2*cos(2*a)]/root(1-k^2*s^2)}
=(1/2)*sin(a)*da
*{2*(V/vG)*cos(a)+[1+(V/vG)^2*cos(2*a)]/root(1-(V/vG)^2*sin(a)^2)} 
.

〔0≦a≦Pi〕

{できた!ややこしかった!2016/4}

■【 V/vG>1 のとき 】

根号の前が + の分と、根号の前が - の分の差を求めて、

 分布(確率)
=sin(a)*da*{[1+(V/vG)^2*cos(2*a)]/root[1-(V/vG)^2*sin(a)^2]} 
.

  崩壊  

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