☆お勉強しようUz☆ 物理.力学

2016/4-2012/12 Yuji.W

衝突.1次元

◎ 衝突1次元 簡単すぎるとバカにしてはいけない。運動量、エネルギーなどを考えるのに、いい例となる。大事{!} 弾性衝突elastic collision 非弾性 inelastic

◇ ベクトル<A> 縦ベクトル<A) 単位ベクトル<-u> 内積* 外積# 微分;x 時間微分' 10^x=Ten(x) exp(i*x)=expi(x) 共約複素数\z 物理定数.

◇2粒子の衝突.1次元◇

■ このページで考える現象

・直線上の運動 2粒子

・外力なし。2粒子同士は、力を及ぼし合う。全運動量は保存される。

・力は瞬間的に及ぼしあい、速さを変化させる。それ以外は、衝突前も衝突後も等速直線運動をしている。

・一般に、運動エネルギーは保存されない。エネルギーのロスがある。

◇完全弾性衝突.1次元.一方が静止◇

◎ 運動エネルギーが保存される場合

◆ 直線上の2粒子 質量 m1,m2 外力なし 運動エネルギーが保存される場合 衝突前の速さ v1,0 衝突後の速さ \v1,\v2

m1●--v1-> m2|○|
m1●-\v1-> m2○-\v2->

■ 運動量は保存される m1*v1=m1*\v1+m2*\v2 @

運動エネルギーは保存される その2倍を考えて、

 m1*v^2=m1*\v1^2+m2*\v2^2 A

既知量 m1,m2,v1 未知量 \v1,\v2

@Aより \v2 を消去して、

 m1*v1^2=m1*\v1^2+m2*(v1-\v1)^2*(m1/m2)^2

 m2*\v1^2+m1*(v-\v1)^2-m2*v1^2=0

 (m1+m2)*\v1^2-2*m1*v1*\v1+(m1-m2)*v1^2=0

因数分解できて、

 (\v1-v1)*[(m1+m2)*\v1-(m1-m2)*v1]=0

 \v1=v1 or \v1/v1=(m1-m2)/(m1+m2)

\v1=v1 は、衝突しないで、ただ通り過ぎているだけだから、除いて、

 \v1=v1*(m1-m2)/(m1+m2)

 v1-\v1
=v1-v1*(m1-m2)/(m1+m2)
=v1*[1-(m1-m2)/(m1+m2)]
=v1*2*m2/(m1+m2)

 \v2
=(v1-\v1)*m1/m2
=[v1*2*m2/(m1+m2)]*m1/m2
=v1*2*m1/(m1+m2)

≫ \v1/v1=(m1-m2)/(m1+m2) & \v2/v1=2*m1/(m1+m2) .

◇完全弾性衝突.1次元◇

◎ 一方が静止していた場合の結果を利用する

◆ 直線上の2粒子 質量 m1,m2 外力なし 運動エネルギーが保存される場合 衝突前の速さ v1,v2 衝突後の速さ \v1,\v2

m1●--v1-> m2○-v2->
m1●-\v1-> m2○--\v2->

■ 衝突前の粒子Aと共に等速直線運動をする系で考える。

m1●--(v1-v2)-> m2|○|
m1●-(\v1-v2)-> m2○--(\v2-v2)->

前項の結果を使って、

 (\v1-v2)/(v1-v2)=(m1-m2)/(m1+m2)

& (\v2-v2)/(v1-v2)=2*m1/(m1+m2)

 \v1
=v2+(v1-v2)*(m1-m2)/(m1+m2)
=v1*(m1-m2)/(m1+m2)+v2*[1-(m1-m2)/(m1+m2)]
=v1*(m1-m2)/(m1+m2)+v2*2*m2/(m1+m2)

 \v2
=v2+(v1-v2)*2*m1/(m1+m2)
=v1*2*m1/(m1+m2)+v2*[1-2*m1/(m1+m2)]
=v1*2*m1/(m1+m2)-v2*(m1-m2)/(m1+m2)

まとめて、

 \v1=v1*(m1-m2)/(m1+m2)+v2*2*m2/(m1+m2)
 \v2=v1*2*m1/(m1+m2)-v2*(m1-m2)/(m1+m2) 
.

{復習するたびに理解が進む!2016/4}

■【 同質量のとき 】m1=m2=m

 \v1=v2 \v2=v1 .速さが入れ替わる

■【 正面衝突 】v1>0 & v2 を -v2 で置き換えると、

 \v1=v1*(m1-m2)/(m1+m2)-v2*2*m2/(m1+m2)
 \v2=v1*2*m1/(m1+m2)+v2*(m1-m2)/(m1+m2) 
.

◇完全弾性衝突.1次元.エネルギー◇

◆ 直線上の2粒子 質量 m1,m2 外力なし 運動エネルギーが保存される場合

速さ 衝突前 v1,v2 衝突後 \v1,\v2

運動エネルギー 衝突前 K1,K2 衝突後 \K1,\K2

■【 運動エネルギーの差 】

 \v1=v1*(m1-m2)/(m1+m2)+v2*2*m2/(m1+m2)

 \v1^2
=[v1^2*(m1-m2)^2+4*v1*v2*(m1-m2)*m2+4*v2^2*m2^2]/(m1+m2)^2

 2*(\E1-E1)*(m1+m2)^2/m1
=[v1^2*(m1-m2)^2+4*v1*v2*(m1-m2)*m2+4*v2^2*m2^2]
-(m1+m2)^2*v1^2
=4*m2*[-v1^2*m1+v1*v2*(m1-m2)+v2^2*m2]
=4*m2*(m2*v2+m1*v1)*(v2-v1)

 \K1-K1=2*m1*m2*(m2*v2+m1*v1)*(v2-v1)/(m1+m2)^2

■【 追いかけていって衝突 】v1>v2>0

 \K1-K1<0 運動エネルギーの一部が、@からAへ移る

■【 正面衝突 】v2 を -v2 と置き換えると、

 \K1-K1=-2*m1*m2*(m1*v1-m2*v2)*(v1+v2)/(m1+m2)^2

この式で v1>0 & v2>0 m1*v1>m2*v2 のとき、

 \K1<K1 運動エネルギーの一部が、@からAへ移る

この式で v1>0 & v2>0 m1*v1<m2*v2 のとき、

 \K1>K1 運動エネルギーの一部が、Aから@へ移る

{計算例}完全弾性衝突.1次元

◆ 直線上の2粒子 質量 m1,m2 外力なし 運動エネルギーが保存される場合

速さ 衝突前 v1,v2 衝突後 \v1,\v2

運動量 衝突前 p1,p2 衝突後 \p1,\p2

運動エネルギー 衝突前 K1,K2 衝突後 \K1,\K2

★ m1=2 m2=1 v1=2 v2=1 のとき

 \v1=4/3 \v2=7/3

 p1=4 p2=1 \p1=8/3 \p2=7/3 p1+p2=\p1+\p2=5

 K1=4 K2=1/2 \K1=16/9 \K2=49/18 K1+K2=\K1+\K2=9/2

 \K1-K1=-20/9 \K2-K2=20/9 運動エネルギーの一部が、@からAへ移った

{別解} \K1-K1=-4 *(1+4)/9=-20/9

★ m1=1 m2=2 v1=2 v2=1 のとき

 \v1=-2/3+4/3=2/3 \v2=4/3+1/3=5/3

 p1=2 p2=2 \p1=2/3 \p2=10/3 p1+p2=\p1+\p2=4

 K1=2 K2=1 \K1=2/9 \K2=25/9 K1+K2=\K1+\K2=3

 \K1-K1=-16/9 \K2-K2=16/9 運動エネルギーの一部が、@からAへ移った

★ m1=2 m2=1 v1=1 v2=-1 のとき

 \v1=1/3-2/3=-1/3 \v2=4/3+1/3=5/3

 p1=2 p2=-1 \p1=-2/3 \p2=5/3 p1+p2=\p1+\p2=1

 K1=1 K2=1/2 \K1=1/9 \K2=25/18 K1+K2=\K1+\K2=3/2

 \K1-K1=-8/9 \K2-K2=8/9 運動エネルギーの一部が、@からAへ移った

★ m1=2 m2=1 v1=1 v2=-2 のとき

 \v1=1/3-4/3=-1 \v2=4/3+2/3=2

 p1=2 p2=-2 \p1=-2 \p2=2 p1+p2=\p1+\p2=0

 K1=1 K2=2 \K1=1 \K2=2 K1+K2=\K1+\K2=3

 \K1-K1=0 \K2-K2=0 運動エネルギーの変化はない

★ m1=2 m2=1 v1=1 v2=-3 のとき

 \v1=1/3-2=-5/3 \v2=4/3+1=7/3

 p1=2 p2=-3 \p1=-10/3 \p2=7/3 p1+p2=\p1+\p2=-1

 K1=1 K2=9/2 \K1=25/9 \K2=49/18 K1+K2=\K1+\K2=11/2

 \K1-K1=16/9 \K2-K2=-16/9 運動エネルギーの一部が、Aから@へ移った

◇完全弾性衝突.1次元-質量の中心系で◇

◎ 質量の中心系(重心系)では、全運動量が 0 ※ 全運動量が 0 になるようにしたのが、質量の中心系

◆ 直線上の2粒子 質量 m1,m2 外力なし 全運動エネルギーが保存される場合

m1●--v1G-> m2○-v2G->
m1●-\v1G-> m2○--\v2G->

※ v2G<0 & \v1G<0

質量の中心系で、

運動量 m1*v1G+m2*v2G=m1*\v1G+m2*\v2G=0

運動エネルギー*2 m1*v1G^2+m2*v2G^2=m1*\v1G^2+m2*\v2G^2

v2G,\v2G を消去して、

 m1*v1G^2+v1G^2*m2*(m1/m2)^2
=m1*\v1G^2+\v1G^2*m2*(m1/m2)^2

 m1*(m1+m2)*v1G^2=m1*(m1+m2)*\v1G^2

 \v1G=v1G or \v1G=-v1G

前者は、ただ通り過ぎるだけで、衝突とは言えないから省いて、

 \v1G=-v1G & \v2G=-v2G .方向が変わっただけ

◇完全弾性衝突.1次元-2-◇

◎ 質量の中心系(重心系)での結果を利用する

m1●--v1-> m2○-v2->
m1●-\v1-> m2○--\v2->

m1●--v1G-> m2○-v2G->
m1●-\v1G-> m2○--\v2G->

 質量の中心(重心)の速さ Vc=(m1*v1+m2*v2)/(m1+m2)

 (一般の慣性系での速さ)=(質量の中心系での速さ)+Vc

■ v1=v1G+Vc v2=v2G+Vc \v1=\v1G+Vc \v2=\v2G+Vc だから、

 v1G
=v1-Vc
=v1-(m1*v1+m2*v2)/(m1+m2)
=(v1-v2)*m2/(m1+m2)

 v2G=(-v1+v2)*m1/(m1+m2)

 \v1G=-v1G=(-v1+v2)*m2/(m1+m2)
 \v2G=-v2G=(v1-v2)*m1/(m1+m2)

 \v1
=\v1G+Vc
=(-v1+v2)*m2/(m1+m2)+(m1*v1+m2*v2)/(m1+m2)
=v1*(m1-m2)/(m1+m2)+v2*2*m2/(m1+m2)

 \v2
=\v2G+Vc
=(v1-v2)*m1/(m1+m2)+(m1*v1+m2*v2)/(m1+m2)
=v1*2*m1/(m1+m2)-v2*(m1-m2)/(m1+m2) 

≫ \v1=v1*(m1-m2)/(m1+m2)+v2*2*m2/(m1+m2)
 \v2=v1*2*m1/(m1+m2)-v2*(m1-m2)/(m1+m2) 
.

▲ 質量の中心系の結果を利用した場合と同じ

{まとめ}

『完全弾性衝突.1次元』 2016/4

◆ 完全弾性衝突.1次元 運動量も運動エネルギーも保存される場合

■ \v1=v1*(m1-m2)/(m1+m2)+v2*2*m2/(m1+m2)
 \v2=v1*2*m1/(m1+m2)-v2*(m1-m2)/(m1+m2)

■ v2=0 のとき、

 \v1/v1=(m1-m2)/(m1+m2) & \v2/v1=2*m1/(m1+m2)

★ v2=0 m1/m2<<1 のとき、

 \v1/v1=-(1-m1/m2)^2=-1+2*m1/m2

 \v2/v1=2*(m1/m2)/(1+m1/m2)=2*m1/m2

{計算例}

★ 中性子が、静止しているC12の原子核に正面衝突(完全弾性衝突) m2/m1=12

 \v1=v1*(1-12)/(1+12)=-(11/13)*v1
 \v2=v1*2/(1+12)=(2/13)*v1

{確かめ} 運動エネルギー 衝突前 K1,0 衝突後 \K1,\K2

 \K1/K1=(\v1/v1)^2=(11/13)^2=121/169

 \K2/K1=(m2/m1)*(\v2/v1)^2=12*(2/13)^2=48/169

 (\K1+\K2)/K1=121/169+48/169=169/169=1

◇ほぼ完全弾性衝突、質量の中心系で◇

◎ 質量の中心系(重心系)では、全運動量が 0 ※ 全運動量が 0 になるようにしたのが、質量の中心系

◆ 直線上の2粒子 質量 m1,m2 外力なし 全運動エネルギーが保存される場合

全運動エネルギーが (1-f) になる 0≦f<<1

質量の中心系で、

 運動量 m1*v1G+m2*v2G=m1*\v1G+m2*\v2G=0

 v2G/v1G=\v2G/\v1G=-m1/m2

運動エネルギー*2 m1*v1G^2+m2*v2G^2=(1-f)*[m1*\v1G^2+m2*\v2G^2]

 左辺=m1*v1G^2+m2*(m1/m2)^2*v1G^2=v1G^2*(m1+m2)*m1/m2

 右辺=(1-f)*\v1G^2*(m1+m2)*m1/m2

 v1G^2=(1-f)*\v1G^2

ここで root(1-f)=1-f/2 だから \v1G=-(1-f/2)*v1G , \v2G=-(1-f/2)*v2G 

■ Vc=(m1*v1+m2*v2)/(m1+m2) だから、

一般の系で、

 \v1-Vc=-(1-f/2)*(v1-Vc) , \v2-Vc=-(1-f/2)*(v2-Vc)

 \v1
=-(1-f/2)*(v1-Vc)+Vc
=-(1-f/2)*v1+(2-f/2)*Vc
=-(1-f/2)*v1+(2-f/2)*(m1*v1+m2*v2)/(m1+m2)
=[-(1-f/2)*(m1+m2)*v1+(2-f/2)*(m1*v1+m2*v2)]/(m1+m2)
={[m1-(1-f/2)*m2]*v1+(2-f/2)*m2*v2}/(m1+m2)
={[1-(1-f/2)*k]*v1+(2-f/2)*k*v2}/(1+k)

 \v1={[1-(1-f/2)*k]*v1+(2-f/2)*k*v2}/(1+k)
 \v2={(2-f/2)*v1-[1-(1-f/2)*k]*v2}/(1+k) 

■ 衝突前に、粒子2が静止していた場合 v2=0

 \v1/v1=[1-(1-f/2)*k]/(1+k) \v2/v1=(2-f/2)/(1+k) 

■ m1=m2 k=m2/m1=1 v2=0 の場合、

 \v1/v1=f/4 \v2/v1=1-f/4  f=0 のときより、v1*f/4 だけ速さが減少する。その分、粒子1が速さを持つ

◇衝突後合体◇

◎ 衝突後1つの物体になる場合。運動エネルギーは保存されない。

◆ m1@--v1-> m2A-v2->  (m1+m2)-\v->  ※ v2<v1 m1+m2=(m1+m2)

■ 運動量は保存されるから m1*v1+m2*v2=(m1+m2)*\v

 \v=(m1*v1+m2*v2)/(m1+m2)〔

■ 運動エネルギーの2倍 2*K=m1*v1^2+m2*v2^2

 2*\K=(m1+m2)*v1^2=(m1*v1+m2*v2)^2/(m1+m2)

 2*K-2*\K
=(m1*v1^2+m2*v2^2)-(m1*v1+m2*v2)^2/(m1+m2)
=[(m1*v1^2+m2*v2^2)*(m1+m2)-(m1*v1+m2*v2)^2]/(m1+m2)

 分子
=m1^2*v1^2+m2^2*v2^2+m1*m2*(v1^2+v2^2)
-m1^2*v1^2-2*m1*m2*v1*v2-m2^2*v2^2
=m1*m2*(v1^2-2*v1*v2+v2^2)
=m1*m2*(v1-v2)^2

 失われた運動エネルギー K-\K=(1/2)*(v1-v2)^2*m1*m2/(m1+m2)〔

▲ 換算質量 m.=(m1+m2)/(m1+m2) 相対速度 v12=v1-v2 を、使うと、

 K-\K=(1/2)*m.*v12^2〔

◇エネルギー、運動量保存◇

◎ 2粒子1次元完全弾性衝突 2つの慣性系 ガリレイ変換

◆ 2粒子1次元完全弾性衝突 外力なし(または、外力があっても、運動エネルギーと運動量に影響を及ぼさない) 2つの慣性系 慣性系x系で、エネルギーと運動量が保存される。別の慣性系X系では、保存されるのか?

X系で エネルギー 衝突前 EX 衝突後 \EX 運動量 衝突前 pX 衝突後 \pX

X系のx系に対する速さ v. ガリレイ変換 X系での任意の速さ=x系の速さ+v.

ある慣性系x系

別の慣性系X系

●--> ●->
●-> ●-->

m1,v1 m2,v2
m1,\v1 m2,\v2

V1 V2
\V1 \V2

x系で エネルギー保存*2 m1*v1^2+m2*v2^2=m1*\v1^2+m2*\v2^2 @

運動量保存 m1*v1+m2*v2=m1*\v1+m2*\v2 A

■ X系でも運動量は保存されるのか?

X系衝突前 pX
=m1*V1+m2*V2
=m1*(v1+v.)+m2*(v2+v.)
=(m1*v1+m2*v2)+(m1+m2)*v.

衝突後 \pX
=m1*\V1+m2*\V2
=m1*(\v1+v.)+m2*(\v2+v.)
=(m1*\v1+m2*\v2)+(m1+m2)*v.

ここでAを使えば pX=\pX〔

■ X系でもエネルギーは保存されるのか?

X系衝突前 2*EX
=m1*V1^2+m2*V2^2
=m1*(v1+v.)^2+m2*(v2+v.)^2
=(m1*v1^2+m2*v2^2)+2*v.*(m1*v1+m2*v2)+(m1+m2)*v.^2

衝突後 2*\EX
=m1*\V1+m2*\V2
=m1*(\v1+v.)^2+m2*(\v2+v.)^2
=(m1*\v1^2+m2*\v2^2)+2*v.*(m1*\v1+m2*\v2)+(m1+m2)*v.^2

ここで@Aを使えば EX=\EX〔〕{運動量保存の式も使う!2015/3}

▲ ある慣性系で、エネルギー保存、運動量保存が成り立っていれば、別の慣性系でも、エネルギー保存、運動量保存が成り立っていると言える。〔〕{ただ鵜呑みにするだけでなく、具体例を考えると、見えてくるモノがある!2015/3}

☆バリスティック振り子☆

「調和振動子、単振動のエネルギー」 2015/6

◆ 質量 m バネ定数 k 角速度 w0=root(k/m) 振幅 X

■ 全エネルギー E=(1/2)*m*(w0*X)^2=(1/2)*k*X^2

◆ 小さな振幅の単振動 一様な重力(重力加速度 g) ひもの長さ L 重りの質量 m

■ バネ定数(単位変化量当たりの力) k=m*g/L

 全エネルギー E=(1/2)*k*X^2=(1/2)*m*g*X^2/L

◎ 粒子の速さを求める方法の1つ {かしこいなあ!2015/6}

◆ 粒子(質量 m 速さ v)が、振り子(長さ L 質量 0)の先に着いている物体(質量 (m1+m2))に、衝突し潜り込む 振り子は、振幅 X で揺れた 0<X<<L v ?

衝突直後の粒子と振り子の速さ \v

■ 運動量保存 m*v=(m+(m1+m2))*\v

衝突する時のエネルギーは保存されない

衝突後のエネルギー保存

 (1/2)*(m+(m1+m2))*\v^2=(1/2)*(m+(m1+m2))*g*X^2/L

\v を消去して、

 (1/2)*(m+(m1+m2))*[m/(m+(m1+m2))]^2*v^2
=(1/2)*(m+(m1+m2))*g*X^2/L

 v=X*root(g/L)*(m+(m1+m2))/m .振り子の振幅を測定できれば、粒子の速さが求められる

  衝突.1次元  

inserted by FC2 system