お勉強しようUz 物理定数物理.電磁気

2016/2-2012/11 Yuji.W

☆フェルマーの原理☆

◎ 最小時間の原理 フェルマーの原理 屈折の法則

◇ ベクトル<A> 座標単位ベクトル<xu>,<yu>,<zu> 内積* 外積#
微分;x 
時間微分' 積分${f(x)*dx} 10^x=Ten(x) exp(i*x)=expi(x) .

☆最小時間の原理☆

■ Pierre de Fermat 1607-1665 フランス 弁護士、数学者 {江戸時代初期の人なんですね。すごいなあ!2014/2}

「最小時間の原理(フェルマーの原理)」1661

■ 始点と終点が定まったいろいろな経路のうち、光は最小の時間を要する経路をとる。

■ 普通そういう経路は1本だけである。複数の経路がある場合は、どの経路も、同じ最小値をとる。

■ 光の本当の経路より少しずらした経路では、かかる時間には第1近似で変化はないと見なせる。

☆屈折の法則☆

■ 水平な水面で光が屈折する。屈折率n(1.33)、鉛直方向に対する、空気中の角度a、水中の角度bとすると、

 sin(a)=n*sin(b) a>b スネルの法則

■ 光は真っ直ぐ進むより、時間のかかる水中で進む経路を適度に小さくし、空気中の経路を大きくすれば、より速く到達できる。

■ 始点と終点を含み、水面に垂直な平面上だけを考える。空気中の光の速さは c、水中の光の速さは c/n であるとする。(n>1 水中の方が遅い)

光が水面に入射する点より、hだけずらす。(始点と終点を結ぶ直線に少しだけ近づくように)。空気中の経路は、h*sin(a)短かくなる。水中の経路は、h*sin(b)長くなる。

かかった時間の増加量は、h*sin(b)*n/c-h*sin(a)=(h/c)[n*sin(b)-sin(a)] となる。

最小時間の原理により、光の本当の経路より少しずらした経路では、かかる時間には変化はないと見なせるから、かかった時間の増加量は0

 n*sin(b)-sin(a)=0 sin(a)=n*sin(b)

{注}光の速さの比nが、屈折率を表す事もわかった。

☆最小時間の原理の利用☆

◎ 屈折の法則に従った光の道筋が、最も時間がかからないことを示そう。

◆ x軸の上 媒質1 屈折率1 x軸の下 媒質2 屈折率n

入射角 a 屈折角 b sin(a)=n*sin(b) P(-sin(a),cos(a)) Q=(sin(b),cos(b))

 原点を中心に半径1の円 円周上の2点 P,Q

光の速さ c=1 とする 媒質2での光の速さ 1/n

光は、P-原点-Q と進む。かかる時間 1/1+1/(1/n)=n+1 @

この光の進み方が、最小時間であることを示したい。原点から少しだけずれた所を通る道筋を考え、かかる時間を求める。それが、同じ n+1 であれば、原点を通る道筋が最小時間である可能性が出てくる。【

■ 原点から少しずれた点 X(x,0) ただし |x|<<1 |x|^2=0 とみなす。

 PX=root[(sin(a)+x)^2+cos(a)^2]=root[1+2*sin(a)*x]=1+sin(a)*x

 QX=root[(sin(b)-x)^2+cos(b)^2]=root[1-2*sin(b)*x]=1-sin(b)*x

 P->X->Q と進むのにかかる時間
=(1+sin(a)*x)+n*(1-sin(b)*x)
=(n+1)+[sin(a)-n*sin(b)]*x
=n+1【
】A  A=@

少しだけ Xの位置をずらしても、(プラスでもマイナスでも)、かかる時間は等しい。すなわち、P->O->Q の経路が、極値or停留値をとることがわかる。諸条件により、最小時間であることがわかる。


◎ 点Pから点Qに真っ直ぐ進むときにかかる時間を求めよう。

■ P から Q へまっすぐ x軸との交点 (-x,0)

相似な三角形の比より [sin(a)-x]:cos(a)=[sin(b)+x]:cos(b)

 [sin(a)-x]*cos(b)=[sin(b)+x]*cos(a)

 [cos(a)+cos(b)]*x=sin(a)*cos(b)-cos(a)*sin(b)

 x=sin(a-b)/[cos(a)+cos(b)] {きれいな形!}

■ PからQへまっすぐ進むのにかかる時間 T
={[sin(a)-sin(a-b)/(cos(a)+cos(b))]^2+cos(a)^2}
+{[sin(b)+sin(a-b)/(cos(a)+cos(b))]^2+cos(b)^2}*n

=sin(a)^2-2*sin(a)*sin(a-b)/(cos(a)+cos(b))
+[sin(a-b)/(cos(a)+cos(b))]^2+cos(a)^2
+{sin(b)^2+2*sin(b)*sin(a-b)/(cos(a)
+cos(b))+[sin(a-b)/(cos(a)+cos(b))]^2+cos(b)^2}*n

=(n+1)+(n+1)*[sin(a-b)/(cos(a)+cos(b))]^2
+2*(n*sin(b)-sin(a))*sin(a-b)/(cos(a)+cos(b))
=(n+1)*{1+sin(a-b)^2/[cos(a)+cos(b)]^2}【
】{きれいな形!2014/2}

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