|
☆ 最小時間の原理、フェルマーの原理 ☆ |
||||||||||||||||||||||
|
〇 最小時間の原理 フェルマーの原理 屈折の法則 スネルの法則 2023.5-2012.11. Yuji.W ★ |
||||||||||||||||||||||
|
◇ 2*3=6 Ten(3)=10^3=1000 微分 ; 偏微分 : 積分 $ e^(i*x)=expi(x) |
||||||||||||||||||||||
|
〓 早く着きたい 〓 〇 xy平面 始点 A(-1,1) 終点 B(1,-1) 点Aから点Bへ、速さ一定のまま進みたい。最も早く着くには、どういう経路をたどればよいか。直線上を移動すればよい。 次に、速さが変わる場合を考える。y>0 の領域での速さより、y<0 の領域での速さが遅くなるとする。最も早く着くには、どういう経路をたどればよいか。 遅くなる領域を進む距離を短くして、時間がかかる部分を少なくすればよい。ただし、y>0 の領域での距離は長くはなるので、遅くなる領域を進む距離を短くし過ぎてはいけない。適度に遅くなる領域を進む距離を短くすれば、最も早くつける。真っすぐ進むのはなく、途中で曲がる、屈折する事になる。 ★ ▲ 進む物は何でもよい。光に限る必要はない。 |
||||||||||||||||||||||
|
〓 {計算例}最小時間の原理、フェルマーの原理 〓 ▢ xy平面 始点 A(-1,1) 通過点 P(x,0) 終点 B(1,-1) 始点から通過点まで一定の速さで真っすぐに進み、そこで曲がる。その後、終点目指して真っすぐ進むのだが、速さは遅くなるとする。 速さ y>0 で 1 y<0 で 0.5 とする OP=x 0<x<1 APにかかる時間 Ta PBにかかる時間 Tb Ta+Tb が最小値をとるときの、点 P(x,0) の位置を求めたい。 ▷ AP=root[(1+x)^2+1] Ta=AP/1=root[(1+x)^2+1] PB=root[(1-x)^2+1] Tb=PB/0.5=2*PB=2*root[(1-x)^2+1] Ta+Tb=AP+2*PB あとは Excel に計算させて、
さらに計算させて、
x~0.538 のとき Ta+Tb は最小値をとる ★ ▷ AP と y軸との角度 a PB と y軸との角度 b 最小値をとるとき、 tan(a)=1+0.538=1.538 a=56.968° sin(56.968°)=0.83837 tan(b)=1-0.538=0.462 b=24.797° sin(24.797°)=0.41940 sin(a)/sin(b)＝0.83837/0.41940~1.99897~2 一方 (速さの比)=2 sin(a)/sin(b)＝(速さの比) ★ ▷ かかる時間が最も少ない経路をとると、 sin(a)/sin(b)＝(速さの比) ★ フェルマーの原理、最小時間の原理 ▲ 移動する物が光の場合は、屈折の法則(スネルの法則)となる。 |
||||||||||||||||||||||
|
〓 最小時間の原理、フェルマーの原理 〓 〇 Pierre de Fermat 1607-1665 フランス 弁護士、数学者 {江戸時代初期の人なんですね。すごいなあ!2014/2} 「始点と終点が定まったいろいろな経路のうち、光は最小の時間を要する経路をとる。」最小時間の原理 1661 ▲ 光の反射の法則、屈折の法則を説明する事ができる。なぜ最小時間になるのかは説明できないので、「原理」という言葉を使う。 |
||||||||||||||||||||||
|
〓 屈折の法則 〓 ◎ 最小時間の原理から、屈折の法則(スネルの法則)を説明する。 ▢ 水平な水面で光が屈折する。 空気中での光の速さ c 水中での光の速さ c/n (速さの比)=c : (1/n)=n : 1 鉛直方向に対して 空気中での進む角度 a 水中での進む角度 b ▷ 始点と終点を含み、水面に垂直な平面上だけを考える。 光は真っ直ぐ進むより、時間のかかる水中で進む経路を適度に小さくし、空気中の経路を大きくすれば、より速く到達できる。 光が水面に入射する点より、h だけずらす。(始点と終点を結ぶ直線に少しだけ近づくように)。光の本当の経路より少しずらした経路では、最小時間の原理より、かかる時間には第1近似で変化はないと見なせる。 ★ {重要な考え方!} 空気中の経路 h*sin(a) 短かくなる 水中の経路 h*sin(b) 長くなる (かかる時間の増加量)=h*sin(b)*(n/c)-h*sin(a)/c=(h/c)[n*sin(b)-sin(a)] 光の本当の経路の近くでは (かかる時間の増加量)=0 となるはずだから、 n*sin(b)-sin(a)=0 sin(a)/sin(b)=n=(速さの比) ★ ♡ 数式を微分して…、方程式を解いて…、という方法ではなく、物事の本質を捉えて、簡単な計算で処理していく方法は見事だと思う{!} |
||||||||||||||||||||||
|
☆ uzお勉強しよう since2011 Yuji.W |