☆ 連成振動 ☆
〇 2024.2-2014.7 Yuji.W ★
◇ 2*3=6 Ten(3)=10^3=1000 微分 ; 偏微分 : 積分 $ e^(i*x2)=ex2pi(x2)
ベクトル <A> 縦ベクトル <A) 単位ベクトル <x2u> 内積 * 外積 # 000
〓 連成振動.運動方程式 〓 ◇ 微分 ;
▢ x軸上に3つのバネ その間に2つの質点 |-www-●-www-●-www-|
バネ定数 k 質量は無視できる 質点の質量 m 摩擦なし w=root(k/m)
右側の重りの、釣り合いの位置からのずれを x1 (右向きに正)
左側の重りの、釣り合いの位置からのずれを x2 (右向きに正)
t=0 のとき x1=1 , x2=0 , x1;t=x2;t=0
▷ 運動方程式 m*(x1;;t)=-k*x1-k*(x1-x2)=k*(-2*x1+x2)
(x1;;t)=(k/m)*(-2*x1+x2)=w^2*(-2*x1+x2) ★
x1;;t=w^2*(-2*x1+x2) ★
同様にして x2;;t=w^2*(x1-2*x2) ★
〓 連成振動.python 〓 ◇ 微分 ;
〇 w=1 の場合、Python で計算させてみた。
下のグラフでは、x1 のつり合いの位置を、2 にしてある。
▲ 2質点は近づいたり、離れたりを繰り返す。
運動エネルギーは、質点の間を移動しているように見える。
《 Py連成振動2024 24.2 》
〓 連成振動.運動方程式を解く 〓 ◇ 微分 ;
▢ x1;;t=w^2*(-2*x1+x2) & x2;;t=w^2*(x1-2*x2)
▷ x1;;t+x2;;t=-w^2*(x1+x2)
(x1+x2);;t=-w^2*(x1+x2)
また (x1-x2);;t=-3*w^2*(x1-x2)
ここで x1+x2=X , x1-x2=Y と置けば、
X;;t=-w^2*X & Y;;t=-[root(3)*w]^2*Y ★ 変数分離できた。解ける{!}
初期条件 t=0 で X=1 , Y=1 , X;t=Y;t=0
▷ 解 X=cos(w*t) , Y=cos[root(3)*w*t]
x1=(X+Y)/2=(1/2)*{cos(w*t)+cos[root(3)*w*t]}
x2=(X-Y)/2=(1/2)*{cos(w*t)-cos[root(3)*w*t]}
w=1 のとき、
| . | 0 | 1.0 | 2.0 | 3.0 | 4.0 |
| X | 1 | 0.540 | -0.416 | -0.990 | -0.654 |
| Y | 1 | -0.161 | -0.948 | 0.465 | 0.799 |
| x1 | 1 | 0.190 | -0.682 | -0.263 | 0.073 |
| x1+2 | 3 | 2.190 | 1.318 | 1.737 | 2.073 |
| x2 | 0 | 0.351 | 0.266 | -0.728 | -0.727 |
〓 {別解}連成振動 〓 ◇ 微分 ;
▢ x軸上に3つのバネ その間に2つの質点 |-www-●-www-●-www-|
バネ定数 k 質量は無視できる 質点の質量 m 摩擦なし w=root(k/m)
右側の重りの、釣り合いの位置からのずれを x1 (右向きに正)
左側の重りの、釣り合いの位置からのずれを x2 (右向きに正)
t=0 のとき x1=1 , x2=0 , x1;t=x2;t=0
2質点系の運動と考える事ができる。外力は、左右のバネによる力、内力は真ん中のバネによる力である。
質量の中心(重心) xG=(x1+x2)/2=X/2
質量の中心系での個々の質点の位置 x1_G=x1-xG , x2_G=x2-xG
▷ x1_G=x1-xG=x1-(x1+x2)/2=(x1-x2)/2=Y/2
x2_G=x2-xG=x2-(x1+x2)/2=-(x1-x2)/2=-Y/2
▲ 変数分離したのは、実は、質量の中心の運動と、個々の質点の質量の中心系での運動を考えていた事になる。
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