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2016/2-2012/6 Yuji.W

連成振動

◎ 複数のバネに繋がった複数の重りの振動について考えよう。「連成振動」

ベクトル<A> 座標単位ベクトル<xu>,<yu>,<zu> 内積* 外積# 微分;x 時間微分' 積分${f(x)*dx} 10^x=Ten(x) exp(i*x)=expi(x) 物理定数 .

☆2質点3つのバネ☆

◆ |-ww(k)ww--ww(k)ww-●-ww(k)ww-|

右側の重りを少し右に引っ張っておいてから離すと、どういう動きをするだろうか。バネ係数は、3つとも同じ場合を考える。左右の端には壁がある。

摩擦は考えない。

3つのバネのバネ係数 k、2つの重りの質量 m w=root(k/m)

左側の重りの、釣り合いの位置からのずれを x (右向きに正)

右側の重りの、釣り合いの位置からのずれを y (右向きに正)

■ 運動方程式 m*x''=-k*x-k*(x-y)=-2*k*x+k*y

 m*y''=-2*k*y+k*x

 x''=(k/m)*(-2*x+y) y''=(k/m)*(x-2*y)

■ シミュレーションは k/m=1、dt=0.1

縦軸は、それぞれの重りの釣り合いの位置からのずれ、

横軸は、時間(20秒まで)を表す。

それぞれの重りが、大きな振動、小さな振動を繰り返す。そして、一方が大きな振動をしている時は、他方は小さな振動をし、一方が小さな振動ならば、他方は大きな振動になる。

■ w=root(k/m) を使って、

 (x+y)''=-w^2*(x+y) (x-y)''=-3*w^2*(x-y)

 x+y=X x-y=Y と置けば X''=-w^2*X Y''=-3*2^2*Y

これを解いて、X,Y を求めて、

 x=(X+Y)/2 y=(X-Y)/2 を求めればよい。

■ X''=-w^2*X X/X0=cos(w*t+C1)

 Y''=-3*w^2*Y Y/Y0=cos(root3*w*t+C2)

 x=(X+Y)/2=(X0/2)*cos(w*t+C1)+(Y0/2)*cos(root3*w*t+C2)
 y=(X-Y)/2=(X0/2)*cos(w*t+C1)-(Y0/2)*cos(root3*w*t+C2)〔

● cos(x)+cos(y)=2*cos[(x+y)/2]*cos[(x-y)/2]
 cos(x)-cos(y)=-2*sin[(x+y)/2]*sin[(x-y)/2]

■ t=0 で x=1 x'=0 y=0 y'=0 とすると、

 X=1 X'=0 Y=1 Y'=0

 1=X0*cos(C1) 0=-X0*w*sin(C1) C1=0 X0=1
 1=Y0*cos(C2) 0=-Y0*3*w*sin(C2) C2=0 Y0=1

 X=cos(w*t) Y=cos(root3*w*t)

w1=(1+root3)*w=2.72*w w2=(root3-1)*w=0.72*w

 x=[cos(w*t)+cos(root3*w*t)]/2=cos(w1*t)*cos(w2*t)
 y=[cos(w*t)-cos(root3*w*t)]/2=sin(w1*t)*sin(w2*t)〔

 T1=2Pi/w1=2.3/w T2=8.7/w
 T1/T2=(root3-1)/(1+root3)=2-root3=0.27

{別解} 2質点系の運動と考える事ができる。外力は、左右のバネによる力、内力は真ん中のバネによる力である。 w=root(k/m)

「2体問題-質量の中心系の個々の質点の運動」

■ M*<G>''=<F> 外力のみ

 <p1G>'=[<F1>*m2/M-<F2>*m1/M]+<f21>

 M=2*m 質量の中心 G=(x+y)/2

質量の中心系での質点の位置 xG=x-G=(x-y)/2 , yG=y-G=-(x-y)/2

外力 F1=-k*x , F2=-k*y 内力 f21=-f12=-k*(x-y)

質量の中心の運動方程式 (2*m)*G''=F1+F2=-k*(x+y)=-2*k*G

 G''=-w^2*G

質量の中心系での個々の質点の運動方程式

 m*xG''=-k*x/2+k*y/2-k*(x-y)=-3*k*(x-y)/2 xG''=-3*w^2*xG

 m*yG''=-k*y/2+k*x/2+k*(x-y)=+3*k*(x-y)/2 yG''=-3*w^2*yG

まとめると G''=-w^2*G xG''=-3*w^2*xG yG''=-3*w^2*yG

変数分離して解いたのは、質量の中心の運動と、質量の中心系での個々の質点の運動を調べていたわけである。

 質量の中心は、角速度 w で振動
 質量の中心系で、個々の質点は、角速度 √3*w で振動〔

{なるほどね!2014/7}

☆真ん中のバネを弱くする☆

◆ |-ww(k)ww--ww(h)ww-●-ww(k)ww-|
       m          m
       x->          y->

2つの振動子(質量同じm) 3つのバネ(バネ定数k,h,k) 一次元の運動

平衡位置からのずれx,y

 m*x''=-k*x-h*(x-y)=-(k+h)*x+h*y @
 m*y''=-ky-h*(y-x)=-(k+h)*y+h*x A

@+A m*(x+y)''=-h*x-h*y=-k*(x+y)

@-A m*(x-y)''=-(k+2h)*x+(k+2h)*y=-(k+2h)*(x-y)

変数分離できたので、

 x+y=A*cos[(w1)t+a] ただし、w1=root[k/m]
 x-y=B*cos[(w2)t+b] ただし、w2=root[(k+2h)/m]

★ t=0 で、x=0,y=A x'=y'=0
 x+y=A,x-y=-A (x+y)'=(x-y)'=0

 x+y=A*cos[(w1)t]
 x-y=-A*cos[(w2)t]

 x=(A/2)*{cos[(w1)t]-cos[(w2)t]}
 y=(A/2)*{cos[(w1)t]+cos[(w2)t]}

 x'=(A/2)*{-(w1)*sin[(w1)t]+(w2)*sin[(w2)t]}
 y'=-(A/2)*{(w1)*sin[(w1)t]+(w2)*sin[(w2)t]}

★ k/m=1 h/m=0.1 両端のバネは強い、真ん中のバネは弱い
2つはほぼ独立して動いていて、相互作用は小さい。

w1=root[1]=1 w2=root[1.2]=1.095…

▲ 青 2つ目の重りの動き 赤 1つ目の重りの動き
横軸が時間 縦軸が位置 平衡の位置+1と-1
初めに2つ目の重りを+2まで引っ張って離す

初め、青が大きく振動しているが、徐々に小さくなる。それに連れて、赤が徐々に大きく振動するようになる。青の振動が0、赤の振動が最大に最大になると、今度は、赤の振動が徐々に小さくなり、青の振動が徐々に大きくなる。以下、その繰り返し…。

このような感じになるためには、w1とw2の差が小さいことが条件となる。すなわち、真ん中のバネ定数hが、両端のバネ定数より、かなり小さいという条件が必要である。

☆エネルギーの関係から運動方程式を導く☆

◎ 3つのバネによる振動の運動方程式

 m*x''=-2k*x+k*y m*y''=k*x-2k*y

の右辺を、エネルギーの関係から導こう。◇ 偏微分 ;x

■ エネルギー U(x,y)=(k/2)*[x^2+y^2+(x-y)^2]

 力 Fx=-U(x,y);x=-k*[x+(x-y)]=-2*k*x+k*y

 Fy=-U(x,y);y=-k*[y-(x-y)]=k*x-2*k*y

☆エネルギー☆

◎ 2つの連結調和振動子エネルギーについて考えよう。

■ A=2 として計算してみる。

 x=cos[(w1)t]-cos[(w2)t]
 y=cos[(w1)t]+cos[(w2)t]

 x'=-(w1)*sin[(w1)t]+(w2)*sin[(w2)t]
 y'=(w1)*sin[(w1)t]+(w2)*sin[(w2)t]

運動エネルギーK w1=root[k/m] w2=root[(k+2h)/m]

 K=(m/2)*(x'^2+y'^2)
=m*{(w1)^2*sin[(w1)t]^2+(w2)^2*sin[(w2)t]^2}
=k*sin[(w1)t]^2+(k+2h)*sin[(w2)t]^2

位置エネルギーU=U1+U2+U3

 U1+U3=(k/2)*(x^2+y^2)=k*{cos[(w1)t]^2+cos[(w2)t]^2}

 U2=(h/2)*(x-y)^2=(h/2)*4*cos[(w2)t]^2=2h*cos[(w2)t]^2

総エネルギーE=K+U sin^2+cos^2=1 が使えて、

 E=k+(k+2h)=2*(k+h)=一定 {素晴らしい!}

そもそも、初めに、2つめの重りを、振幅A=2 の位置まで持って行って、離した場合を計算しているので、そのエネルギーは、2つのバネの位置エネルギーのみであって、

 k*2^2/2+h*2^2/2=2*(k+h)

☆3質点,4つのバネ☆

◆ |-www--www--www--www-|

重りの質量(3つとも同じ)m バネ定数(4つとも同じ)k
平衡位置からのずれx,y,z

■ (m/k)*x''=-x-(x-y)=-2*x+y
 (m/k)*y''=(x-y)-(y-z)=x-2*y+z
 (m/k)*z''=(y-z)-z=y-2*z

(m/k)*(x+q*y+r*z)''=p*(x+q*y+r*z) p,q,rは定数
となるようにしたい。{核心!}

 左辺=(-2x+y)+q*(x-2y+z)+r(y-2z)
=x*(-2+q)+y*(1-2q+r)+z*(q-2r)

右辺と比べて、

 -2+q=p (1-2q+r)=pq q-2r=pr

 p=-[2-root(2)],q=root(2),r=1 @
 p=-[2+root(2)],q=-root(2),r=1 A
 p=-2,q=0,r=-1 B

※ この部分を、行列で扱うと楽{!}

■ @ (m/k)*[x+root(2)*y+z]''=-[2-root(2)]*[x+root(2)*y+z]
A (m/k)*[x-root(2)*y+z]''=-[2+root(2)]*[x-root(2)*y+z]
B (m/k)*[x-z]''=-2*[x-z]

 x+root(2)*y+z=A*cos[(w1)t+a] w1=root{[2-root(2)]*k/m}
 x-root(2)*y+z=B*cos[(w2)t+b] w2=root{[2+root(2)]*k/m}
 x-z=C*cos[(w3)t+c] w3=root(2k/m)

★ t=0 で、x=y=0,z=1,x'=y'=z'=0 k/m=1

 w1=root[2-root(2)] w2=root[2+root(2)] w3=root(2)
 a=0,b=0,c=0 A=B=-C=1

 x+root(2)*y+z=cos[(w1)t]
 x-root(2)*y+z=cos[(w2)t]
 x-z=-cos[(w3)t]

 x=(1/4)*cos[(w1)]+(1/4)*cos[(w2)t]-(1/2)*cos[(w3)t]
 y={1/[2*root(2)]}*{cos[(w1)t]-cos[(w2)t]}
 z=(1/4)*cos[(w1)t]+(1/4)*cos[(w2)t]+(1/2)*cos[(w3)t]

▲ 真ん中の重りは、キレイなサインカーブを描きつつ、3つ目の重りに寄りつつ振動、1つ目の重りに寄りつつ振動、を繰り返すのがおもしろい。
両端の重りは、予測不可能と言っていいほどの動きをする。平衡位置で止まりそうになったかと思うと、また動き出すこともある。ずーと、真ん中の重りに近づくこともある。戻るのかと思ったら、逆に行き、と思ったら、結局戻ってきたり…。おもしろい。

  連成振動  

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