お勉強しようwithUz 物理.力学

2016/2-2012/6 Yuji.W

☆連成振動.行列☆

◎ バネに繋がった複数の重りの振動 行列

ベクトル<A> 座標単位ベクトル<xu>,<yu>,<zu> 内積* 外積# 微分;x 時間微分' 積分${f(x)*dx} 10^x=Ten(x) exp(i*x)=expi(x) 物理定数 .

{復習}行列

『固有値,固有ベクトル行2列行列』 2015/11

◆ 2行2列正方行列 [A]=[a b|c d] Tr[A]=a+d det[A]=a*d-b*c

■ [A]の固有方程式 h^2-Tr[A]*h+det[A]=0 解(固有値) h1,h2

[A]の固有ベクトルの例 <b h1-a) , <b h2-a) 定数倍してよい

■ 対角化された行列 [D(h1,h2)]=[h1 0|0 h2]

[A]の固有ベクトル <x1 y2) , <x2 y2)

 [P]=[<x1 y2) & <x2 y2)]=[x1 x2|y1 y2] [P]の逆行列 [Pi]

 [D(h1,h2)]=[Pi]*[A]*[P]

◇連立2階微分方程式.行列◇

◎ 行列を利用して、2階微分方程式を解く

◆ x''=-2*x+y & y''=x-2*y 変数分離したい

■ [A]=[-2 1|1 -2] と定めれば <x y)''=[A]*<x y)

行列 [P] とその逆行列 [Pi] で [Pi]*[A]*[P]=[h1 0|0 h2] と書けるとすれば、

 [A]=[P]*[h1 0|0 h2]*[Pi]

 <x y)''=[P]*[h1 0|0 h2]*[Pi]*<x y)

 [Pi]*<x y)''=[h1 0|0 h2]*[Pi]*<x y)

ここで [Pi]*<x y)=<X Y) とすれば、

 <X Y)=[h1 0|0 h2]*<X Y)

 X=h1*X & Y=h2*Y

これで X,Y を求める事ができれば、x,y も求める事ができる。

■ Tr[A]=-2-2=-4 det[A]=(-2)*(-2)-1*1=3

 特性方程式 h^2+4*h+3=0 解 h1=-1 , h2=-3

h1=-1 の固有ベクトル <1 -1+2)=<1 1)

h2=-3 の固有ベクトル <1 -3+2)=<1 -1)

 [P]=[1 1|1 -1] [Pi]=[-1 -1|-1 1]/(-2)=[1 1|1 -1]/2

 <X Y)=[Pi]*<x y) X=(x+y)/2 Y=(x-y)/2

 X''=-X & Y=-3*Y

 X=X0*cos(t+C1) & Y=Y0*cos(-root3*t+C2)

初期値によって、X0,Y0,C1,C2 を定める

☆連成振動.2質点.行列☆

◎ 2質点(質量は等しい) 3つのバネ(バネ定数は等しい) 左右両側に壁

 |-ww(k)ww-@-ww(k)ww-A-ww(k)ww-|

◆ 平衡位置からのずれ x,y 質量 m バネ定数 k root(k/m)≡w

■ @に働く力=-k*x+k*(-x+y)=-k*(2*x-y)

 Aに働く力=-k*y+k*(x-y)=-k*(-x+2*y)

運動方程式 m*x''=-k*(2*x-y) & y''=-k*(-x+2*y)

 x''=-w^2*(2*x-y) & y''=-w^2*(-x+2*y)

x,yがからまった式だから解きにくい。変数分離できれば、簡単になる。

☆連成振動.2質点-行列☆

◆ x''=-w^2*(2*x-y) & y''=-w^2*(-x+2*y)

■ 運動方程式を、行列を使って表せば、

 [A]=[2 -1|-1 2] 運動方程式 <x y)''=-w^2*[A]*<x y)

X=(x+y)/2 Y=(x-y)/2 と置けば、

 X''=-w^2*X Y''=-3*w^2*Y

 X=X0*cos(w*t+C1) Y=Y0*cos(root3*w*t+C2)

元の座標に戻す <x y)=[P]*<X Y)=<X+Y X-Y) だから、

 x=X+Y=X0*cos(w*t+C1)+Y0*cos(root3*w*t+C2) &

 y=X-Y=X0*cos(w*t+C1)-Y0*cos(root3*w*t+C2) .

☆連成振動.2質点☆

◎ |-ww(k)ww-@-ww(k)ww-A-ww(k)ww-| 初期値を定める

◆ 質量 m バネ定数 k root(k/m)≡w

 x=X+Y=X0*cos(w*t+C1)+Y0*cos(root3*w*t+C2) &

 y=X-Y=X0*cos(w*t+C1)-Y0*cos(root3*w*t+C2)

t=0 で x=1 , y=0 , x'=y'=0

■ x'=-X0*w*sin(w*t+C1)-Y0*root3*w*sin(root3*w*t+C2)

 y'=-X0*w*sin(w*t+C1)+Y0*root3*w*sin(root3*w*t+C2)

t=0 で X0*cos(C1)+Y0*cos(C2)=1 & X0*cos(C1)-Y0*cos(C2)=0 &

 -X0*w*sin(C1)-Y0*root3*w*sin(C2)=0 &

 -X0*w*sin(C1)+Y0*root3*w*sin(C2)=0

未知数4つ、式4つだから、解けて、

 X0*cos(C1)=Y0*cos(C2)=1/2 & X0*sin(C1)=Y0*sin(C2)=0

 X0=Y0=1/2 & C1=C2=0

すなわち x=cos(w*t)/2+cos(root3*w*t)/2 y=cos(w*t)/2-cos(root3*w*t)/2 .

〔root(k/m)≡w〕

★ w=2Pi のとき

x=cos(2Pi*t)/2+cos(2*root3*Pi*t)/2 y=cos(2Pi*t)/2-cos(2*root3*Pi*t)/2

☆連成振動.2質点.エネルギー☆

◎ |-ww(k)ww-@-ww(k)ww-A-ww(k)ww-| エネルギーについて

◆ 質量 m=1 バネ定数 k=4*Pi^2 root(k/m)≡w=2Pi

 x=[cos(2Pi*t)+cos(2*root3*Pi*t)]/2

 y=[cos(2Pi*t)-cos(2*root3*Pi*t)]/2

 x'=-Pi*[sin(2Pi*t)+root3*sin(2*root3*Pi*t)]

 y'=-Pi*[sin(2Pi*t)-root3*sin(2*root3*Pi*t)]

運動エネルギー K1,K2 位置エネルギー U1,U2,U3

■ K1=(1/2)*m*x'^2=x'^2/2 K2=y'^2/2

 U1=(1/2)*k*x^2=2*Pi^2*x^2

 U2=(1/2)*k*(x-y)^2=2*Pi^2*(x^2-2*x*y+y^2)

 U3=2*Pi^2*y^2

 U=4*Pi^2*[x^2-x*y+y^2]

『連成振動.2質点』 2015/12 k=4*Pi^2 m=1

t→

0

1/4

1/2

3/4

1

cos(2Pi*t)

1

0

-1

0

1

cos(2*root3*Pi*t)

1

-0.91

0.67

-0.30

-0.11

x

1

-0.46

-0.17

-0.15

0.44

y

0

0.46

-0.83

0.15

0.56

位置エネルギー U

39.48

24.67

23.00

2.72

10.24

sin(2Pi*t)

0

1

0

-1

0

sin(2*root3*Pi*t)

0

0.41

-0.75

0.95

-0.99

root3*sin(2*root3*Pi*t)

0

0.71

-1.29

1.65

-1.72

x'

0

-5.36

4.06

-2.04

5.41

y'

0

-0.92

-4.06

8.33

-5.41

運動エネルギー K1

0

14.39

8.24

2.09

14.62

運動エネルギー K2

0

0.42

8.24

34.67

14.62

全エネルギー E

39.48

39.48

39.48

39.48

39.48


重りの位置 x,y 重りの運動エネルギー K1,K2 位置エネルギー(バネ3個分) U

▲ K1+K2+U=一定

重り@の運動エネルギーが大きいとき、重りAの運動エネルギーが大きいときと、交互にある。運動エネルギーが、重りの間を行き来しているように見える。

☆連成振動.3質点-行列☆

◎ |-ww(k)ww--ww(k)ww--ww(k)ww--ww(k)ww-|

■ 重りの質量 m バネ定数 k k/m=w^2 平衡位置からのずれx,y,z

-x+(y-x)=-2*x+y x''=-w^2*(2*x-y)
-(y-x)+(z-y)=x-2*y+z y''=-w^2*(-x+2*y-z)
-(z-y)-z= z''=-w^2*(-y+2*z)

[A]=[2 -1 0|-1 2 -1|0 -1 2] と置けば、

 <x y z)''=-w^2*[A]*<x y z)

★ [A]=[2 -1 0|-1 2 -1|0 -1 2]

特性方程式 0=det([A]-h*[E])=(2-h)*(h^2-4*h+2)

 h=2 , 2±√2 [D]=[2 0 0|0 2+√2 0|0 0 2-√2]

固有値 2 に対して 固有ベクトルの例 <1,0,-1)

固有値 2+√2 に対して 固有ベクトルの例 <1,-√2,1)

固有値 2-√2 に対して 固有ベクトルの例 <1,√2,1)

 [P]=[<1,0,-1)&<1,-√2,1)&<1,√2,1)]=[1 1 1|0 -√2 √2|-1 √2 1]

 det[P]=3+2*√2

 [Pi]=-[3*√2 -√2+1 -2*√2|√2 -2 √2|√2 √2+1 √2]/(3+2*√2)

 [Pi]*[A]*[P]=[D] [Pi]*[A]=[D]*[Pi] [A]*[P]=[P]*[D]

運動方程式の左から [Pi] を掛けて [Pi]*<x y z)''=-w^2*[Pi]*[A]*<x y z)

 [Pi]*<x y z)''=-w^2*[D]*[Pi]*<x y z)

ここで [Pi]*<x y z)=<X Y Z) <x y z)=[P]*<X Y Z) と置けば、

 <X Y Z)''=-w^2*[D]*<X Y Z)

変数分離できていて、

 X''=-w^2*2*X Y''=-w^2*(2+√2)*Y Z''=-w^2*(2-√2)*Z

 X/X0=cos(√2*w*t+C1)
 Y/Y0=cos[root(2+√2)*w*t+C2]
 Z/Z0=cos[root(2-√2)*w*t+C3]

 x=X+Y+Z y=-√2*Y+√2*Z z=-X+√2*Y+Z

☆連成振動.3質点-行列☆

◎ |-ww(k)ww--ww(k)ww--ww(k)ww--ww(k)ww-|

■ 重りの質量 m バネ定数 k k/m=w^2 平衡位置からのずれx,y,z

-x+(y-x)=-2*x+y x''=-w^2*(2*x-y)
-(y-x)+(z-y)=x-2*y+z y''=-w^2*(-x+2*y-z)
-(z-y)-z= z''=-w^2*(-y+2*z)

[A]=[2 -1 0|-1 2 -1|0 -1 2] と置けば、

 <x y z)''=-w^2*[A]*<x y z)

★ [A]=[2 -1 0|-1 2 -1|0 -1 2]

特性方程式 0=det([A]-h*[E])=(2-h)*(h^2-4*h+2)

 h=2 , 2±√2 [D]=[2 0 0|0 2+√2 0|0 0 2-√2]

固有値 2 に対して 固有ベクトルの例 <1,0,-1)

固有値 2+√2 に対して 固有ベクトルの例 <1,-√2,1)

固有値 2-√2 に対して 固有ベクトルの例 <1,√2,1)

 [P]=[<1,0,-1)&<1,-√2,1)&<1,√2,1)]=[1 1 1|0 -√2 √2|-1 √2 1]

 det[P]=3+2*√2

 [Pi]=-[3*√2 -√2+1 -2*√2|√2 -2 √2|√2 √2+1 √2]/(3+2*√2)

 [Pi]*[A]*[P]=[D] [Pi]*[A]=[D]*[Pi] [A]*[P]=[P]*[D]

運動方程式の左から [Pi] を掛けて [Pi]*<x y z)''=-w^2*[Pi]*[A]*<x y z)

 [Pi]*<x y z)''=-w^2*[D]*[Pi]*<x y z)

ここで [Pi]*<x y z)=<X Y Z) <x y z)=[P]*<X Y Z) と置けば、

 <X Y Z)''=-w^2*[D]*<X Y Z)

変数分離できていて、

 X''=-w^2*2*X Y''=-w^2*(2+√2)*Y Z''=-w^2*(2-√2)*Z

 X/X0=cos(√2*w*t+C1)
 Y/Y0=cos[root(2+√2)*w*t+C2]
 Z/Z0=cos[root(2-√2)*w*t+C3]

 x=X+Y+Z y=-√2*Y+√2*Z z=-X+√2*Y+Z

☆連成振動.3質点-行列☆

◎ |-ww(k)ww--ww(k)ww--ww(k)ww--ww(k)ww-|

◆ X/X0=cos(√2*w*t+C1)
 Y/Y0=cos[root(2+√2)*w*t+C2]
 Z/Z0=cos[root(2-√2)*w*t+C3]

 x=X+Y+Z y=-√2*Y+√2*Z z=-X+√2*Y+Z

w=1 t=0 のとき x=1,y=0,z=0 とすると

t=0 で x0=X0+Y0+Z0=1 y0=-√2*Y0+√2*Z0=1 z0=-X0+√2*Y0+Z0=0

  連成振動.行列  

inserted by FC2 system