物理 座標 2019.9-2012.4 Yuji.W

☆ 球座標(3次元極座標)-2- ☆

3次元極座標 座標単位ベクトル 成分 微分演算子 変換行列 ∇ grad div curl △ 加速度 ◇ cos(a)=Ca sin(a)=Sa cos(b)=Cb sin(b)=Sb  

10^x=Ten(x) ネイピア数 e 虚数単位 i exp(i*x)=expi(x) 
dy/dx=y;x ∂y/∂x=y,x 時間微分 dx/dt=x;t=x' 
積分 ${f(x)*dx}

ベクトル <A> 単位ベクトル <-u> 内積 * 外積 #      00 2019.9.01
デカルト座標 <Ax Ay Az> 円柱座標 <Ah Aa Az _C> 球座標 <Ar Aa Ab _S> 

〓 円柱座標 〓 ☯ 2019.9 

▢ デカルト座標で P(x,y,z) 円柱座標で P(h,a,z _C)

原点からの距離 h その位置と原点を結ぶ線分がx軸と成す角 a 

■ h=root(x^2+y^2) tan(a)=y/x x=h*Ca y=h*Sa  

■ 円柱座標単位ベクトル 動径方向 <hu> 接線方向 <au> z軸方向 <zu> 

 <hu>=<xu>*Ca+<yu>*Sa=<x y>/h
 <au>=-<xu>*Sa+<yu>*Ca=<-y x>/h

 <xu>=<hu>*Ca-<au>*Sa <yu>=<hu>*Sa+<au>*Ca 

■ 任意のベクトル <A>=<Ax Ay Az>=<Ah Aa Az _C> 

 <Ah Aa)=[Ca Sa|-Sa Ca]*<Ax Ay) <Ax Ay)=[Ca -Sa|Sa Ca]*<Ah Aa) 

■ <hu>;t=(<hu>;a)*(a;t)=<au>*a' 

 <au>;t=(<au>;a)*(a;t)=-<hu>*a' 

■ <Ah Aa Az _C>;t=<Ah'-Aa*a' Ah*a'+Aa' Az' _C> 

■ 任意の位置ベクトル <r>=<x y z>=<h 0 z _C>

※ 位置ベクトルの終点の座標 (h,a,z _C) a の値がないと、<hu>,<au>の方向は定まらない

 <r>;t=<h 0 z _C>;t=<h' h*a' z' _C> 

 <r>;;t=<h''-h*a'^2 (h^2*a')'/h z'' _C> 

〓 球座標 〓 .

■ 球座標(r,a,b) 半径方向、天頂角方向、接線方向(方位角方向)

原点からの距離(動径) r z軸と成す角(天頂角) a

z軸の周りの回転角 xy平面上でx軸と成す角(方位角) b

 0≦a<Pi 0≦b<2Pi r=root(x^2+y^2+z^2)

■ デカルト座標(x,y,z)と球座標(r,a,b)

 x=r*Sa*Cb y=r*Sa*Sb z=r*Ca

 r=root(x^2+y^2+z^2) h=root(x^2+y^2) tan(a)=z/h tan(b)=y/x

〓 球座標 〓 .

■ 球座標(r,a,b) 半径方向、天頂角方向、接線方向(方位角方向)

原点からの距離(動径) r z軸と成す角(天頂角) a

z軸の周りの回転角 xy平面上でx軸と成す角(方位角) b

 0≦a<Pi 0≦b<2Pi r=root(x^2+y^2+z^2)

■ デカルト座標(x,y,z)と球座標(r,a,b)

 x=r*Sa*Cb y=r*Sa*Sb z=r*Ca

 r=root(x^2+y^2+z^2) h=root(x^2+y^2) tan(a)=z/h tan(b)=y/x

{位置座標を変換するだけなら、以上で終わり。難しくない!2014/1}

■ ベクトルで表される物理量は、時間と、位置の関数である。

デカルト座標の座標軸方向の単位ベクトルの向きは変わらない。

円柱座標や球座標では、座標軸方向の単位ベクトルの向きが、位置によって変わる。したがって、それらの座標でベクトルを表すとき、その位置を考えておかなくてはいけない。

■ 球座標(r,a,b) 半径方向(動径方向)、天頂角方向、接線方向(方位角方向)

(r,a,b)での単位ベクトル <ru>,<au>,<bu>

 <ru(x,y,z)>の方向 半径方向(動径方向) r だけを増加した時に増える方向

 <au(x,y,z)>の方向 天頂角方向 a だけを増加した時に増える方向

 <bu(x,y,z)>の方向 接線方向(方位角方向) b だけを増加した時に増える方向 xy平面上で、z軸を中心とする円の接線方向

z軸に垂直な単位ベクトル <h>=<ru>*Sa+<au>*Ca

※ 単位ベクトルの中の (x,y,z) は、普通省略する

〓 座標単位ベクトルの変換 〓 .

◎ 球座標とデカルト座標の座標単位ベクトルの変換

【 座標単位ベクトルの変換 】

 <h>=<xu>*Cb+<yu>*Sb

 <ru>
=<zu>*Ca+<h>*Sa
=<xu>*Sa*Cb+<yu>*Sa*Sb+<zu>*Ca @

 <au>
=-<zu>*Sa+<h>*Ca
=<xu>*Ca*Cb+<yu>*Ca*Sb-<zu>*Sa A

 <bu>=-<xu>*Sb+<yu>*Cb B

 [SX]
=[Sa*Cb Sa*Sb Ca|
Ca*Cb Ca*Sb -Sa|
-Sb Cb 0] 
_と置けば、

 <<ru> <au> <bu>)=[SX]*<<xu> <yu> <zu>)

【 逆変換を求める 】

@Aより <zu>を消去すると、

 <ru>*Sa+<au>*Ca
=<xu>*Sa^2*Cb+<yu>*Sa^2*Sb
+<xu>*Ca^2*Cb+<yu>*Ca^2*Sb

 <ru>*Sa+<au>*Ca=<xu>*Cb+<yu>*Sb C

BCより <yu>を消去すると、

 <ru>*Sa*Cb+<au>*Ca*Cb-<bu>*Sb
=<xu>*Cb^2+<xu>*Sb^2

 <ru>*Sa*Cb+<au>*Ca*Cb-<bu>*Sb
=<xu>

 <xu>=<ru>*Sa*Cb+<au>*Ca*Cb-<bu>*Sb _D

CDより

 <ru>*Sa+<au>*Ca
=[<ru>*Sa*Cb
+<au>*Ca*Cb-<bu>*Sb]*Cb+<yu>*Sb

 <yu>*Sb

=<ru>*Sa*[1-Cb^2]
+<au>*Ca*[1-Cb^2]+<bu>*Cb*Sb
=<ru>*Sa*Sb^2+<au>*Ca*Sb^2+<bu>*Cb*Sb

 <yu>=<ru>*Sa*Sb+<au>*Ca*Sb+<bu>*Cb _E

DEを@に代入して、

 <ru>
=[<ru>*Sa*Cb+<au>*Ca*Cb-<bu>*Sb]*Sa*Cb
+[<ru>*Sa*Sb+<au>*Ca*Sb+<bu>*Cb]*Sa*Sb
+<zu>*Ca
=<ru>*Sa^2*Cb^2
+<au>*Ca*Sa*Cb^2
-<bu>*Sa*Cb*Sb
+<ru>*Sa^2*Sb^2
+<au>*Ca*Sa*Sb^2
+<bu>*Sa*Cb*Sb
+<zu>*Ca
=<ru>*Sa^2+<au>*Ca*Sa+<zu>*Ca

 <zu>*Ca
=<ru>-<ru>*Sa^2-<au>*Ca*Sa
=<ru>*Ca^2-<au>*Ca*Sa 

 <zu>=<ru>*Ca-<au>*Sa _

 [XS]
=[Sa*Cb Ca*Cb -Sb|
Sa*Sb Ca*Sb Cb|
Ca -Sa 0] 
_と置くと、

 <<xu> <yu> <zu>)=[XS]*<<ru> <au> <bu>)

{確かめ} [SX]*[XS]

 1行1列
=<Sa*Cb Sa*Sb Ca>
*<Sa*Cb Sa*Sb Ca)
=Sa^2*Cb^2+Sa^2*Sb^2+Ca^2
=Sa^2+Ca^2
=1

 1行2列
=<Sa*Cb Sa*Sb Ca>
*<Ca*Cb Ca*Sb -Sa)
=Ca*Sa*Cb^2+Ca*Sa*Sb^2-Ca*Sa
=Ca*Sa-Ca*Sa
=0

 1行3列
=<Sa*Cb Sa*Sb Ca>
*<-Sb Cb 0)
=-Sa*Cb*Sb+Sa*Cb*Sb+0
=0

 2行1列
=<Ca*Cb Ca*Sb -Sa>
*<Sa*Cb Sa*Sb Ca)
=Ca*Sa*Cb^2+Ca*Sa*Sb^2-Ca*Sa
=Ca*Sa-Ca*Sa
=0

 2行2列
=<Ca*Cb Ca*Sb -Sa>
*<Ca*Cb Ca*Sb -Sa)
=Ca^2*Cb^2+Ca^2*Sb^2+Sa^2
=Ca^2+Sa^2
=1

 2行3列
=<Ca*Cb Ca*Sb -Sa>*<-Sb Cb 0)
=-Ca*Cb*Sb+Ca*Cb*Sb+0
=0

 3行1列
=<-Sb Cb 0>*<Sa*Cb Sa*Sb Ca)
=-Sa*Cb*Sb+Sa*Cb*Sb+0
=0

 3行2列
=<-Sb Cb 0>*<Ca*Cb Ca*Sb -Sa)
=-Ca*Cb*Sb+Ca*Cb*Sb+0
=0

 3行3列
=<-Sb Cb 0>*<-Sb Cb 0)
=Sb^2+Cb^2+0
=1

 [SX]*[XS]=[1 0 0|0 1 0|0 0 1] _

{計算は面倒だが、ひとつひとつていねいに計算すれば、できる!2016/1}  

〓 成分の変換 〓 .

■ 任意のベクトル <A>=<xu>*Ax+<yu>*Ay+<zu>*Az=<ru>*Ar+<au>*Aa+<bu>*Ab

 <ru>*Ar
=<xu>*Ar*Sa*Cb+<yu>*Ar*Sa*Sb+<zu>*Ar*Ca
 <au>*Aa
=<xu>*Aa*Ca*Cb+<yu>*Aa*Ca*Sb-<zu>*Aa*Sa
 <bu>*Ab=-<xu>*Ab*Sb+<yu>*Ab*Cb

上記の3式の和が <xu>*Ax+<yu>*Ay+<zu>*Az になるのだから、

 Ax=Ar*Sa*Cb+Aa*Ca*Cb-Ab*Sb

 Ay=Ar*Sa*Sb+Aa*Ca*Sb-Ab*Cb

 Az=Ar*Ca-Aa*Sa

 [XS]
=[Sa*Cb Ca*Cb -Sb|
Sa*Sb Ca*Sb Cb|
Ca -Sa 0] を使って、

 <Ax Ay Az)=[XS]*<Ar Aa Ab) _

〓 微分の変換 〓 .

■ x=r*Sa*Cb x;r=Sa*Cb x;a=r*Ca*Cb x;b=-r*Sa*Sb

y=r*Sa*Sb y;r=Sa*Sb y;a=r*Ca*Sb y;b=r*Sa*Cb

z=r*Ca z;r=Ca z;a=-r*Sa z;b=0

【任意の関数 f(x,y,z)=f(r,a,b) に対して】

 f;r
=(f;x)*(x;r)+(f;y)*(y;r)+(f;z)*(z;r)
=(f;x)*Sa*Cb+(f;y)*Sa*Sb+(f;z)*Ca

 f;a
=(f;x)*(x;a)+(f;y)*(y;a)+(f;z)*(z;a)
=(f;x)*r*Ca*Cb+(f;y)*r*Ca*Sb-(f;z)*r*Sa

 f;b
=(f;x)*(x;b)+(f;y)*(y;b)+(f;z)*(z;b)
=-(f;x)*r*Sa*Sb+(f;y)*r*Sa*Cb+(f;z)*0
=-(f;x)*r*Sa*Sb+(f;y)*r*Sa*Cb

【微分演算子で表せば】

 ;r=Sa*Cb*(;x)+Sa*Sb*(;y)+Ca*(;z)

 ;a=r*Ca*Cb*(;x)+r*Ca*Sb*(;y)-r*Sa*(;z)

 ;b=-r*Sa*Sb*(;x)+r*Sa*Cb*(;y)

【行列を使って】

 [SX]
=[Sa*Cb Sa*Sb Ca|
Ca*Cb Ca*Sb -Sa|
-Sb Cb 0]

 <;r (1/r)*(;a) {1/[r*Sa]}*(;b))=[SX]*<;x ;y ;z) _

 [XS]
=[Sa*Cb Ca*Cb -Sb|
Sa*Sb Ca*Sb Cb|
Ca -Sa 0]

 <;x ;y ;z)=[XS]*<;r (1/r)*(;a) {1/[r*Sa]}*(;b)) _

〓 座標単位ベクトルの微分 〓 .

■【 座標単位ベクトルの微分 】

(r,a,b)の位置にある<ru>,<au>,<bu>に対して、

 <ru>;r=0 <ru>;a=<au> <ru>;b=<bu>*Sa

 <au>;r=0 <au>;a=-<ru> <au>=<bu>*Ca

 <bu>;r=0 <bu>;a=0 <bu>;b=-<h>=-<ru>*Sa-<au>*Ca

■【 座標単位ベクトルの時間微分 】

 <ru>'
=(<ru>;r)*r'+(<ru>;a)*a'+(<ru>;b)*b'
=0+<au>*a'+<bu>*Sa*b'
=<au>*a'+<bu>*Sa*b'

同様にして <au>'=-<ru>*a'+<bu>*Ca*b'

 <bu>'=-<h>*b'=-<ru>*Sa*b'-<au>*Ca*b'

{まとめ} <ru>'=<au>*a'+<bu>*Sa*b' <au>'=-<ru>*a'+<bu>*Ca*b' <bu>'=-<h>*b'=-<ru>*Sa*b'-<au>*Ca*b' _

〓 変換行列 〓 .

【 球座標とデカルト座標 】

 [SX]
=[Sa*Cb Sa*Sb Ca|
Ca*Cb Ca*Sb -Sa|
-Sb Cb 0]

 [XS]
=[Sa*Cb Ca*Cb -Sb|
Sa*Sb Ca*Sb Cb|
Ca -Sa 0]

【 円柱座標とデカルト座標 】

 [XC]=[Cb -Sb 0|Sb Cb 0|0 0 1]

 [CX]=[Cb Sb 0|-Sb Cb 0|0 0 1]

【 球座標と円柱座標 】

 [SC]=[Sa 0 Ca|Ca 0 -Sa|0 1 0]
 [CS]=[Sa Ca 0|0 0 1|Ca -Sa 0]

■ [XS]=[XC]*[CS] [SX]=[SC]*[CX]

〓 ∇ 〓 .

◆ デカルト座標でのnabla ∇=<xu>*(;x)+<yu>*(;y)+<zu>*(;z)

 [XS]
=[Sa*Cb Ca*Cb -Sb|
Sa*Sb Ca*Sb Cb|
Ca -Sa 0]

 <(;x) (;y) (;z))=[XS]*<(;r) (1/r)*(;a) {1/[r*Sa]}*(;b))

■ <xu>*(;x)
=(<ru>*Sa*Cb+<au>*Ca*Cb-<bu>*Sb)
*{Sa*Cb*(;r)+Ca*Cb*(1/r)*(;a)
-Sb*{1/[r*Sa]}*(;b)} @

 <yu>*(;y)
=(<ru>*Sa*Sb+<au>*Ca*Sb+<bu>*Cb)*
*{Sa*Sb*(;r)+Ca*Sb*(1/r)*(;a)
+Cb*{1/[r*Sa]}*(;b)} A

 <zu>*(;z)
=(<ru>*Ca-<au>*Sa)*{Ca*(;r)-Sa*(1/r)*(;a)} B

 ∇=<xu>*(;x)+<yu>*(;y)+<zu>*(;z)=@+A+B を求めたい。


 <ru>*(;r)の係数
=Sa^2*Cb^2+Sa^2*Sb^2+Ca^2
=Sa^2+Ca^2
=1

 <ru>*(;a)の係数
=Ca*Sa*Cb^2*(1/r)+Ca*Sa*Sb^2*(1/r)
-Ca*Sa*(1/r)
=Ca*Sa*(1/r)-Ca*Sa*(1/r)
=0
 

 <ru>*(;b)の係数
=-Sa*Cb*Sb*{1/[r*Sa]}
+Sa*Cb*Sb*{1/[r*Sa]}
=0

 ナブラのr成分=<ru>*(;r) C

 <au>*(;r)の係数
=Ca*Sa*Cb^2+Ca*Sa*Sb^2-Ca*Sa
=Ca*Sa-Ca*Sa
=0

 <au>*(;a)の係数
=Ca^2*Cb^2*(1/r)+Ca^2*Sb^2*(1/r)+Sa^2*(1/r)
=Ca^2*(1/r)+Sa^2*(1/r)
=1/r

 <au>*(;b)の係数=-Ca*Cb*Sb*{1/[r*Sa]}
+Ca*Cb*Sb*{1/[r*Sa]}
=0

 ナブラの天頂角a成分=<au>*(1/r)*(;a) D

 <bu>*(;r)の係数=-Sa*Cb*Sb+Sa*Cb*Sb=0

 <bu>*(;a)の係数
=-Ca*Cb*Sb*(1/r)+Ca*Cb*Sb*(1/r)
=0

 <bu>*(;b)の係数=Sb^2*{1/[r*Sa]}+Cb^2*{1/[r*Sa]}
={1/[r*Sa]}

 ナブラの方位角b成分=<bu>*{1/[r*Sa]}*(;b) E

CDEより、

 ∇=<ru>*(;r)+<au>*(1/r)*(;a)+<bu>*{1/[r*Sa]}*(;b) _

{素晴らしい、できた!2014/1}

〓 grad div curl 〓 .

■ <grad>
=∇
=<ru>*(;r)+<au>*(1/r)*(;a)+<bu>*{1/[r*Sa]}*(;b) 
_

■ div<A>
=∇*<A>
=[<ru>*(;r)+<au>*(1/r)*(;a)+<bu>*{1/[r*Sa]}*(;b)]
*(<ru>*Ar+<au>*Aa+<bu>*Ab)

ここで注意しなくてはいけないことは、

@ 演算子の偏微分を先に作用させる。ベクトルの内積は、その後{!}
A 座標単位ベクトルは、a や b で偏微分すると、大きさや向きが変わる{!}

微分の項ごとに計算すると、

 <ru>*(;r)*(<ru>*Ar+<au>*Aa+<bu>*Ab)=Ar;r

 <au>*(1/r)*(;a)*(<ru>*Ar+<au>*Aa+<bu>*Ab)
=(1/r)*Aa;a+(1/r)*Ar
=(1/r)*(Aa;a+Ar)

 <bu>*{1/[r*Sa]}*(;b)]*(<ru>*Ar+<au>*Aa+<bu>*Ab)
={1/[r*Sa]}*Ab;b+{1/[r*Sa]}*(Sa*Ar+Ca*Aa)
={1/[r*Sa]}*Ab;b+{1/[r*Sa]}*(Sa*Ar+Ca*Aa)
={1/[r*Sa]}*(Ab;b+Sa*Ar+Ca*Aa)

 div<A>
=∇*<A>
=Ar;r+(1/r)*(Aa;a+Ar)+{1/[r*Sa]}*(Ab;b+Sa*Ar+Ca*Aa)
=[2*Ar/r+Ar;r]+[Aa/(r*tan(a))+(Aa;a)/r]+(Ab;b)/[r*Sa]
={(r^2*Ar);r}/r^2+{[Sa*Aa];a}/[r*Sa]+(Ab;b)/[r*Sa]

≫ div<A>
={(r^2*Ar);r}/r^2+{[Sa*Aa];a}/[r*Sa]+(Ab;b)/[r*Sa] 
_

■ <curl<A>>
=∇#<A>
=[<ru>*(;r)+<au>*(1/r)*(;a)+<bu>*{1/[r*Sa]}*(;b)]
#(<ru>*Ar+<au>*Aa+<bu>*Ab)

展開して、9つの項を別々に書くと、

 [<ru>*(;r)]#(<ru>*Ar)=0
 [<ru>*(;r)]#(<au>*Aa)=<bu>*Aa;r
 [<ru>*(;r)]#(<bu>*Ab)=-<au>*Ab;r

 [<au>*(1/r)*(;a)]#(<ru>*Ar)=-<bu>*Ar;a/r
 [<au>*(1/r)*(;a)]#(<au>*Aa)=<bu>*Aa/r
 [<au>*(1/r)*(;a)]#(<bu>*Ab)=<ru>*Ab;a/r

 [<bu>*{1/[r*Sa]]*(;b)]}#(<ru>*Ar)=<au>*Ar;b/[r*Sa]
 [<bu>*{1/[r*Sa]]*(;b)]}#(<au>*Aa)=-<ru>*Aa;b/[r*Sa]
 [<bu>*{1/[r*Sa]]*(;b)]}#(<bu>*Ab)
=-<bu>#(<ru>*Sa+<au>*Ca)*Ab/[r*Sa]
=-<au>*Sa*Ab/[r*Sa]+<ru>*Ca*Ab/[r*Sa]
=-<au>*Ab/r+<ru>*Ab/(r*tan(a)) {核心!}

 <curl<A>>
=<ru>*{[Sa*Ab];a/[r*Sa]-(Aa;b)/[r*Sa]}
+<au>*{(Ar;b)/[r*Sa]-[(r*Ab);r]/r}
+<bu>*{[(r*Aa);r]/r-(Ar;a)/r]} 
_

〓 △ 〓 .

◎ 球座標(r,a,b)のラプラシアン

◆ ∇=<ru>*(;r)+<au>*(1/r)*(;a)+<bu>*{1/[r*Sa]}*(;b)

任意のベクトル <A>=<ru>*Ar+<au>*Aa+<bu>*Ab

■ △=div<grad>

 <grad>=<ru>*(;r)+<au>*(1/r)*(;a)+<bu>*{1/[r*Sa]}*(;b)

 div<A>
={(r^2*Ar);r}/r^2+{[Sa*Aa];a}/[r*Sa]+(Ab;b)/[r*Sa]

△の部分を求めると、

 (r^2*Ar);r=(;r)*r^2*(;r)
 [Sa*Aa];a=(1/r)*(;a)*Sa*(;a)
 Ab;b={1/[r*Sa]}*(;;b) だから、

 △
=(1/r^2)*(;r)*r^2*(;r)
+{1/[r^2*Sa]}*(;a)*Sa*(;a)
+{1/[r^2*Sa^2]}*(;;b)

任意の関数 f(r,a,b) に対して、

 △f
={[r^2*(f;r)];r}/r^2
+{[Sa*(f;a)];a}/[r^2*Sa]+(f;;b)/[r^2*Sa^2] 
.

{この方法が最も簡単みたい!2016/2}

〓 球対称 〓 .

◆ 球座標 (r,a,b) 球対称スカラー関数 f(r)

球対称ベクトル関数 <A>=<ru>*Ar(r)

■ <grad[f(r)]>=<ru>*(f;r) div<A>={(r^2*Ar);r}/r^2

 <curl<A>>=0 △f={[r^2*(f;r)];r}/r^2

〓 速度,加速度 〓 .

● <ru>'=<au>*a'+<bu>*Sa*b' <au>'=-<ru>*a'+<bu>*Ca*b'
 <bu>'=-<h>*b'=-<ru>*Sa*b'-<au>*Ca*b'

■ <r>=<ru>*r {核心!}

 <r>'
=<ru>'*r+<ru>*r'
=(<au>*a'+<bu>*Sa*b')*r+<ru>*r'
=<ru>*r'+<au>*r*a'+<bu>*r*Sa*b'

■ さらに、

 (<ru>*r')'
=<ru>'*r'+<ru>*r''
=(<au>*a'+<bu>*Sa*b')*r'+<ru>*r''
=<ru>*r''+<au>*r'*a'+<bu>*r'*Sa*b' @

 (<au>*r*a')'
=<au>'*r*a'+<au>*(r*a')'
=[-<ru>*a'+<bu>*Ca*b']*r*a'+<au>*(r'*a'+r*a'')
=-<ru>*r*a'^2+<bu>*Ca*r*a'*b'+<au>*(r'*a'+r*a'') A

 <bu>*r*Sa*b'
=<bu>'*r*Sa*b'+<bu>*(r*Sa*b')'
=[-<ru>*Sa*b'-<au>*Ca*b']*r*Sa*b'
+<bu>*[r'*Sa*b'+r*Ca*a'*b'+r*Sa*b'']
=-<ru>r*Sa^2*b'^2-<au>*r*Ca*Sa*b'^2
+<bu>*[r'*Sa*b'+r*Ca*a'*b'+r*Sa*b''] B

@+A+B <r>''
=<ru>*[r''-r*a'^2-r*Sa^2*b'^2]

+<au>*[r*a''+2*r'*a'-r*Ca*Sa*b'^2]

+<bu>*[r*Sa*b''+2*r'*Sa*b'+2*r*Ca*a'*b'] _

■ <r>'^2=r'^2+(r*a')^2+[r*Sa*b']^2 _

{ひとつひとつていねいに計算すれば、できる!2016/1}

〓 {まとめ}球座標 〓 .

■ 球座標(r,a,b) 半径方向、天頂角方向、接線方向(方位角方向)

原点からの距離(動径) r z軸と成す角(天頂角) a

z軸の周りの回転角 xy平面上でx軸と成す角(方位角) b

 0≦a<Pi 0≦b<2Pi r=root(x^2+y^2+z^2)

■ x=r*Sa*Cb y=r*Sa*Sb z=r*Ca

 r=root(x^2+y^2+z^2) h=root(x^2+y^2) tan(a)=z/h tan(b)=y/x

■ [SX]
=[Sa*Cb Sa*Sb Ca|
Ca*Cb Ca*Sb -Sa|
-Sb Cb 0]

 [XS]
=[Sa*Cb Ca*Cb -Sb|
Sa*Sb Ca*Sb Cb|
Ca -Sa 0]

■ <<ru> <au> <bu>)=[SX]*<<xu> <yu> <zu>)

 <Ax Ay Az)=[XS]*<Ar Aa Ab)

 <;x ;y ;z)=[XS]*<;r (1/r)*(;a) {1/[r*Sa]}*(;b))

■ <ru>'=<au>*a'+<bu>*Sa*b' <au>'=-<ru>*a'+<bu>*Ca*b'
 <bu>'=-<h>*b'=-<ru>*Sa*b'-<au>*Ca*b

■ <grad>=∇=<ru>*(;r)+<au>*(1/r)*(;a)+<bu>*{1/[r*Sa]}*(;b)

div<A>={(r^2*Ar);r}/r^2+{[Sa*Aa];a}/[r*Sa]+(Ab;b)/[r*Sa]

 <curl<A>>
=<ru>*{[Sa*Ab];a/[r*Sa]-(Aa;b)/[r*Sa]}
+<au>*{(Ar;b)/[r*Sa]-[(r*Ab);r]/r}
+<bu>*{[(r*Aa);r]/r-(Ar;a)/r]} 

 △
=(1/r^2)*(;r)*r^2*(;r)
+{1/[r^2*Sa]}*(;a)*Sa*(;a)
+{1/[r^2*Sa^2]}*(;;b)

 △f
={[r^2*(f;r)];r}/r^2
+{[Sa*(f;a)];a}/[r^2*Sa]+(f;;b)/[r^2*Sa^2]

■ <r>'=<ru>*r'+<au>*r*a'+<bu>*r*Sa*b'

 <r>'^2=r'^2+(r*a')^2+[r*Sa*b']^2

 <r>''
=<ru>*[r''-r*a'^2-r*Sa^2*b'^2]
+<au>*[r*a''+2*r'*a'-r*Ca*Sa*b'^2]

+<bu>*[r*Sa*b''+2*r'*Sa*b'+2*r*Ca*a'*b']

お勉強しよう since 2011 Yuji.W ☆

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