お勉強しよう.Uz 座標

2016/8-2012/4 Yuji.W

球座標

◎ 座標単位ベクトル 成分 微分演算子 変換行列 ∇ grad div curl △ 加速度

◇ ベクトル<A> 縦ベクトル<A) 単位ベクトル<-u> 内積* 外積# 微分;x 時間微分' 10^x=Ten(x) exp(i*x)=expi(x) 共約複素数\z 物理定数.

☆球座標☆

■ 球座標(r,a,b) 半径方向、天頂角方向、接線方向(方位角方向)

原点からの距離(動径) r z軸と成す角(天頂角) a

z軸の周りの回転角 xy平面上でx軸と成す角(方位角) b

 0≦a<Pi 0≦b<2Pi r=root(x^2+y^2+z^2)

■ デカルト座標(x,y,z)と球座標(r,a,b)

 x=r*sin(a)*cos(b) y=r*sin(a)*sin(b) z=r*cos(a)

 r=root(x^2+y^2+z^2) r.=root(x^2+y^2) tan(a)=z/r. tan(b)=y/x

{位置座標を変換するだけなら、以上で終わり。難しくない!2014/1}

■ ベクトルで表される物理量は、時間と、位置の関数である。

デカルト座標の座標軸方向の単位ベクトルの向きは変わらない。

円柱座標や球座標では、座標軸方向の単位ベクトルの向きが、位置によって変わる。したがって、それらの座標でベクトルを表すとき、その位置を考えておかなくてはいけない。

■ 球座標(r,a,b) 半径方向(動径方向)、天頂角方向、接線方向(方位角方向)

(r,a,b)での単位ベクトル <ru>,<au>,<bu>

 <ru(x,y,z)>の方向 半径方向(動径方向) r だけを増加した時に増える方向

 <au(x,y,z)>の方向 天頂角方向 a だけを増加した時に増える方向

 <bu(x,y,z)>の方向 接線方向(方位角方向) b だけを増加した時に増える方向 xy平面上で、z軸を中心とする円の接線方向

z軸に垂直な単位ベクトル <r.u>=<ru>*sin(a)+<au>*cos(a)

※ 単位ベクトルの中の (x,y,z) は、普通省略する

☆座標単位ベクトルの変換☆

◎ 球座標とデカルト座標の座標単位ベクトルの変換

【 座標単位ベクトルの変換 】

 <r.u>=<xu>*cos(b)+<yu>*sin(b)

 <ru>
=<zu>*cos(a)+<r.u>*sin(a)
=<xu>*sin(a)*cos(b)+<yu>*sin(a)*sin(b)+<zu>*cos(a) @

 <au>
=-<zu>*sin(a)+<r.u>*cos(a)
=<xu>*cos(a)*cos(b)+<yu>*cos(a)*sin(b)-<zu>*sin(a) A

 <bu>=-<xu>*sin(b)+<yu>*cos(b) B

 [SX]
=[sin(a)*cos(b) sin(a)*sin(b) cos(a)|
cos(a)*cos(b) cos(a)*sin(b) -sin(a)|
-sin(b) cos(b) 0] 
_と置けば、

 <<ru> <au> <bu>)=[SX]*<<xu> <yu> <zu>)

【 逆変換を求める 】

@Aより <zu>を消去すると、

 <ru>*sin(a)+<au>*cos(a)
=<xu>*sin(a)^2*cos(b)+<yu>*sin(a)^2*sin(b)
+<xu>*cos(a)^2*cos(b)+<yu>*cos(a)^2*sin(b)

 <ru>*sin(a)+<au>*cos(a)=<xu>*cos(b)+<yu>*sin(b) C

BCより <yu>を消去すると、

 <ru>*sin(a)*cos(b)+<au>*cos(a)*cos(b)-<bu>*sin(b)
=<xu>*cos(b)^2+<xu>*sin(b)^2

 <ru>*sin(a)*cos(b)+<au>*cos(a)*cos(b)-<bu>*sin(b)
=<xu>

 <xu>=<ru>*sin(a)*cos(b)+<au>*cos(a)*cos(b)-<bu>*sin(b) _D

CDより

 <ru>*sin(a)+<au>*cos(a)
=[<ru>*sin(a)*cos(b)
+<au>*cos(a)*cos(b)-<bu>*sin(b)]*cos(b)+<yu>*sin(b)

 <yu>*sin(b)

=<ru>*sin(a)*[1-cos(b)^2]
+<au>*cos(a)*[1-cos(b)^2]+<bu>*cos(b)*sin(b)
=<ru>*sin(a)*sin(b)^2+<au>*cos(a)*sin(b)^2+<bu>*cos(b)*sin(b)

 <yu>=<ru>*sin(a)*sin(b)+<au>*cos(a)*sin(b)+<bu>*cos(b) _E

DEを@に代入して、

 <ru>
=[<ru>*sin(a)*cos(b)+<au>*cos(a)*cos(b)-<bu>*sin(b)]*sin(a)*cos(b)
+[<ru>*sin(a)*sin(b)+<au>*cos(a)*sin(b)+<bu>*cos(b)]*sin(a)*sin(b)
+<zu>*cos(a)
=<ru>*sin(a)^2*cos(b)^2
+<au>*cos(a)*sin(a)*cos(b)^2
-<bu>*sin(a)*cos(b)*sin(b)
+<ru>*sin(a)^2*sin(b)^2
+<au>*cos(a)*sin(a)*sin(b)^2
+<bu>*sin(a)*cos(b)*sin(b)
+<zu>*cos(a)
=<ru>*sin(a)^2+<au>*cos(a)*sin(a)+<zu>*cos(a)

 <zu>*cos(a)
=<ru>-<ru>*sin(a)^2-<au>*cos(a)*sin(a)
=<ru>*cos(a)^2-<au>*cos(a)*sin(a) 

 <zu>=<ru>*cos(a)-<au>*sin(a) _

 [XS]
=[sin(a)*cos(b) cos(a)*cos(b) -sin(b)|
sin(a)*sin(b) cos(a)*sin(b) cos(b)|
cos(a) -sin(a) 0] 
_と置くと、

 <<x> <y> <z>)=[XS]*<<ru> <au> <bu>)

{確かめ} [SX]*[XS]

 1行1列
=<sin(a)*cos(b) sin(a)*sin(b) cos(a)>
*<sin(a)*cos(b) sin(a)*sin(b) cos(a))
=sin(a)^2*cos(b)^2+sin(a)^2*sin(b)^2+cos(a)^2
=sin(a)^2+cos(a)^2
=1

 1行2列
=<sin(a)*cos(b) sin(a)*sin(b) cos(a)>
*<cos(a)*cos(b) cos(a)*sin(b) -sin(a))
=cos(a)*sin(a)*cos(b)^2+cos(a)*sin(a)*sin(b)^2-cos(a)*sin(a)
=cos(a)*sin(a)-cos(a)*sin(a)
=0

 1行3列
=<sin(a)*cos(b) sin(a)*sin(b) cos(a)>
*<-sin(b) cos(b) 0)
=-sin(a)*cos(b)*sin(b)+sin(a)*cos(b)*sin(b)+0
=0

 2行1列
=<cos(a)*cos(b) cos(a)*sin(b) -sin(a)>
*<sin(a)*cos(b) sin(a)*sin(b) cos(a))
=cos(a)*sin(a)*cos(b)^2+cos(a)*sin(a)*sin(b)^2-cos(a)*sin(a)
=cos(a)*sin(a)-cos(a)*sin(a)
=0

 2行2列
=<cos(a)*cos(b) cos(a)*sin(b) -sin(a)>
*<cos(a)*cos(b) cos(a)*sin(b) -sin(a))
=cos(a)^2*cos(b)^2+cos(a)^2*sin(b)^2+sin(a)^2
=cos(a)^2+sin(a)^2
=1

 2行3列
=<cos(a)*cos(b) cos(a)*sin(b) -sin(a)>*<-sin(b) cos(b) 0)
=-cos(a)*cos(b)*sin(b)+cos(a)*cos(b)*sin(b)+0
=0

 3行1列
=<-sin(b) cos(b) 0>*<sin(a)*cos(b) sin(a)*sin(b) cos(a))
=-sin(a)*cos(b)*sin(b)+sin(a)*cos(b)*sin(b)+0
=0

 3行2列
=<-sin(b) cos(b) 0>*<cos(a)*cos(b) cos(a)*sin(b) -sin(a))
=-cos(a)*cos(b)*sin(b)+cos(a)*cos(b)*sin(b)+0
=0

 3行3列
=<-sin(b) cos(b) 0>*<-sin(b) cos(b) 0)
=sin(b)^2+cos(b)^2+0
=1

 [SX]*[XS]=[1 0 0|0 1 0|0 0 1] _

{計算は面倒だが、ひとつひとつていねいに計算すれば、できる!2016/1}  

☆成分の変換☆

■ 任意のベクトル <A>=<xu>*Ax+<yu>*Ay+<zu>*Az=<ru>*Ar+<au>*Aa+<bu>*Ab

 <ru>*Ar
=<xu>*Ar*sin(a)*cos(b)+<yu>*Ar*sin(a)*sin(b)+<zu>*Ar*cos(a)
 <au>*Aa
=<xu>*Aa*cos(a)*cos(b)+<yu>*Aa*cos(a)*sin(b)-<zu>*Aa*sin(a)
 <bu>*Ab=-<xu>*Ab*sin(b)+<yu>*Ab*cos(b)

上記の3式の和が <xu>*Ax+<yu>*Ay+<zu>*Az になるのだから、

 Ax=Ar*sin(a)*cos(b)+Aa*cos(a)*cos(b)-Ab*sin(b)

 Ay=Ar*sin(a)*sin(b)+Aa*cos(a)*sin(b)-Ab*cos(b)

 Az=Ar*cos(a)-Aa*sin(a)

 [XS]
=[sin(a)*cos(b) cos(a)*cos(b) -sin(b)|
sin(a)*sin(b) cos(a)*sin(b) cos(b)|
cos(a) -sin(a) 0] を使って、

 <Ax Ay Az)=[XS]*<Ar Aa Ab) _

◇微分の変換◇

■ x=r*sin(a)*cos(b) x;r=sin(a)*cos(b) x;a=r*cos(a)*cos(b) x;b=-r*sin(a)*sin(b)

y=r*sin(a)*sin(b) y;r=sin(a)*sin(b) y;a=r*cos(a)*sin(b) y;b=r*sin(a)*cos(b)

z=r*cos(a) z;r=cos(a) z;a=-r*sin(a) z;b=0

【任意の関数 f(x,y,z)=f(r,a,b) に対して】

 f;r
=(f;x)*(x;r)+(f;y)*(y;r)+(f;z)*(z;r)
=(f;x)*sin(a)*cos(b)+(f;y)*sin(a)*sin(b)+(f;z)*cos(a)

 f;a
=(f;x)*(x;a)+(f;y)*(y;a)+(f;z)*(z;a)
=(f;x)*r*cos(a)*cos(b)+(f;y)*r*cos(a)*sin(b)-(f;z)*r*sin(a)

 f;b
=(f;x)*(x;b)+(f;y)*(y;b)+(f;z)*(z;b)
=-(f;x)*r*sin(a)*sin(b)+(f;y)*r*sin(a)*cos(b)+(f;z)*0
=-(f;x)*r*sin(a)*sin(b)+(f;y)*r*sin(a)*cos(b)

【微分演算子で表せば】

 ;r=sin(a)*cos(b)*(;x)+sin(a)*sin(b)*(;y)+cos(a)*(;z)

 ;a=r*cos(a)*cos(b)*(;x)+r*cos(a)*sin(b)*(;y)-r*sin(a)*(;z)

 ;b=-r*sin(a)*sin(b)*(;x)+r*sin(a)*cos(b)*(;y)

【行列を使って】

 [SX]
=[sin(a)*cos(b) sin(a)*sin(b) cos(a)|
cos(a)*cos(b) cos(a)*sin(b) -sin(a)|
-sin(b) cos(b) 0]

 <;r (1/r)*(;a) {1/[r*sin(a)]}*(;b))=[SX]*<;x ;y ;z) _

 [XS]
=[sin(a)*cos(b) cos(a)*cos(b) -sin(b)|
sin(a)*sin(b) cos(a)*sin(b) cos(b)|
cos(a) -sin(a) 0]

 <;x ;y ;z)=[XS]*<;r (1/r)*(;a) {1/[r*sin(a)]}*(;b)) _

☆座標単位ベクトルの微分☆

■【 座標単位ベクトルの微分 】

(r,a,b)の位置にある<ru>,<au>,<bu>に対して、

 <ru>;r=0 <ru>;a=<au> <ru>;b=<bu>*sin(a)

 <au>;r=0 <au>;a=-<ru> <au>=<bu>*cos(a)

 <bu>;r=0 <bu>;a=0 <bu>;b=-<r.u>=-<ru>*sin(a)-<au>*cos(a)

■【 座標単位ベクトルの時間微分 】

 <ru>'
=(<ru>;r)*r'+(<ru>;a)*a'+(<ru>;b)*b'
=0+<au>*a'+<bu>*sin(a)*b'
=<au>*a'+<bu>*sin(a)*b'

同様にして <au>'=-<ru>*a'+<bu>*cos(a)*b'

 <bu>'=-<r.u>*b'=-<ru>*sin(a)*b'-<au>*cos(a)*b'

{まとめ} <ru>'=<au>*a'+<bu>*sin(a)*b' <au>'=-<ru>*a'+<bu>*cos(a)*b' <bu>'=-<r.u>*b'=-<ru>*sin(a)*b'-<au>*cos(a)*b' _

◇変換行列◇

【 球座標とデカルト座標 】

 [SX]
=[sin(a)*cos(b) sin(a)*sin(b) cos(a)|
cos(a)*cos(b) cos(a)*sin(b) -sin(a)|
-sin(b) cos(b) 0]

 [XS]
=[sin(a)*cos(b) cos(a)*cos(b) -sin(b)|
sin(a)*sin(b) cos(a)*sin(b) cos(b)|
cos(a) -sin(a) 0]

【 円柱座標とデカルト座標 】

 [XC]=[cos(b) -sin(b) 0|sin(b) cos(b) 0|0 0 1]

 [CX]=[cos(b) sin(b) 0|-sin(b) cos(b) 0|0 0 1]

【 球座標と円柱座標 】

 [SC]=[sin(a) 0 cos(a)|cos(a) 0 -sin(a)|0 1 0]
 [CS]=[sin(a) cos(a) 0|0 0 1|cos(a) -sin(a) 0]

■ [XS]=[XC]*[CS] [SX]=[SC]*[CX]

◇∇◇

◆ デカルト座標でのnabla ∇=<xu>*(;x)+<yu>*(;y)+<zu>*(;z)

 [XS]
=[sin(a)*cos(b) cos(a)*cos(b) -sin(b)|
sin(a)*sin(b) cos(a)*sin(b) cos(b)|
cos(a) -sin(a) 0]

 <(;x) (;y) (;z))=[XS]*<(;r) (1/r)*(;a) {1/[r*sin(a)]}*(;b))

■ <xu>*(;x)
=(<ru>*sin(a)*cos(b)+<au>*cos(a)*cos(b)-<bu>*sin(b))
*{sin(a)*cos(b)*(;r)+cos(a)*cos(b)*(1/r)*(;a)
-sin(b)*{1/[r*sin(a)]}*(;b)} @

 <yu>*(;y)
=(<ru>*sin(a)*sin(b)+<au>*cos(a)*sin(b)+<bu>*cos(b))*
*{sin(a)*sin(b)*(;r)+cos(a)*sin(b)*(1/r)*(;a)
+cos(b)*{1/[r*sin(a)]}*(;b)} A

 <zu>*(;z)
=(<ru>*cos(a)-<au>*sin(a))*{cos(a)*(;r)-sin(a)*(1/r)*(;a)} B

 ∇=<xu>*(;x)+<yu>*(;y)+<zu>*(;z)=@+A+B を求めたい。


 <ru>*(;r)の係数
=sin(a)^2*cos(b)^2+sin(a)^2*sin(b)^2+cos(a)^2
=sin(a)^2+cos(a)^2
=1

 <ru>*(;a)の係数
=cos(a)*sin(a)*cos(b)^2*(1/r)+cos(a)*sin(a)*sin(b)^2*(1/r)
-cos(a)*sin(a)*(1/r)
=cos(a)*sin(a)*(1/r)-cos(a)*sin(a)*(1/r)
=0
 

 <ru>*(;b)の係数
=-sin(a)*cos(b)*sin(b)*{1/[r*sin(a)]}
+sin(a)*cos(b)*sin(b)*{1/[r*sin(a)]}
=0

 ナブラのr成分=<ru>*(;r) C

 <au>*(;r)の係数
=cos(a)*sin(a)*cos(b)^2+cos(a)*sin(a)*sin(b)^2-cos(a)*sin(a)
=cos(a)*sin(a)-cos(a)*sin(a)
=0

 <au>*(;a)の係数
=cos(a)^2*cos(b)^2*(1/r)+cos(a)^2*sin(b)^2*(1/r)+sin(a)^2*(1/r)
=cos(a)^2*(1/r)+sin(a)^2*(1/r)
=1/r

 <au>*(;b)の係数=-cos(a)*cos(b)*sin(b)*{1/[r*sin(a)]}
+cos(a)*cos(b)*sin(b)*{1/[r*sin(a)]}
=0

 ナブラの天頂角a成分=<au>*(1/r)*(;a) D

 <bu>*(;r)の係数=-sin(a)*cos(b)*sin(b)+sin(a)*cos(b)*sin(b)=0

 <bu>*(;a)の係数
=-cos(a)*cos(b)*sin(b)*(1/r)+cos(a)*cos(b)*sin(b)*(1/r)
=0

 <bu>*(;b)の係数=sin(b)^2*{1/[r*sin(a)]}+cos(b)^2*{1/[r*sin(a)]}
={1/[r*sin(a)]}

 ナブラの方位角b成分=<bu>*{1/[r*sin(a)]}*(;b) E

CDEより、

 ∇=<ru>*(;r)+<au>*(1/r)*(;a)+<bu>*{1/[r*sin(a)]}*(;b) _

{素晴らしい、できた!2014/1}

◇grad div curl◇

■ <grad>
=∇
=<ru>*(;r)+<au>*(1/r)*(;a)+<bu>*{1/[r*sin(a)]}*(;b) 
_

■ div<A>
=∇*<A>
=[<ru>*(;r)+<au>*(1/r)*(;a)+<bu>*{1/[r*sin(a)]}*(;b)]
*(<ru>*Ar+<au>*Aa+<bu>*Ab)

ここで注意しなくてはいけないことは、

@ 演算子の偏微分を先に作用させる。ベクトルの内積は、その後{!}
A 座標単位ベクトルは、a や b で偏微分すると、大きさや向きが変わる{!}

微分の項ごとに計算すると、

 <ru>*(;r)*(<ru>*Ar+<au>*Aa+<bu>*Ab)=Ar;r

 <au>*(1/r)*(;a)*(<ru>*Ar+<au>*Aa+<bu>*Ab)
=(1/r)*Aa;a+(1/r)*Ar
=(1/r)*(Aa;a+Ar)

 <bu>*{1/[r*sin(a)]}*(;b)]*(<ru>*Ar+<au>*Aa+<bu>*Ab)
={1/[r*sin(a)]}*Ab;b+{1/[r*sin(a)]}*(sin(a)*Ar+cos(a)*Aa)
={1/[r*sin(a)]}*Ab;b+{1/[r*sin(a)]}*(sin(a)*Ar+cos(a)*Aa)
={1/[r*sin(a)]}*(Ab;b+sin(a)*Ar+cos(a)*Aa)

 div<A>
=∇*<A>
=Ar;r+(1/r)*(Aa;a+Ar)+{1/[r*sin(a)]}*(Ab;b+sin(a)*Ar+cos(a)*Aa)
=[2*Ar/r+Ar;r]+[Aa/(r*tan(a))+(Aa;a)/r]+(Ab;b)/[r*sin(a)]
={(r^2*Ar);r}/r^2+{[sin(a)*Aa];a}/[r*sin(a)]+(Ab;b)/[r*sin(a)]

≫ div<A>
={(r^2*Ar);r}/r^2+{[sin(a)*Aa];a}/[r*sin(a)]+(Ab;b)/[r*sin(a)] 
_

■ <curl<A>>
=∇#<A>
=[<ru>*(;r)+<au>*(1/r)*(;a)+<bu>*{1/[r*sin(a)]}*(;b)]
#(<ru>*Ar+<au>*Aa+<bu>*Ab)

展開して、9つの項を別々に書くと、

 [<ru>*(;r)]#(<ru>*Ar)=0
 [<ru>*(;r)]#(<au>*Aa)=<bu>*Aa;r
 [<ru>*(;r)]#(<bu>*Ab)=-<au>*Ab;r

 [<au>*(1/r)*(;a)]#(<ru>*Ar)=-<bu>*Ar;a/r
 [<au>*(1/r)*(;a)]#(<au>*Aa)=<bu>*Aa/r
 [<au>*(1/r)*(;a)]#(<bu>*Ab)=<ru>*Ab;a/r

 [<bu>*{1/[r*sin(a)]]*(;b)]}#(<ru>*Ar)=<au>*Ar;b/[r*sin(a)]
 [<bu>*{1/[r*sin(a)]]*(;b)]}#(<au>*Aa)=-<ru>*Aa;b/[r*sin(a)]
 [<bu>*{1/[r*sin(a)]]*(;b)]}#(<bu>*Ab)
=-<bu>#(<ru>*sin(a)+<au>*cos(a))*Ab/[r*sin(a)]
=-<au>*sin(a)*Ab/[r*sin(a)]+<ru>*cos(a)*Ab/[r*sin(a)]
=-<au>*Ab/r+<ru>*Ab/(r*tan(a)) {核心!}

 <curl<A>>
=<ru>*{[sin(a)*Ab];a/[r*sin(a)]-(Aa;b)/[r*sin(a)]}
+<au>*{(Ar;b)/[r*sin(a)]-[(r*Ab);r]/r}
+<bu>*{[(r*Aa);r]/r-(Ar;a)/r]} 
_

◇△◇

◎ 球座標(r,a,b)のラプラシアン

◆ ∇=<ru>*(;r)+<au>*(1/r)*(;a)+<bu>*{1/[r*sin(a)]}*(;b)

任意のベクトル <A>=<ru>*Ar+<au>*Aa+<bu>*Ab

■ △=div<grad>

 <grad>=<ru>*(;r)+<au>*(1/r)*(;a)+<bu>*{1/[r*sin(a)]}*(;b)

 div<A>
={(r^2*Ar);r}/r^2+{[sin(a)*Aa];a}/[r*sin(a)]+(Ab;b)/[r*sin(a)]

△の部分を求めると、

 (r^2*Ar);r=(;r)*r^2*(;r)
 [sin(a)*Aa];a=(1/r)*(;a)*sin(a)*(;a)
 Ab;b={1/[r*sin(a)]}*(;;b) だから、

 △
=(1/r^2)*(;r)*r^2*(;r)
+{1/[r^2*sin(a)]}*(;a)*sin(a)*(;a)
+{1/[r^2*sin(a)^2]}*(;;b)

任意の関数 f(r,a,b) に対して、

 △f
={[r^2*(f;r)];r}/r^2
+{[sin(a)*(f;a)];a}/[r^2*sin(a)]+(f;;b)/[r^2*sin(a)^2] 
.

{この方法が最も簡単みたい!2016/2}

◇球対称◇

◆ 球座標 (r,a,b) 球対称スカラー関数 f(r)

球対称ベクトル関数 <A>=<ru>*Ar(r)

■ <grad[f(r)]>=<ru>*(f;r) div<A>={(r^2*Ar);r}/r^2

 <curl<A>>=0 △f={[r^2*(f;r)];r}/r^2

☆速度,加速度☆

● <ru>'=<au>*a'+<bu>*sin(a)*b' <au>'=-<ru>*a'+<bu>*cos(a)*b'
 <bu>'=-<r.u>*b'=-<ru>*sin(a)*b'-<au>*cos(a)*b'

■ <r>=<ru>*r {核心!}

 <r>'
=<ru>'*r+<ru>*r'
=(<au>*a'+<bu>*sin(a)*b')*r+<ru>*r'
=<ru>*r'+<au>*r*a'+<bu>*r*sin(a)*b'

■ さらに、

 (<ru>*r')'
=<ru>'*r'+<ru>*r''
=(<au>*a'+<bu>*sin(a)*b')*r'+<ru>*r''
=<ru>*r''+<au>*r'*a'+<bu>*r'*sin(a)*b' @

 (<au>*r*a')'
=<au>'*r*a'+<au>*(r*a')'
=[-<ru>*a'+<bu>*cos(a)*b']*r*a'+<au>*(r'*a'+r*a'')
=-<ru>*r*a'^2+<bu>*cos(a)*r*a'*b'+<au>*(r'*a'+r*a'') A

 <bu>*r*sin(a)*b'
=<bu>'*r*sin(a)*b'+<bu>*(r*sin(a)*b')'
=[-<ru>*sin(a)*b'-<au>*cos(a)*b']*r*sin(a)*b'
+<bu>*[r'*sin(a)*b'+r*cos(a)*a'*b'+r*sin(a)*b'']
=-<ru>r*sin(a)^2*b'^2-<au>*r*cos(a)*sin(a)*b'^2
+<bu>*[r'*sin(a)*b'+r*cos(a)*a'*b'+r*sin(a)*b''] B

@+A+B <r>''
=<ru>*[r''-r*a'^2-r*sin(a)^2*b'^2]

+<au>*[r*a''+2*r'*a'-r*cos(a)*sin(a)*b'^2]

+<bu>*[r*sin(a)*b''+2*r'*sin(a)*b'+2*r*cos(a)*a'*b'] _

■ <r>'^2=r'^2+(r*a')^2+[r*sin(a)*b']^2 _

{ひとつひとつていねいに計算すれば、できる!2016/1}

{まとめ}球座標

『球座標』 2016/2

■ 球座標(r,a,b) 半径方向、天頂角方向、接線方向(方位角方向)

原点からの距離(動径) r z軸と成す角(天頂角) a

z軸の周りの回転角 xy平面上でx軸と成す角(方位角) b

 0≦a<Pi 0≦b<2Pi r=root(x^2+y^2+z^2)

■ x=r*sin(a)*cos(b) y=r*sin(a)*sin(b) z=r*cos(a)

 r=root(x^2+y^2+z^2) r.=root(x^2+y^2) tan(a)=z/r. tan(b)=y/x

■ [SX]
=[sin(a)*cos(b) sin(a)*sin(b) cos(a)|
cos(a)*cos(b) cos(a)*sin(b) -sin(a)|
-sin(b) cos(b) 0]

 [XS]
=[sin(a)*cos(b) cos(a)*cos(b) -sin(b)|
sin(a)*sin(b) cos(a)*sin(b) cos(b)|
cos(a) -sin(a) 0]

■ <<ru> <au> <bu>)=[SX]*<<xu> <yu> <zu>)

 <Ax Ay Az)=[XS]*<Ar Aa Ab)

 <;x ;y ;z)=[XS]*<;r (1/r)*(;a) {1/[r*sin(a)]}*(;b))

■ <ru>'=<au>*a'+<bu>*sin(a)*b' <au>'=-<ru>*a'+<bu>*cos(a)*b'
 <bu>'=-<r.u>*b'=-<ru>*sin(a)*b'-<au>*cos(a)*b

■ <grad>=∇=<ru>*(;r)+<au>*(1/r)*(;a)+<bu>*{1/[r*sin(a)]}*(;b)

div<A>={(r^2*Ar);r}/r^2+{[sin(a)*Aa];a}/[r*sin(a)]+(Ab;b)/[r*sin(a)]

 <curl<A>>
=<ru>*{[sin(a)*Ab];a/[r*sin(a)]-(Aa;b)/[r*sin(a)]}
+<au>*{(Ar;b)/[r*sin(a)]-[(r*Ab);r]/r}
+<bu>*{[(r*Aa);r]/r-(Ar;a)/r]} 

 △
=(1/r^2)*(;r)*r^2*(;r)
+{1/[r^2*sin(a)]}*(;a)*sin(a)*(;a)
+{1/[r^2*sin(a)^2]}*(;;b)

 △f
={[r^2*(f;r)];r}/r^2
+{[sin(a)*(f;a)];a}/[r^2*sin(a)]+(f;;b)/[r^2*sin(a)^2]

■ <r>'=<ru>*r'+<au>*r*a'+<bu>*r*sin(a)*b'

 <r>'^2=r'^2+(r*a')^2+[r*sin(a)*b']^2

 <r>''
=<ru>*[r''-r*a'^2-r*sin(a)^2*b'^2]
+<au>*[r*a''+2*r'*a'-r*cos(a)*sin(a)*b'^2]

+<bu>*[r*sin(a)*b''+2*r'*sin(a)*b'+2*r*cos(a)*a'*b']

  球座標  

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