数学 ベクトル

2017/6-2011 Yuji.W

3重積,4重積

_ ベクトル 内積 外積 スカラー3重積 ベクトル3重積 4重積 _

★ ベクトル <A> 単位ベクトル <-u> x軸方向単位ベクトル <x> 内積 * 外積 # ★ 積 * 商 / 微分 ; 時間微分 ' 積分 $ 10^x=Ten(x) exp(i*x)=expi(x)

スカラー3重積

スカラー3重積 <A>*(<B>#<C>)
=Ax*(By*Cz-Bz*Cy)+Ay*(Bz*Cx-Bx*Cz)+Az*(Bx*Cy-By*Cx)

■ <A>*(<B>#<C>)=<B>*(<C>#<A>)=<C>*(<A>#<B>) 

{証明} 成分をよーく見れば明らか

{別解} 座標を適当に回転し、大きさも調整すれば、<A>=<0,0,1>とすることができる。

 <A>*(<B>#<C>)=Bx*Cy-By*Cx

 <B>*(<C>#<A>)=<B>*<Cy,-Cx,0>=Bx*Cy-By*Cx

 <C>*(<A>#<B>)=<C>*<-By,Bx,0>=-By*Cx+Bx*Cy 』{2014/6}

単位ベクトルのスカラー3重積 <Au>*(<Bu>#<Cu>)
=Aux*(Buy*Cuz-Buz*Cuy)
+Auy*(Buz*Cux-Bux*Cuz)
+Auz*(Bux*Cuy-Buy*Cux)

 <Au>*(<Bu>#<Cu>)=<Bu>*(<Cu>#<Au>)=<Cu>*(<Au>#<Bu>)

★ <xu>*(<yu>#<zu>)=<xu>*<xu>=1

 <xu>*(<xu>#<yu>)=<xu>*<zu>=0

◇ 任意の3つのベクトル <A>,<B>,<C>

次の4点を結ぶ平行四辺形[原点,<B>,<B>+<C>,<C>]を
<B>,<C>が作る平行四辺形」と言うことにする。

次の8点を結ぶ平行六面体
[原点,<A>,<B>,<C>,<A>+<B>,<B>+<C>,<C>+<A>,<A>+<B>+<C>]
を「
<A>,<B>,<C>が作る平行六面体」と言うことにする。

■ <B>#<C>
=B*C*sin(∠BOC)*<BC⊥u>
=(<B>,<C>が作る平行四辺形の面積)*<BC⊥u>

 <A>*(<B>#<C>)
=(<B>と<C>が作る平行四辺形の面積)*<A>*<BC⊥u>

<A>*<BC⊥u> は、平行四辺形の垂線に対する<A> の成分を表すから、平行四辺形を底面と見なしたときの高さを表す。

 <A>*(<B>#<C>)
=(<B>と<C>が作る平行四辺形の面積)*(高さ)
=(<A>,<B>,<C>が作る平行六面体の体積) 

※ ベクトルの向きによって、マイナス値をとることがある。

■ 3つのベクトル <A>,<B>,<C> のうち、どれか2つが同じか平行であれば、

 <A>*(<B>#<C>)=0

■ スカラー3重積は、各成分の値の行列式を使って表すことができる。

 <A>*(<B>#<C>)=det[Ax Ay Az|Bx By Bz|Cx Cy Cz]

右辺を、第1行で展開すれば、

 右辺
=Ax*det[By Bz|Cy Cz]-Ay*det[Bx Bz|Cx Cz]+Az*det[Bx By|Cx Cy]
=Ax*(By*Cz-Bz*Cy)+Ay*(Cz*Bx-Bz*Cx)+Az*(Bx*Cy-By*Cx)
=<A>*(<B>#<C>)

ベクトル3重積

ベクトル3重積 <A>#(<B>#<C>)=<B>*(<A>*<C>)-<C>*(<A>*<B>)

■ ベクトルの外積はベクトル <B>#<C>,<A>#(<B>#<C>) はベクトル
ベクトルの内積はスカラー <A>*<B>,<A>*<C> はスカラー
ベクトルとスカラーの積はベクトル <C>*(<A>*<B>),<B>*(<A>*<C>) はベクトル

■ <B>#<C> は1つのベクトルだから、スカラー3重積の公式より、

 <A>*[<A>#(<B>#<C>)]=(<B>#<C>)*(<A>#<A>)

ここで <A>#<A>=0 だから、

 <A>*[<A>#(<B>#<C>)]=0

 <A>⊥[<A>#(<B>#<C>)]

<A>#(<B>#<C>) は、<B>と<C>とが作る平面上にあり、<B>と<C>の1次結合で表す事ができる。 _

 <A>#(<B>#<C>)=<B>*(スカラー)+<C>*(スカラー)


◎ ベクトル3重積の公式を証明しよう。

■ <A>の方向と大きさを調整し、<z> となるようにする。 |<z>|=1

ベクトル3重積の公式は、

 <z>#(<B>#<C>)=<B>*(<z>*<C>)-<C>*(<z>*<B>)

上の式が成り立てば、ベクトルの性質により、元のベクトル3重積の公式も成り立つと言える。

◆ <B>=<Bx By Bz> <C>=<Cx Cy Cz>

■ <z>#(<B>#<C>)
=<z>#<By*Cz-Bz*Cy Bz*Cx-Bx*Cz …>
=<Bx*Cz-Bz*Cx By*Cz-Bz*Cy 0> xy平面上にある @

 <B>*(<z>*<C>)=<Bx By Bz>*Cz <C>*(<z>*<B>)=Bz*<Cx Cy Cz>

 <B>*(<z>*<C>)-<C>*(<z>*<B>)
=<Bx*Cz-Bz*Cx By*Cz-Bz*Cy 0> A

@Aより <z>#(<B>#<C>)=<B>*(<z>*<C>)-<C>*(<z>*<B>) ‖

☆4重積☆

■ (<A>#<B>)^2
=(<A>#<B>)*(<A>#<B>)
=<B>*[(<A>#<B>)#<A>]

ここで (<A>#<B>)#<A>
=-<A>#(<A>#<B>)
=-<A>*(<A>*<B>)+<B>*(<A>*<A>)
=-<A>*(<A>*<B>)+<B>*A^2

 (<A>#<B>)^2
=<B>*(-<A>*(<A>*<B>)+<B>*A^2)
=-(<A>*<B>)^2+A^2*B^2

≫ (<A>#<B>)^2=A^2*B^2-(<A>*<B>)^2 

■ (<A>#<B>)*(<C>#<D>)
=(<A>*<C>)*(<B>*<D>)-(<A>*<D>)*(<B>*<C>) 

{証明} 左辺
=<D>*<(<A>#<B>)#C>
=(<A>*<C>)*(<B>*<D>)-(<A>*<D>)*(<B>*<C>)
=右辺 』 {3重積の公式を使ったら、簡単だった!2013/4}

★ (<A>#<B>)*(<A>#<C>)
=(<A>*<A>)*(<B>*<C>)-(<A>*<C>)*(<B>*<A>)
=A^2*B*C*cos(∠BOC)-A^2*B*C*cos(∠AOC)*cos(∠AOB)
=A^2*B*C*[cos(∠BOC)-cos(∠AOC)*cos(∠AOB)] 

■ (<A>#<B>)#(<C>#<D>)
=(<A>*(<B>#<D>))*<C>-(<A>*(<B>#<C>))*<D> 

{証明} 左辺
=((<A>#<B>)*<D>)*<C>-((<A>#<B>)*<C>)*<D>
=(<A>*(<B>#<D>))*<C>-(<A>*(<B>#<C>))*<D>
=右辺 』 {これも、3重積の公式を使ったら、簡単だった!2013/4}

「ベクトル3重積、4重積」

■ <A>*(<B>#<C>)=<B>*(<C>#<A>)=<C>*(<A>#<B>)

■ <A>#(<B>#<C>)=<B>*(<A>*<C>)-<C>*(<A>*<B>)

■ (<A>#<B>)*(<C>#<D>)
=(<A>*<C>)*(<B>*<D>)-(<A>*<D>)*(<B>*<C>)

★ (<A>#<B>)*(<A>#<C>)
=A^2*B*C*[cos(∠BOC)-cos(∠AOC)*cos(∠AOB)]

■ (<A>#<B>)#(<C>#<D>)
=(<A>*(<B>#<D>))*<C>-(<A>*(<B>#<C>))*<D>

☆お勉強しよう 2017-2011 Yuji.W☆

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