お勉強しようUz〕 数学 ベクトル

2017/5-2011 Yuji.W

3重積,4重積

_ ベクトル 内積 外積 スカラー3重積 ベクトル3重積 4重積 _

★ ベクトル <A> 単位ベクトル <-u> 内積 * 外積 # ★ 10^x=Ten(x) exp(i*x)=expi(x) ★ 微分 y;x 時間微分 ' 定積分 ${f(x)*dx}[x:a~b]

スカラー3重積

スカラー3重積 <A>*(<B>#<C>)
=Ax*(By*Cz-Bz*Cy)+Ay*(Bz*Cx-Bx*Cz)+Az*(Bx*Cy-By*Cx)

■ <A>*(<B>#<C>)=<B>*(<C>#<A>)=<C>*(<A>#<B>) 

{証明} 成分をよーく見れば明らか

{別解} 座標を適当に回転し、大きさも調整すれば、<A>=<0,0,1>とすることができる。

 <A>*(<B>#<C>)=Bx*Cy-By*Cx

 <B>*(<C>#<A>)=<B>*<Cy,-Cx,0>=Bx*Cy-By*Cx

 <C>*(<A>#<B>)=<C>*<-By,Bx,0>=-By*Cx+Bx*Cy 』{2014/6}

単位ベクトルのスカラー3重積 <Au>*(<Bu>#<Cu>)
=Aux*(Buy*Cuz-Buz*Cuy)
+Auy*(Buz*Cux-Bux*Cuz)
+Auz*(Bux*Cuy-Buy*Cux)

 <Au>*(<Bu>#<Cu>)=<Bu>*(<Cu>#<Au>)=<Cu>*(<Au>#<Bu>)

★ <xu>*(<yu>#<zu>)=<xu>*<xu>=1

 <xu>*(<xu>#<yu>)=<xu>*<zu>=0

◇ 任意の3つのベクトル <A>,<B>,<C>

次の4点を結ぶ平行四辺形[原点,<B>,<B>+<C>,<C>]を
<B>,<C>が作る平行四辺形」と言うことにする。

次の8点を結ぶ平行六面体
[原点,<A>,<B>,<C>,<A>+<B>,<B>+<C>,<C>+<A>,<A>+<B>+<C>]
を「
<A>,<B>,<C>が作る平行六面体」と言うことにする。

■ <B>#<C>
=B*C*sin(∠BOC)*<BC⊥u>
=(<B>,<C>が作る平行四辺形の面積)*<BC⊥u>

 <A>*(<B>#<C>)
=(<B>と<C>が作る平行四辺形の面積)*<A>*<BC⊥u>

<A>*<BC⊥u> は、平行四辺形の垂線に対する<A> の成分を表すから、平行四辺形を底面と見なしたときの高さを表す。

 <A>*(<B>#<C>)
=(<B>と<C>が作る平行四辺形の面積)*(高さ)
=(<A>,<B>,<C>が作る平行六面体の体積) 

※ ベクトルの向きによって、マイナス値をとることがある。

■ 3つのベクトル <A>,<B>,<C> のうち、どれか2つが同じか平行であれば、

 <A>*(<B>#<C>)=0

■ スカラー3重積は、各成分の値の行列式を使って表すことができる。

 <A>*(<B>#<C>)=det[Ax Ay Az|Bx By Bz|Cx Cy Cz]

右辺を、第1行で展開すれば、

 右辺
=Ax*det[By Bz|Cy Cz]-Ay*det[Bx Bz|Cx Cz]+Az*det[Bx By|Cx Cy]
=Ax*(By*Cz-Bz*Cy)+Ay*(Cz*Bx-Bz*Cx)+Az*(Bx*Cy-By*Cx)
=<A>*(<B>#<C>)

ベクトル3重積

◇ ベクトルのz成分 <>:z

外積 <Au>#<Bu>=sin(∠AOB)*<AB⊥u>

 <A>#<B>
=A*B*sin(∠AOB)*<AB⊥u>
=<Ay*Bz-Az*By , Az*Bx-Ax*Bz , Ax*By-Ay*Bx>

@<A>,<B>に垂直(<A>に垂直で、<B>にも垂直)
A<A>,<B>が作る平面(2つのベクトルを含む平面)に垂直
B<A>に垂直な平面と,<B>に垂直な平面との交線

ベクトル3重積 <A>#(<B>#<C>)

 そのz成分 [<A>#(<B>#<C>)]:z
=Ax*[(<B>#<C>):y]-Ay*[(<B>#<C>):x]
=Ax*(Bz*Cx-Bx*Cz)-Ay*(By*Cz-Bz*Cy)

■ <A>#(<B>#<C>) は、<B>,<C>が作る平面上にある。

{証明} 空間を回転し、<B>,<C> が、xy平面上にくるようにしよう。

<B>#<C> は、外積の定義Aより、<B>,<C>が作る平面(xy平面)に垂直だから、z軸になる。

 <A>#(<B>#<C>) ∝ <A>#<zu> だから、

<A>#(<B>#<C>) は、外積の定義Bより、<zu>に垂直な平面、すなわちxy平面上にあることになる。

ベクトルの性質は、回転によって変わらないから、

 <A>#(<B>#<C>) は、<B>,<C>が作る平面上にあると言える。 』

■ <A>#(<B>#<C>)=<B>*(<A>*<C>)-<C>*(<A>*<B>) 

{証明} 両辺の成分を比べよう。{面倒に思えるが、そうでもない!2013/12}

 ベクトル3重積のz成分 [<A>#(<B>#<C>)]:z
=Ax*(<B>#<C>):y-Ay*(<B>#<C>):x
=Ax*(Bz*Cx-Bx*Cz)-Ay*(By*Cz-Bz*Cy)
=(Ax*Cx+Ay*Cy)*Bz-(Ax*Bx+Ay*By)*Cz
=[(Ax*Cx+Ay*Cy)*Bz+Az*Bz*Cz]-[(Ax*Bx+Ay*By)*Cz+Az*Bz*Cz]
=(Ax*Cx+Ay*Cy+Az*Cz)*Bz-(Ax*Bx+Ay*By+Az*Bz)*Cz
=(<A>*<C>)*Bz-(<A>*<B>)*Cz

x成分、y成分でも、同様な式が成り立つから、

 <A>#(<B>#<C>)=<B>*(<A>*<C>)-<C>*(<A>*<B>) 』

{別解} 座標を適当に回転し、大きさも調整すれば、<A>=<0,0,1>とすることができる。

 左辺
=<A>#(<B>#<C>)
=-<xu>*(<B>#<C>):y+<yu>*(<B>#<C>):x
=-<xu>*(Bz*Cx-Bx*Cz)+<yu>*(By*Cz-Bz*Cy)
=(<xu>*Bx+<yu>*By)*Cz-(<xu>*Cx+<yu>*Cy)*Bz
=(<xu>*Bx+<yu>*By+<zu>*Bz)*Cz
-(<xu>*Cx+<yu>*Cy+<zu>*Cz)*Bz
=<B>*Cz-<C>*Bz

 右辺=<B>*(<A>*<C>)-<C>*(<A>*<B>)=<B>*Cz-<C>*Bz

 <A>#(<B>#<C>)=<B>*(<A>*<C>)-<C>*(<A>*<B>) 』{2014/6}

■ 空間を適当に回転し、<B>,<C>が、xy平面上にくるようにする。さらに、
<B>がx軸になるようにする。そのときの、成分値、

 <A>=<Ax,Ay,Az> <B>=B*<xu> <C>=<Cx,Cy,0>

ベクトル3重積 <A>#(<B>#<C>)=(<A>*<C>)*<B>-(<A>*<B>)*<C>

 左辺 <A>#(<B>#<C>)
=<Ax,Ay,Az>#(B*Cy*<zu>)
=B*Cy*<Ay,-Ax,0>

 右辺第1項 (<A>*<C>)*<B>=B*<Ax*Cx+Ay*Cy ,0,0>

 右辺第2項 (<A>*<B>)*<C>=B*<Ax*Cx , Ax*Cy ,0>

 右辺=B*Cy*<Ay,-Ax,0> {Cx はいずこへ?}

■ <xu>#(<xu>#<Ax Ay Az>)
=<xu>#<0 -Az Ay>
=<0 -Ay -Az>

≫ <xu>#(<xu>#<Ax Ay Az>)=<0 -Ay -Az> _

※ <xu>#(<xu>#<A>)=0 でない{2017/5!}

☆4重積☆

■ (<A>#<B>)^2
=(<A>#<B>)*(<A>#<B>)
=<B>*[(<A>#<B>)#<A>]

ここで (<A>#<B>)#<A>
=-<A>#(<A>#<B>)
=-<A>*(<A>*<B>)+<B>*(<A>*<A>)
=-<A>*(<A>*<B>)+<B>*A^2

 (<A>#<B>)^2
=<B>*(-<A>*(<A>*<B>)+<B>*A^2)
=-(<A>*<B>)^2+A^2*B^2

≫ (<A>#<B>)^2=A^2*B^2-(<A>*<B>)^2 

■ (<A>#<B>)*(<C>#<D>)
=(<A>*<C>)*(<B>*<D>)-(<A>*<D>)*(<B>*<C>) 

{証明} 左辺
=<D>*<(<A>#<B>)#C>
=(<A>*<C>)*(<B>*<D>)-(<A>*<D>)*(<B>*<C>)
=右辺 』 {3重積の公式を使ったら、簡単だった!2013/4}

★ (<A>#<B>)*(<A>#<C>)
=(<A>*<A>)*(<B>*<C>)-(<A>*<C>)*(<B>*<A>)
=A^2*B*C*cos(∠BOC)-A^2*B*C*cos(∠AOC)*cos(∠AOB)
=A^2*B*C*[cos(∠BOC)-cos(∠AOC)*cos(∠AOB)] 

■ (<A>#<B>)#(<C>#<D>)
=(<A>*(<B>#<D>))*<C>-(<A>*(<B>#<C>))*<D> 

{証明} 左辺
=((<A>#<B>)*<D>)*<C>-((<A>#<B>)*<C>)*<D>
=(<A>*(<B>#<D>))*<C>-(<A>*(<B>#<C>))*<D>
=右辺 』 {これも、3重積の公式を使ったら、簡単だった!2013/4}

「ベクトル3重積、4重積」

■ <A>*(<B>#<C>)=<B>*(<C>#<A>)=<C>*(<A>#<B>)

■ <A>#(<B>#<C>)=<B>*(<A>*<C>)-<C>*(<A>*<B>)

■ (<A>#<B>)*(<C>#<D>)
=(<A>*<C>)*(<B>*<D>)-(<A>*<D>)*(<B>*<C>)

★ (<A>#<B>)*(<A>#<C>)
=A^2*B*C*[cos(∠BOC)-cos(∠AOC)*cos(∠AOB)]

■ (<A>#<B>)#(<C>#<D>)
=(<A>*(<B>#<D>))*<C>-(<A>*(<B>#<C>))*<D>

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