数学 ベクトル  2017/11-2011 Yuji.W

☆ 外積

とっつきにくい量である ベクトル積 _

【ベクトル】<A> 単位ベクトル <-u> 座標単位ベクトル <x> 内積 * 外積 #
【関数】10^x=Ten(x) exp(i*x)=expi(x) 微分 ; 時間微分 ' 積分 $

〓 外積の定義 〓

◎ 外積の定義を次のように考えるとよい。

■【 単位ベクトル同士の外積の定義 】任意の2つの単位ベクトル <Au>,<Bu>

次のようなベクトルを 外積(ベクトル積) <Au>#<Bu> とする

@ <Au>に垂直な平面
A <Bu>の 平面@への射影ベクトル
B ベクトルAを<Au>を軸として右回りに90°回転する

まとめると

<Bu>の[<Au>に垂直な平面]への射影ベクトルを、<Au>を軸として右回りに90°回転したもの _

@ 両方のベクトル <Au>と<Bu> に垂直。<Au>方向成分や<Bu>方向成分はない。

A 両方のベクトル <Au>と<Bu> を含む平面に垂直。両方のベクトルを含む平面成分はない。

■ <Au>と<Bu>とが作る角を o

外積の定義より |<Au>#<Bu>|=cos(Pi/2-o)=sin(o) _

■ 任意の2つの単位ベクトル <Au>,<Bu>  で、

 <Au>#<Bu>=-<Bu>#<Au> <Au>#<Au>=0

■【 デカルト座標単位ベクトル <x>,<y>,<z> 】

外積の定義より、

 <x>#<y>=[<y>を<x>を軸として右回りに90°回転したベクトル]=<z>

 <y>#<z>=<x> <z>#<x>=<y>

 <y>#<x>=-<z> <z>#<y>=-<x> <x>#<z>=-<y>

■【 外積の定義 】任意の2つのベクトル <A>,<B> |<A>|=A , |<B>|=B

 外積(ベクトル積) <A>#<B>=(<Au>#<Bu>)*(A*B)

 |<A>#<B>|=A*B*sin(o)

〓 外積の成分表示 〓

◆ デカルト座標(x,y,z)の座標単位ベクトル <x>,<y>,<z>

任意の2つのベクトル <A>,<B>

 <A>=<Ax Ay Az>=<x>*Ax+<y>*Ay+<z>*Az
 <B>=<Bx By Bz>=<x>*Bx+<y>*By+<z>*Bz

■ <x>#<x>=<y>#<y>=<z>#<z>=0
 <x>#<y>=<z> <y>#<z>=<x> <z>#<x>=<y> であるから、

 <A>#<B>
=(<x>*Ax+<y>*Ay+<z>*Az)#(<x>*Bx+<y>*By+<z>*Bz)
=<x>*(Ay*Bz-Az*By)+<y>*(Az*Bx-Ax*Bz)+<z>*(Ax*By-Ay*Bx)

 <A>#<B>=<Ay*Bz-Az*By Az*Bx-Ax*Bz Ax*By-Ay*Bx> _

{この成分表示を外積の定義と言われても、全然わからない!}

〓 位置ベクトルとの外積 〓

■ <r>と<A>の間の角を o とすれば、

 |<r>#<A>|=r*A*sin(o)

A*sin(o) は、<A>の方位角成分であるから、

 |<r>#<A>|=(<A>の始点の原点からの距離)*(<A>の方位角成分) _

また r*sin(o) は 原点から<A>への垂線の長さを表すから、

 |<r>#<A>|=(原点から<A>への垂線の長さ)*(<A>の大きさ) _

■ 任意の位置ベクトル <r>

その位置ベクトルの終点が始点になる任意のベクトル <A>

両方のベクトルを含む平面は必ず存在する。その平面をxy平面とすれば、

 <r>=<x y 0> <A>=<Ax Ay 0> と表す事ができる。外積を求めると、

 <r>#<A>=<z>*(x*Ay-y*Ax) _z成分のみになる

〓 円柱座標(r.,a,z)での外積 〓

◆ 円柱座標(r.,a,z)の座標単位ベクトル 動径方向<r.u> 接線方向<au> z軸方向<z>

 <r.u>#<au>=<z> <au>#<z>=<r.u> <z>#<r.u>=<au>

任意の2つのベクトル <A>,<B>

<A>=<r.u>*Ar.+<au>*Aa+<z>*Az <B>=<r.u>*Br.+<au>*Ba+<z>*Bz

■ <A>#<B>
=<r.u>*(Aa*Bz-Az*Ba)+<au>*(Az*Br.-Ar.*Bz)+<z>*(Ar.*Ba-Aa*Br.) _


◆ 位置ベクトル <r>=<r.u>*r.+<z>*z {方位角成分はない!}

 その位置ベクトルの終点が始点になるベクトル <A>
=<r.u>*Ar.+<au>*Aa+<z>*Az

■ <r>#<A>=-<r.u>*z*Aa+<au>*(z*Ar.-r.*Az)+<z>*r.*Aa _

■ 両方のベクトル <r>と<A>を含む平面は必ず存在するから、その平面をxy平面をすると、

 <r>=<r.u>*r. <A>=<r.u>*Ar.+<au>*Aa

 <r>#<A>=<z>*r.*Aa=<z>*(z軸からの距離)*(方位角成分) _

<r>=<r.u>*r.+<z>*z <A>=<au>*Aa のとき、

 <r>#<A>=<z>*r.*Aa-<r.u>*z*Aa _

動径成分が残る。あくまで、外積は点に対する量であって、軸に対する量ではない。

〓 直線までの距離 〓

◎ 外積を利用し、原点から直線までの距離を求める事ができる。

■ 位置ベクトル <r> その位置ベクトルの終点が始点になるベクトル <A>

 |<r>#<A>|=(原点から<A>への垂線の長さ)*(<A>の大きさ)

 (原点から<A>への垂線の長さ)=|<r>#<A>|/A _

★ 直線 y=2*x+5 直線上の点の例 <0 5 0>

直線ベクトルの例 <1 2 0> |<1 2 0>|=root5

 <0 5 0>#<1 2 0>=<z>*(-5) |<0 5 0>#<1 2 0>|=5

 原点から直線までの距離=|<0 5 0>#<1 2 0>|/root5=5/root5=root5

{便利!2017/11}

〓 内積,外積の公式 〓

■ (<A>#<B>)^2+(<A>*<B>)^2
=A^2*B^2*sin(∠o)^2+A^2*B^2*cos(∠o)^2=A^2*B^2 
.

{この公式、初めて見た!あたりまえ過ぎるのかなあ?2013/1}

〓 外積 〓

■ 任意の2つの単位ベクトル <Au>,<Bu>

 外積(ベクトル積) <Au>#<Bu>
= {<Bu>の[<Au>に垂直な平面]への射影ベクトルを、<Au>を軸として右回りに90°回転したもの}

@ 両方のベクトル <Au>と<Bu> に垂直 A 両方のベクトル <Au>と<Bu> を含む平面に垂直

■ <Au>と<Bu>とが作る角 o |<Au>#<Bu>|=sin(o)

外積(ベクトル積) <A>#<B>
=(<Au>#<Bu>)*(A*B)
=<Ay*Bz-Az*By Az*Bx-Ax*Bz Ax*By-Ay*Bx>

■ 位置ベクトル <r> その位置ベクトルの終点が始点になるベクトル <A>

 |<r>#<A>|
=(<A>の始点の原点からの距離)*(<A>の方位角成分)
=(原点から<A>への垂線の長さ)*(<A>の大きさ)

 (原点から<A>への垂線の長さ)=|<r>#(<A>)|/A

■ <x y 0>#<Ax Ay 0>=<z>*(x*Ay-y*Ax)

■ (<A>#<B>)^2+(<A>*<B>)^2=A^2*B^2

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