☆ 外積 ☆

☆お勉強しよう　数学

〇 　2022.12-2011　Yuji.W　★　

◇ 2*3=6　Ten(3)=10^3=1000　微分 ;　偏微分 :　積分 $　e^(i*x)=expi(x)
ベクトル <A>　縦ベクトル <A)　単位ベクトル <xu>　内積 *　外積 #　

〓　外積の定義　〓　

〇 ベクトルの外積 # を、デカルト座標単位ベクトル <xu>,<yu>,<zu> に対して、次のようになると定義する。
　<xu>#<xu>=<yu>#<yu>=<zu>#<zu>=<0>
　<xu>#<yu>=<zu>　<yu>#<zu>=<xu>　<zu>#<xu>=<yu>
　<yu>#<xu>=-<zu>　<zu>#<yu>=-<xu>　<xu>#<zu>=-<yu>　

　分配法則は成り立つとする

〇 <A>#<B> の方向は、

① <A>に垂直、かつ、<B>にも垂直　

② <A> と <B> が作る平面に垂直

③ <A> に垂直な平面上にあって、<B> に垂直

④ <B> に垂直な平面上にあって、<A> に垂直

⑤ <A> に垂直な平面と、<B> に垂直な平面との交線

〇 2つの任意のベクトル <A>=<Ax Ay Az> , <B>=<Bx By Bz> に対して、

　(<xu>*Ax)#<Bx By Bz>=Ax*<0 -Bz By>=<0  -Ax*Bz  Ax*By>

同様に　(<yu>*Ay)#<Bx By Bz>=<Ay*Bz  0  -Ay*Bx>

　(<zu>*Az)#<Bx By Bz>=<-Az*By  Az*Bx  0>

⇒　<Ax Ay Az>#<Bx By Bz>=<Ay*Bz-Az*By  Az*Bx-Ax*Bz  Ax*By-Ay*Bx>　★　

〓　外積の間の角　〓　

▢ 2つの任意のベクトル <A>=<Ax Ay Az> , <B>=<Bx By Bz>

<A> と <B> の間の角 o　〔 0≦o<Pi 〕　-1<cos(o)≦1　0≦sin(o)≦1

root(Ax^2+Ay^2+Az^2)=A　root(Bx^2+By^2+Bz^2)=B　

内積 <A>*<B>=Ax*Bx+Ay*By+Az*Bz

▷ |<A>#<B>|^2
=(Ay*Bz-Az*By)^2+(Az*Bx-Ax*Bz)^2+(Ax*By-Ay*Bx)^2
=(Ay^2*Bz^2+Az^2*By^2)
+(Az^2*Bx^2+Ax^2*Bz^2)
+(Ax^2*By^2+Ay^2*Bx^2)
-2*(Ay*Az*By*Bz+Ax*Az*Bx*Bz+Ax*Ay*Bx*By)

　(<A>*<B>)^2
=(Ax*Bx+Ay*By+Az*Bz)^2
=Ax^2*Bx^2+Ay^2*By^2+Az^2*Bz^2
+2*(Ax*Ay*Bx*By+Ay*Az*By*Bz+Ax*Az*Bx*Bz)

　|<A>#<B>|^2+(<A>*<B>)^2
=Ax^2*(Bx^2+By^2+Bz^2)
+Ay^2*(Bx^2+By^2+Bz^2)
+Az^2*(Bx^2+By^2+Bz^2)
=(Ax^2+Ay^2+Az^2)*(Bx^2+By^2+Bz^2)
=(A*B)^2

≫　|<A>#<B>|^2+(<A>*<B>)^2=(A*B)^2　★　

▷ <A> と <B> の間の角 o　とすれば、

　<A>*<B>=A*B*cos(o)　であったから、

　|<A>#<B>|=A*B*sin(o)　★　

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