お勉強しようUz〕 数学 ベクトル

2017/5-2011 Yuji.W

☆外積☆

_ ベクトル積 {物理数学の第1歩!} _

★ 10^x=Ten(x) exp(i*x)=expi(x) 微分 ; 時間微分 ' 積分 $ ベクトル <A> 座標単位ベクトル <xu>,<yu>,<zu> 内積 * 外積 #

☆外積の定義☆

◎ 外積の定義を次のように考えるとよい。

■ デカルト座標単位ベクトル <xu>,<yu>,<zu> 外積 #

 <xu>#<yu>=<zu> <yu>#<zu>=<xu> <zu>#<xu>=<yu>
 <yu>#<xu>=-<zu> <zu>#<yu>=-<xu> <xu>#<zu>=-<yu>
 <xu>#<xu>=<yu>#<yu>=<zu>#<zu>=0

以上、これだけで「外積」を定義できる。※ 当然、分配法則などは成り立つとして。

■ 任意のベクトル <A>=<Ax Ay Az> に対して、

 <xu>#<A>=<xu>#(<xu>*Ax+<yu>*Ay+<zu>*Az)=<zu>*Ay-<yu>*Az

≫ <xu>#<Ax Ay Az>=<0 -Az Ay> _ベクトル<A>のyz平面成分<0 Ay Az>を、x軸を軸として90°右回りに回転したベクトル

■ 円柱座標(x,r,a)で 任意のベクトル <A>=<xu>*Ax+<ru>*Ar+<au>*Aa に対して、

 <xu>#(<xu>*Ax+<ru>*Ar+<au>*Aa)=<au>*Ar-<ru>*Aa _

特に Aa=0 のとき <xu>#(<xu>*Ax+<ru>*Ar)=<au>*Ar _

■ 任意の単位ベクトル <u>=<ux uy uz>〔 ux^2+uy^2+uz^2=1 〕

<u>と<xu>が作る角を o とすると、

 cos(o)=<xu>*<u>=ux^2

 sin(o)^2=1-cos(o)^2=1-ux^2=uy^2+uz^2

一方 <xu>#<u>=<0 -uz uy>

 |<xu>#<u>|^2=uz^2+uy^2

⇒ |<xu>#<u>|=sin(o) _

※ <xu>*<u>=cos(o) であった

ベクトルの性質により、次の事が言える。

任意の単位ベクトル <Au> , <Bu> に対して、その2つのベクトルが作る角を o とすると、

 |<Au>#<Bu>|=sin(o) _

■ 任意のベクトル <A> , <B> に対して、その単位ベクトルを <Au> , <Bu> 、<A>と<B>が作る角を o とすると、

 |<A>#<B>|=A*B*|<Au>#<Bu>|=A*B*sin(o) _

■ 外積の方向は、正負を考えないと、次のような言い方ができる。どれも同じ。

@ 2つのベクトルに垂直
A 2つのベクトルが作る平面に垂直
B <A>に垂直な平面と <B>に垂直な平面との交線
C <B>に垂直な面上にあって、<A>のその面への射影ベクトルに垂直

<B>が固定されている場合には、Cが役に立つ。

{以上、4種類が書いてある資料は見つからない!2014/6}

<A>#<B>の成分を考えると、

@より <A>方向成分や<B>方向成分はない
Aより 2つのベクトルが作る平面成分はない
{わかってなかった!2014/2}{数学が得意でない人には、こういう事がすぐわからないんですよ!2014/6}

<A>#<B>の正の方向 次のような言い方ができる。どれも同じ。

@ <A> <B>の順に右ねじの方向
A <B>に垂直な面上を、<B>が向かう方向から見る。<A>のその面への射影ベクトルに対し右{!}
B 左手中指<A>、人差し指<B>として、親指の方向 {左手で考えるのがミソ!鉛筆を置く必要がないから!2014/6}

■ <A> <B>が作る平面に垂直な単位ベクトル
=<A>#<B>/|<A>#<B>|
=<A>#<B>/[A*B*sin(∠o)|

☆外積の成分表示☆

■ 外積の定義より、

 <xu>#<xu>=<yu>#<yu>=<zu>#<zu>=0
 <xu>#<yu>=<zu> <yu>#<zu>=<xu> <zu>#<xu>=<yu>

■ <xu>#<Ax Ay Az>=0+<zu>*Ay-<yu>*Az=<0 -Az Ay>
 <yu>#<Ax Ay Az>=<Az 0 -Ax>
 <zu>#<Ax Ay Az>=<-Ay Ax 0> 

■ 任意の2つのベクトル <A>=<Ax Ay Az>=<xu>*Ax+<yu>*Ay+<zu>*Az

 <B>=<Bx By Bz>=<xu>*Bx+<yu>*By+<zu>*Bz

 <A>#<B>
=(<xu>*Ax+<yu>*Ay+<zu>*Az)#(<xu>*Bx+<yu>*By+<zu>*Bz)
=<xu>*(Ay*Bz-Az*By)+<yu>*(Az*Bx-Ax*Bz)+<zu>*(Ax*By-Ay*Bx)

 <A>#<B>=<Ay*Bz-Az*By Az*Bx-Ax*Bz Ax*By-Ay*Bx> 

{この成分表示を定義とされても、イメージがわかないので困る!2015/1}

■ 2つのベクトルの間の角 ∠o

 cos(∠o)=<A>*<B>/(A*B)=(Ax*Bx+Ay*By+Az*Bz)/(A*B)

 sin(∠o)
=|<A>#<B>|/(A*B)
=root[(Ay*Bz-Az*By)^2+(Az*Bx-Ax*Bz)^2+(Ax*By-Ay*Bx)^2]/(A*B)

{確かめ} A^2*B^2*[cos(∠o)^2+sin(∠o)^2]=A^2*B^2 になることを確かめよう。

 A^2*B^2*cos(∠o)^2
=(Ax*Bx+Ay*By+Az*Bz)^2
=(Ax^2*Bx^2+Ay^2*By^2+Az^2*Bz^2)
+2*(Ax*Bx*Ay*By+Ay*By*Az*Bz+Ax*Bx*Az*Bz) @

一方 A^2*B^2*sin(∠o)^2
=Ay^2*Bz^2+Az^2*By^2+Az^2*Bx^2+Ax^2*Bz^2+Ax^2*By^2+Ay^2*Bx^2
-2*(Ay*Bz*Az*By+Az*Bx*Ax*Bz+Ax*By*Ay*Bx) A

 @+A
=(Ax^2*Bx^2+Ay^2*By^2+Az^2*Bz^2)
+(Ay^2*Bz^2+Az^2*By^2+Az^2*Bx^2+Ax^2*Bz^2+Ax^2*By^2+Ay^2*Bx^2)
=(Ax^2+Ay^2+Az^2)*(Bx^2+By^2+Bz^2)
=A^2*B^2  』{素晴らしい!2014/8}

☆ベクトル.外積☆

◆ yz平面にあるベクトル <Ayz>=<yu>*Ay+<zu>*Az

 <xu>#<Ayz> ?

■ <xu>#<Ayz>
=<xu>#(<yu>*Ay+<zu>*Az)
=<zu>*Ay-<yu>*Az
=-<yu>*Az+<zu>*Ay 
_yz平面上にあり、x軸右回り90°回転

 <xu>#<Ayz>=-<yu>*Az+<zu>*Ay _yz平面上にあり、<Ayz>をx軸右回り90°回転したベクトル

☆位置ベクトルとの外積☆

◎ 位置ベクトルとの外積はどういう量を表すのか

◆ 任意のベクトル <A>=<Ax Ay Az> そのベクトルの位置 <r>=<x y z> z軸からの距離 r.=root(x^2+y^2)

 (外積 <r>#<A> のz軸成分)=x*Ay-y*Ax

■ 位置 <r> での方位角方向(円の接線方向)ベクトル ∝ <-y x 0>

 その単位ベクトル <-y x 0>/r.

 [<A>の方位角方向(円の接線方向)]
=<Ax Ay 0>*<-y x 0>/r.
=(x*Ax-y*Ay)/r.

 x*Ax-y*Ay=r.*[<A>の方位角方向(円の接線方向)] _

☆位置ベクトルとの外積.円柱座標☆

位置ベクトルとの外積.円柱座標(r.,a,z)

◆ 任意のベクトル <A>=<r.u>*Ar.+<au>*Aa+<zu>*Az

<A>の位置 <r>=<r.u>*r.+<zu>*z

■ <r>#<A>
=(<r.u>*r.+<zu>*z)#(<r.u>*Ar.+<au>*Aa+<zu>*Az)
=(<r.u>*r.)#(<au>*Aa)+(<r.u>*r.)#(<zu>*Az)
+(<zu>*z)#(<r.u>*Ar.)+(<zu>*z)#(<au>*Aa)
=<zu>*r.*Aa-<au>*r.*Az+<au>*z*Ar.-<r.u>*z*Aa
=<zu>*r.*Aa+<au>*(z*Ar.-r.*Az)-<r.u>*z*Aa

≫ <r>#<A>=<zu>*r.*Aa+<au>*(z*Ar.-r.*Az)-<r.u>*z*Aa _

▲ <A> と <r> がxy平面上にあるとき <r>#<A>=<zu>*r.*Aa

◎{ここまでのまとめ}外積◎

『外積 #』 2016/1

2つの任意のベクトル <A>,<B> ベクトルの間の角 a

■ |<A>#<B>|=A*B*sin(a)

■ <A>#<B> の方向 ※ 次の4つの言い方はどれも同じ事

@ <A>と<B>が作る平面に垂直 A <A>に垂直、<B>にも垂直
B <A>に垂直な平面と、<B>に垂直な平面との交線
C <B>に垂直な面上にあって、<A>のその面への射影ベクトルに垂直

■ <xu>#<Ax Ay Az>=<0 -Az Ay> <yu>#<Ax Ay Az>=<Az 0 -Ax>
 <zu>#<Ax Ay Az>=<-Ay Ax 0>

■ <A>#<B>=<Ay*Bz-Az*By Az*Bx-Ax*Bz Ax*By-Ay*Bx>

■ (<r>#<A> のz成分)=(z軸からの距離)*(<A>の方位角成分)

■ 円柱座標(r.,a,z)で <r>#<A>=<zu>*r.*Aa+<au>*(z*Ar.-r.*Az)-<r.u>*z*Aa

{復習するたびに、それまでの理解が不足している事に気づく!2016/1}

☆外積の利用-直線までの距離☆

◎ 原点から直線までの距離

◆ 直線の方向を示す単位ベクトル <u> 直線 <u>*t+<r> 原点とその直線との距離 D

■ D=|<u>#(<u>*t+<r>)|=|<u>#<r>| ★.

★ 直線(傾き2 切片5) 直線の方向単位ベクトル <1 2 0>/√5 直線上の点の例 <0 5 0>

 D=|<1 2 0>#<0 5 0>/√5|=|<0 0 5>/√5|=√5

※ 直線上の点は、どこでもよい。例えば、<1 7 0> のとき、

 D=|<1 2 0>#<1 7 0>/√5|=|<0 0 5>/√5|=√5

☆内積,外積の公式☆

■ (<A>#<B>)^2+(<A>*<B>)^2
=A^2*B^2*sin(∠o)^2+A^2*B^2*cos(∠o)^2=A^2*B^2 
.

{この公式、初めて見た!あたりまえ過ぎるのかなあ?2013/1}

{別解}2次元成分表示で、

 (<A>#<B>)^2+(<A>*<B>)^2
=(Ax*By-Ay*Bx)^2+(Ax*Bx+Ay*By)^2
=Ax^2*(Bx^2+By^2)+Ay^2*(Bx^2+By^2)
=(Ax^2+Ay^2)*(Bx^2+By^2)=A^2*B^2 』{へー、おもしろい!2013/1}

■ |<A>+<B>|^2=(<A>+<B>)^2
=<A>*<A>+<B>*<B>+2*<A>*<B>
=A^2+B^2+2*A*B*cos(∠o) 
.

 |<A>-<B>|^2=(<A>-<B>)^2
=<A>*<A>+<B>*<B>-2*<A>*<B>
=A^2+B^2-2*A*B*cos(∠o)【
】三角形の余弦定理

■ <A>*(<B>+<C>)=<A>*<B>+<A>*<C> .内積の分配法則

{証明}左辺=Ax*(Bx+Cx)+Ay*(By+Cy)+…
=(Ax*Bx+Ay*By+…)+(Ax*Cx+Ay*Cy+…)

■ <A>#(<B>+<C>)=<A>#<B>+<A>#<C> .外積の分配法則

{証明}z成分 Ax*(By+Cy)-Ay*(Bx+Cx)
=(Ax*By-Ay*Bx)+(Ax*Cy-Ay*+Cx)

{分配法則、大事だったんだあ!2012/12}

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