数学 ベクトル  2017/10-2011 Yuji.W

☆ 外積

ベクトル積 _物理定数

【ベクトル】<A> 単位ベクトル <-u> 座標単位ベクトル <x> 内積 * 外積 #
【関数】10^x=Ten(x) exp(i*x)=expi(x) 微分 ; 時間微分 ' 積分 $

◇ 外積の定義

◎ 外積の定義を次のように考えるとよい。

■【 単位ベクトル同士の外積の定義 】任意の2つの単位ベクトル <Au>,<Bu>

次のようなベクトルを 外積(ベクトル積) <Au>#<Bu> とする

@ <Au>に垂直な平面
A <Bu>の 平面@への射影ベクトル
B ベクトルAを<Au>を軸として右回りに90°回転する

まとめると

<Bu>の[<Au>に垂直な平面]への射影ベクトルを、<Au>を軸として右回りに90°回転したもの _<Au>にも<Bu>にも垂直

■【 外積の定義 】任意の2つのベクトル <A>,<B> |<A>|=A , |<B>|=B

 外積(ベクトル積) <A>#<B>=(<Au>#<Bu>)*(A*B)

◇ 外積の性質

◎ 前項のように外積を定義すれば、次の事は簡単に導ける。

■【 基本性質 】

<Au>の [<Au>に垂直な平面]への射影ベクトルはないから <Au>#<Au>=0 _

<Au>⊥<Bu> のとき <Bu>の[<Au>に垂直な平面]への射影ベクトルは、<Bu>そのものであるから |<Au>#<Bu>|=1 |<A>#<B>|=A*B _

■【 デカルト座標(x,y,z)の座標単位ベクトルの外積 】

デカルト座標(x,y,z)の座標単位ベクトル <x>,<y>,<z>

 <x>#<x>=<y>#<y>=<z>#<z>=0

 <x>#<y>
=[<y>の yz平面 への射影ベクトルを、<x>を軸として右回りに90°回転したもの]
=[<y>そのものを、<x>を軸として右回りに90°回転したもの]
=<z> _

同様に <y>#<z>=<x> <z>#<x>=<y>

◇ 外積の成分表示

デカルト座標(x,y,z)の座標単位ベクトル <x>,<y>,<z>

任意の2つのベクトル <A>,<B>

 <A>=<Ax Ay Az>=<x>*Ax+<y>*Ay+<z>*Az
 <B>=<Bx By Bz>=<x>*Bx+<y>*By+<z>*Bz

■ <x>#<x>=<y>#<y>=<z>#<z>=0
 <x>#<y>=<z> <y>#<z>=<x> <z>#<x>=<y> であるから、

 <A>#<B>
=(<x>*Ax+<y>*Ay+<z>*Az)#(<x>*Bx+<y>*By+<z>*Bz)
=<x>*(Ay*Bz-Az*By)+<y>*(Az*Bx-Ax*Bz)+<z>*(Ax*By-Ay*Bx)

 <A>#<B>=<Ay*Bz-Az*By Az*Bx-Ax*Bz Ax*By-Ay*Bx> _

◇ <B> ⊥ <A>#<B>

{証明} ◆ <A>=<Ax Ay Az> <B>=<Bx By Bz>

 <A>#<B>=<Ay*Bz-Az*By Az*Bx-Ax*Bz Ax*By-Ay*Bx>

 <B>*(<A>#<B>)
=Bx*(Ay*Bz-Az*By)+By*(Az*Bx-Ax*Bz)+Bz*(Ax*By-Ay*Bx)
=(Ax*By*Bz+Ay*Bx*Bz+Az*Bx*By)-(
Ax*By*Bz+Ay*Bx*Bz+Az*Bx*By)
=0

 <B> ⊥ <A>#<B> ‖

◇ 円柱座標(r.,a,z)での外積 ◇

◆ 円柱座標(r.,a,z)の座標単位ベクトル 動径方向<r.u> 接線方向<au> z軸方向<z>

 <r.u>#<au>=<z> <au>#<z>=<r.u> <z>#<r.u>=<au>

任意の2つのベクトル <A>,<B>

<A>=<r.u>*Ar.+<au>*Aa+<z>*Az <B>=<r.u>*Br.+<au>*Ba+<z>*Bz

■ <A>#<B>
=<r.u>*(Aa*Bz-Az*Ba)+<au>*(Az*Br.-Ar.*Bz)+<z>*(Ar.*Ba-Aa*Br.) _

◆ 位置ベクトル <r>=<r.u>*r.+<z>*z <A>=<r.u>*Ar.+<au>*Aa+<z>*Az

■ <r>#<A>=-<r.u>*z*Aa+<au>*(z*Ar.-r.*Az)+<z>*r.*Aa _

■ z=0 & Az=0 のとき <r>#<A>=<z>*r.*Aa _

 |<r>#<A>|=(z軸からの距離)*(接線成分)

■ <A>=<au>*Aa のとき <r>#<A>=(-<r.u>*z+<z>*r.)*Aa _動径成分が残る{!}

◇ 位置ベクトルとの外積.円柱座標(r.,a,z) ◇

◆ 位置ベクトル <r>=<r.u>*r.+<z>*z <A>=<r.u>*Ar.+<au>*Aa+<z>*Az

■ <r>#<A>=-<r.u>*z*Aa+<au>*(z*Ar.-r.*Az)+<z>*r.*Aa

■ z=0 & Az=0 のとき <r>#<A>=<z>*r.*Aa

■ <A>=<au>*Aa のとき <r>#<A>=(-<r.u>*z+<z>*r.)*Aa

◇ 外積と角

■ 任意の方向単位ベクトル <u>=<ux uy uz>〔 ux^2+uy^2+uz^2=1 〕

<u>と<x>が作る角を o とすると、

 cos(o)=<x>*<u>=ux^2

 sin(o)^2=1-cos(o)^2=1-ux^2=uy^2+uz^2

一方 <x>#<u>=<0 -uz uy>

 |<x>#<u>|^2=uz^2+uy^2

⇒ |<x>#<u>|=sin(o) _

ベクトルの性質により、次の事が言える。

任意の方向単位ベクトル <Au> , <Bu> に対して、その2つのベクトルが作る角を o とすると、

 |<Au>#<Bu>|=sin(o) _

■ 任意のベクトル <A> , <B> に対して、その単位ベクトルを <Au> , <Bu> 、<A>と<B>が作る角を o とすると、

 |<A>#<B>|=A*B*|<Au>#<Bu>|=A*B*sin(o) _

■ 外積の方向は、正負を考えないと、次のような言い方ができる。どれも同じ。

@ 2つのベクトルに垂直
A 2つのベクトルが作る平面に垂直
B <A>に垂直な平面と <B>に垂直な平面との交線
C <B>に垂直な面上にあって、<A>のその面への射影ベクトルに垂直

<B>が固定されている場合には、Cが役に立つ。

{以上、4種類が書いてある資料は見つからない!2014/6}

<A>#<B>の成分を考えると、

@より <A>方向成分や<B>方向成分はない
Aより 2つのベクトルが作る平面成分はない
{わかってなかった!2014/2}{数学が得意でない人には、こういう事がすぐわからないんですよ!2014/6}

<A>#<B>の正の方向 次のような言い方ができる。どれも同じ。

@ <A> <B>の順に右ねじの方向
A <B>に垂直な面上を、<B>が向かう方向から見る。<A>のその面への射影ベクトルに対し右{!}
B 左手中指<A>、人差し指<B>として、親指の方向 {左手で考えるのがミソ!鉛筆を置く必要がないから!2014/6}

■ <A> <B>が作る平面に垂直な単位ベクトル
=<A>#<B>/|<A>#<B>|
=<A>#<B>/[A*B*sin(∠o)|

{結局、どの項目を定義にしてもみな同値にはなるのだが、初学者にとって教わる順番は大事!}

◇ 外積の成分表示

■ 外積の定義より、

 <x>#<x>=<y>#<y>=<z>#<z>=0
 <x>#<y>=<z> <y>#<z>=<x> <z>#<x>=<y>

■ <x>#<Ax Ay Az>=0+<z>*Ay-<y>*Az=<0 -Az Ay>
 <y>#<Ax Ay Az>=<Az 0 -Ax>
 <z>#<Ax Ay Az>=<-Ay Ax 0> 

■ 任意の2つのベクトル <A>=<Ax Ay Az>=<x>*Ax+<y>*Ay+<z>*Az

 <B>=<Bx By Bz>=<x>*Bx+<y>*By+<z>*Bz

 <A>#<B>
=(<x>*Ax+<y>*Ay+<z>*Az)#(<x>*Bx+<y>*By+<z>*Bz)
=<x>*(Ay*Bz-Az*By)+<y>*(Az*Bx-Ax*Bz)+<z>*(Ax*By-Ay*Bx)

 <A>#<B>=<Ay*Bz-Az*By Az*Bx-Ax*Bz Ax*By-Ay*Bx> 

{この成分表示を定義とされても、イメージがわかないので困る!2015/1}

■ 2つのベクトルの間の角 ∠o

 cos(∠o)=<A>*<B>/(A*B)=(Ax*Bx+Ay*By+Az*Bz)/(A*B)

 sin(∠o)
=|<A>#<B>|/(A*B)
=root[(Ay*Bz-Az*By)^2+(Az*Bx-Ax*Bz)^2+(Ax*By-Ay*Bx)^2]/(A*B)

{確かめ} A^2*B^2*[cos(∠o)^2+sin(∠o)^2]=A^2*B^2 になることを確かめよう。

 A^2*B^2*cos(∠o)^2
=(Ax*Bx+Ay*By+Az*Bz)^2
=(Ax^2*Bx^2+Ay^2*By^2+Az^2*Bz^2)
+2*(Ax*Bx*Ay*By+Ay*By*Az*Bz+Ax*Bx*Az*Bz) @

一方 A^2*B^2*sin(∠o)^2
=Ay^2*Bz^2+Az^2*By^2+Az^2*Bx^2
+Ax^2*Bz^2+Ax^2*By^2+Ay^2*Bx^2
-2*(Ay*Bz*Az*By+Az*Bx*Ax*Bz+Ax*By*Ay*Bx) A

 @+A
=(Ax^2*Bx^2+Ay^2*By^2+Az^2*Bz^2)
+(Ay^2*Bz^2+Az^2*By^2+Az^2*Bx^2
+Ax^2*Bz^2+Ax^2*By^2+Ay^2*Bx^2)
=(Ax^2+Ay^2+Az^2)*(Bx^2+By^2+Bz^2)
=A^2*B^2  』{素晴らしい!2014/8}

◇ ベクトル.外積

◆ yz平面にあるベクトル <Ayz>=<y>*Ay+<z>*Az

 <x>#<Ayz> ?

■ <x>#<Ayz>
=<x>#(<y>*Ay+<z>*Az)
=<z>*Ay-<y>*Az
=-<y>*Az+<z>*Ay 
_yz平面上にあり、x軸右回り90°回転

 <x>#<Ayz>=-<y>*Az+<z>*Ay _yz平面上にあり、<Ayz>をx軸右回り90°回転したベクトル

◇ 位置ベクトルとの外積

◎ 位置ベクトルとの外積はどういう量を表すのか

◆ 任意のベクトル <A>=<Ax Ay Az> そのベクトルの位置 <r>=<x y z> z軸からの距離 r.=root(x^2+y^2)

 (外積 <r>#<A> のz軸成分)=x*Ay-y*Ax

■ 位置 <r> での方位角方向(円の接線方向)ベクトル ∝ <-y x 0>

 その単位ベクトル <-y x 0>/r.

 [<A>の方位角方向(円の接線方向)]
=<Ax Ay 0>*<-y x 0>/r.
=(x*Ax-y*Ay)/r.

 x*Ax-y*Ay=r.*[<A>の方位角方向(円の接線方向)] _

◇ 位置ベクトルとの外積.円柱座標

位置ベクトルとの外積.円柱座標(r.,a,z)

◆ 任意のベクトル <A>=<r.u>*Ar.+<au>*Aa+<z>*Az

<A>の位置 <r>=<r.u>*r.+<z>*z

■ <r>#<A>
=(<r.u>*r.+<z>*z)#(<r.u>*Ar.+<au>*Aa+<z>*Az)
=(<r.u>*r.)#(<au>*Aa)+(<r.u>*r.)#(<z>*Az)
+(<z>*z)#(<r.u>*Ar.)+(<z>*z)#(<au>*Aa)
=<z>*r.*Aa-<au>*r.*Az+<au>*z*Ar.-<r.u>*z*Aa
=<z>*r.*Aa+<au>*(z*Ar.-r.*Az)-<r.u>*z*Aa

≫ <r>#<A>=<z>*r.*Aa+<au>*(z*Ar.-r.*Az)-<r.u>*z*Aa _

▲ <A> と <r> がxy平面上にあるとき <r>#<A>=<z>*r.*Aa

◇ 位置ベクトルとの外積.円柱座標

位置ベクトルとの外積.円柱座標(r.,a,z)

◆ 任意のベクトル <A>=<r.u>*Ar.+<au>*Aa+<z>*Az

<A>の位置 <r>=<r.u>*r.+<z>*z

■ <r>#<A>
=(<r.u>*r.+<z>*z)#(<r.u>*Ar.+<au>*Aa+<z>*Az)
=(<r.u>*r.)#(<au>*Aa)+(<r.u>*r.)#(<z>*Az)
+(<z>*z)#(<r.u>*Ar.)+(<z>*z)#(<au>*Aa)
=<z>*r.*Aa-<au>*r.*Az+<au>*z*Ar.-<r.u>*z*Aa
=<z>*r.*Aa+<au>*(z*Ar.-r.*Az)-<r.u>*z*Aa

≫ <r>#<A>=<z>*r.*Aa+<au>*(z*Ar.-r.*Az)-<r.u>*z*Aa _

▲ <A> と <r> がxy平面上にあるとき <r>#<A>=<z>*r.*Aa

『外積 #』 2016/1

2つの任意のベクトル <A>,<B> ベクトルの間の角 a

■ |<A>#<B>|=A*B*sin(a)

■ <A>#<B> の方向 ※ 次の4つの言い方はどれも同じ事

@ <A>と<B>が作る平面に垂直 A <A>に垂直、<B>にも垂直
B <A>に垂直な平面と、<B>に垂直な平面との交線
C <B>に垂直な面上にあって、<A>のその面への射影ベクトルに垂直

■ <x>#<Ax Ay Az>=<0 -Az Ay> <y>#<Ax Ay Az>=<Az 0 -Ax>
 <z>#<Ax Ay Az>=<-Ay Ax 0>

■ <A>#<B>=<Ay*Bz-Az*By Az*Bx-Ax*Bz Ax*By-Ay*Bx>

■ (<r>#<A> のz成分)=(z軸からの距離)*(<A>の方位角成分)

■ 円柱座標(r.,a,z)で

 <r>#<A>=<z>*r.*Aa+<au>*(z*Ar.-r.*Az)-<r.u>*z*Aa

{復習するたびに、それまでの理解が不足している事に気づく!2016/1}

◇ 外積の利用-直線までの距離

◎ 原点から直線までの距離

◆ 直線の方向を示す単位ベクトル <u> 直線 <u>*t+<r> 原点とその直線との距離 D

■ D=|<u>#(<u>*t+<r>)|=|<u>#<r>| ★.

★ 直線(傾き2 切片5) 直線の方向単位ベクトル <1 2 0>/√5 直線上の点の例 <0 5 0>

 D=|<1 2 0>#<0 5 0>/√5|=|<0 0 5>/√5|=√5

※ 直線上の点は、どこでもよい。例えば、<1 7 0> のとき、

 D=|<1 2 0>#<1 7 0>/√5|=|<0 0 5>/√5|=√5

◇ 内積,外積の公式  ◇

■ (<A>#<B>)^2+(<A>*<B>)^2
=A^2*B^2*sin(∠o)^2+A^2*B^2*cos(∠o)^2=A^2*B^2 
.

{この公式、初めて見た!あたりまえ過ぎるのかなあ?2013/1}

{別解}2次元成分表示で、

 (<A>#<B>)^2+(<A>*<B>)^2
=(Ax*By-Ay*Bx)^2+(Ax*Bx+Ay*By)^2
=Ax^2*(Bx^2+By^2)+Ay^2*(Bx^2+By^2)
=(Ax^2+Ay^2)*(Bx^2+By^2)=A^2*B^2 』{へー、おもしろい!2013/1}

■ |<A>+<B>|^2=(<A>+<B>)^2
=<A>*<A>+<B>*<B>+2*<A>*<B>
=A^2+B^2+2*A*B*cos(∠o) 
.

 |<A>-<B>|^2=(<A>-<B>)^2
=<A>*<A>+<B>*<B>-2*<A>*<B>
=A^2+B^2-2*A*B*cos(∠o)【
】三角形の余弦定理

■ <A>*(<B>+<C>)=<A>*<B>+<A>*<C> .内積の分配法則

{証明}左辺=Ax*(Bx+Cx)+Ay*(By+Cy)+…
=(Ax*Bx+Ay*By+…)+(Ax*Cx+Ay*Cy+…)

■ <A>#(<B>+<C>)=<A>#<B>+<A>#<C> .外積の分配法則

{証明}z成分 Ax*(By+Cy)-Ay*(Bx+Cx)
=(Ax*By-Ay*Bx)+(Ax*Cy-Ay*+Cx)

{分配法則、大事だったんだあ!2012/12}

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