数学　微分　2021.1-2013.2　Yuji Watanabe

◎ 2階微分　△<A>　△(f*g)　★　

◇ 積 *　商 /　微分 ;　偏微分 :　積分 $　　　　　　　　　　　　2021.1.15　000
10^x=Ten(x)　ネイピア数 e　虚数単位 i　e^(i*x)=expi(x)
ベクトル <A>　縦ベクトル <A)　単位ベクトル <Au>,<Au)　内積 *　外積 #

〓〓〓　ラプラシアン　〓〓〓　

■ デカルト座標　△f(x,y,z)=f::x+f::y+f::z

■ 円柱座標(h,a,z)　△f(h,a,z)={[h*(f;h)];h}/h+(f::a)/h^2+f::z

■ 球座標(r,a,b)

　△f(r,a,b)
={[r^2*(f;r)];r}/r^2+{[sin(a)*(f;a)];a}/[r^2*sin(a)]
+(f::b)/[r^2*sin(a)^2]

〓〓〓　ラプラシアンの意味　〓〓〓　

▢ ラプラシアン △=(::x)+(f::y)+f(::z)　微少量 h

■ [f(x) の近場の平均]-f(x)=△f(x)*h^2/2　

　[f(x,y) の近場の平均]-f(x,y)=△f(x,y)*h^2/4　

　[f(x,y,z) の近場の平均]-f(x,y,z)=△f(x,y,z)*h^2/6　

〓〓〓　ベクトル関数へのラプラシアン △　〓〓〓　

▢ ベクトル関数 <A(x,y,z)>=<Ax  Ay  Az>

■ △<A>=<△Ax  △Ay  △Az>

〓〓〓　△(f*g)　〓〓〓

▢ 変数 x の関数　f(x) , g(x)　△(f*g) ?

■ (f*g);x=(f;x)*g+f*(g;x)

　(f*g);;x
=[(f;x)*g+f*(g;x)];x
=[(f;;x)*g+(f;x)*(g;x)]+[(f;x)*(g;x)+f*(g;;x)]
=(f;;x)*g+2*(f;x)*(g;x)+f*(g;;x)

≫　△[f(x)*g(x)]=(△f)*g+2*(f;x)*(g;x)+f*(△g)　★　

▢ 3つの変数 x,y,z の関数 f(x,y,z) , g(x,y,z)   △(f*g) ?

■ △(f*g)=(f*g)::x+(f*g)::y+(f*g)::z

　(f*g)::x=(f::x)*g+2*(f:x)*(g:x)+f*(g::x)
　(f*g)::y=(f::y)*g+2*(f:y)*(g:y)+f*(g::y)
　(f*g)::z=(f::z)*g+2*(f:z)*(g:z)+f*(g::z)

ここで　<grad(f)>=<f:x  f:y  f:z>　<grad(g)>=<g:x  g:y  g:z>

　<grad(f)>*<grad(g)>
=<f:x  f:y  f:z>*<g:x  g:y  g:z>
=(f:x)*(g:x)+(f:y)*(g:y)+(f:z)*(g:z)　だから、

　△(f*g)=(△f)*g+2*<grad(f)>*<grad(g)>+f*(△g)　★　

〓〓〓　△(x*r^n)　〓〓〓　

▢ 円柱座標(r,a,z)で　△(x*r^n) ?

デカルト座標と円柱座標(r,a,z)が混在しているのが、問題点だ

■ 円柱座標(r,a,z)に直して　x*r^n=(x/r)*r^(n+1)=cos(a)*r^(n+1)
　△[cos(a)*r^(n+1)]
=cos(a)*{[r^(n+1)]::r}+cos(a)*(1/r)*{[r^(n+1)];r}
+r^(n+1)*(1/r^2)*[cos(a)::a]
=cos(a)*(n+1)*n*r^(n-1)
+cos(a)*(1/r)*(n+1)*r^n-r^(n+1)*(1/r^2)*cos(a)
=cos(a)*(n+1)*n*r^(n-1)+cos(a)*(n+1)*r^(n-1)-cos(a)*r^(n-1)
=cos(a)*[(n+1)*n+(n+1)-1]*r^(n-1)
=cos(a)*n*(n+2)*r^(n-1)
=(x/r)*n*(n+2)*r^(n-1)
=n*(n+2)*x*r^(n-2)
≫　△(x*r^n)=n*(n+2)*x*r^(n-2) ★.
■ デカルト座標で、
　r;x=root(x^2+y^2);x=x/r　r^n;x=(r^n;r)*(r;x)=n*r^(n-1)*(x/r)=n*x*r^(n-2)
　(x*r^n);x=r^n+x*[n*x*r^(n-2)]=r^n+n*x^2*r^(n-2)
　(x*r^n)::x
=[(x*r^n);x];x
=[r^n+n*x^2*r^(n-2)];x
=n*x*r^(n-2)+2*n*x*r^(n-2)+n*(n-2)*x^2*r^(n-3)*(x/r)
=n*x*r^(n-2)+2*n*x*r^(n-2)+n*(n-2)*x^3*r^(n-4)
=[r^2+2*r^2+(n-2)*x^2]*n*x*r^(n-4)
=n*x*r^(n-4)*[(n+1)*x^2+3*y^2]
また　r;y=y/r　r^n;y=n*y*r^(n-2)　だから、
　(x*r^n);y=x*[n*y*r^(n-2)]=n*x*y*r^(n-2)
　(x*r^n)::y
=[(x*r^n);y];y
=[n*x*y*r^(n-2)];y
=n*x*r^(n-2)+(n*x*y)*[(n-2)*y*r^(n-4)]
=n*x*r^(n-4)*[r^2+(n-2)*y^2]
=n*x*r^(n-4)*[x^2+(n-1)*y^2]
まとめて　△(x*r^n)
=(x*r^n)::x+(x*r^n)::y
=n*x*r^(n-4)*[(n+1)*x^2+3*y^2]*+n*x*r^(n-4)*[x^2+(n-1)*y^2]
=n*x*r^(n-4)*[(n+1)*x^2+3*y^2+x^2+(n-1)*y^2]
=n*x*r^(n-4)*[(n+2)*r^2]
=n*(n+2)*x*r^(n-2) ★.
{ひとつひとつていねいに計算するとできるもんだな!2016/1}
■ 混在したまま、関数の積のラプラシアンの公式を使って、
　△(x*r^n)=△x*r^n+2*<grad(x)>*<grad(r^n)>+x*△(r^n)
ここで、
　△x=x::x=0
　<grad(x)>=<xu>
　<grad(r^n)>=<ru>*(r^n);r=<ru>*n*r^(n-1)
　<grad(x)>*<grad(r^n)>=<xu>*<ru>*n*r^(n-1)=cos(a)*n*r^(n-1)
　△(r^n)=n^2*r^(n-2)　だから、
　△(x*r^n)
=2*cos(a)*n*r^(n-1)+x*n^2*r^(n-2)
=2*n*x*r^(n-2)+x*n^2*r^(n-2)
=[2*n+n^2]*x*r^(n-2)
=n*(n+2)*x*r^(n-2) ★.
■ △(x*r^n)=n*(n+2)*x*r^(n-2)
n=0 のとき　△x=0
n=-2 のとき　△(x/r^2)=0

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