お勉強しようUz〕 数学 微分演算子

2016/12-2013/2 Yuji.W

☆ラプラシアン☆

◎ ラプラシアン △ Laplacian

◇ 10^x=Ten(x) exp(i*x)=expi(x) 微分 ;x 積分 $ ベクトル <A> 座標単位ベクトル <xu> 内積 * 外積 # 〔物理定数〕.  .

{まとめ}2階微分の意味

『2階微分の意味』 2016/12-2015/9 微少量 h

■ 1変数 f(x) 平均=[f(x+h)+f(x-h)]/2 (平均)-f(x)=(f;;x)*h^2/2

■ 2変数 f(x,y) 平均=[f(x+h,y)+f(x-h,y)+f(x,y+h)+f(x,y-h)]/4

 (平均)-f(x)=(f;;x+f;;y)*h^2/4

■ 3変数 f(x,y,z) ラプラシアン △f(x,y,z)=f;;x+f;;y+f;;z

 平均=[f(x+h,y,z)+f(x-h,y,z)+f(x,y+h,z)+f(x,y-h,z)+f(x,y,z+h)+f(x,y,z-h)]/6

 (平均)-f(x,y,z)=△f*h^2/6 △f=-[f(x,y,z)-(平均)]*6/h^2

{復習}ラプラシアン

『傾き、ラプラシアン(微分演算子)』 2016/1

■ デカルト座標 △=(;;x)+(;;y)+(;;z)

■ 円柱座標(r.,a,z) △=(;;r.)+(1/r.)*(;r.)+(1/r.^2)*(;;a)+(;;z)

■ 球座標(r,a,b)

 
=(;;r)+(2/r)*(;r)
+(1/r^2)*(;;a)+{1/[r^2*tan(a)]}*(;a)
+{1/[r^2*sin(a)^2]}*(;;b)

★ △x=x;;x=0 △x^2=(x^2);;x=2

◇ラプラシアンの意味◇

『Laplacianの意味』 2016/3-2015/9

f(x,y,z) 微少量 h

 6地点の平均 Avg[f(x,y,z),h]
=[f(x+h,y,z)+f(x-h,y,z)+f(x,y+h,z)+f(x,y-h,z)+f(x,y,z+h)+f(x,y,z-h)]/6

■ △f(x,y,z)={Avg[f(x,y,z),h]-f(x,y,z)}*6/h^2

周囲の値の平均値が、f(x,y,z)よりどれだけ大きいかを表す

■ 波動方程式 u''=v^2*△u

 左辺=変位の2階時間微分 ∝ 加速度 ∝ 力
 右辺 ∝ △u ∝ 周囲の変位の平均値が、その位置の変位よりだれだけ大きいか

したがって、

@ 力の方向=変位を小さくしようとする方向 なるべく平均化しようとする

A 周囲の変位の平均値が、その位置の変位より大きいほど、その力は大きくなる

B v^2 が大きいほど、変位を小さくしようとする力が大きくなる。変化が早くなる。

☆ベクトルに対するラプラシアン☆

◆ ベクトル関数 <A(x,y,z)>=<xu>*Ax(x,y,z)+<yu>*Ay(x,y,z)+<zu>*Az(x,y,z)

■ △<A>=<xu>*△Ax+<yu>*△Ay+<zu>*△Az .

☆スカラー関数の積のラプラシアン☆

■ 1次元関数 f(x),g(x)

 [f(x)*g(x)];x=(f;x)*g+f*(g;x)

 [f(x)*g(x)];;x
={[f(x)*g(x)];x};x
=[(f;x)*g+f*(g;x)];x
=[(f;x)*g+f*(g;x)];x
=(f;;x)*g+(f;x)*(g;x)+(f;x)*(g;x)+f*(g;;x)
=(f;;x)*g+2*(f;x)*(g;x)+f*(g;;x)

≫ [f(x)*g(x)];;x=(f;;x)*g+2*(f;x)*(g;x)+f*(g;;x) .

■ 3次元関数 f(x,y,z),g(x,y,z)

 △(f*g)=(f*g);;x+(f*g);;y+(f*g);;z

右辺第1項 (f*g);;x=(f;;x)*g+2*(f;x)*(g;x)+f*(g;;x) 第2項、第3項も同様だから、

 △(f*g)
=(f;;x+f;;y+f;;z)*g
+2*[(f;x)*(g;x)+(f;y)*(g;y)+(f;z)*(g;z)]
+f*(g;;x+g;;y+g;;z)
=△f*g+2*<grad(f)>*<grad(g)>+f*△g

≫ △(f*g)=△f*g+2*<grad(f)>*<grad(g)>+f*△g .

※ デカルト座標で証明してあるが、当然、円柱座標や球座標でも成り立つ

☆円柱座標(r,a,z)で △f(r)☆

◆ 円柱座標(r.,a,z)

 r.のみのスカラー関数に対する△=(;;r.)+(1/r.)*(;r.)=(1/r.)*(;r.)*r.*(;r.) .

■ △r.=(1/r.)*(;r.)*r.*(;r.)*r.=(1/r.)*(;r.)*r.=1/r.

 △r.^2
=(1/r.)*(;r.)*r.*(;r.)*r.^2
=(1/r.)*(;r.)*2*r.^2
=(1/r.)*4*r.
=4

 △(1/r.)=(1/r.)*(;r.)*(-1/r.)=1/r.^3

 △ln(r.)=(1/r.)*(;r.)*r.*(;r.)*ln(r.)=(1/r.)*(;r.)*1=0

『円柱座標での△』 2016/3

◆ 円柱座標(r.,a,z)でr.のみのスカラー関数に対する△=(1/r.)*(;r.)*r.*(;r.)

■ △r.=1/r. △r.^2=4 △(1/r.)=1/r.^3 △ln(r.)=0

 

☆円柱座標(r,a,z)で☆

◎ 円柱座標(r,a,z)で △(x*r^n) ? デカルト座標と円柱座標(r,a,z)が混在しているのが、問題点だ

■ 円柱座標(r,a,z)に直して x*r^n=(x/r)*r^(n+1)=cos(a)*r^(n+1)

 △[cos(a)*r^(n+1)]
=cos(a)*{[r^(n+1)];;r}+cos(a)*(1/r)*{[r^(n+1)];r}
+r^(n+1)*(1/r^2)*[cos(a);;a]
=cos(a)*(n+1)*n*r^(n-1)
+cos(a)*(1/r)*(n+1)*r^n-r^(n+1)*(1/r^2)*cos(a)
=cos(a)*(n+1)*n*r^(n-1)+cos(a)*(n+1)*r^(n-1)-cos(a)*r^(n-1)
=cos(a)*[(n+1)*n+(n+1)-1]*r^(n-1)
=cos(a)*n*(n+2)*r^(n-1)
=(x/r)*n*(n+2)*r^(n-1)
=n*(n+2)*x*r^(n-2)

≫ △(x*r^n)=n*(n+2)*x*r^(n-2) .

■ デカルト座標で、

 r;x=root(x^2+y^2);x=x/r r^n;x=(r^n;r)*(r;x)=n*r^(n-1)*(x/r)=n*x*r^(n-2)

 (x*r^n);x=r^n+x*[n*x*r^(n-2)]=r^n+n*x^2*r^(n-2)

 (x*r^n);;x
=[(x*r^n);x];x
=[r^n+n*x^2*r^(n-2)];x
=n*x*r^(n-2)+2*n*x*r^(n-2)+n*(n-2)*x^2*r^(n-3)*(x/r)
=n*x*r^(n-2)+2*n*x*r^(n-2)+n*(n-2)*x^3*r^(n-4)
=[r^2+2*r^2+(n-2)*x^2]*n*x*r^(n-4)
=n*x*r^(n-4)*[(n+1)*x^2+3*y^2]

また r;y=y/r r^n;y=n*y*r^(n-2) だから、

 (x*r^n);y=x*[n*y*r^(n-2)]=n*x*y*r^(n-2)

 (x*r^n);;y
=[(x*r^n);y];y
=[n*x*y*r^(n-2)];y
=n*x*r^(n-2)+(n*x*y)*[(n-2)*y*r^(n-4)]
=n*x*r^(n-4)*[r^2+(n-2)*y^2]
=n*x*r^(n-4)*[x^2+(n-1)*y^2]

まとめて △(x*r^n)
=(x*r^n);;x+(x*r^n);;y
=n*x*r^(n-4)*[(n+1)*x^2+3*y^2]*+n*x*r^(n-4)*[x^2+(n-1)*y^2]
=n*x*r^(n-4)*[(n+1)*x^2+3*y^2+x^2+(n-1)*y^2]
=n*x*r^(n-4)*[(n+2)*r^2]
=n*(n+2)*x*r^(n-2)
.

{ひとつひとつていねいに計算するとできるもんだな!2016/1}

■ 混在したまま、関数の積のラプラシアンの公式を使って、

 △(x*r^n)=△x*r^n+2*<grad(x)>*<grad(r^n)>+x*△(r^n)

ここで、

 △x=x;;x=0

 <grad(x)>=<xu>

 <grad(r^n)>=<ru>*(r^n);r=<ru>*n*r^(n-1)

 <grad(x)>*<grad(r^n)>=<xu>*<ru>*n*r^(n-1)=cos(a)*n*r^(n-1)

 △(r^n)=n^2*r^(n-2) だから、

 △(x*r^n)
=2*cos(a)*n*r^(n-1)+x*n^2*r^(n-2)
=2*n*x*r^(n-2)+x*n^2*r^(n-2)
=[2*n+n^2]*x*r^(n-2)
=n*(n+2)*x*r^(n-2)
.

■ △(x*r^n)=n*(n+2)*x*r^(n-2)

n=0 のとき △x=0

n=-2 のとき △(x/r^2)=0 .

円柱座標(r,a,z)で r=x^2+y^2 △r^2=4 △ln(r)=0 △(x/r^2)=0

☆球座標(r,a,b)で △f(r)☆

■ 球座標(r,a,b)でrのみの関数に対する△=(1/r^2)*(;r)*r^2*(;r) .

■ △r=(1/r^2)*(;r)*r^2*(;r)*r=(1/r^2)*(;r)*r^2=2/r

 △(r^2)=(1/r^2)*(;r)*r^2*(;r)*(r^2)=(1/r^2)*(;r)*2*r^3=6

 △(1/r)=(1/r^2)*(;r)*r^2*(;r)*(1/r)=(1/r^2)*(;r)*(-1)=0

『球座標(r,a,b)での△』 2016/3

■ 球座標(r,a,b)でrのみの関数に対する△=(1/r^2)*(;r)*r^2*(;r)

■ △r=2/r △(r^2)=6 △(1/r)=0

お勉強しようUz〕 数学 微分 ラプラシアン

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