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2019/2-2011 Yuji.W |
_★ スカラー積 内積とは成分を求める計算 ★_
◇ ベクトル <A> 単位ベクトル <-u> 座標単位ベクトル <x> 内積 * 外積 # 積 * 商 / 10^x=Ten(x) exp(i*x)=expi(x) 微分 ; 時間微分 ' 積分 $
〓 内積の定義 〓
■ ベクトルの内積 * を、デカルト座標単位ベクトル <xu>,<yu>,<zu> に対して、次のようになると定義する。
<xu>*<xu>=<yu>*<yu>=<zu>*<zu>=1
<xu>*<yu>=<yu>*<zu>=<zu>*<xu>=0
<yu>*<xu>=<zu>*<yu>=<xu>*<zu>=0 ★_
分配法則は成り立つ
■ 2つの任意のベクトルを考える
<A>=<Ax Ay Az>=<xu>*Ax+<yu>*Ay+<zu>*Az
<B>=<Bx By
Bz>=<xu>*Bx+<yu>*By+<zu>*Bz
<A>*<B>
=(<xu>*Ax+<yu>*Ay+<zu>*Az)*(<xu>*Bx+<yu>*By+<zu>*Bz)
内積の定義とした規則を使えば、
<A>*<B>=Ax*Bx+Ay*By+Az*Bz ★_内積の成分表示
■ 任意のベクトル <A>=<Ax Ay Az>=<xu>*Ax+<yu>*Ay+<zu>*Az と <xu> との内積を考える。
<A> がx軸に対して作る角 a |<A>|=A
<A>*<xu>=(<xu>*Ax+<yu>*Ay+<zu>*Az)*<xu>=Ax=A*cos(a)
<A>*<xu>=A*cos(a) ★_
2つの任意のベクトル <A>,<B> に対しては、その2つのベクトルが作る角 o とすれば、
<A>*<B>=A*B*cos(o) ★_
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☆内積の定義☆ |
◎ 内積を次のように考えるとよい
■ 任意のベクトル <A>=<Ax Ay Az> 任意の方向単位ベクトル <u>
内積*の定義 <A>*<u>=(<A>の<u>方向成分) ★_内積とは成分を求める計算
{以上で定義は終わり!}
定義より、
<A>*<x>=(<A>のx成分)=Ax <A>*<y>=Ay <A>*<z>=Az
<x>*<x>=<y>*<y>=<z>*<z>=1 & <x>*<y>=<y>*<z>=<z>*<x>=0
■ 任意の２つのベクトル <A>=<Ax Ay Az>,<B>=<Bx By Bz>
<A>*<B>
=(<x>*Ax+<y>*Ay+<z>*Az)*(<x>*Bx+<y>*By+<z>*Bz)
=Ax*Bx+Ay*By+Az*Bz ★_
■ <A>とx軸とが作る角 ∠o |<A>|=A
Ax=A*cos(∠o) だから <A>*<x>=A*cos(∠o) ★_
{結局、どの項目を定義にしてもみな同値にはなるのだが、初学者にとって教わる順番は大事!内積とは成分を求める計算だと考えると最も簡単にイメージできると思う!}
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☆ベクトルの大きさの時間微分☆ |
◆ 任意のベクトル <A>=<Ax Ay Az> A=|<A>|=root(Ax^2+Ay^2+Az^2)
A^2=Ax^2+Ay^2+Az^2=<A>*<A>
■ 時間微分すると、
左辺=<A>'*<A>+<A>*<A>'=2*<A>*<A>'
右辺=2*A*A'
したがって <A>*<A>'=A*A'〔★〕{そうなんだね!}
{別解} A'
=(1/2)*[1/root(Ax^2+Ay^2+Az^2)]*2*(Ax*Ax'+Ay*Ay'+Az*Az')
=(Ax*Ax'+Ay*Ay'+Az*Az')/A
A*A'=Ax*Ax'+Ay*Ay'+Az*Az'=<A>*<A>'〔★〕{なるほど!2015/1}
■ (A^2)' を求めよう。A は、あくまで、ベクトル <A> の大きさである。
A^2 が時間の関数で表されていれば、そのまま微分すればよい。
<A> <A>' がわかっているのなら、次の公式を使ってもよい。
(A^2)'=(<A>*<A>)'=2*<A>*<A>'〔★〕
▲ スカラー関数の微分を、ベクトルを使って表せることがある{!}
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「ベクトルの大きさの時間微分」 2015/1 ◆ 任意のベクトル <A>=<Ax Ay Az> A=|<A>|=root(Ax^2+Ay^2+Az^2) A^2=Ax^2+Ay^2+Az^2=<A>*<A> ■ <A>*<A>'=A*A' ■ (A^2)' の求め方 方法① A^2 を t の関数で表して、時間微分する 方法② (A^2)'=2*A*A' 方法③ (A^2)'=2*<A>*<A>' ※ あくまで A は、ベクトルの大きさだから、ベクトルを使って表すこともできるということ{!} |
★ <v>=<g*t vy0> (v^2)' を求めたい。
方法① v^2=g^2*t^2+vy0^2 (v^2)'=2*g^2*t
方法② v=root(g^2*t^2+vy0^2)
v'=(1/2)[1/root(g^2*t^2+vy0^2)]*2*g^2*t=g^2*t/v
(v^2)'=2*v*v'=2*v*(g^2*t/v)=2*g^2*t
方法③ <v>'=<g 0>
(v^2)'=2*<v>*<v>'=2*<g*t vy0>*<g 0>=2*(g*t)*g=2*g^2*t
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☆ベクトルの2次方程式☆ |
■ <A>*<B>=0 のとき、
<A>=0 or <B>=0 or <A>⊥<B> ★.3つ目を忘れがち
■ 未知ベクトル <x> 定ベクトル <A> <B>
<x>^2-(<A>+<B>)*<x>+<A>*<B>=0 を解こう。
因数分解できて (<x>-<A>)*(<x>-<B>)=0
<x>=<A> or <x>=<B> or (<x>-<A>)⊥(<x>-<B>)
3つめの解について
<x>-<A>
は、点<A>から見た<x>の位置
<x>-<B> は、点<B>から見た<x>の位置 を表す。その2つが垂直なのだから、平面上で考えれば、点<x>
は、2つの点<A> <B>を直径とする円周上にある。空間上で考えれば、点<x>
は、2つの点<A> <B>を直径とする球面上にある。 ★.
※ １つめ、２つめの解は、３つめの解に含まれると解釈してもよい。
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◇ベクトルの成分◇ |
◆ 任意の2つのベクトル <A>,<B> 大きさ |<A>|=A , |<B>|=B
単位ベクトル <Au>=<A>/A , <Bu>=<B>/B
■ [<B>の<A>方向成分]=<B>*<Au>
<<B>の<A>方向成分ベクトル>
=<Au>*(<B>*<Au>)=<A>*(<A>*<B>)/A^2 ★.
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◇平面上での直交ベクトル◇ |
◆ 平面上の２つの任意のベクトル <A>,<B>
その２つを基に直交する２つのベクトルを作りたい。ただし、
・<A>を１つ目のベクトルとする
・<A>と<B>が作る平面上にあり、<A>と直交するベクトルを
<R1>
■ <<B>の<A>方向成分ベクトル>
=<Au>*(<B>*<Au>)=<A>*(<A>*<B>)/A^2
<B>から、<<B>の<A>方向成分ベクトル>を取り除けば、<R1>が得られるから、
<R1>=<B>-<A>*(<A>*<B>)/A^2 ★.
※ <A>も<R1>も大きさは任意
{確かめ} <A>*<R1>
=<A>*[<B>-<A>*(<A>*<B>)/A^2]
=<A>*<B>-(<A>*<A>)*(<A>*<B>)/A^2
=<A>*<B>-<A>*<B>
=0
★ <A>=<1 root3> A=2 <B>=<3 root3>
<A>*<B>=3+3=6
<R1>
=<3
root3>-<1 root3>*6/2^2
=(<3 root3>*2-<1 root3>*3)/2
=<3
-root3>/2
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◇空間上の直交ベクトル◇ |
◆ 空間上の3つの任意のベクトル <A>,<B>,<C>
その3つを基に直交する3つのベクトルを作りたい。ただし、
・<A>を１つ目のベクトルとする
・<A>と<B>が作る平面上にあり、<A>と直交するベクトルを
<R1>
・<A>と<R1>に直交するベクトル <R2>
■ <R1>=<B>-<A>*(<A>*<B>)/A^2
<C>から、<<C>の<A>方向成分ベクトル>と<<C>の<R1>方向成分ベクトル>を取り除けば、<R2>になる。
ここで、
<<C>の<A>方向成分ベクトル>=<A>*(<A>*<C>)/A^2
<<C>の<R1>方向成分ベクトル>=<R1>*(<R1>*<C>)/R1^2 だから、
<R2>=<C>-<A>*(<A>*<C>)/A^2-<R1>*(<R1>*<C>)/R1^2
{別解} 外積を使って <R2>=<A>#<B> でもよい
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『空間上の直交ベクトル』 2016/2 ◆ 空間上の3つの任意のベクトル <A>,<B>,<C> その3つを基に直交する3つのベクトル <A>,<R1>,<R2>を作る <R1>=<<A>と<B>が作る平面上にあり、<A>と直交する> <R2>=<<A>と<R1>に直交する> ※ 大きさは任意 ■ <R1>=<B>-<A>*(<A>*<B>)/A^2 <R2>=<C>-<A>*(<A>*<C>)/A^2-<R1>*(<R1>*<C>)/R1^2 {別解} 外積を使って <R2>=<A>#<B> |
★ <A>=<1 root3 0> <B>=<root3 -1 0> <C>=<1 1 1> ∥
<R1>=<B>=<root3 -1 0>
<A>*(<A>*<C>)/A^2=<1 root3 0>*(1+root3)/4
<R1>*(<R1>*<C>)/R1^2=<root3 -1 0>*(root3-1)/4
<R2>
=<1
1 1>-<1 root3 0>*(1+root3)/4-<root3 -1 0>*(root3-1)/4
=(<4
4 4>-<1+root3 root3+3 0>-<3-root3 1-roo3 0>)/4
=(<4
4 4>-<4 4 0>)/4
=<0 0 1>
{別解} <R2>=<1 root3 0>#<root3 -1 0>=<z>*(-1-3)=-<z>*4
大きさは任意だから、これでよい