数学 ベクトル

2017/7-2011 Yuji.W

☆内積☆

_ スカラー積 内積とは成分を求める計算 _

◇ ベクトル <A> 単位ベクトル <-u> 座標単位ベクトル <x> 内積 * 外積 # 積 * 商 / 10^x=Ten(x) exp(i*x)=expi(x) 微分 ; 時間微分 ' 積分 $

☆内積の定義☆

◎ 内積を次のように考えるとよい

■ 任意のベクトル <A>=<Ax Ay Az> 任意の方向単位ベクトル <u>

内積*の定義 <A>*<u>=(<A>の<u>方向成分) _内積とは成分を求める計算

{以上で定義は終わり!}

定義より、

 <A>*<x>=(<A>のx成分)=Ax <A>*<y>=Ay <A>*<z>=Az

 <x>*<x>=<y>*<y>=<z>*<z>=1 & <x>*<y>=<y>*<z>=<z>*<x>=0

■ 任意の2つのベクトル <A>=<Ax Ay Az>,<B>=<Bx By Bz>

 <A>*<B>
=(<x>*Ax+<y>*Ay+<z>*Az)*(<x>*Bx+<y>*By+<z>*Bz)
=Ax*Bx+Ay*By+Az*Bz 
_

■ <A>とx軸とが作る角 ∠o |<A>|=A

 Ax=A*cos(∠o) だから <A>*<x>=A*cos(∠o) _

{結局、どの項目を定義にしてもみな同値にはなるのだが、初学者にとって教わる順番は大事!内積とは成分を求める計算だと考えると最も簡単にイメージできると思う!}

☆ベクトルの大きさの時間微分☆

◆ 任意のベクトル <A>=<Ax Ay Az> A=|<A>|=root(Ax^2+Ay^2+Az^2)

 A^2=Ax^2+Ay^2+Az^2=<A>*<A>

■ 時間微分すると、

 左辺=<A>'*<A>+<A>*<A>'=2*<A>*<A>'

 右辺=2*A*A'

したがって <A>*<A>'=A*A'〔〕{そうなんだね!}

{別解} A'
=(1/2)*[1/root(Ax^2+Ay^2+Az^2)]*2*(Ax*Ax'+Ay*Ay'+Az*Az')
=(Ax*Ax'+Ay*Ay'+Az*Az')/A

 A*A'=Ax*Ax'+Ay*Ay'+Az*Az'=<A>*<A>'〔〕{なるほど!2015/1}

■ (A^2)' を求めよう。A は、あくまで、ベクトル <A> の大きさである。

A^2 が時間の関数で表されていれば、そのまま微分すればよい。

<A> <A>' がわかっているのなら、次の公式を使ってもよい。

 (A^2)'=(<A>*<A>)'=2*<A>*<A>'〔

▲ スカラー関数の微分を、ベクトルを使って表せることがある{!}

「ベクトルの大きさの時間微分」 2015/1

◆ 任意のベクトル <A>=<Ax Ay Az> A=|<A>|=root(Ax^2+Ay^2+Az^2)

 A^2=Ax^2+Ay^2+Az^2=<A>*<A>

■ <A>*<A>'=A*A'

■ (A^2)' の求め方

方法@ A^2 を t の関数で表して、時間微分する

方法A (A^2)'=2*A*A'

方法B (A^2)'=2*<A>*<A>' 

※ あくまで A は、ベクトルの大きさだから、ベクトルを使って表すこともできるということ{!}

★ <v>=<g*t vy0> (v^2)' を求めたい。

方法@ v^2=g^2*t^2+vy0^2 (v^2)'=2*g^2*t

方法A v=root(g^2*t^2+vy0^2)
 v'=(1/2)[1/root(g^2*t^2+vy0^2)]*2*g^2*t=g^2*t/v
 (v^2)'=2*v*v'=2*v*(g^2*t/v)=2*g^2*t

方法B <v>'=<g 0>

 (v^2)'=2*<v>*<v>'=2*<g*t vy0>*<g 0>=2*(g*t)*g=2*g^2*t

☆ベクトルの2次方程式☆

■ <A>*<B>=0 のとき、

 <A>=0 or <B>=0 or <A>⊥<B> .3つ目を忘れがち

■ 未知ベクトル <x> 定ベクトル <A> <B>

 <x>^2-(<A>+<B>)*<x>+<A>*<B>=0 を解こう。

因数分解できて (<x>-<A>)*(<x>-<B>)=0

 <x>=<A> or <x>=<B> or (<x>-<A>)⊥(<x>-<B>)

3つめの解について

<x>-<A> は、点<A>から見た<x>の位置
<x>-<B> は、点<B>から見た<x>の位置 を表す。その2つが垂直なのだから、平面上で考えれば、点<x> は、2つの点<A> <B>を直径とする円周上にある。空間上で考えれば、点<x> は、2つの点<A> <B>を直径とする球面上にある。 
.

※ 1つめ、2つめの解は、3つめの解に含まれると解釈してもよい。

◇ベクトルの成分◇

◆ 任意の2つのベクトル <A>,<B> 大きさ |<A>|=A , |<B>|=B

単位ベクトル <Au>=<A>/A , <Bu>=<B>/B

■ [<B>の<A>方向成分]=<B>*<Au>

 <<B>の<A>方向成分ベクトル>
=<Au>*(<B>*<Au>)=<A>*(<A>*<B>)/A^2 
.

◇平面上での直交ベクトル◇

◆ 平面上の2つの任意のベクトル <A>,<B>

その2つを基に直交する2つのベクトルを作りたい。ただし、

・<A>を1つ目のベクトルとする
・<A>と<B>が作る平面上にあり、<A>と直交するベクトルを <R1>

■ <<B>の<A>方向成分ベクトル>
=<Au>*(<B>*<Au>)=<A>*(<A>*<B>)/A^2

<B>から、<<B>の<A>方向成分ベクトル>を取り除けば、<R1>が得られるから、

 <R1>=<B>-<A>*(<A>*<B>)/A^2 .

※ <A>も<R1>も大きさは任意

{確かめ} <A>*<R1>
=<A>*[<B>-<A>*(<A>*<B>)/A^2]
=<A>*<B>-(<A>*<A>)*(<A>*<B>)/A^2
=<A>*<B>-<A>*<B>
=0

★ <A>=<1 root3> A=2 <B>=<3 root3>

 <A>*<B>=3+3=6

 <R1>
=<3 root3>-<1 root3>*6/2^2
=(<3 root3>*2-<1 root3>*3)/2
=<3 -root3>/2

◇空間上の直交ベクトル◇

◆ 空間上の3つの任意のベクトル <A>,<B>,<C>

その3つを基に直交する3つのベクトルを作りたい。ただし、

・<A>を1つ目のベクトルとする
・<A>と<B>が作る平面上にあり、<A>と直交するベクトルを <R1>
・<A>と<R1>に直交するベクトル <R2>

■ <R1>=<B>-<A>*(<A>*<B>)/A^2

<C>から、<<C>の<A>方向成分ベクトル>と<<C>の<R1>方向成分ベクトル>を取り除けば、<R2>になる。

ここで、

 <<C>の<A>方向成分ベクトル>=<A>*(<A>*<C>)/A^2
 <<C>の<R1>方向成分ベクトル>=<R1>*(<R1>*<C>)/R1^2 だから、

 <R2>=<C>-<A>*(<A>*<C>)/A^2-<R1>*(<R1>*<C>)/R1^2

{別解} 外積を使って <R2>=<A>#<B> でもよい

『空間上の直交ベクトル』 2016/2

◆ 空間上の3つの任意のベクトル <A>,<B>,<C>

その3つを基に直交する3つのベクトル <A>,<R1>,<R2>を作る

 <R1>=<<A>と<B>が作る平面上にあり、<A>と直交する>

 <R2>=<<A>と<R1>に直交する> ※ 大きさは任意

■ <R1>=<B>-<A>*(<A>*<B>)/A^2

 <R2>=<C>-<A>*(<A>*<C>)/A^2-<R1>*(<R1>*<C>)/R1^2

{別解} 外積を使って <R2>=<A>#<B>

★ <A>=<1 root3 0> <B>=<root3 -1 0> <C>=<1 1 1> ‖

 <R1>=<B>=<root3 -1 0>

 <A>*(<A>*<C>)/A^2=<1 root3 0>*(1+root3)/4

 <R1>*(<R1>*<C>)/R1^2=<root3 -1 0>*(root3-1)/4

 <R2>
=<1 1 1>-<1 root3 0>*(1+root3)/4-<root3 -1 0>*(root3-1)/4
=(<4 4 4>-<1+root3 root3+3 0>-<3-root3 1-roo3 0>)/4
=(<4 4 4>-<4 4 0>)/4
=<0 0 1>

{別解} <R2>=<1 root3 0>#<root3 -1 0>=<z>*(-1-3)=-<z>*4

大きさは任意だから、これでよい

☆お勉強しようUz☆

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