☆ 傾き grad ☆

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〇 ベクトル  偏微分  微分演算子  gradient グレイディエント 勾配,傾き  graduation グラッデュエイション 傾き  2024.3-2011  Yuji.W  ★ 

◇ 2*3=6  Ten(3)=10^3=1000  微分 ;  偏微分 :  積分 $  e^(i*x)=expi(x)
ベクトル <A>  縦ベクトル <A)  単位ベクトル <xu>  内積 *  外積 #   000 

〓　傾き grad  〓 

▷ 3次元スカラー関数 f(x,y,z)  偏微分 :

{定義}  <grad[f(x,y,z)]>=<xu>*(f:x)+<yu>*(f:y)+<zu>*(f:z)

〓  2変数の最大傾斜の方向と変化の割合  〓 

▢ 2変数 x,y  関数 z=f(x,y)

▷ 点 (x,y,z) を通る、関数 z の接平面 z=(f:x)*x+(f:y)*y+定数

接平面の最大傾斜の方向  <f:x  f:y>=<grad(f)>

最大傾斜の変化の割合  root[(f:x)^2+(f:y)^2]=|<grad(f)>|

▷ 等高線の方向 <f:y  -f:x>  or  <-f:y  f:x>

〓  距離 r に対する grad  〓 

◎ grad は、座標で微分しているから、距離 r の関数の grad は、特別な公式がある

▢ r=root(x^2+y^2+z^2)
　<r>=<x y z>=<xu>*x+<yu>*y+<zu>*z  <ru>=<r>/r

▷ r:x=(1/2)*2*x/root(x^2+y^2+z^2)=x/r

同様に  r:y=y/r  r:z=z/r 

　<grad(r)>
=<xu>*(r:x)+<yu>*(r:y)+<zu>*(r:z)
=<xu>*x/r+<yu>*y/r+<zu>*z/r
=(<xu>*x+<yu>*y+<zu>*z)/r
=<r>/r
=<ru>

　<grad(r)>=<ru>  ★ 

▷ (1/r):x=[(1/r);r]*[r:x]=(-1/r^2)*(x/r)=-x/r^3

同様に  (1/r):y=-y/r^3  (1/r):z=-z/r^3 

　<grad(1/r)>
=<xu>*[(1/r):x]+<yu>*[(1/r):y]+<zu>*[(1/r):z]
=-<x y z>/r^3
=-<ru>/r^2

　<grad(1/r)>=-<ru>/r^2  ★ 

{別解}　<grad(1/r)>=<grad(r)>*[(1/r);r]=<ru>*(-1/r^2)=-<ru>/r^2

▷ <grad(1/r^3)>=<grad(r)>*[(1/r^3);r]=-<ru>*3/r^4  ★ 

▷ <grad(x/r^3)>
=<grad(x)>/r^3+x*<grad(1/r^3)>
=<xu>/r^3-<ru>*3*x/r^4
=(<xu>*r^2-<r>*3*x)/r^5
=[<xu>*r^2-(<xu>*x+<yu>*y+<zu>*z)*3*x]/r^5
=[<xu>*(r^2-3*x^2)-<yu>*3*x*y-<zu>*3*x*z]/r^5
=<r^2-3*x^2  -3*x*y  -3*x*z>/r^5

　<grad(x/r^3)>=<r^2-3*x^2  -3*x*y  -3*x*z>/r^5  ★ 

また  <ru>*<xu>=[(<xu>*x+<yu>*y+<zu>*z)/r]*<xu>=x/r  だから、

　<grad(x/r^3)>
=<grad(x)>/r^3+x*<grad(1/r^3)>
=<xu>/r^3-<ru>*3*x/r^4
=<xu>/r^3-<ru>*3*(<ru>*<xu>)/r^3  ★ 

同様に  <grad(z/r^3)>=<zu>/r^3-<ru>*3*(<ru>*<zu>)/r^3  ★ 

〓  公式  〓 

▢ <r>=<x y z>=<r>  定ベクトル <A>=<Ax Ay Az> 

▷ <grad(<r>*<A>)>
=<grad(x*Ax+y*Ay+z*Az)>
=<Ax*(x:x)  Ay*(y:y)  Az*(z:z)>
=<Ax  Ay  Az>
=<A>

　grad(<r>*<A>)=<A>  ★ 

▢ 時間に依らない関数 f(x,y,z)  f;t=0

▷ <r>;t=<x;t  y;t  z;t>

　<grad(f)>=<f:x  f:y  f:z>

　(<r>;t)*<grad(f)>
=<x;t  y;t  z;t>*<f:x  f:y  f:z>
=(x;t)*(f:x)+(y;t)*(f:y)+(z;t)*(f:z)
=f;t
=0

　(<r>;t)*<grad(f)>=0  ★ 

〓  ${<grad(f)>*<ds>}  〓 

▢ 3次元スカラー関数 f(x,y,z)  <ds>=<dx  dy  dz>

▷ <A>=<Ax  Ay  Az>  <ds>=<dx  dy  dz>

　${<A>*<ds>}=${Ax*dx+Ay*dy+Az*dz}

x=x(t)  y=y(t)  z=z(t)  のとき  <ds>=<x;t  y;t  z;t>*dt

　${<A>*<ds>}=${[Ax*(x;t)+Ay*(y;t)+Az*(z;t)]*dt}

▷ <grad(f)>=<f:x  f:y  f:z>

　<grad(f)>*<ds>=(f:x)*dx+(f:y)*dy+(f:z)*dz=df

　${<grad(f)>*<ds>}=${df}=f

　${<grad(f)>*<ds>}[<r1>~<r2>]=f(<r2>)-f(<r1>)  ★ 

☆ uzお勉強しよう  since 2011  Yuji Watanabe