お勉強しようUz〕 数学 微分演算子

2016/12-2011 Yuji.W

傾き grad

. 傾き grad 変化の割合 最大傾斜の方向 _〔物理定数

◇積* 商/ 微分;x 時間微分' 積分$ 10^x=Ten(x) exp(i*x)=expi(x)
 ベクトル<> 単位ベクトル<-u> 縦ベクトル<) 内積* 外積#

☆grad☆

■ 3次元スカラー関数 f(x,y,z)

{定義} <grad(f)>=<xu>*(f;x)+<yu>*(f;y)+<zu>*(f;z) _

◆ 1変数スカラー関数 f(x) y や z に依らない

■ <grad[f(x)]>=<xu>*(f;x) 大きさ:変化の割合(傾き) 方向:x軸方向 _

★ <grad(3*x)>=<xu>*6 <grad(3*x^2)>=<xu>*6*x

{復習}grad,div,curl.2次元

『grad,div,curl.2次元』 2016/12

◆ 2次元スカラー関数 f(x,y)

■ <grad(f)>=<xu>*(f;x)+<yu>*(f;y) ⊥ (等高線)


◆ 2次元ベクトル関数 <A(x,y)>=<xu>*Ax(x,y)+<yu>*Ay(x,y)

微少量 h に対して、正方形(x,y)-(x+h,y)-(x+h,y+h)-(x,y+h) を考える。

■ div<A(x,y)>=Ax;x+Ay;y 正方形を出て行く量=div<A(x,y)>*h^2

■ <curl<A(x,y)>>=<zu>*[(Ay;x)-(Ax;y)]

 (正方形を一周する線積分)=(<curl<A>>のz成分)*h^2

☆3次元デカルト座標のスカラー関数に対する grad☆

◎ 3次元デカルト座標 (x,y,z) f(x,y,z)

■ <grad[f(x,y,z)]>=<f;x f;y f;z> _

★ <grad(3*x+4*y+5*z)>=<3 4 5>

★ <grad(3*x^2+2*y+z)>=<6 2 1>

★ <grad(x^2+y^2+z^2)>=2*<x y z>

■ <dx dy dz>=<ds> <x y z>=<r> <x1 y1 z1>=<r1> <x2 y2 z2>=<r2>

 ${<grad(f)>*<ds>}[<r>:<r1>~<r2>]=f(<r2>)-f(<r1>) _

☆距離 r に対する grad☆

◆ r=root(x^2+y^2+z^2) <x y z>=<r> <r>/r=<ru>

■ r;x=x/r r;y=y/r r;z=z/r

⇒ <grad(r)>=<x y z>/r=<r>/r=<ru> _

■ (1/r);x=[(1/r);r]*(r;x)=(-1/r^2)*(x/r)=-x/r^3

 (1/r);y=-y/r^3 (1/r);z=-z/r^3

⇒ <grad(1/r)>=-<x y z>/r^3=-<r>/r^3=-<ru>/r^2 _

■ (1/r^3);x=[(1/r^3);r]*(r;x)=-(3/r^4)*(x/r)=-3*x/r^5

 [1/r^3];y=-3*y/r^5

 [1/r^3];z=-3*z/r^5

⇒ <grad(1/r^3)>=-<x y z>*3/r^5=-<ru>*3/r^4 _

■ (1/r^3);x=[(1/r^3);r]*(r;x)=-(3/r^4)*(x/r)=-3*x/r^5

 [x/r^3];x=1/r^3-3*x^2/r^5=(r^2-3*x^2)/r^5

 [x/r^3];y=x*(-3*y/r^5)=-3*x*y/r^5 [x/r^3];z=-3*x*z/r^5

⇒ <grad(x/r^3)>=-<3*x^2-r^2 3*x*y 3*x*z>/r^5 _

同様に <grad(z/r^3)>=-<3*x*z 3*y*z 3*z^2-r^2>/r^5

▲ <grad(z/r^3)>=-<3*x*z 3*y*z 3*z^2-r^2>/r^5

z軸上で x=y=0 r=|z|

 <grad(z/r^3)>=-<zu>*2*z^2/|z|^5=-<zu>*2/|z|^3

xy平面で z=0 r=root(x^2+y^2)

 <grad(z/r^3)>=<zu>/r^3

■ <3*x*z 3*y*z 3*z^2-r^2>
=<x y z>*3*z-<zu>*r^2
=<ru>*3*r*z-<zu>*r^2

ここで z=<r>*<zu>=<ru>*<zu>*r だから

 <3*x*z 3*y*z 3*z^2-r^2>
=<ru>*3*r*(<ru>*<zu>*r)-<zu>*r^2
=<ru>*(<ru>*<zu>)*3*r^2-<zu>*r^2
=[<ru>*(<ru>*<zu>)*3-<zu>]*r^2

 <grad(z/r^3)>=-[<ru>*(<ru>*<zu>)*3-<zu>]/r^3 _

■ <grad(z/r^3)>=-<3*x*z 3*y*z 3*z^2-r^2>/r^5

z軸上で <grad(z/r^3)>=-<zu>*2/|z|^3

xy平面で <grad(z/r^3)>=<zu>/r^3

■ <grad(z/r^3)>=-[<ru>*(<ru>*<zu>)*3-<zu>]/r^3

☆<grad(f)> はベクトルなのか☆

◎ f(x,y,z) <grad[f(x,y,z)>=<f;x f;y f;z> は、3つの関数の組合せになっているが、ベクトルとして扱ってよいのか。{ファインマンの本は、このあたりにこだわって書いてある。素晴らしい!2014/3}

■ ベクトルは、たんなる3つの数字の組合せではない。ベクトルの定義として、次の3つが考えられる。

@ 座標軸の回転に関して、座標の変換則と同じになる

A <A>^2=不変のスカラー量

B <A>*<B> が不変のスカラー量

■ 直交座標系xyz z軸を回転軸に、角度 a だけ回転した直交座標系XYZ

座標の値の変換則は成り立っている

 x=X*cos(a)-Y*sin(a) y=X*sin(a)+Y*cos(a) z=Z

 X=x*cos(a)+y*sin(a) Y=-x*sin(a)+y*cos(a) Z=z

 dX=dx*cos(a)+dy*sin(a) dY=-dx*sin(a)+dy*cos(a) dZ=dz

任意のベクトルの成分も、以上のような変換則が成り立たなければならない。

<f;x f;y f;z> がベクトルなのかは、次の式が成り立つか調べればよい。
 f;x=(f;X)*cos(a)-(f;Y)*sin(a) f;y=(f;X)*sin(a)+(f;Y)*cos(a) f;z=f;Z
.

xyz系で、

 df=(f;x)*dx+(f;y)*dy+(f;z)*dz @

XYZ系で、

 df
=(f;X)*dX+(f;Y)*dY+(f;Z)*dZ
=(f;X)*[dx*cos(a)+dy*sin(a)]+(f;Y)*[-dx*sin(a)+dy*cos(a)]+(f;Z)*dz
=[(f;X)*cos(a)-(f;Y)*sin(a)]*dx+[(f;X)*sin(a)+(f;Y)*cos(a)]*dy+(f;Z)*dz A

@Aより、

 f;x=(f;X)*cos(a)-(f;Y)*sin(a)

 f;y=(f;X)*sin(a)+(f;Y)*cos(a)

 f;z=f;Z

grad の成分 f;X f;Y f;Z が、座標の値の変換則と同じになっている。したがって、<grad(f)> をベクトルとして扱ってよいことがわかる。

☆公式☆

■ <x y z>=<r> 定ベクトル <A>=<Ax Ay Az>=定数

 grad[<r>*<A>]
=<grad(x*Ax+y*Ay+z*Az)>
=<Ax*(x;x) Ay*(y;y) Az*(z;z)>
=<Ax Ay Az>
=<A>

≫ 定ベクトル <A> grad[<r>*<A>]=<A> .

■ U(x,y,z) 時間に依らない場合 U;t=0

 U;t=(U;x)*(x;t)+(U;y)*(y;t)+(U;z)*(z;t)

 (<r>;t)*<grad(U)>=(x;t)*(U;x)+(y;t)*(U;y)+(z;t)*(U;z)=U;t=0

≫ (<r>;t)*<grad(U)>=0 .

☆${<grad(f)>*<ds>}☆

「ベクトルの線積分」

■ <A>=<Ax Ay Az> <ds>=<dx , dy , dz>

 <A>の線積分=${<A>*<ds>}=${Ax*dx+Ay*dy+Az*dz} 

■ パラメータ t を使い、x=x(t) y=y(t) z=z(t)

 <ds>=<x;t , y;t , z;t>*dt

 <A>の線積分=${[Ax*(x;t)+Ay*(y;t)+Az*(z;t)]*dt} 

■ ${<grad(f)>*<ds>}[<r1>~<r2>]=f(<r2>)-f(<r1>) 

★ f(x,y)=a*x+b*y 傾いた平面 スキーの斜面

 <grad(f)>=a*<xu>+b*<yu>

線積分 経路1 (0,0)-(4,0)-(4,3)

 ${<grad(f)>*<ds>}=${a*dx}[x:0->4]+${b*dy}[y:0->3]=4*a+3*b

線積分 経路2 (0,0)-(4,3) x=4*t y=3*t 直線 t 0<t<1

 x;t=4 y;t=3 <ds>=(4*<xu>+3*<yu>)*dt

 ${<grad(f)>*<ds>}=${(4*a+3*b)*dt}[t:0->1]=4*a+3*b

☆同次関数のオイラーの定理☆

「同次関数のオイラーの定理」

◆ k次の同次関数 任意の定数 α に対して f(α*x,α*y, … )=α^k*f(x,y, … )

■ (f;x)*x+(f;y)*y+…=k*f

■ <x,y,…>=<r> <gradf>*<r>=k*f

お勉強しようUz〕 数学 ベクトル 傾き grad

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