☆ {例}ベクトル場 ☆
〇 ★
【数学】2*3=6 6/2=3 3^2=9 1000=10^3=Ten(3) 〔22.6〕 000 py- 0table
微分 ; 偏微分
: 積分 $ ネイピア数 e 虚数単位 i e^(i*x)=expi(x)
ベクトル <A> 縦ベクトル <A) 単位ベクトル <Au> 内積 * 外積 #
〓 {定義}grad,div,curl,△ 〓 偏微分 :
〇 任意のスカラー関数 f(x,y,z) 任意のベクトル関数 <A(x,y,z)>=<Ax Ay Az>
{定義}
傾き スカラー関数に対して <grad(f)>=<f:x f:y f:z>
発散 ベクトル関数に対して div<A>=Ax:x+Ay:y+Az:z
回転 ベクトル関数に対して <curl<A>>=<Az:y-Ay:z Ax:z-Az:x Ay:x-Ax:y>
ラプラシアン スカラー関数に対して △f=f::x+f::y+f::z
ベクトル関数に対して △<A>=<△Ax △Ay △Az>
〓 curl 〓 偏微分 :
〇 <Ax Ay Az> Az=0 のとき、
<curl<A>>=<-Ay:z Ax:z Ay:x-Ax:y> x成分もy成分もある ★
〇 <curl<Ax Ay Az>=<zu>*(Ay:x-Ax:y) となるための条件
Az:y-Ay:z=0 & Ax:z-Az:x=0
例えば Ay:z=0 , Ax:z=0 , Az:x=0 , Az:y=0 ★ のとき ※ Az は z の関数であってもよい
もちろん Ay:z=0 , Ax:z=0 , Az=0 のとき <curl<Ax Ay Az>=<zu>*(Ay:x-Ax:y)
〓 <x 0 0> 〓
▷ div<x 0 0>=x:x=1 すべての場所で
<curl<x 0 0>>=<0> すべての場所で
〓 <-y 0 0> 〓
▷ div<-y 0 0>=0 すべての場所で
<curl<-y 0 0>>=<0 0 1> すべての場所で ※ 原点の周りだけに curl があるわけではなく、あらゆる場所にある{!}
〓 <-y x 0> 〓
▷ div<-y x 0>=0 すべての場所で
<curl<-y x 0>>=<0 0 x:x-(-y):y>=<0 0 2> すべての場所で
〓 <y x 0>/3 〓
▷ div<y x 0>/3=0 すべての場所で
<curl<y x 0>>=<0 0 x:x-y:y>=<0> すべての場所で
〓 <x y 0>/h 〓
▢ <h>=<x y 0> h=root(x^2+y^2) <hu>=<h>/h=<x y 0>/h
▷ h:x=x/h h:y=y/h
(1/h):x=-(h:x)/h^2=-(x/h)/h^2=-x/h^3
(x/h):x=1/h+x*[(1/h):x]=1/h-x^2/h^3
▷ div<hu>
=(x/h):x+(y/h):y
=(1/h-x^2/h^3)+(1/h-y^2/h^3)
=2/h-(x^2+y^2)/h^3
=2/h-h^2/h^3
=2/h-1/h
=1/h
≫ div<hu>=1/h ★
▷ <hu>=<x y 0>/h まったく z に依らないから <curl<hu>> は、z成分のみ
(<curl<hu>> z成分)=(y/h):x-(x/h):y=y*(-x/h^3)-x*(-y/h^3)=0
<curl<hu>>=<0> ★
☆ お勉強しよう since2011 Yuji.W