お勉強しようUz 物理定数 数学.ベクトル

2016/2-2014/1 Yuji.W

☆{例}ベクトル場☆

◎ 簡単なベクトル場 平面上のベクトルのdiv,curl

◇ ベクトル<A> 単位ベクトル<-u> 座標単位ベクトル<xu> 内積* 外積#
微分;x 
時間微分' 定積分${*dx}[x:a~b] 10^x=Ten(x) exp(i*x)=expi(x)

{復習}grad,div,curl.2変数関数

『grad,div,curl.2変数関数』 2016/2

◆ 2変数スカラー関数 f(x,y) 平面上のベクトル <A(x,y)>

■【 grad,div,curlの意味と定義 】

 山の頂上へ向かうベクトルの変化の割合と方向
=<xu>*[f(x,y);x]+<yu>*[f(x,y);y]
=<grad[f(x,y)]>

 単位面積当たりの流束(長方形から出て行く<A>の量)の極限
=Ax;x+Ay;y
=div<A>

 単位面積当たりのz軸に対する循環の極限
=単位面積当たりの(xy平面上の長方形の周りの線積分)の極限
=Ay;x-Ax;y
=<curl<A>>のz成分

■【 微分演算子の合成 】

@ div<grad[f(x,y)]>
=山の頂上へ向かうベクトルの変化の割合と方向の流束
=どれだけ傾斜が増していくか
=f;;x+f;;y
=△f

A <curl<grad[f(x,y)]>>のz成分
=山の頂上へ向かうベクトルのz軸に対する循環
=f;y;x-f;x;y
=0

B <grad(div<A>)>=<xu>*(Ax;;x+Ay;x;y)+<yu>*(Ax;x;y+Ay;;y)

C div<curl<A>>=循環の流束=Ay;x;z-Ax;y;z=0

D <curl<curl<A>>>=<xu>*(Ay;x;y-Ax;;y)-<yu>*(Ay;;x-Ax;x;y)

 △<A(x,y)>=<xu>*(Ax;;x+Ax;;y)+<yu>*(Ay;;x+Ay;;y)

 <curl<curl<A>>>+△<A>=<grad(div<A>)>

☆<x,0,0>☆

◆ <x,0,0>

▲ x軸方向のみ成分がある その成分の絶対値は、y軸からの距離に等しい

■ div<x,0,0>=x;x=1 すべての場所で

 <curl<A>>=-<zu>*(x;y)=0 すべての場所で

☆<-y,0,0>☆

◆ <-y,0,0>

▲ x軸方向のみ成分がある その成分の絶対値は、x軸からの距離に等しい

■ div<-y,0,0>=-y;x=0 すべての場所で

 <curl<-y,0,0>>=-<zu>*[(-y);y]=<zu> すべての場所で

※ 原点の周りだけに curl があるわけではなく、あらゆる場所にある{!}

☆<-y,x,0>☆

◆ <-y,x,0> |<-y,x,0>|=root(y^2+x^2)=r.=z軸からの距離

■ div<-y,x,0>=-y;x+x;y=0+0=0 すべての場所で

 <curl<-y,x,0>>=<zu>*[x;x-(-y);y]=<zu>*(1+1)=<zu>*2 すべての場所で

☆ベクトル場<y,x,0>☆

■ div<y,x,0>/3=(y;x+x;y)/3=(0+0)/3=0 すべての場所で

 <curl<y,x,0>>=<zu>*(x;x-y;y)=<zu>*(1-1)=0 すべての場所で

発散も渦もない場{!}

{復習}円座標(r,a)

『円座標(r,a)』 2016/1

■ 平面上の点の位置 2次元デカルト座標で (x,y) 円座標で (r,a)

 x=r*cos(a) y=r*sin(a) r=root(x^2+y^2) tan(a)=y/x

■ <grad>=∇=<ru>*(;r)+<au>*(1/r)*(;a)

 div<A>=[(r*Ar);r+Aa;a]/r

 <curl<A>>=<zu>*[(r*Aa);r-(Ar;a)]/r

 △=div<grad>=(1/r)*(;r)*r*(;r)+(1/r^2)*(;;a)

 △f=f;;r+(f;r)/r+(f;;a)/r^2

☆<r.>,<r.u>☆

◆ <r.>=<x y 0> 大きさ:z軸からの距離に比例 方向:原点から放射状

■ div<r.>=x;x+y;y=1+1=2

{別解} div<r.>=div(<r.u>*r.)=[(r.*r.);r.]/r.=2*r./r.=2

■ <curl<r.>>=<zu>*(y;x-x;y)=<zu>*(0-0)=0

{別解} <curl<r.>>=<curl(<r.u>*r.>=-<zu>*(r.;a)/r.=0

◆ <r.u>=<x y 0>/r. |<r.u>|=1 方向:原点から放射状

■ div<r.u>=(x/r.);x+(y/r.);y

ここで (x/r.);x
=1/r.+x*[(1/r.);r.]*(r.;x)
=1/r.+x*(-1/r.^2)*(x/r.)
=1/r.-x^2/r.^3 だから

 div<r.u>
=(1/r.-x^2/r.^3)+(1/r.-y^2/r.^3)
=2/r.-(x^2+y^2)/r.^3
=2/r.-r.^2/r.^3
=2/r.-1/r.
=1/r.

{別解} div<r.u>=[(r.*1);r.]/r.=1/r.

■ <curl<r.u>>=<zu>*[(y/r.);x-(x/r.);y]

ここで (y/r.);x
=y*[(1/r.);x]
=y*(-1/r.^2)*(x/r.)
=-x*y/r.^3 だから、

 <curl<r.u>>=<zu>*[(-x*y/r.^3)-(-x*y/r.^3)]=0

{別解} <curl<r.u>>=-<zu>*(1;a)/r.=0

◆ r.=root(x^2+y^2) <r.>=<x y 0> <r.u>=<r.>/r.

■ div<r.>=2  div<r.u>=1/r.

■ <curl<r.>>=0 <curl<r.u>>=0

  {例}ベクトル場  

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