☆ div ガウスの定理 ☆

お勉強しよう 数学 Python

〇 発散 diverge 広がる、分岐する divergence divergency 発散 分岐 拡散 多様化   2022.6-2012.2 Yuji.W 

【数学】 2*3=6 6/2=3 3^2=9 Ten(3)=10^3=1000  000 py- 0table
微分 ; 偏微分 : 積分 $ 定積分 ${f(x)*dx [x|0~1]}
ネイピア数 e 虚数単位 i e^(i*x)=expi(x)
ベクトル <A> |<A>|=A <A>/A=<Au> 
積 3*<A> 内積 <A>*<B> 外積 <A>#<B> 

〓 流束,div,ガウスの定理 〓 ◇ 微分 ; 偏微分 : 

▢ 3次元ベクトル場 <A(x,y,z)>=<Ax Ay Az>

閉曲面 閉曲面に囲まれた領域 面積要素 <dS>

〇 {定義} (流速)=$${<A>*<dS>〔閉曲面〕}

単位体積当たりの流速を考えて、

{定義} 発散 div<A>=lim[(体積)->0]{(流速)/(閉曲面内の体積)}  

★ <A>=<xu>*4*x 

考える領域 微少立方体[x~x+h,y~y+h,z~z+h] 0<h<<1 (立方体の体積)=h^3

 (立方体からの流出量)=4*(x+h)*h^2

 (立方体への流入量)=4*x*h^2

 (流束)=4*(x+h)*h^2-4*x*h^2=4*h^3

 (単位体積当たりの流束)=(4*h^3)/h^3=4

 div<A>=lim[領域->0]{4}=4

{こういう簡単な例を考える事が大事!2017/7}

〇 3次元ベクトル場 <A(x,y,z)>=<Ax Ay Az>

微少立方体立方体[x~x+h,y~y+h,z~z+h] 0<h<<1 (立方体の体積)=h^3

 (流束)
={[Ax(x+h,y,z)-Ax(x,y,z)]+[Ay(x,y+h,z)-Ay(x,y,z)]
+[Az(x,y,z+h)-A(x,y,z)]}*h^2

 (単位体積当たりの流束)
=[Ax(x+h,y,z)-Ax(x,y,z)]/h+[Ay(x,y+h,z)-Ay(x,y,z)]/h
+[Az(x,y,z+h)-A(x,y,z)]/h

h->0 として (単位体積当たりの流束)->Ax:x+Ay:y+Az:z

 div<A>=Ax:x+Ay:y+Az:z  

〇 領域内で体積積分すると流束になるから、

 $$${div<A>*dV〔領域〕}=$${<A>*<dS>〔閉曲面〕}  ガウスの定理

〓 div<A>=0 の意味 〓 

▢ あらゆる場所で div<A>=0 ソレノイダル場

〇 ガウスの定理により、任意の場所、任意の閉曲面で、

 $${<A>*<dS>〔閉曲面〕}=$$${div<A>*dV〔領域〕}=0

任意の閉曲面での流速が 0 という事だから、<A> が発生する点、消滅する点がないという意味になる  

〓 div ガウスの定理 〓 22.6 

〇 3次元ベクトル場 <A(x,y,z)>=<Ax Ay Az>

閉曲面 閉曲面に囲まれた領域 面積要素 <dS>

ガウスの定理 $$${div<A>*dV〔領域〕}=$${<A>*<dS>〔閉曲面〕} 

〇 あらゆる位置で div<A>=0 のとき、

任意の閉曲面で $${<A>*<dS>〔閉曲面〕}=0 <A> が発生する点、消滅する点がない

〓 領域の体積を求める 〓 ◇ 微分 ; 偏微分 : 

◎ ガウスの定理を利用して、空間図形の体積を求める

▢ 球の体積を求める 位置ベクトル <r>=<ru>*r=<x y z>

▷ 任意の位置で div<r>=x:x+y:y+z:z=1+1+1=3

原点を中心とする、半径rの球を考える

ガウスの定理により、

 $${<r>*<dS>〔閉曲面〕}
=$$${div<r>*dV〔領域〕}
=$$${3*dV〔領域〕}
=3*(体積)

 (体積)=(1/3)*$${<r>*<dS>〔閉曲面〕}

ここで <r>*<dS>=r*dS
 $${<r>*<dS>〔閉曲面〕}=r*$${dS〔閉曲面〕}=r*(4*Pi*r^2)=4*Pi*r^3

⇒ (体積)=(1/3)*(4*Pi*r^3)=(4/3)*Pi*r^3  

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