数学 ベクトル

2017/7-2011 Yuji.W

div<>,ガウスの定理

_ div 発散 ガウスの定理 diverge 広がる、分岐する divergence divergency 発散 分岐 拡散 多様化 _

◇ ベクトル <A> 単位ベクトル <-u> 座標単位ベクトル <x> 内積 * 外積 #
 積 * 商 / 10^x=Ten(x) exp(i*x)=expi(x) 微分 ; 
時間微分 ' 積分 $

☆流束,div,ガウスの定理☆

■ 3次元ベクトル場 <A(x,y,z)>=<Ax(x,y,z) Ay(x,y,z) Az(x,y,z)>

閉曲面 閉曲面に囲まれた領域 面積要素 <dS>

 流束=$${<A>*<dS>}[閉曲面]

 単位体積当たりの流束=(流束)/(領域の体積)

 div<A>=lim[領域->0]{単位体積当たりの流束}

■ <A>=<xu>*4*x 立方体[x~x+h,y~y+h,z~z+h]

 流束
=$${<A>*<dS>}[立方体の表面]
=4*(x+h)*h^2-4*x*h^2
=4*h^3

 単位体積当たりの流束=(4*h^3)/h^3=4

 div<A>=lim[領域->0]{4}=4

{こういう簡単な例を考える事が大事!2017/7}

■ 3次元ベクトル場 <A(x,y,z)>=<Ax Ay Az>

微少立方体[x~x+h,y~y+h,z~z+h]〔 0<h<<0 〕

 流束
={[Ax(x+h,y,z)-Ax(x,y,z)]+[Ay(x,y+h,z)-Ay(x,y,z)]
+[Az(x,y,z+h)-A(x,y,z)]}*h^2

 単位体積当たりの流束
=流束/体積
=流束/h^3
=[Ax(x+h,y,z)-Ax(x,y,z)]+[Ay(x,y+h,z)-Ay(x,y,z)]
+[Az(x,y,z+h)-A(x,y,z)]}/h

 div<A>=lim[h->0]{単位体積当たりの流束}=Ax;x+Ay;y+Az;z _

■ 領域内で体積積分すると流束になるから、

 $${<A>*<dS>}[閉曲面]=$$${div<A>*dV}[領域] _ガウスの定理

『div』

■ 流束=$${<A>*<dS>}[閉曲面]

 div<A>=lim[領域->0]{単位体積当たりの流束}=Ax;x+Ay;y+Az;z

 $${<A>*<dS>}[閉曲面]=$$${div<A>*dV}[領域] ガウスの定理

☆div<A>=0 の意味☆

◆ あらゆる場所で div<A>=0 ソレノイダル場

■ ガウスの定理により、任意の場所、任意の閉曲面で、

 $${<A>*<dS>}[S:領域の面積]
=$$${div<A>*dV}[V:ある領域の体積]
=0 

<A> が発生する点、消滅する点がない 磁場がそうである

■ 任意のベクトル <X> に対して div<rot<X>>=0 となるから、

別のベクトル <X> を用意して <A>=<rot<X>> と置くことができる。

自動的に div<A>=div<rot<X>>=0

▲磁場で div<B>=0 <B>=<rot<A>>

☆お勉強しよう 2017-2011 Yuji.W☆

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