物理　座標　2018/7-2012/4　Yuji.W

☆ 微分演算子.球座標 ☆

◎ grad　div　curl　△ ★_

〓　∇　〓 .

◆ デカルト座標でのnabla ∇=<xu>*(;x)+<yu>*(;y)+<zu>*(;z)

　[XS]
=[sin(a)*cos(b)　cos(a)*cos(b)　-sin(b)|
sin(a)*sin(b)　cos(a)*sin(b)　cos(b)|
cos(a)　-sin(a)　0]

　<(;x) (;y) (;z))=[XS]*<(;r)　(1/r)*(;a)　{1/[r*sin(a)]}*(;b))

■ <xu>*(;x)
=(<ru>*sin(a)*cos(b)+<au>*cos(a)*cos(b)-<bu>*sin(b))
*{sin(a)*cos(b)*(;r)+cos(a)*cos(b)*(1/r)*(;a)
-sin(b)*{1/[r*sin(a)]}*(;b)}　�@

　<yu>*(;y)
=(<ru>*sin(a)*sin(b)+<au>*cos(a)*sin(b)+<bu>*cos(b))*
*{sin(a)*sin(b)*(;r)+cos(a)*sin(b)*(1/r)*(;a)
+cos(b)*{1/[r*sin(a)]}*(;b)}　�A

　<zu>*(;z)
=(<ru>*cos(a)-<au>*sin(a))*{cos(a)*(;r)-sin(a)*(1/r)*(;a)}　�B

　∇=<xu>*(;x)+<yu>*(;y)+<zu>*(;z)=�@+�A+�B　を求めたい。

　<ru>*(;r)の係数
=sin(a)^2*cos(b)^2+sin(a)^2*sin(b)^2+cos(a)^2
=sin(a)^2+cos(a)^2
=1

　<ru>*(;a)の係数
=cos(a)*sin(a)*cos(b)^2*(1/r)+cos(a)*sin(a)*sin(b)^2*(1/r)
-cos(a)*sin(a)*(1/r)
=cos(a)*sin(a)*(1/r)-cos(a)*sin(a)*(1/r)
=0 

　<ru>*(;b)の係数
=-sin(a)*cos(b)*sin(b)*{1/[r*sin(a)]}
+sin(a)*cos(b)*sin(b)*{1/[r*sin(a)]}
=0

　ナブラのr成分=<ru>*(;r)　�C

　<au>*(;r)の係数
=cos(a)*sin(a)*cos(b)^2+cos(a)*sin(a)*sin(b)^2-cos(a)*sin(a)
=cos(a)*sin(a)-cos(a)*sin(a)
=0

　<au>*(;a)の係数
=cos(a)^2*cos(b)^2*(1/r)+cos(a)^2*sin(b)^2*(1/r)+sin(a)^2*(1/r)
=cos(a)^2*(1/r)+sin(a)^2*(1/r)
=1/r

　<au>*(;b)の係数=-cos(a)*cos(b)*sin(b)*{1/[r*sin(a)]}
+cos(a)*cos(b)*sin(b)*{1/[r*sin(a)]}
=0

　ナブラの天頂角a成分=<au>*(1/r)*(;a)　�D

　<bu>*(;r)の係数=-sin(a)*cos(b)*sin(b)+sin(a)*cos(b)*sin(b)=0

　<bu>*(;a)の係数
=-cos(a)*cos(b)*sin(b)*(1/r)+cos(a)*cos(b)*sin(b)*(1/r)
=0

　<bu>*(;b)の係数=sin(b)^2*{1/[r*sin(a)]}+cos(b)^2*{1/[r*sin(a)]}
={1/[r*sin(a)]}

　ナブラの方位角b成分=<bu>*{1/[r*sin(a)]}*(;b)　�E

�C�D�Eより、

　∇=<ru>*(;r)+<au>*(1/r)*(;a)+<bu>*{1/[r*sin(a)]}*(;b) ★_

{素晴らしい、できた!2014/1}

〓　grad div curl　〓 .

■ <grad>
=∇
=<ru>*(;r)+<au>*(1/r)*(;a)+<bu>*{1/[r*sin(a)]}*(;b) ★_

■ 円柱座標 (h,a,z)_C　<Ah Aa Az>_C　座標単位ベクトル <hu>,<au>,<zu>

　<grad(f)>=<f;r　(f;a)/r　(f;b)/[r*sin(a)]>_S ★_

■ div<A>
=∇*<A>
=[<ru>*(;r)+<au>*(1/r)*(;a)+<bu>*{1/[r*sin(a)]}*(;b)]
*(<ru>*Ar+<au>*Aa+<bu>*Ab)

ここで注意しなくてはいけないことは、

�@ 演算子の偏微分を先に作用させる。ベクトルの内積は、その後{!}
�A 座標単位ベクトルは、a や b で偏微分すると、大きさや向きが変わる{!}

微分の項ごとに計算すると、

　<ru>*(;r)*(<ru>*Ar+<au>*Aa+<bu>*Ab)=Ar;r

　<au>*(1/r)*(;a)*(<ru>*Ar+<au>*Aa+<bu>*Ab)
=(1/r)*Aa;a+(1/r)*Ar
=(1/r)*(Aa;a+Ar)

　<bu>*{1/[r*sin(a)]}*(;b)]*(<ru>*Ar+<au>*Aa+<bu>*Ab)
={1/[r*sin(a)]}*Ab;b+{1/[r*sin(a)]}*(sin(a)*Ar+cos(a)*Aa)
={1/[r*sin(a)]}*Ab;b+{1/[r*sin(a)]}*(sin(a)*Ar+cos(a)*Aa)
={1/[r*sin(a)]}*(Ab;b+sin(a)*Ar+cos(a)*Aa)

　div<A>
=∇*<A>
=Ar;r+(1/r)*(Aa;a+Ar)+{1/[r*sin(a)]}*(Ab;b+sin(a)*Ar+cos(a)*Aa)
=[2*Ar/r+Ar;r]+[Aa/(r*tan(a))+(Aa;a)/r]+(Ab;b)/[r*sin(a)]
={(r^2*Ar);r}/r^2+{[sin(a)*Aa];a}/[r*sin(a)]+(Ab;b)/[r*sin(a)]

≫　div<A>
={(r^2*Ar);r}/r^2+{[sin(a)*Aa];a}/[r*sin(a)]+(Ab;b)/[r*sin(a)] ★_

■ <curl<A>>
=∇#<A>
=[<ru>*(;r)+<au>*(1/r)*(;a)+<bu>*{1/[r*sin(a)]}*(;b)]
#(<ru>*Ar+<au>*Aa+<bu>*Ab)

展開して、9つの項を別々に書くと、

　[<ru>*(;r)]#(<ru>*Ar)=0
　[<ru>*(;r)]#(<au>*Aa)=<bu>*Aa;r
　[<ru>*(;r)]#(<bu>*Ab)=-<au>*Ab;r

　[<au>*(1/r)*(;a)]#(<ru>*Ar)=-<bu>*Ar;a/r
　[<au>*(1/r)*(;a)]#(<au>*Aa)=<bu>*Aa/r
　[<au>*(1/r)*(;a)]#(<bu>*Ab)=<ru>*Ab;a/r

　[<bu>*{1/[r*sin(a)]]*(;b)]}#(<ru>*Ar)=<au>*Ar;b/[r*sin(a)]
　[<bu>*{1/[r*sin(a)]]*(;b)]}#(<au>*Aa)=-<ru>*Aa;b/[r*sin(a)]
　[<bu>*{1/[r*sin(a)]]*(;b)]}#(<bu>*Ab)
=-<bu>#(<ru>*sin(a)+<au>*cos(a))*Ab/[r*sin(a)]
=-<au>*sin(a)*Ab/[r*sin(a)]+<ru>*cos(a)*Ab/[r*sin(a)]
=-<au>*Ab/r+<ru>*Ab/(r*tan(a))　{核心!}

　<curl<A>>
=<ru>*{[sin(a)*Ab];a/[r*sin(a)]-(Aa;b)/[r*sin(a)]}
+<au>*{(Ar;b)/[r*sin(a)]-[(r*Ab);r]/r}
+<bu>*{[(r*Aa);r]/r-(Ar;a)/r]} ★_

〓　△　〓 .

◎ 球座標(r,a,b)のラプラシアン

◆ ∇=<ru>*(;r)+<au>*(1/r)*(;a)+<bu>*{1/[r*sin(a)]}*(;b)

任意のベクトル <A>=<ru>*Ar+<au>*Aa+<bu>*Ab

■ △=div<grad>

　<grad>=<ru>*(;r)+<au>*(1/r)*(;a)+<bu>*{1/[r*sin(a)]}*(;b)

　div<A>
={(r^2*Ar);r}/r^2+{[sin(a)*Aa];a}/[r*sin(a)]+(Ab;b)/[r*sin(a)]

△の部分を求めると、

　(r^2*Ar);r=(;r)*r^2*(;r)
　[sin(a)*Aa];a=(1/r)*(;a)*sin(a)*(;a)
　Ab;b={1/[r*sin(a)]}*(;;b)　だから、

　△
=(1/r^2)*(;r)*r^2*(;r)
+{1/[r^2*sin(a)]}*(;a)*sin(a)*(;a)
+{1/[r^2*sin(a)^2]}*(;;b)

任意の関数 f(r,a,b) に対して、

　△f
={[r^2*(f;r)];r}/r^2
+{[sin(a)*(f;a)];a}/[r^2*sin(a)]+(f;;b)/[r^2*sin(a)^2] ★.

{この方法が最も簡単みたい!2016/2}

〓　微分演算子.球座標　〓 .

◆ 球座標(r,a,b)　原点からの距離(動径) r　z軸と成す角(天頂角) a

z軸の周りの回転角(方位角) b

　0≦a<Pi　0≦b<2Pi　r=root(x^2+y^2+z^2)

任意のスカラー関数 f(r,a,b)

任意のベクトル関数 <A(r,a,b)>=<ru>*Ar+<au>*Aa+<bu>*Ab

■ x=r*sin(a)*cos(b)　y=r*sin(a)*sin(b)　z=r*cos(a)

　r=root(x^2+y^2+z^2)　h=root(x^2+y^2)　tan(a)=z/h　tan(b)=y/x

■ <grad>=∇=<ru>*(;r)+<au>*(1/r)*(;a)+<bu>*{1/[r*sin(a)]}*(;b)

　div<A>
={(r^2*Ar);r}/r^2+{[sin(a)*Aa];a}/[r*sin(a)]+(Ab;b)/[r*sin(a)]

　<curl<A>>
=<ru>*{[sin(a)*Ab];a/[r*sin(a)]-(Aa;b)/[r*sin(a)]}
+<au>*{(Ar;b)/[r*sin(a)]-[(r*Ab);r]/r}
+<bu>*{[(r*Aa);r]/r-(Ar;a)/r]} 

　△
=(1/r^2)*(;r)*r^2*(;r)
+{1/[r^2*sin(a)]}*(;a)*sin(a)*(;a)
+{1/[r^2*sin(a)^2]}*(;;b)

■ <grad(f)>=<ru>*(f;r)+<au>*(f;a)/r+<bu>*(f;b)/[r*sin(a)]

　div<A>
={(r^2*Ar);r}/r^2+{[sin(a)*Aa];a}/[r*sin(a)]+(Ab;b)/[r*sin(a)]

　<curl<A>>
=<ru>*{[sin(a)*Ab];a/[r*sin(a)]-(Aa;b)/[r*sin(a)]}
+<au>*{(Ar;b)/[r*sin(a)]-[(r*Ab);r]/r}
+<bu>*{[(r*Aa);r]/r-(Ar;a)/r]}

　△f
={[r^2*(f;r)];r}/r^2
+{[sin(a)*(f;a)];a}/[r^2*sin(a)]+(f;;b)/[r^2*sin(a)^2]

〓　r のみの関数に対して　〓 .

◆ 球座標 (r,a,b)　r のみのスカラー関数 f(r)

r のみのベクトル関数 <A(r)>=<ru>*Ar(r)+<au>*Aa(r)+<bu>*Ab(r)

■ <grad[f(r)]>=<ru>*(f;r)

　div<A(r)>={(r^2*Ar);r}/r^2

　<curl<A(r)>>=-<au>*[(r*Ab);r]/r+<bu>*[(r*Aa);r]/r

　△f(r)={[r^2*(f;r)];r}/r^2

〓　r のみの関数に対するラプラシアン　〓 .

◆ 球座標 (r,a,b)　r^2*△f(r)=[r^2*(f;r)];r

■ 　r^2*△r=(r^2);r=2*r　△r=2/r

　r^2*△r^2=[r^2*(2*r)];r=[2*r^3];r=6*r^2　△r^2=6

{別解}　△r^2
=△(x^2+y^2+z^2)
=(x^2+y^2+z^2);;x+(x^2+y^2+z^2);;y+(x^2+y^2+z^2);;z
=2+2+2
=6

　r^2*△(1/r)=[r^2*(-1/r^2)];r=-1;r=0　△(1/r)=0

{まとめ}　△r=2/r　△r^2=6　△(1/r)=0 ★_

☆ お勉強しよう　2018-2011　Yuji W. ☆