お勉強しようUz〕 数学 微分演算子

2017/2-2016/2 Yuji.W

☆grad,div,curl.2次元☆

_  _〔物理定数〕◎ 微分演算子 2次元 grad div curl rot

★10^x=Ten(x) exp(i*x)=expi(x) ★ベクトル<A> 単位ベクトル<Au> 座標単位ベクトル<xu> 縦ベクトル<A) 内積* 外積# ★微分;x 時間微分' 積分$

◇grad.2次元◇

◆ 2次元スカラー関数 f(x,y) ※ 標高を表しているとイメージできる

 <grad(f)>=<xu>*(f;x)+<yu>*(f;y) 等高線の方向を示すベクトル <Co(x,y)>

微小変化 Δx , Δy に対するf(x,y)の変化量 Δf(x,y)=(f;x)*Δx+(f;y)*Δy

■ 等高線=[f(x,y)=一定 となる曲線]

等高線上で 0=Δf=(f;x)*Δx+(f;y)*Δy Δy/Δx=-(f;x)/(f;y)

 <Co>
∝ <xu>*Δx+<yu>*Δy
=<xu>*Δx-<yu>*Δx*(f;x)/(f;y)
∝ <xu>-<yu>*(f;x)/(f;y)

≫ <Co> ∝ <xu>-<yu>*(f;x)/(f;y) .

■ <grad(f)>*<Co>
∝ [<xu>*(f;x)+<yu>*(f;y)]*[<xu>-<yu>*(f;x)/(f;y)]
=(f;x)-(f;x)
=0

≫ <grad(f)> ⊥ <Co> .

◇div.2次元◇

◆ 2次元ベクトル関数 <A(x,y)>=<xu>*Ax(x,y)+<yu>*Ay(x,y)

 div<A(x,y)>=Ax;x+Ay;y

微少量 h に対して、正方形(x,y)-(x+h,y)-(x+h,y+h)-(x,y+h) を考える。

■ 右辺を通って正方形を出て行く量=Ax(x+h,y)*h
 左辺を通って正方形に入ってくる量=Ax(x,y)*h
 その差
=Ax(x+h,y)*h-Ax(x,y)*h
=[Ax(x+h,y)-Ax(x,y)]*h
=[(Ax;x)*h]*h
=(Ax;x)*h^2

 上辺を通って正方形を出て行く量=Ay(x,y+h)*h
 下辺を通って正方形に入ってくる量=Ay(x,y)*h
 その差=(Ay;y)*h^2

 正方形を出て行く量=(Ax;x)*h^2+(Ay;y)*h^2=div<A(x,y)>*h^2 .

◇curl.2次元◇

◆ 2次元ベクトル関数 <A(x,y)>=<xu>*Ax(x,y)+<yu>*Ay(x,y)

 <curl<A(x,y)>>=<zu>*[(Ay;x)-(Ax;y)]

微少量 h に対して、正方形(x,y)-(x+h,y)-(x+h,y+h)-(x,y+h) を考える。

■ 正方形を一周する線積分を考える。

 右辺の線積分=Ay(x+h,y)*h 左辺の線積分=-Ay(x,y)*h
 その差=Ay(x+h,y)*h-Ay(x,y)*h=[(Ay;x)*h]*h=(Ay;x)*h^2

 上辺の線積分=-Ax(x,y+h)*h 下辺の線積分=+Ax(x,y)*h
 その差=-Ax(x,y+h)*h+Ax(x,y)*h=-(Ax;y)*h^2

 一周の線積分=(Ay;x)*h^2-(Ax;y)*h^2=(<curl<A>>のz成分)*h^2 .

{まとめ}grad,div,curl.2次元

『grad,div,curl.2次元』 2016/12

◆ 2次元スカラー関数 f(x,y)

■ <grad(f)>=<xu>*(f;x)+<yu>*(f;y) ⊥ (等高線)


◆ 2次元ベクトル関数 <A(x,y)>=<xu>*Ax(x,y)+<yu>*Ay(x,y)

微少量 h に対して、正方形(x,y)-(x+h,y)-(x+h,y+h)-(x,y+h) を考える。

■ div<A(x,y)>=Ax;x+Ay;y 正方形を出て行く量=div<A(x,y)>*h^2

■ <curl<A(x,y)>>=<zu>*[(Ay;x)-(Ax;y)]

 (正方形を一周する線積分)=(<curl<A>>のz成分)*h^2

{例}ベクトル場

★ <A>=<-y x 0>/2

 div<A>=[(-y;x)+(x;y)]/2=0

 <curl<A>>=<zu>*[(x;x)-(-y);y]/2=<zu>*(1+1)/2=<zu> z軸の正の方向に対して右回り(紙面上で反時計回り)

★ <A>=<xu>*x

 div<A>=1 湧き出しあり  <curl<A>>=0 渦なし

★ <A>=<xu>*y

 div<A>=0 湧き出しなし

 <curl<A>>=-<zu>*(y;y)=-<zu> z軸の正の方向に対して左回り(紙面上で時計回り)

◇curl*grad◇

◎ ベクトル <grad[f(x,y)]> に対して div や curl を考えることができる

◆ xy平面上のスカラー f(x,y)

■【 curl*grad 】

 <grad(f)>=<f;x f;y 0>

 <curl<grad(f)>>
=<zu>*{[(f;y);x-(f;x);y]
=<zu>*(f;y;x-f;x;y)

2階微分の値は、微分の順序に依らないから f;y;x-f;x;y=0

 <curl<grad(f)>>=0 .傾きの循環=0

■【 div*grad 】

 <grad(f)>=<xu>*(f;x)+<yu>*(f;y)

 div<grad(f)>=(f;x);x+(f;y);y=f;;x+f;;y=△f .

◇div*curl◇

◎ ベクトル <curl<A>> に対して div や curl を考えることができる

◆ (x,y)を与えると大きさも方向も決まり、xy平面上にあるベクトル <A>

 <A(x,y)>=<Ax(x,y) Ay(x,y) 0>

■【 div*curl 】

 <curl<A>>=<zu>*[(Ay;x)-(Ax;y)]

 div<curl<A>>=[(Ay;x)-(Ax;y)];z=0 .循環の発散=0

■【 △<A(x,y)> 】

スカラーに対して △Ax=Ax;;x+Ax;;y

ベクトルに対して △<A(x,y)>
=<xu>*△Ax+<yu>*△Ay
=<xu>*(Ax;;x+Ax;;y)+<yu>*(Ay;;x+Ay;;y) 
.

■【 curl*curl 】

 <curl<curl<A>>>
=<curl[<zu>*(Ay;x-Ax;y)]>
=<xu>*[(Ay;x-Ax;y);y]-<yu>*[(Ay;x-Ax;y);x]
=<xu>*(Ay;x;y-Ax;;y)-<yu>*(Ay;;x-Ax;x;y) 
.

■ ベクトルに対する△を次のように定義する

 △<A(x,y)>
=<xu>*△Ax+<yu>*△Ay
=<xu>*(Ax;;x+Ax;;y)+<yu>*(Ay;;x+Ay;;y) 
.

 <curl<curl<A>>>+△<A>
=<xu>*(Ay;x;y-Ax;;y)-<yu>*(Ay;;x-Ax;x;y)
+<xu>*(Ax;;x+Ax;;y)+<yu>*(Ay;;x+Ay;;y)
=<xu>*(Ax;;x+Ay;x;y)+<yu>*(Ax;x;y+Ay;;y)
=<grad(div<A>)>

≫ <curl<curl<A>>>+△<A>=<grad(div<A>)> .

◎ ベクトル <curl<A>> の curl を考えることができる

◆ xy平面上のベクトル <A> <curl<A>> z成分のみ

div<curl<A>> <curl<curl<A>>> を考えることができる

■ <curl<curl<A>>>
=<curl[<zu>*(Ay;x-Ax;y)]>
=<xu>*[(Ay;x-Ax;y);y]-<yu>*[(Ay;x-Ax;y);x]
=<xu>*(Ay;x;y-Ax;;y)-<yu>*(Ay;;x-Ax;x;y) 
.

■ ベクトルに対する△を次のように定義する

 △<A(x,y)>
=<xu>*△Ax+<yu>*△Ay
=<xu>*(Ax;;x+Ax;;y)+<yu>*(Ay;;x+Ay;;y) 
.

 <curl<curl<A>>>+△<A>
=<xu>*(Ay;x;y-Ax;;y)-<yu>*(Ay;;x-Ax;x;y)
+<xu>*(Ax;;x+Ax;;y)+<yu>*(Ay;;x+Ay;;y)
=<xu>*(Ax;;x+Ay;x;y)+<yu>*(Ax;x;y+Ay;;y)
=<grad(div<A>)>

≫ <curl<curl<A>>>+△<A>=<grad(div<A>)> .

◇grad*div◇

◎ スカラー div<A> に対して grad を考えることができる

◆ (x,y)を与えると大きさも方向も決まり、xy平面上にあるベクトル <A>

 <A(x,y)>=<Ax(x,y) Ay(x,y) 0>

■ div<A>=Ax;x+Ay;y

 <grad(div<A>)>
=<xu>*[(Ax;x+Ay;y);x]+<yu>*[(Ax;x+Ay;y);y]
=<xu>*(Ax;;x+Ay;x;y)+<yu>*(Ax;x;y+Ay;;y) 
.

◇curl*curl◇

◎ ベクトル <curl<A>> の curl を考えることができる

◆ xy平面上のベクトル <A> <curl<A>> z成分のみ

div<curl<A>> <curl<curl<A>>> を考えることができる

■ <curl<curl<A>>>
=<curl[<zu>*(Ay;x-Ax;y)]>
=<xu>*[(Ay;x-Ax;y);y]-<yu>*[(Ay;x-Ax;y);x]
=<xu>*(Ay;x;y-Ax;;y)-<yu>*(Ay;;x-Ax;x;y) 
.

■ ベクトルに対する△を次のように定義する

 △<A(x,y)>
=<xu>*△Ax+<yu>*△Ay
=<xu>*(Ax;;x+Ax;;y)+<yu>*(Ay;;x+Ay;;y) 
.

 <curl<curl<A>>>+△<A>
=<xu>*(Ay;x;y-Ax;;y)-<yu>*(Ay;;x-Ax;x;y)
+<xu>*(Ax;;x+Ax;;y)+<yu>*(Ay;;x+Ay;;y)
=<xu>*(Ax;;x+Ay;x;y)+<yu>*(Ax;x;y+Ay;;y)
=<grad(div<A>)>

≫ <curl<curl<A>>>+△<A>=<grad(div<A>)> .

{まとめ}grad,div,curl.2次元関数

◇ curl C div D grad G

■ C*C+△=G*D C*D ない C*G=0

 D*C=0 D*D ない D*G=△f

 G*C ない G*D=C*C+△ G*G ない

お勉強しようUz〕 数学 ベクトル grad,div,curl,△.2次元

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