数学 2018/4-2016/2 Yuji.W

☆ grad,div,curl.2次元

微分演算子 2次元 grad div curl rot

スカラー関数 f(x,y) ベクトル関数 <A>=<x>*Ax(x,y)+<y>*Ay(x,y) _

◇ ベクトル <A> 単位ベクトル <-u> 内積 * 外積 # 座標単位<x>,<y>,<z>
 円柱座標 <hu>,<a>,<z> 球座標 <ru>,<a>,<b>

◇ 2*3=6 6/2=3 3^2=9 10^x=Ten(x) 微分 ;x 時間微分 ' 積分 $
 
ネイピア数 e e^x=exp(x) 対数 底a log(a,x) 底e ln(x) 底10 LOG(x)
 i^2=-1 e^(i*x)=exp(i*x)=expi(x) 複素数zの共役複素数 \z

〓 微分演算子 〓 .

@ xy平面上での次の関数について考える。

 スカラー関数 f(x,y) ベクトル関数 <A(x,y)>=<x>*Ax+<y>*Ay

次のように表す。

 <grad(f)>=<Gf> div<A>=D<A> <curl<A>>=<C<A>>

2重の微分演算子

 div<grad(f)>=DGf <curl<grad(f)>>=<CGf>

 <grad(div<A>)>=<GD<A>>

 div<curl<A>>=DC<A> <curl<curl<A>>>=<CC<A>>

 ラプラシアン Δ

〓 スカラー関数に対して 〓 .

◆ 2次元スカラー関数 f(x,y)

■ <Gf>=<x>*(f;x)+<y>*(f;y) _

■ DGf=(f;x);x+(f;y);y=f;;x+f;;y=Δf _

■ <CGf>=<z>*{[(f;y);x]-[(f;x);y]}=<z>*(f;y;x-f;x;y)=0 _

★ f(x,y)=x^2+y^2

 <G*f>=<x>*2*x+<y>*2*y & DGf=2+2=4

〓 ベクトル関数に対して 〓 .

ベクトル関数 <A(x,y)>=<x>*Ax+<y>*Ay

■ D<A>=Ax;x+Ay;y _

■ <C<A>>=<z>*(Ay;x-Ax;y) _

<GD<A>>
=<x>*(Ax;x+Ay;y);x+<y>*(Ax;x+Ay;y);y
=<x>*(Ax;;x+Ay;x;y)+<y>*(Ax;x;y+Ay;;y)

■ DC<A>=(Ay;x-Ax;y);z=Ay;x;z-Ax;x;z=0 _

■ <CC<A>>
=<x>*(Ay;x-Ax;y);y-<y>*(Ay;x-Ax;y);x
=<x>*(Ay;x;y-Ax;;y)-<y>*(Ay;;x-Ax;x;y) _

■ <GD<A>>-<CC<A>>
=[<x>*(Ax;;x+Ay;x;y)+<y>*(Ax;x;y+Ay;;y)]
-[<x>*(Ay;x;y-Ax;;y)-<y>*(Ay;;x-Ax;x;y)]
=<x>*(Ax;;x+Ax;;y)+<y>*(Ay;;x+Ay;;y)

ここで <x>*(Ax;;x+Ax;;y)+<y>*(Ay;;x+Ay;;y)=<Δ<A>> とすれば、

 <GD<A>>-<CC<A>>=<Δ<A>>

》<CC<A>>+<Δ<A>>=<GD<A>> _

〓 f(x,y) , <A(x,y)> に対して 〓 .

スカラー関数 f(x,y) ベクトル関数 <A(x,y)>=<x>*Ax+<y>*Ay

◇ <grad(f)>=<Gf> div<A>=D<A> <curl<A>>=<C<A>>

■ <Gf>=<x>*(f;x)+<y>*(f;y) D<A>=Ax;x+Ay;y
 
<C<A>>=<z>*(Ay;x-Ax;y)

DGf=Δf  <CGf>=0 DC<A>=0

<CC<A>>=<x>*(Ay;x;y-Ax;;y)-<y>*(Ay;;x-Ax;x;y)

 <Δ<A>>=<x>*(Ax;;x+Ax;;y)+<y>*(Ay;;x+Ay;;y)

 <GD<A>>=<x>*(Ax;;x+Ay;x;y)+<y>*(Ax;x;y+Ay;;y)

 <CC<A>>+<Δ<A>>=<GD<A>>

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