お勉強しようUz〕 数学 ベクトル

2017/2-2012/1 Yuji.W

ベクトルの微分

_  _〔物理定数

★10^x=Ten(x) exp(i*x)=expi(x) ★微分;x 時間微分' 積分$ ★ベクトル<A> 単位ベクトル<Au> 座標単位ベクトル<xu> 縦ベクトル<A) 内積* 外積#

☆ベクトルの微分☆

◆ 任意のベクトル <A(t)> 微少量 Δt

■ ベクトルの微分

@ まず <A(t+Δt)>-<A(t)> を考える。

A 次に (<A(t+Δt)>-<A(t)>)/Δt を考える。

 Δt->0 で 分子->0 分母->0

 lim[Δt->0]{(<A(t+Δt)>-<A(t)>)/Δt}=0/0 ? ではなく、ある一定の値をとることがある。それを、微分とする。

ベクトルの微分 <A(t)>;t=lim[Δt->0]{(<A(t+Δt)>-<A(t)>)/Δt}

◆ 任意のベクトル <A(u,v)>

■ u による偏微分

@ まず <A(u+Δu,v)>-<A(u,v)> を考える。

uだけ変化させる。v は一定の値。

A 次に (<A(u+Δu,v)>-<A(u,v)>)/Δu を考える。

 Δu->0 で 分子->0 分母->0

 lim[Δu->0]{(<A(u+Δu,v)>-<A(u,v)>)/Δu}=0/0 ? ではなく、ある一定の値をとることがある。それを、u による偏微分とする。

u による偏微分 <A(u,v)>;u=lim[Δu->0]{(<A(u+Δu,v)>-<A(u,v)>)/Δu}

同様に、v だけ変化させたものを、

v による偏微分 <A(u,v)>;v=lim[Δv->0]{(<A(u,v+Δv)>-<A(u,v)>)/Δv}

☆座標単位ベクトルの微分☆

◆ 円座標(r.,b) 座標単位ベクトル <r.u(r.,b)>,<bu(r.,b)>

位置によって、座標単位ベクトルの向きは変わる{!}

@ <r.u(r.,b)>;r. (r.,b)~(r.+Δr.,b) を考える。

向きも大きさも変わらないから、

 <r.u(r.+Δr.,b)>-<r.u(r.,b)>=0 <r.u(r.,b)>;r.=0

A <bu(r.,b)>;r. (r.,b)~(r.+Δr.,b) を考える。

向きも大きさも変わらないから、

 <bu(r.+Δr.,b)>-<bu(r.,b)>=0 <bu(r.,b)>;r.=0

B <r.u(r.,b)>;b (r.,b)~(r.,b+Δb) を考える。

 <r.u(r.,b+Δb)>-<r.u(r.,b)>=<bu>*Δb {核心!}

 <r.u(r.,b)>;b
=lim[Δb->0]{(<r.u(r.,b+Δb)>-<r.u(r.,b)>)/Δb}
=lim[Δb->0]{<bu>*Δb/Δb}
=lim[Δb->0]{<bu>}
=<bu>   <r.u(r.,b)>;b=<bu>
{おもしろいなあ!2014/1}

C <bu(r.,b)>;b (r.,b)~(r.,b+Δb) を考える。

 <bu(r.,b+Δb)>-<bu(r.,b)>=-<r.u>*Δb {核心!}

 <bu(r.,b)>;b
=lim[Δb->0]{(<bu(r.,b+Δb)>-<bu(r.,b)>)/Δb}
=lim[Δb->0]{-<ru>*Δb/Δb}
=-<ru>   <bu(r.,b)>;b=-<ru>
{おもしろいなあ!2014/1}

◆ 2次元デカルト座標(x,y) 座標単位ベクトル <xu>,<yu>

■ <xu>,<yu> は、x を変化させても、y を変化させても、大きさも向きもいっさい変わらない。

 <xu>;x=<yu>;x=<xu>;y=<yu>;y=0

----- まとめ -----

「円座標(r.,b)の座標単位ベクトルの偏微分」

;r

;b

<r.u>

0

<bu>

<bu>

0

-<r.u>

「2次元デカルト座標(x,y)の座標単位ベクトルの偏微分」

;x

;y

<xu>

0

0

<yu>

0

0

☆微分の公式☆

■(<A>+<B>)'=<A>'+<B>'

■(k*<A>)'=k*<A>'

■(<A>*<B>)'=<A>'*<B>+<A>*<B>'

{証明}左辺=(Ax*Bx+Ay*By+…)'=(Ax'*Bx+Ax*Bx')+(Ay'*By+Ay*By')+(…)
=(Ax'*Bx+Ay'*By+Az'*Bz)+(Ax*Bx'+…)
=<A>'*<B>+<A>*<B>'

■(<A>#<B>)'=<A>'#<B>+<A>#<B>'

{証明}左辺のz成分=(Ax*By-Ay*Bx)'=(Ax'*By+Ax*By')-(Ay'*Bx+Ay*Bx')
=(Ax'*By-Ay'*Bx)+(Ax*By'-Ay*Bx')
=<A>'#<B>のz成分+<A>#<B>'のz成分

■(A^2)'=(<A>#<A>)'=(Ax^2+Ay^2+Az^2)'
=2*(Ax*Ax'+Ay*Ay'+Az*Az')=2*<A>*<A>'

■<A>*<A>'=A*A' {知らなかった!2013/4}

{証明}左辺=Ax*Ax'+Ay*Ay'+Az*Az'

 A'=[root(Ax^2+Ay^2+Az^2)]'
=(1/2)*2*(Ax*Ax'+Ay*Ay'+Az*Az')/root(Ax^2+Ay^2+Az^2)
=(Ax*Ax'+Ay*Ay'+Az*Az')/A だから、

 右辺=Ax*Ax'+Ay*Ay'+Az*Az'

{証明2}左辺=A*(<A>'の<A>方向成分)=A*A'

「ベクトルの微分」

■(<A>+<B>)'=<A>'+<B>' (k*<A>)'=k*<A>'

■(<A>*<B>)'=<A>'*<B>+<A>*<B>'

■(<A>#<B>)'=<A>'#<B>+<A>#<B>'

■<A>*<A>'=A*A'

☆計算例☆

■<A>=<5*t^2,t,-t^2> <B>=<sin(t),-cos(t),0>

<A>*<B>=5*t^2*sin(t)-t*cos(t)
(<A>*<B>)'=10t*sin(t)+5*t^2*cos(t)-cos(t)+t*sin(t)
=11t*sin(t)+(5*t^2*cos(t)-1)*cos(t)

<A>'=<10t,1,-2t> <B>'=<cos(t),sin(t),0>
<A>'*<B>=10t*sin(t)-cos(t) <A>*<B>'=5*t^2*cos(t)+t*sin(t)
<A>'*<B>+<A>*<B>'=11t*sin(t)+(5*t^2*cos(t)-1)*cos(t)

☆接線 tangent☆

■曲線のパラメータ表示 <r>=<x(t),y(t),z(t)> の、接線ベクトル<T>

    <T>=< x;t , y;t , z;t >

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