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_★ ★_〔物理定数〕 |
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★10^x=Ten(x) exp(i*x)=expi(x) ★微分;x 時間微分' 積分$ ★ベクトル<A> 単位ベクトル<Au> 座標単位ベクトル<xu> 縦ベクトル<A) 内積* 外積# |
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◆ 任意のベクトル <A(t)> 微少量 Δt ■ ベクトルの微分 @ まず <A(t+Δt)>-<A(t)> を考える。 A 次に (<A(t+Δt)>-<A(t)>)/Δt を考える。 Δt->0 で 分子->0 分母->0 lim[Δt->0]{(<A(t+Δt)>-<A(t)>)/Δt}=0/0 ? ではなく、ある一定の値をとることがある。それを、微分とする。 ベクトルの微分 <A(t)>;t=lim[Δt->0]{(<A(t+Δt)>-<A(t)>)/Δt} ★ ◆ 任意のベクトル <A(u,v)> ■ u による偏微分 @ まず <A(u+Δu,v)>-<A(u,v)> を考える。 uだけ変化させる。v は一定の値。 A 次に (<A(u+Δu,v)>-<A(u,v)>)/Δu を考える。 Δu->0 で 分子->0 分母->0 lim[Δu->0]{(<A(u+Δu,v)>-<A(u,v)>)/Δu}=0/0 ? ではなく、ある一定の値をとることがある。それを、u による偏微分とする。 u による偏微分 <A(u,v)>;u=lim[Δu->0]{(<A(u+Δu,v)>-<A(u,v)>)/Δu} ★ 同様に、v だけ変化させたものを、 v による偏微分 <A(u,v)>;v=lim[Δv->0]{(<A(u,v+Δv)>-<A(u,v)>)/Δv} ★ |
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◆ 円座標(r.,b) 座標単位ベクトル <r.u(r.,b)>,<bu(r.,b)> 位置によって、座標単位ベクトルの向きは変わる{!} @ <r.u(r.,b)>;r. (r.,b)~(r.+Δr.,b) を考える。 向きも大きさも変わらないから、 <r.u(r.+Δr.,b)>-<r.u(r.,b)>=0 <r.u(r.,b)>;r.=0 ★ A <bu(r.,b)>;r. (r.,b)~(r.+Δr.,b) を考える。 向きも大きさも変わらないから、 <bu(r.+Δr.,b)>-<bu(r.,b)>=0 <bu(r.,b)>;r.=0 ★ B <r.u(r.,b)>;b (r.,b)~(r.,b+Δb) を考える。 <r.u(r.,b+Δb)>-<r.u(r.,b)>=<bu>*Δb ★ {核心!} <r.u(r.,b)>;b C <bu(r.,b)>;b (r.,b)~(r.,b+Δb) を考える。 <bu(r.,b+Δb)>-<bu(r.,b)>=-<r.u>*Δb ★ {核心!} <bu(r.,b)>;b ◆ 2次元デカルト座標(x,y) 座標単位ベクトル <xu>,<yu> ■ <xu>,<yu> は、x を変化させても、y を変化させても、大きさも向きもいっさい変わらない。 <xu>;x=<yu>;x=<xu>;y=<yu>;y=0 ★ ----- まとめ -----
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■(<A>+<B>)'=<A>'+<B>' ■(k*<A>)'=k*<A>' ■(<A>*<B>)'=<A>'*<B>+<A>*<B>' {証明}左辺=(Ax*Bx+Ay*By+…)'=(Ax'*Bx+Ax*Bx')+(Ay'*By+Ay*By')+(…) ■(<A>#<B>)'=<A>'#<B>+<A>#<B>' {証明}左辺のz成分=(Ax*By-Ay*Bx)'=(Ax'*By+Ax*By')-(Ay'*Bx+Ay*Bx') ■(A^2)'=(<A>#<A>)'=(Ax^2+Ay^2+Az^2)' ■<A>*<A>'=A*A' {知らなかった!2013/4} {証明}左辺=Ax*Ax'+Ay*Ay'+Az*Az' A'=[root(Ax^2+Ay^2+Az^2)]' 右辺=Ax*Ax'+Ay*Ay'+Az*Az' {証明2}左辺=A*(<A>'の<A>方向成分)=A*A'
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■<A>=<5*t^2,t,-t^2> <B>=<sin(t),-cos(t),0> <A>*<B>=5*t^2*sin(t)-t*cos(t) <A>'=<10t,1,-2t> <B>'=<cos(t),sin(t),0> |
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■曲線のパラメータ表示 <r>=<x(t),y(t),z(t)> の、接線ベクトル<T> <T>=< x;t , y;t , z;t > |
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〔お勉強しようUz〕 数学 ベクトル ベクトルの微分 |