数学 2018/2-2012/4 Yuji.W

☆ 円柱座標

円柱座標 円筒座標 _

【ベクトル】<A> 単位ベクトル <-u> 内積 * 外積 # 座標単位<x>,<y>,<z>
 円柱座標 <r.u>,<au>,<z> 球座標 <ru>,<au>,<bu>

【累乗】3^2=9 10^x=Ten(x) 【微積】xで微分 f(x);x 時間微分 ' 積分 $

ネイピア数ee^x=exp(x) 対数 log(a,x) log(e,x)=ln(x) log(10,x)=LOG(x)

虚数単位ii^2=-1 e^(i*x)=exp(i*x)=expi(x) 複素数zの共役複素数 \z

〓 円柱座標 〓 .

■ 直交座標 ※ 直交座標=デカルト座標 と誤って使われることが多い。

直交直線座標=デカルト座標(x,y,z)=直角座標

直交曲線座標 球座標(r.,a,b)、円柱座標(r.,a,z)など

【円柱座標(r.,a,z)】

z軸からの距離 r. 0≦r. z軸の周りの回転角 a 0≦a<2Pi xy平面からの高さ z

x=r.*cos(a) y=r.*sin(a) z=z r.=root(x^2+y^2) tan(a)=y/x

※ r=root(x^2+y^2+z^2)

〓 円柱座標単位ベクトル 〓 

@ 座標単位ベクトルの方向が変わる

■ 円柱座標(r.,a,z) 座標単位ベクトル <r.u>,<au>,<z>

<r.u>,<au>は、その位置によって方向が変わる。正確には、

 <ru(x,y)> , <au(x,y)> とか <ru(a)> , <au(a)> などと書かなくてはならない。

★ <ru(1,0)>=<x> <au(1,0)>=<y> <ru(0,1)>=-<y> <au(0,1)>=-<x>

★ <ru(0°)>=<x> <au(0°)>=<y> <ru(90°)>=-<y> <au(90°)>=-<x>

〓 変換 〓 .

■ 変換行列 [XC]=[cos(a) -sin(a) 0|sin(a) cos(a) 0|0 0 1]

円座標(r,a)の変換の結果を使って、

 <<xu> <yu> <zu>)=[XC]*<<r.u> <au> <zu>)

 <Ax Ay Az)=[XC]*<Ar. Aa Az)

 <;x ;y ;z)=[XC]*<;r. (1/r.)*(;a) ;z)

〓 座標単位ベクトルの微分 〓 .

■ 円座標(r,a)の結果を使って、

 <r.u>;r.=0 <r.u>;a=<au> <r.u>;z=0

 <au>;r.=0 <au>;a=-<ru> <au>;z=0

 <zu>;r.=0 <zu>;a=0 <zu>;z=0

【時間微分】

 <r.u>'=<au>*a' <au>'=-<ru>*a' <zu>'=0

〓 ∇,<grad>,div,<curl>,△ 〓 .

◎ ∇を使って、<grad>,div,<curl>,△を求める

■ ∇
=<xu>*(;x)+<yu>*(;y)+<zu>*(;z)
=<r.u>*(;r.)+<au>*(1/r.)*(;a)+<zu>*(;z) 
_

■ <grad>=∇=<r.u>*(;r.)+<au>*(1/r.)*(;a)+<zu>*(;z) _

■ div<A>=∇*<A>=[(r.*Ar.);r.]/r.+(Aa;a)/r.+Az;z _

■ <curl<A>>
=∇#<A>
=[<r.u>*(;r.)+<au>*(1/r.)*(;a)+<zu>*(;z)]
#(<r.u>*Ar.+<au>*Aa+<zu>*Az)

微分の項ごとに計算すると、

 <r.u>*(;r.)#(Ar.*<r.u>+Aa*<au>+Az*<zu>)=<zu>*Aa;r.-<au>*Az;r.
 <au>*(1/r.)*(;a)#(Ar.*<r.u>+Aa*<au>+Az*<zu>)
=-<zu>*Ar.;a/r.+<r.u>*Az;a/r.+<zu>*Aa/r.
 <zu>*(;z)#(Ar.*<r.u>+Aa*<au>+Az*<zu>)=<au>*Ar.;z-<r.u>*Aa;z

 <curl<A>>
=∇#<A>
=<zu>*Aa;r.-<au>*Az;r.
-<zu>*Ar.;a/r.+<r.u>*Az;a/r.+<zu>*Aa/r.
+<au>*Ar.;z-<r.u>*Aa;z
=<r.u>*[(Az;a)/r.-Aa;z]
+<au>*(Ar.;z-Az;r.)+<zu>*[Aa;r.+Aa/r.-(Ar.;a)/r.] 
_

{素晴らしい、できた!2014/1}

■ △=div<grad>

 <grad>=<r.u>*(;r.)+<au>*(1/r.)*(;a)+<zu>*(;z)

 div<A>=[(r.*Ar.);r.+Aa;a]/r.+Az;z

 △=(1/r.)*(;r.)*r.*(;r.)+(1/r.^2)*(;;a)+;;z

任意の関数 f(r.,a,z) に対して、

 [(1/r.)*(;r.)*r.*(;r.)]*f
=[(1/r.)*(;r.)*r.]*f;r.
=[(1/r.)*(;r.)*[r.*(f;r.)]
=[(1/r.)*[f;r.+r.*f;;r.]
=f;;r.+(f;r.)/r. だから、

 △f=f;;r.+(f;r.)/r.+(f;;a)/r.^2+f;;z _

{やっと微分演算子が使えるようになった!2016/2}

〓 速度、加速度 〓 .

■ 円座標(r,a)での結果を使って、

 <r>=<r.u>*r.+<zu>*z

 <r>'=<r.u>*r.'+<au>*r.*a'+<zu>*z' _

 <r>''=<r.u>*(r.''-r.*a'^2)+<au>*(r.*a''+2*r.'*a')+<zu>*z'' _

〓 位置ベクトルとの外積 〓 .

位置ベクトルとの外積.円柱座標(r.,a,z)

◆ 任意のベクトル <A>=<r.u>*Ar.+<au>*Aa+<zu>*Az

<A>の位置 <r>=<r.u>*r.+<zu>*z

■ <r>#<A>
=(<r.u>*r.+<zu>*z)#(<r.u>*Ar.+<au>*Aa+<zu>*Az)
=(<r.u>*r.)#(<au>*Aa)+(<r.u>*r.)#(<zu>*Az)
+(<zu>*z)#(<r.u>*Ar.)+(<zu>*z)#(<au>*Aa)
=<zu>*r.*Aa-<au>*r.*Az+<au>*z*Ar.-<r.u>*z*Aa
=<zu>*r.*Aa+<au>*(z*Ar.-r.*Az)-<r.u>*z*Aa

≫ <r>#<A>=-<r.u>*z*Aa+<au>*(z*Ar.-r.*Az)+<zu>*r.*Aa _

※ Az=0 のとき <r>#<A>=-<r.u>*z*Aa+<au>*z*Ar.+<zu>*r.*Aa

 <r>#<A> ∝ <zu> とはならない

〓 円柱座標(r.,a,z) 〓 .

『円柱座標(r.,a,z)』 2016/1

■ z軸からの距離 r. 0≦r. z軸の周りの回転角 a 0≦a<2Pi xy平面からの高さ z

x=r.*cos(a) y=r.*sin(a) zは同じ r.=root(x^2+y^2) tan(a)=y/x

■ 変換行列 [XC]=[cos(a) -sin(a) 0|sin(a) cos(a) 0|0 0 1]

 <<xu> <yu> <zu>)=[XC]*<<r.u> <au> <zu>)

 <Ax Ay Az)=[XC]*<Ar. Aa Az)

 <;x ;y ;z)=[XC]*<;r. (1/r.)*(;a) ;z)

■ <r.u>'=<au>*a' <au>'=-<ru>*a' <zu>'=0

■ <grad>=∇=<r.u>*(;r.)+<au>*(1/r.)*(;a)+<zu>*(;z)

 div<A>=[(r.*Ar.);r.]/r.+(Aa;a)/r.+Az;z

 <curl<A>>
=<r.u>*[(Az;a)/r.-Aa;z]
+<au>*(Ar.;z-Az;r.)
+<zu>*[Aa;r.+Aa/r.-(Ar.;a)/r.]

 △=(1/r.)*(;r.)*r.*(;r.)+(1/r.^2)*(;;a)+;;z

 △f=f;;r.+(f;r.)/r.+(f;;a)/r.^2+f;;z

■ <r>=<r.u>*r.+<zu>*z <r>'=<r.u>*r.'+<au>*r.*a'+<zu>*z'

 <r>''=<r.u>*(r.''-r.*a'^2)+<au>*(r.*a''+2*r.'*a')+<zu>*z''

■ <r>#<A>=-<r.u>*z*Aa+<au>*(z*Ar.-r.*Az)+<zu>*r.*Aa

{すっきりまとめる事ができた!2016/2}

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