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☆ 円柱座標 ☆ |
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〇 円柱座標 円筒座標 加速度 外積 |
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【数学】2*3=6 6/2=3 3^2=9 1000=10^3=Ten(3) 000 py- 0table ベクトル <A> 縦ベクトル <A) 単位ベクトル <Au> 内積 * 外積 # ★ |
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〓 円柱座標 〓 ◇ cos(a)=Ca sin(a)=Sa 〇 デカルト座標(x,y,z) 座標単位ベクトル <xu> , <yu> , <zu> 円柱座標 (h,a,z_C) z軸からの距離 h 0≦h z軸の周りの回転角 a 0≦a<2Pi xy平面からの高さ z 位置 (h,a,z_C) における座標単位ベクトル <hu> , <au> , <zu> ベクトル <A>=<Ah Aa Az_C>=<hu>*Ah+<au>*Aa+<zu>*Az ※ 円柱座標 (x,h,a_C) <xu> , <hu> , <au> も使う事がある 〇 デカルト座標の座標単位ベクトル <xu> は、どの位置で考えても、その方向は変わらない。ある一定の方向を向いている。<yu> , <zu> も同様。 円柱座標の座標単位ベクトル <hu> , <au> は、考えている座標の位置、a の値によって、その方向が変わる。 ★ 例えば <hu(a=0)>=<xu> <au(a=0)>=<yu> <hu(a=Pi/2)>=<yu> <au(a=Pi/2)>=-<xu> したがって、本来は、a の値を指定しないと、座標単位ベクトルの方向は定まらない。明示した方がいいのだが、面倒なので、普通はしない。そのあたりが、混乱しやすい{!}でも、便利な所でもある。 ★ 〇 変換 x=h*Ca y=h*Sa zは同じ 逆変換 h=root(x^2+y^2) a=arctan(y/x) 〇 変換行列 [CX]=[Ca -Sa 0|Sa Ca 0|0 0 1] 座標単位ベクトル <<xu> <yu> <zu>)=[CX]*<<hu> <au> <zu>) ベクトルの成分 <Ax Ay Az)=[R(a)-]*<Ah Aa Az) 微分演算子 <(:x) (:y) (:z))=[R(a)-]*<(:h) (1/h)*(:a) (:z)) |
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〓 座標単位ベクトルの微分 〓 〇 微小量 Δa に対して <hu(a+Δa)>-<hu(a)>=<au(a)>*1*Δa [<hu(a+Δa)>-<hu(a)>]/Δa=<au(a)> <hu>:a=<au> ★ 〇 微小量 Δa に対して <au(a+Δa)>-<au(a)>=-<hu(a)>*1*Δa [<au(a+Δa)>-<au(a)>]/Δa=-<hu(a)> <au>:a=-<hu(a)> ★ 〇 時間微分 <hu>;t=(<hu>:a)*(a;t)=<au>*(a;t) <au>;t=(<au>:a)*(a;t)=-<hu(a)>*(a;t) {まとめ} <hu>;t=<au>*(a;t) <au>;t=-<hu(a)>*(a;t) ★ |
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〓 円柱座標.加速度 〓 ▢ 1質点 質量 m 3次元での運動 時間微分 ;t 円柱座標 (h,a,z_C) 質点の位置 <r>=<hu(a)>*h+<zu>*z 速度 <v> 加速度 <Ac> ※ <hu(a)> に、角 a の情報が含まれている ● <hu>;t=<au>*(a;t) <au>;t=-<hu>*(a;t) ▷ <zu> は大きさも方向も定まったベクトルであるから、 (<zu>*z);t=<zu>*(z;t) (<zu>*z);;t=<zu>*(z;;t) ▷ <hu> は a の関数である事に注意して、 (<hu>*h);t <v>=<r>;t=<hu>*(h;t)+<au>*h*(a;t)+<zu>*(z;t) ★ ▷ [<hu>*(h;t)];t=(<hu>;t)*(h;t)+<hu>*(h;;t)=<au>*(h;t)*(a;t)+<hu>*(h;;t) [<au>*h*(a;t)];t <Ac> <Ac>=<hu>*[(h;;t)-h*(a;t)^2]+<au>*[h*(a;;t)+2*(h;t)*(a;t)]+<zu>*(z;;t) ★ {座標の微分を考えるだけで、遠心力やコリオリ力が表れるのがおもしろい!22.5} |
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〓 位置ベクトルとの外積 〓 外積 # ▢ 円柱座標(h,a,z) 任意のベクトル <A>=<Ah Aa Az_C>=<hu>*Ah+<au>*Aa+<zu>*Az <A>の位置ベクトル <r>=<h 0 z_C>=<hu>*h+<zu>*z ※ 角 a の情報は <hu> に反映されている。位置ベクトルの a成分の値は、なんでもよい。0 としておくのがいい。 ▷ <hu>#<A>=<hu>#(<hu>*Ah+<au>*Aa+<zu>*Az)=<zu>*Aa-<au>*Az <zu>#<A>=<zu>#(<hu>*Ah+<au>*Aa+<zu>*Az)=<au>*Ah-<hu>*Aa <r>#<A> <r>#<A>=-<hu>*z*Aa+<au>*(z*Ah-h*Az)+<zu>*h*Aa ★ <h 0 z_C>#<Ah Aa Az_C>=<-z*Aa z*Ah-h*Az h*Aa_C> ★ ▷ Az=0 のとき <r>#<A>=<-z*Aa z*Ah h*Aa_C> z=0 のとき <r>#<A>=<0 -h*Az h*Aa_C> Az=0 , z=0 のとき <r>#<A>=<zu>*h*Aa ★ |
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☆ お勉強しよう since2011 Yuji.W |