数学 2018/4-2012/4 Yuji.W

☆ 円柱座標

円柱座標 円筒座標 _

◇ ベクトル <A> 内積 * 外積 # 10^x=Ten(x) 微分 ;x 時間微分 ' 積分 $
ネイピア数 e e^x=exp(x) i^2=-1 e^(i*x)=exp(i*x)=expi(x)

デカルト座標単位ベクトル <xu>,<yu>,<zu>
円柱座標単位ベクトル <hu>,<au>,<zu> 球座標単位ベクトル <ru>,<au>,<bu>

〓 円柱座標 〓 .

@ 直交座標

 直交直線座標=デカルト座標(x,y,z)=直角座標

 直交曲線座標 球座標(h,a,b)、円柱座標(h,a,z)など

※ 直交座標=デカルト座標 と誤って使われることが多い。

◆ 円柱座標(h,a,z) 座標単位ベクトル <hu>,<au><zu>

z軸からの距離 h 0≦h z軸の周りの回転角 a 0≦a<2Pi xy平面からの高さ z

 x=h*cos(a) y=h*sin(a) h=root(x^2+y^2) tan(a)=y/x

■ <hu>,<au>は、その位置によって方向が変わる。

正確には <hu(x,y)> , <a(x,y)> とか <hu(a)> , <a(a)> などと書かなくてはならない。例えば、

 < hu(1,0)>=<xu> <a(1,0)>=<yu> <hu(0,1)>=-<yu> <a(0,1)>=-<xu>

 <hu(0°)>=<xu> <a(0°)>=<yu> <hu(90°)>=-<yu> <a(90°)>=-<xu>

■ <hu>=<xu>*cos(a)+<yu>*sin(a) <au>=-<xu>*sin(a)+<yu>*cos(a)

 <xu>=<hu>*cos(a)-<au>*sin(a) <yu>=<hu>*sin(a)+<au>*cos(a)

■ 任意のベクトル <au>

 <au>=<xu>*Ax+<yu>*Ay+<zu>*Az=<hu>*Ah+<au>*Aa+<zu>*Az のとき、

 <xu>*Ax+<yu>*Ay
=(<hu>*cos(a)-<au>*sin(a))*Ax+(<hu>*sin(a)+<au>*cos(a))*Ay
=<hu>*(Ax*cos(a)+Ay*sin(a))+<au>*(-Ax*sin(a)+cos(a)*Ay) だから、

 <hu>*(Ax*cos(a)+Ay*sin(a))+<au>*(-Ax*sin(a)+Ay*cos(a))=<hu>*Ah+<au>*Aa

 Ah=Ax*cos(a)+Ay*sin(a) Aa=-Ax*sin(a)+Ay*cos(a)

また Ax=Ah*cos(a)-Aa*sin(a) Ay=Ah*sin(a)+Aa*cos(a)

座標単位ベクトルだけでなく、任意のベクトルに対して、この変換則が成り立つ _

〓 逆三角関数の微分 〓 .

■ arcsin(x);x=1/root(1-x^2) arccos(x);x=-1/root(1-x^2)

 arctan(x);x=1/(x;y)=1/(1+x^2)

■ A=定数

 arcsin(x/A);x=1/root(A^2-x^2) arccos(x/A);x=-1/root(A^2-x^2)

 arctan(x/A);x=A/(x^2+A^2)

〓 円柱座標 距離の微分 〓 .

◆ 円柱座標(h,a,z) z軸からの距離 h=root(x^2+y^2)

 <h>=<xu>*x+<yu>*y <hu>=<h>/h=<xu>*x/h+<yu>*y/h

■ h;x=x/h (h^2);x=2*x (1/h);x=-x/h^3 (x/h);x=1/h-x^2/h^3

 [ln(h)];x=x/h^2

■ h;;x=1/h-x^2/h^3 (h^2);;x=2 (1/h);;x=-1/h^3+3*x^2/h^5

 [ln(h)];;x=1/h^2-2*x^2/h^4

 (x*h^n);;x=3*n*x*h^(n-2)+n*(n-2)*x^3*h^(n-4)

■ Δh=1/h Δh^2=4 Δ(1/h)=1/h^3 Δ[ln(h)]=0

■ <grad(h)>=<hu> <grad(1/h)>=-<hu>/h^2 <grad[ln(h)]>=<hu>/h

■ <h>;x=<xu>

 <hu>;x=(<xu>*y^2-<yu>*x*y)/h^3

■ div<h>=2 div<hu>=1/h <curl<h>>=0

〓 微分.円柱座標 〓 .

■ x,y を h,a の関数だと考えて、

 x;h=cos(a) x;a=-h*sin(a) y;h=sin(a) y;a=h*cos(a)

■ h,a を x,y の関数だと考えて、

 h;x=(x^2+y^2)^(1/2);x=(1/2)*(2*x)/(x^2+y^2)^(1/2)=x/h=cos(a)

 h;y=y/h=sin(a)

※ (x;h)*(h;x)=cos(a)^2≠1 (y;h)*(h;y)=sin(a)^2≠1

■ a=arctan(y/x)

 a;x=[(1/y)/(1/x^2+1/y^2)]*(-1/x^2)=-1/(y+x^2/y)=-y/h^2=-sin(a)/h

 a;y=x/(y^2+x^2)=x/h^2=cos(a)/h

※ (x;a)*(a;x)=sin(a)^2≠1 (y;a)*(a;y)=cos(a)^2≠1

■ 任意のベクトル <au>

 <au>=<xu>*Ax+<yu>*Ay+<zu>*Az=<hu>*Ah+<au>*Aa+<zu>*Az のとき、

 Ax;h=(Ah;h)*cos(a)-(Aa;h)*sin(a)

 Ax;a=(Ah;a)*cos(a)-Ah*sin(a)-(Aa;a)*sin(a)-Aa*cos(a)

 Ay;h=(Ah;h)*sin(a)+(Aa;h)*cos(a)

 Ay;a=(Ah;a)*sin(a)+Ah*cos(a)+(Aa;a)*cos(a)-Aa*sin(a)

〓 傾き.円柱座標 〓 .

◆ 円柱座標(h,a,z) スカラー関数 f(h,a,z)

デカルト座標(x,y,z)で <grad(f)>=<xu>*(f;x)+<yu>*(f;y)+<zu>*(f;z)

■ 関数 f は h,a,z の関数  h,a,z は x,y,z の関数だと考えて、

 f;x=(f;h)*(h;x)+(f;a)*(a;x)=(f;h)*cos(a)-(f;a)*sin(a)/h

また f;y=(f;h)*(h;y)+(f;a)*(a;y)=(f;h)*sin(a)+(f;a)*cos(a)/h

 <grad(f)>
=<xu>*(f;x)+<yu>*(f;y)+<zu>*(f;z)
=(<hu>*cos(a)-<au>*sin(a))*[(f;h)*cos(a)-(f;a)*sin(a)/h]
+(<hu>*sin(a)+<au>*cos(a))*[(f;h)*sin(a)+(f;a)*cos(a)/h]
+<zu>*(f;z)
=<hu>*(f;h)+<au>*(f;a)/h
+<zu>*(f;z)

》<grad(f)>=<hu>*(f;h)+<au>*(f;a)/h+<zu>*(f;z) _

{やっとできた!偏微分がわかってなかった!2018/3}

〓 発散.円柱座標 〓 .

◆ 円柱座標(h,a,z) ベクトル関数 <au>

 <au>=<hu>*Ah+<au>*Aa+<zu>*Az=<xu>*Ax+<yu>*Ay+<zu>*Az

 Ah=Ax*cos(a)+Ay*sin(a) Aa=-Ax*sin(a)+Ay*cos(a)

 Ax=Ah*cos(a)-Aa*sin(a) Ay=Ah*sin(a)+Aa*cos(a)

 Ax;h=(Ah;h)*cos(a)-(Aa;h)*sin(a)

 Ax;a=(Ah;a)*cos(a)-Ah*sin(a)-(Aa;a)*sin(a)-Aa*cos(a)

 Ay;h=(Ah;h)*sin(a)+(Aa;h)*cos(a)

 Ay;a=(Ah;a)*sin(a)+Ah*cos(a)+(Aa;a)*cos(a)-Aa*sin(a)

 div<au>=Ax;x+Ay;y+Az;z

Ax;x
=(Ax;h)*(h;x)+(Ax;a)*(a;x)
=[(Ah;h)*cos(a)-(Aa;h)*sin(a)]*cos(a)
-[(Ah;a)*cos(a)-Ah*sin(a)-(Aa;a)*sin(a)-Aa*cos(a)]*sin(a)/h

 Ay;y
=(Ay;h)*(h;y)+(Ay;a)*(a;y)
=[(Ah;h)*sin(a)+(Aa;h)*cos(a)]*sin(a)
+[(Ah;a)*sin(a)+Ah*cos(a)+(Aa;a)*cos(a)-Aa*sin(a)]*cos(a)/h

 div<au>
=Ax;x+Ay;y+Az;z
=[(Ah;h)*cos(a)-(Aa;h)*sin(a)]*cos(a)
-[(Ah;a)*cos(a)-Ah*sin(a)-(Aa;a)*sin(a)-Aa*cos(a)]*sin(a)/h
+[(Ah;h)*sin(a)+(Aa;h)*cos(a)]*sin(a)
+[(Ah;a)*sin(a)+Ah*cos(a)+(Aa;a)*cos(a)-Aa*sin(a)]*cos(a)/h
+Az;z
=Ah;h+Ah/h+(Aa;a)/h+Az;z
=[(Ah*h);h]/h+(Aa;a)/h+Az;z

》div<au>=[(Ah*h);h]/h+(Aa;a)/h+Az;z _

{わーい、できた!2018/3}

〓 円柱座標(h,a,z) h だけの関数 〓 .

◆ 円柱座標(h,a,z) z軸からの距離 h h だけの関数 f(h),<A(h)>

 <A(h)>=<hu>*Ah(h)+<au>*Aa(h)+<zu>*Az(h)

<grad(f(h))>=<hu>*(f;h)

 div<A(h)>=[(Ah*h);h]/h

 <curl<A(h)>>=-<au>*(Az;h)+<zu>*[(Aa*h);h]/h

 △f(h)={[(f;h)*h];h}/h

〓 変換 〓 .

■ 変換行列 [Xcos(a)]=[cos(a) -sin(a) 0|sin(a) cos(a) 0|0 0 1]

円座標(r,a)の変換の結果を使って、

 <<xu> <yu> <zu>)=[Xcos(a)]*<<hu> <au> <zu>)

 <Ax Ay Az)=[Xcos(a)]*<Ah Aa Az)

 <;x ;y ;z)=[Xcos(a)]*<;h (1/h)*(;a) ;z)

〓 座標単位ベクトルの微分 〓 .

■ 円座標(r,a)の結果を使って、

 <hu>;h=0 <hu>;a=<au> <hu>;z=0

 <au>;h=0 <au>;a=-<hu> <au>;z=0

 <zu>;h=0 <zu>;a=0 <zu>;z=0

【時間微分】

 <hu>'=<au>*a' <au>'=-<hu>*a' <zu>'=0

〓 ∇,<grad>,div,<curl>,△ 〓 .

◎ ∇を使って、<grad>,div,<curl>,△を求める

■ ∇
=<xu>*(;x)+<yu>*(;y)+<zu>*(;z)
=<hu>*(;h)+<au>*(1/h)*(;a)+<zu>*(;z) 
_

■ <grad>=∇=<hu>*(;h)+<au>*(1/h)*(;a)+<zu>*(;z) _

■ div<au>=∇*<au>=[(h*Ah);h]/h+(Aa;a)/h+Az;z _

■ <curl<au>>
=∇#<au>
=[<hu>*(;h)+<au>*(1/h)*(;a)+<zu>*(;z)]
#(<hu>*Ah+<au>*Aa+<zu>*Az)

微分の項ごとに計算すると、

 <hu>*(;h)#(Ah*<hu>+Aa*<au>+Az*<zu>)=<zu>*Aa;h-<au>*Az;h
 <au>*(1/h)*(;a)#(Ah*<hu>+Aa*<au>+Az*<zu>)
=-<zu>*Ah;a/h+<hu>*Az;a/h+<zu>*Aa/h
 <zu>*(;z)#(Ah*<hu>+Aa*<au>+Az*<zu>)=<au>*Ah;z-<hu>*Aa;z

 <curl<au>>
=∇#<au>
=<zu>*Aa;h-<au>*Az;h
-<zu>*Ah;a/h+<hu>*Az;a/h+<zu>*Aa/h
+<au>*Ah;z-<hu>*Aa;z
=<hu>*[(Az;a)/h-Aa;z]
+<au>*(Ah;z-Az;h)+<zu>*[Aa;h+Aa/h-(Ah;a)/h] 
_

{素晴らしい、できた!2014/1}

■ △=div<grad>

 <grad>=<hu>*(;h)+<au>*(1/h)*(;a)+<zu>*(;z)

 div<au>=[(h*Ah);h+Aa;a]/h+Az;z

 △=(1/h)*(;h)*h*(;h)+(1/h^2)*(;;a)+;;z

任意の関数 f(h,a,z) に対して、

 [(1/h)*(;h)*h*(;h)]*f
=[(1/h)*(;h)*h]*f;h
=[(1/h)*(;h)*[h*(f;h)]
=[(1/h)*[f;h+h*f;;h]
=f;;h+(f;h)/h だから、

 △f=f;;h+(f;h)/h+(f;;a)/h^2+f;;z _

{やっと微分演算子が使えるようになった!2016/2}

〓 速度、加速度 〓 .

■ 円座標(r,a)での結果を使って、

 <r>=<hu>*h+<zu>*z

 <r>'=<hu>*h'+<au>*h*a'+<zu>*z' _

 <r>''=<hu>*(h''-h*a'^2)+<au>*(h*a''+2*h'*a')+<zu>*z'' _

〓 位置ベクトルとの外積 〓 .

位置ベクトルとの外積.円柱座標(h,a,z)

◆ 任意のベクトル <au>=<hu>*Ah+<au>*Aa+<zu>*Az

<au>の位置 <r>=<hu>*h+<zu>*z

■ <r>#<au>
=(<hu>*h+<zu>*z)#(<hu>*Ah+<au>*Aa+<zu>*Az)
=(<hu>*h)#(<au>*Aa)+(<hu>*h)#(<zu>*Az)
+(<zu>*z)#(<hu>*Ah)+(<zu>*z)#(<au>*Aa)
=<zu>*h*Aa-<au>*h*Az+<au>*z*Ah-<hu>*z*Aa
=<zu>*h*Aa+<au>*(z*Ah-h*Az)-<hu>*z*Aa

≫ <r>#<au>=-<hu>*z*Aa+<au>*(z*Ah-h*Az)+<zu>*h*Aa _

※ Az=0 のとき <r>#<au>=-<hu>*z*Aa+<au>*z*Ah+<zu>*h*Aa

 <r>#<au> ∝ <zu> とはならない

〓 円柱座標(h,a,z) 〓 .

■ z軸からの距離 h 0≦h z軸の周りの回転角 a 0≦a<2Pi xy平面からの高さ z

x=h*cos(a) y=h*sin(a) zは同じ h=root(x^2+y^2) tan(a)=y/x

■ 変換行列 [Xcos(a)]=[cos(a) -sin(a) 0|sin(a) cos(a) 0|0 0 1]

 <<xu> <yu> <zu>)=[Xcos(a)]*<<hu> <au> <zu>)

 <Ax Ay Az)=[Xcos(a)]*<Ah Aa Az)

 <;x ;y ;z)=[Xcos(a)]*<;h (1/h)*(;a) ;z)

■ <hu>'=<au>*a' <au>'=-<hu>*a' <zu>'=0

■ <grad>=∇=<hu>*(;h)+<au>*(1/h)*(;a)+<zu>*(;z)

 div<au>=[(h*Ah);h]/h+(Aa;a)/h+Az;z

 <curl<au>>
=<hu>*[(Az;a)/h-Aa;z]
+<au>*(Ah;z-Az;h)
+<zu>*{[(Aa*h);h]/h-(Ah;a)/h]}

 △=(1/h)*(;h)*h*(;h)+(1/h^2)*(;;a)+;;z

 △f=f;;h+(f;h)/h+(f;;a)/h^2+f;;z

■ <r>=<hu>*h+<zu>*z <r>'=<hu>*h'+<au>*h*a'+<zu>*z'

 <r>''=<hu>*(h''-h*a'^2)+<au>*(h*a''+2*h'*a')+<zu>*z''

■ <r>#<au>=-<hu>*z*Aa+<au>*(z*Ah-h*Az)+<zu>*h*Aa

{すっきりまとめる事ができた!2016/2}

〓 円柱座標(h,a,z)の微分演算子 〓 .

◆ z軸からの距離 h 0≦h z軸の周りの回転角 a 0≦a<2Pi xy平面からの高さ z

 x=h*cos(a) y=h*sin(a) zは同じ h=root(x^2+y^2) tan(a)=y/x

 スカラー関数 f(h,a,z)

 ベクトル関数 <A(h,a,z)>=<hu>*Ah+<au>*Aa+<zu>*Az

■ <grad(f)>=<hu>*(f;h)+<au>*(f;a)/h+<zu>*(f;z)

 △f={[h*(f;h)];h}/h+(f;;a)/h^2+f;;z

 div<au>=[(h*Ah);h]/h+(Aa;a)/h+Az;z

 <curl<au>>
=<hu>*[(Az;a)/h-Aa;z]
+<au>*(Ah;z-Az;h)
+<zu>*{[(Aa*h);h]/h-(Ah;a)/h]}

お勉強しよう 2018-2011 Yuji Watanabe ☆

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