☆ curl ストークスの定理 ☆

お勉強しよう 数学

〇 ベクトル 偏微分 回転 循環 rot  2022.5-2012.1 Yuji.W

【数学】 2*3=6 6/2=3 3^2=9 Ten(3)=10^3=1000  000 py- 0table
微分 ; 偏微分 : 積分 $ 定積分 ${f(x)*dx [x|0~1]}
ネイピア数 e 虚数単位 i e^(i*x)=expi(x)
ベクトル <A> |<A>|=A <A>/A=<Au> 
積 3*<A> 内積 <A>*<B> 外積 <A>#<B> 

〓 回転 curl 〓 ◇ 微分 ; 偏微分 : 積分 $ 

〇 2変数関数 f(x,y) 微小量 Δx , Δy に対して、

近似式 f(x+Δx,y)-f(x,y)=(f:x)*Δx f(x,y+Δy)-f(x,y)=(f:y)*Δy 

〇 ベクトル <A> のy成分 Ay x での偏微分 Ay:x

 Ay:x  x が変化したときに、y成分がどれだけ変化するかを表す z軸方向に対して右回りが正の量になっている

 Ax:y  y が変化したときに、x成分がどれだけ変化するかを表す z軸方向に対して左回りが正の量になっている 

〇 ベクトル <A(x,y,z)>=<Ax(x,y,z)  Ay(x,y,z)  Az(x,y,z)> 微小量 Δx , Δy 

xy平面上で、4点 (x,y,z),(x+Δx,y,z),(x+Δx,y+Δy,z),(x,y+Δy,z) を結ぶ正方形の周に沿って、次の積分量を考える 

 線分要素ベクトル <ds> z軸に対して右回りの積分 (循環)=${<A>*<ds>}[長方形]

次の4つの量の和になる

① Ax(x,y,z) の値で右へ ② Ay(x+Δx,y,z) の値で上へ
③ -Ax(x,y+Δy,z) の値で左へ ④ -Ay(x,y,z) の値で下へ

②と④、①と③をまとめて書くと、

 (循環)
=[Ay(x+Δx,y,z)-Ay(x,y,z)]*Δy+[Ax(x,y,z)-Ax(x,y+Δy,z)]*Δx
=(Ay:x)*Δx*Δy-(Ax:y)*Δx*Δy
=(Ay:x-Ax:y)*Δx*Δy

長方形の面積は Δx*Δy だから、

 (単位面積当たりの循環)=Ay:x-Ax:y  

この量を、ベクトル <A> の回転 <curl<A>> の z成分 と定める

 (<curl<A>> の z成分)=(xy平面上での単位面積当たりの循環)=Ay:x-Ax:y  

x成分、y成分も同様に定義して、

ベクトル <A(x,y,z)>=<Ax  Ay  Az> に対して、

 回転 <curl<A>>=<Az:y-Ay:z  Ax:z-Az:x  Ay:x-Ax:y>  

〓 curl ストークスの定理 〓 22.6 

〇 3次元ベクトル <A(x,y,z)>=<Ax Ay Az> 

閉曲線内の面積要素ベクトル <dS> 閉曲線上の線分要素ベクトル <ds>

 $${<curl<A>>*<dS>〔閉曲線内〕}=${<A>*<ds>〔閉曲線〕} 

〇 あらゆる位置で <curl<A>>=0 のとき、

任意の閉曲線で ${<A>*<ds>〔閉曲線〕}=0

 ${<A>*<ds> [2点を結ぶ経路]} は、2点の位置だけで決まる量になる

〓 <curl<A>>=0 の意味 〓 

▢ あらゆる場所で <curl<A>>=0 保存場

2つの位置 <r1> , <r2> 

2つの位置を結ぶ曲線上での積分 ${<A>*<ds>〔<r1>~<r2>〕}

▷ ストークスの定理により、あらゆる場所、あらゆる閉曲線で、

 ${<A>*<ds>〔閉曲線〕}
=$${<curl<A>>*<dS>〔閉曲線内〕}
=0 となるので、

 ${<A>*<ds> [<r1>~<r2>]} は経路に依らず、2つの位置だけで決まる量になる  

▷ 任意のスカラー関数 φ に対して <curl<grad(φ)>>=0 だから、

別の関数 φ を用意して <A>=<grad(φ)>  と置くことができる。

〓 <curl(<A>#<B>)> 〓 ◇ 内積 * 外積 # 

▢ <A>=<Ax Ay Az> <B>=<Bx By Bz>
 <A>#<B>=<Ay*Bz-Az*By Az*Bx-Ax*Bz Ax*By-Ay*Bx>

次の5つのベクトルの関係を考える

 ① <A>*(div<B>)
 ② (div<A>)*<B>
 ③ <<grad(Ax)>*<B> <grad(Ay)>*<B> <grad(Az)>*<B>>
 ④ <<A>*<grad(Bx)> <A>*<grad(By)> <A>*<grad(Bz)>>
 ⑤ <curl(<A>#<B>)>

▷ ①のx成分=Ax*(Bx:x+By:y+Bz:z)
 ②のx成分=(Ax:x+Ay:y+Az:z)*Bx
 ③のx成分=<B>*<grad(Ax)>=(Ax:x)*Bx+(Ax:y)*By+(Ax:z)*Bz
 ④のx成分=<A>*<grad(Bx)>=Ax*(Bx:x)+Ay*(Bx:y)+Az*(Bx:z)

 (①-②+③-④ のx成分)
=Ax*(Bx:x+By:y+Bz:z)-(Ax:x+Ay:y+Az:z)*Bx
+[(Ax:x)*Bx+(Ax:y)*By+(Ax:z)*Bz]-[Ax*(Bx:x)+Ay*(Bx:y)+Az*(Bx:z)]
=Ax*(By:y+Bz:z)-Ay*(Bx:y)-Az*(Bx:z)
-(Ay:y+Az:z)*Bx+(Ax:y)*By+(Ax:z)*Bz

 (①-②+③-④ のx成分)
=Ax*(By:y+Bz:z)-Ay*(Bx:y)-Az*(Bx:z)
-(Ay:y+Az:z)*Bx+(Ax:y)*By+(Ax:z)*Bz ⑥

 (⑤のx成分)
=(Ax*By-Ay*Bx):y-(Az*Bx-Ax*Bz):z
=Ax*(By:y)-Ay*(Bx:y)-Az*(Bx:z)+Ax*(Bz:z)
+(Ax:y)*By-(Ay:y)*Bx-(Az:z)*Bx+(Ax:z)*Bz
=Ax*(By:y+Bz:z)-Ay*(Bx:y)-Az*(Bx:z)
-(Ay:y+Az:z)*Bx+(Ax:y)*By+(Ax:z)*Bz ⑦

⑥⑦より (①-②+③-④ のx成分)=(⑤のx成分)

他の成分も同様になるから ⑤=①-②+③-④

 <curl(<A>#<B>)>
=<A>*(div<B>)-(div<A>)*<B>
+<<grad(Ax)>*<B> <grad(Ay)>*<B> <grad(Az)>*<B>>
-<<A>*<grad(Bx)> <A>*<grad(By)> <A>*<grad(Bz)>>  

{面倒だった!2018/4}

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