☆ curl ストークスの定理 ☆ |
〇 ベクトル 偏微分 回転 循環 rot ★ 2022.5-2012.1 Yuji.W |
【数学】 2*3=6 6/2=3 3^2=9 Ten(3)=10^3=1000 000 py-
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〓 回転 curl 〓 ◇ 微分 ; 偏微分 : 積分 $ 〇 2変数関数 f(x,y) 微小量 Δx , Δy に対して、 近似式 f(x+Δx,y)-f(x,y)=(f:x)*Δx f(x,y+Δy)-f(x,y)=(f:y)*Δy 〇 ベクトル <A> のy成分 Ay x での偏微分 Ay:x Ay:x x が変化したときに、y成分がどれだけ変化するかを表す z軸方向に対して右回りが正の量になっている Ax:y y が変化したときに、x成分がどれだけ変化するかを表す z軸方向に対して左回りが正の量になっている 〇 ベクトル <A(x,y,z)>=<Ax(x,y,z) Ay(x,y,z) Az(x,y,z)> 微小量 Δx , Δy xy平面上で、4点 (x,y,z),(x+Δx,y,z),(x+Δx,y+Δy,z),(x,y+Δy,z) を結ぶ正方形の周に沿って、次の積分量を考える 線分要素ベクトル <ds> z軸に対して右回りの積分 (循環)=${<A>*<ds>}[長方形] 次の4つの量の和になる ① Ax(x,y,z) の値で右へ ② Ay(x+Δx,y,z) の値で上へ ②と④、①と③をまとめて書くと、
(循環) 長方形の面積は Δx*Δy だから、 (単位面積当たりの循環)=Ay:x-Ax:y ★ この量を、ベクトル <A> の回転 <curl<A>> の z成分 と定める (<curl<A>> の z成分)=(xy平面上での単位面積当たりの循環)=Ay:x-Ax:y ★ x成分、y成分も同様に定義して、 ベクトル <A(x,y,z)>=<Ax Ay Az> に対して、 回転 <curl<A>>=<Az:y-Ay:z Ax:z-Az:x Ay:x-Ax:y> ★ |
〓 curl ストークスの定理 〓 22.6 〇 3次元ベクトル <A(x,y,z)>=<Ax Ay Az> 閉曲線内の面積要素ベクトル <dS> 閉曲線上の線分要素ベクトル <ds> $${<curl<A>>*<dS>〔閉曲線内〕}=${<A>*<ds>〔閉曲線〕} 〇 あらゆる位置で <curl<A>>=0 のとき、 任意の閉曲線で ${<A>*<ds>〔閉曲線〕}=0 ${<A>*<ds> [2点を結ぶ経路]} は、2点の位置だけで決まる量になる |
〓 <curl<A>>=0 の意味 〓 ▢ あらゆる場所で <curl<A>>=0 保存場 2つの位置 <r1> , <r2> 2つの位置を結ぶ曲線上での積分 ${<A>*<ds>〔<r1>~<r2>〕} ▷ ストークスの定理により、あらゆる場所、あらゆる閉曲線で、 ${<A>*<ds>〔閉曲線〕} ${<A>*<ds> [<r1>~<r2>]} は経路に依らず、2つの位置だけで決まる量になる ★ ▷ 任意のスカラー関数 φ に対して <curl<grad(φ)>>=0 だから、 別の関数 φ を用意して <A>=<grad(φ)> ★ と置くことができる。 |
〓 <curl(<A>#<B>)> 〓 ◇ 内積 * 外積 # ▢ <A>=<Ax Ay Az> <B>=<Bx By Bz> 次の5つのベクトルの関係を考える ① <A>*(div<B>) ▷ ①のx成分=Ax*(Bx:x+By:y+Bz:z) (①-②+③-④ のx成分) (①-②+③-④ のx成分) (⑤のx成分) ⑥⑦より (①-②+③-④ のx成分)=(⑤のx成分) 他の成分も同様になるから ⑤=①-②+③-④ <curl(<A>#<B>)> {面倒だった!2018/4} |
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