数学 ベクトル

2017/7-2011 Yuji.W

☆<curl<>>,ストークスの定理

_ 回転 curl rot ストークスの定理 保存場 _

◇ ベクトル <A> 単位ベクトル <-u> 座標単位ベクトル <x> 内積 * 外積 # 積 * 商 / 10^x=Ten(x) exp(i*x)=expi(x) 微分 ; 時間微分 ' 積分 $

☆循環,curl,ストークスの定理☆

◎ 次の事を、curl の定義ととらえるとよい。

■ 3次元ベクトル <A(x,y,z)>=<Ax Ay Az>

 z軸に対する循環=${<A>*<ds>}[xy平面上の閉曲線]

 z軸に対する単位面積当たりの循環=(z軸に対する循環)/(閉曲線内の面積)

 <curl<A>>のz成分=lim[面積->0]{z軸に対する単位面積当たりの循環}

★ <A>=<-y x 0>

微少正方形[x~x+h,y~y+h]〔 0<h<<1 〕で

 z軸に対する循環=-y*h+(x+h)*h+(y+h)*h-x*h=2*h^2

 z軸に対する単位面積当たりの循環=2*h^2/h^2=2

 <curl<A>>のz成分=lim[h->0]{z軸に対する単位面積当たりの循環}=2

■ 3次元ベクトル <A(x,y,z)>=<Ax Ay Az>

微少正方形[x~x+h,y~y+h]〔 0<h<<1 〕で、

 z軸に対する循環
=Ax(x,y)*h+Ay(x+h,y)*h-Ax(x,y+h)-Ay(x,y)*h
={[Ay(x+h,y)-Ay(x,y)]-[Ax(x,y+h)-Ax(x,y)]}*h

 z軸に対する単位面積当たりの循環
=循環/h^2
=[Ay(x+h,y)-Ay(x,y)]/h-[Ax(x,y+h)-Ax(x,y)]/h

 <curl<A>>のz成分
=lim[h->0]{z軸に対する単位面積当たりの循環}
=Ay;x-Ax;y

同様に、x成分やy成分も考えて、

 <curl<A>>=<Az;y-Ay;z Ax;z-Az;x Ay;x-Ax;y> _

■ <curl<Ax Ay Az>>=<Az;y-Ay;z Ax;z-Az;x Ay;x-Ax;y>

★ <A>=<-y x 0>

<curl<A>>のx成分=0 <curl<A>>のy成分=0

<curl<A>>のz成分=x;x-(-y);y=1+1=2

 <curl<A>>=<z>*2 あらゆる所で

■ xy平面上の閉曲線で積分して

 ${<A>*<ds>}[xy平面上の閉曲線]=$${(<curl<A>>のz成分)*<dS>}[領域]

同様に、x成分やy成分も考えて、

 ${<A>*<ds>}[s:閉曲線]=$${<curl<A>>*<dS>}[閉曲線内] _ストークスの定理

☆curl☆

■ 3次元ベクトル <A(x,y,z)>=<Ax Ay Az> に対して、任意の点 (x,y,z) で、

 <curl<A>> というベクトルを定義できる。

<curl<A>>のz成分 

xy平面上のベクトル <Ax Ay> を考える

微少量 Δx,Δy に対して (x,y)-(x+Δx,y)-(x+Δx,y+Δy)-(x,y+Δy)-(x,y) という、閉曲線(長方形)の線積分を求める。それを [点(x,y)でのz軸方向に対する循環] と名づける。

 [点(x,y)でのz軸方向に対する循環]
=Ax(x,y)*Δx+Ay(x+Δx,y)*Δy-Ax(x,y+Δy)*Δx-Ay(x,y)*Δy
=[Ay(x+Δx,y)-Ay(x,y)]*Δy-[Ax(x,y+Δy)-Ax(x,y)]*Δx

閉曲線に囲まれた長方形の面積は Δx*Δy であるから、

 [点(x,y)でz軸方向に対する循環の単位面積当たり]
=[Ay(x+Δx,y)-Ay(x,y)]/Δx-[Ax(x,y+Δy)-Ax(x,y)]/Δy

その極限 Δx->0 & Δy->0 を <curl<A>>のz成分とする

 [<curl<A>>のz成分]
=lim[Δx->0,Δy->0]{点(x,y)でz軸方向に対する循環の単位面積当たり}
=lim[Δx->0,Δy->0]{[Ay(x+Δx,y)-Ay(x,y)]/Δx-[Ax(x,y+Δy)-Ax(x,y)]/Δy}

ここで lim[Δx->0]{[Ay(x+Δx,y)-Ay(x,y)]/Δx}=Ay;x

 lim[Δy->0]{[Ax(x,y+Δy)-Ax(x,y)]/Δy}=Ax;y であるから、

 [<curl<A>>のz成分]=Ay;x-Ax;y _

同様に、x成分やy成分も考えて、 

 <curl<A>>=<Az;y-Ay;z Ax;z-Az;x Ay;x-Ax;y> _

 そのx成分=単位面積当たりのx軸に対する循環の極限
 そのy成分=単位面積当たりのy軸に対する循環の極限
 そのz成分=単位面積当たりのz軸に対する循環の極限 を表している。

{計算例}curl

◆ x の関数 f(x)

■ <curl[<x>*f(x)]>=0

 <curl[<y>*f(x)]>=<z>*[f(x);x]

 <curl[<z>*f(x)]>=-<y>*[f(x);x] _

★ <curl(<y>*x)>=<z> <curl(<z>*x)>=-<y>

★ <curl(<z>*y)>=<x> <curl(<x>*y)>=-<z>

★ <curl<-y x 0>>
=<curl(-<x>*y)>+<curl(<y>*x>
=<z>+<z>
=<z>*2

☆距離 r の curl ☆

■ h=root(x^2+y^2) h;x=x/h h;y=y/h

 (1/h);x=[(1/h);h]*(h;x)=-(1/h^2)*(x/h)=-x/h^3

同様に (1/h);y=-y/h^3

 (x/h);x
=1/h-(x/h^2)*(h;x)
=1/h-(x/h^2)*(x/h)
=1/h-x^2/h^3
=(h^2-x^2)/h^3
=y^2/h^3

同様に (y/h);y=x^2/h^3

■ <curl<au>>
=<curl<-y/h x/h 0>>
=<z>*[(x/h);x+(y/h);y]
=<z>*(y^2+x^2)/h^3
=<z>*h^2/h^3
=<z>/h

■ (1/r^3);x=[(1/r^3);r]*(r;x)=-(3/r^4)*(x/r)=-3*x/r^5

同様に (1/r^3);y=-3*y/r^5 & (1/r^3);z=-3*z/r^5

 (x/r^3);x
=1/r^3+x*[(1/r^3);x]
=1/r^3-x*(3*x/r^5)
=(r^2-3*x^2)/r^5

同様に (y/r^3);y=(r^2-3*y^2)/r^5 & (z/r^3);z=(r^2-3*z^2)/r^5

 <z>#<ru>/r^2=<0 0 1>#<x y z>/r^3=<-y/r^3 x/r^3 0>

 <curl(<z>#<ru>/r^2)>
=-<x>*[(x/r^3);z]-<y>*[(y/r^3);z]+<z>*{[(x/r^3);x]+[(y/r^3);y]}
=<3*x*z 3*y*z 2*z^2-x^2-y^2>/r^5

■ r=root(x^2+y^2+z^2) <ru>=<x y z>/r

 <curl(<z>#<ru>/r^2)>=<3*x*z 3*y*z 2*z^2-x^2-y^2>/r^5

{計算例}curl-2-

◆ 液体が回転している 回転軸:z軸 角速度 w

液体の各粒子の速度 <v(r.,a)>=<au>*w*r.

 <v(x,y)>
=w*[-<x>*r.*sin(a)+<y>*r.*cos(a)]
=w*(-<x>*y+<y>*x)

■ <curl<v>>=<z>*2*w _角速度の2倍

{別解} <curl<v>>=<z>*w*[(x;x)-(-y);y]=<z>*w*(1+1)=<z>*2*w


◆ 液体が回転している 回転軸:z軸に平行で、点(x0,y0)を通る直線 角速度 w

液体の各粒子の速度 <v(x,y)> h=root[(x-x0)^2+(y-y0)^2]

 <v(x,y)>=w*[-<x>*(y-y0)+<y>*(x-x0)]

■ <curl<-<x>*(y-y0)+<y>*(x-x0)>
=<z>*[(x-x0);x+(y-y0);y]
=<z>*(1+1)
=<z>*2

 <curl<v(x,y)>>=<z>*2*w あらゆる所で

{別解} -<x>*(y-y0)+<y>*(x-x0) を円柱座標に直す 

 <x>=<r.u>*cos(a)-<au>*sin(a)
 <y>=<r.u>*sin(a)+<au>*cos(a) だから、

 -<x>*(y-y0)+<y>*(x-x0)
=-[<r.u>*cos(a)-<au>*sin(a)]*[r.sin(a)-y0]
+[<r.u>*sin(a)+<au>*cos(a)]*[r.cos(a)-x0)]

 r.成分
=-cos(a)*[r.sin(a)-y0]+sin(a)*[r.cos(a)-x0)]
=-x0*sin(a)+y0*cos(a)

 a成分
=+sin(a)*[r.sin(a)-y0]+cos(a)*[r.cos(a)-x0)]
=r.-x0*cos(a)-y0*sin(a)

<curl> を求めていく 

 [(a成分)*r.];r./r.
={[r.-x0*cos(a)-y0*sin(a)]*r.};r./r.
=2-[x0*cos(a)+y0*sin(a)]/r.

 [(r.成分);a]/r.
=[-x0*sin(a)+y0*cos(a)];a/r.
=-[x0*cos(a)+y0*sin(a)]/r.

 <curl<v>>
=<z>*w*{2-[x0*cos(a)+y0*sin(a)]/r.+[x0*cos(a)+y0*sin(a)]/r.}
=<z>*2*w {素晴らしい!2017/2}

▲ 渦の回転軸がどこにあろうとも、<curl<v>> は、あらゆる所で、

 <curl<v(x,y)>>=<curl<v(r.,a)>>=<z>*2*w _

{<curl> というのは、渦の中心がz軸にあるものときに、原点に対する値だと誤解してた!渦の中心はどこにあってもいいし、<curl> は、任意の位置に対する値を求める事ができる!2017/2}

☆円柱座標(r,a,z)でのcurl☆

『円柱座標(r,a,z)での curl』

◆ 円柱座標(r,a,z) r=root(x^2+y^2) <A>=<ru>*Ar+<au>*Aa+<z>*Az

■ <curl<A>>
=<ru>*[(Az;a)/r-Aa;z]+<au>*(Ar;z-Az;r)+<z>*[(Aa*r);r/r-(Ar;a)/r]

■ 円柱座標(r,a,z)で z軸からの距離 r だけに依る場合

 <curl[<au>*Aa(r)]>=<z>*[(Aa*r);r]/r

 <curl[<z>*Az(r)]>=-<au>*(Az;r)

★ (r*r);r/r=(r^2);r/r=2*r/r=2

 <curl(<au>*r)>=<z>*2 あらゆる所で

★ [(1/r)*r];r/r=(1;r)/r=0

 <curl(<au>/r)>=0 原点を除くあらゆる所で

★ <A>=<-y x 0>=<au>*r <curl<A>>=<z>*2 {なるほど!2017/2}

★ <curl[<z>*ln(r)]>=-<au>*[ln(r);r]=-<au>/r

■ 円柱座標(r,a,z) r=root(x^2+y^2) r だけの関数 f(r)

 <curl[<au>*f(r)]>=<z>*{[(f(r)*r];r}/r

 <curl[<z>*f(r)]>=-<au>*[f(r);r]

★ <curl(<au>*r)>=<z>*2 ★ <curl(<au>/r)>=0

★ <curl[<z>*ln(r)]>=-<au>/r

{別解} <curl(<au>*r)>=<z>*2

 z軸に対する循環
=(r+Δr)*(r+Δr)*Δa-r*r*Δa
=2*r*Δr*Δa

 z軸に対する循環の単位面積当たり=(2*r*Δr*Δa)/(r*Δa*Δr)=2

 <curl(<au>*r)>のz成分=2

{別解} <curl[<z>*ln(r)]>=-<au>/r

 a方向に対する循環=ln(r)*Δz-ln(r+Δr)*Δz

ここで ln(r+Δr)=ln[r*(1+Δr/r)]=ln(r)+ln(1+Δr/r)=ln(r)+Δr/r だから、

 a方向に対する循環=-Δr*Δz/r

 a方向に対する循環の単位面積当たり=-(Δr*Δz/r)/(Δr*Δz)=-1/r

 <curl[<z>*ln(r)]>のa成分=-1/r

{よし!できた!2017/3}

{計算例}curl

◆ 液体が回転している 回転軸:z軸 角速度 w

液体の各粒子の速度 <v(r.,a)>=<au>*w*r.

 <v(x,y)>
=w*[-<x>*r.*sin(a)+<y>*r.*cos(a)]
=w*(-<x>*y+<y>*x)

■ <curl<v>>=<z>*2*w _角速度の2倍

{別解} <curl<v>>=<z>*w*[(x;x)-(-y);y]=<z>*w*(1+1)=<z>*2*w


◆ 液体が回転している 回転軸:z軸に平行で、点(x0,y0)を通る直線 角速度 w

液体の各粒子の速度 <v(x,y)> h=root[(x-x0)^2+(y-y0)^2]

 <v(x,y)>=w*[-<x>*(y-y0)+<y>*(x-x0)]

■ <curl<-<x>*(y-y0)+<y>*(x-x0)>
=<z>*[(x-x0);x+(y-y0);y]
=<z>*(1+1)
=<z>*2

 <curl<v(x,y)>>=<z>*2*w あらゆる所で

{別解} -<x>*(y-y0)+<y>*(x-x0) を円柱座標に直す 

 <x>=<r.u>*cos(a)-<au>*sin(a)
 <y>=<r.u>*sin(a)+<au>*cos(a) だから、

 -<x>*(y-y0)+<y>*(x-x0)
=-[<r.u>*cos(a)-<au>*sin(a)]*[r.sin(a)-y0]
+[<r.u>*sin(a)+<au>*cos(a)]*[r.cos(a)-x0)]

 r.成分
=-cos(a)*[r.sin(a)-y0]+sin(a)*[r.cos(a)-x0)]
=-x0*sin(a)+y0*cos(a)

 a成分
=+sin(a)*[r.sin(a)-y0]+cos(a)*[r.cos(a)-x0)]
=r.-x0*cos(a)-y0*sin(a)

<curl> を求めていく 

 [(a成分)*r.];r./r.
={[r.-x0*cos(a)-y0*sin(a)]*r.};r./r.
=2-[x0*cos(a)+y0*sin(a)]/r.

 [(r.成分);a]/r.
=[-x0*sin(a)+y0*cos(a)];a/r.
=-[x0*cos(a)+y0*sin(a)]/r.

 <curl<v>>
=<z>*w*{2-[x0*cos(a)+y0*sin(a)]/r.+[x0*cos(a)+y0*sin(a)]/r.}
=<z>*2*w {素晴らしい!2017/2}

▲ 渦の回転軸がどこにあろうとも、<curl<v>> は、あらゆる所で、

 <curl<v(x,y)>>=<curl<v(r.,a)>>=<z>*2*w _

{<curl> というのは、渦の中心がz軸にあるものときに、原点に対する値だと誤解してた!渦の中心はどこにあってもいいし、<curl> は、任意の位置に対する値を求める事ができる!2017/2}

{復習}円柱座標(r.,a,z)の微分演算子

『円柱座標(r.,a,z)』 2016/1

■ z軸からの距離 r. 0≦r. z軸の周りの回転角 a 0≦a<2Pi xy平面からの高さ z

x=r.*cos(a) y=r.*sin(a) zは同じ r.=root(x^2+y^2) tan(a)=y/x

■ <grad>=∇=<r.u>*(;r.)+<au>*(1/r.)*(;a)+<z>*(;z)

 div<A>=[(r.*Ar.);r.]/r.+(Aa;a)/r.+Az;z

 <curl<A>>
=<r.u>*[(Az;a)/r.-Aa;z]
+<au>*(Ar.;z-Az;r.)
+<z>*[Aa;r.+Aa/r.-(Ar.;a)/r.]

 △=(1/r.)*(;r.)*r.*(;r.)+(1/r.^2)*(;;a)+;;z

 △f=f;;r.+(f;r.)/r.+(f;;a)/r.^2+f;;z

■ 円柱座標(r.,a,z)で、z軸からの距離 r. のみに依るベクトル <A(r.)>
=<r.u>*Ar.(r.)+<au>*Aa(r.)+<z>*Az(r.)

 div<A(r.)>=[(r.*Ar.);r.]/r. .

 <curl<A(r.)>>=-<au>*(Az;r.)+<z>*(Aa;r.+Aa/r.) .

■ 円柱座標(r.,a,z)で、z成分のみのベクトル <A(r.,a,z)>=<z>*Az(r.,a,z)

 div[<z>*Az(r.,a,z)]=Az(r.,a,z);z .

 <curl[<z>*Az(r.,a,z)]>=<r.u>*(Az;a)/r.-<au>*(Az;r.) .

■ 円柱座標(r.,a,z)で、r. のみの関数で、かつ、z成分のみのベクトル <A(r.)>
=<z>*Az(r.)

 div[<z>*Az(r.)]=0 .

 <curl[<z>*Az(r.)]>=-<au>*(Az;r.) .

★ <curl[<z>*ln(r.)]>=-<au>*[ln(r.);r.]=-<au>/r. .

{別解} <curl[<z>*ln(r.)]>
=<x>*[ln(r.);y]-<y>*[ln(r.);x]

ここで ln(r.);y=[ln(r.);r.]*[r.;y]=(1/r.)*(y/r.)=y/r.^2 だから、

 <curl[<z>*ln(r.)]>=<x>*y/r.^2-<y>*x/r.^2

またまたここで <x>*y/r.-<y>*x/r.=-<au> <au>:方位角単位ベクトル

 <curl[<z>*ln(r.)]>=-<au>/r. ‖

☆<curl<A>>=0 の意味☆

◆ あらゆる場所で <curl<A>>=0 保存場

■ ストークスの定理により、あらゆる場所、あらゆる閉曲線で、

 ${<A>*<ds>}[s:閉曲線]
=$${<curl<A>>*<dS>}[S:閉曲線の面積]
=0

渦ができない 電場がそうである

■ ${<A>*<ds>} は、経路に依らない、位置によって定まる量になる。

■ 任意のスカラー関数 φ に対して <curl<grad(φ)>>=0 だから、

別の関数 φ を用意して <A>=<grad(φ)> と置くことができる。

自動的に <curl<A>>=<curl<grad(φ)>=0

▲ 静電場で <curl<E>>=0 <E>=-<grad(φ)>

※時間によって変動する場合 not[<curl<E>>=0] 電位は定義できない 

☆ストークスの定理☆

■ $${<curl<A>>*<dS>}[S:閉曲線の面積]=${<A>*<ds>}[s:閉曲線] ストークスの定理


◆ <A>=<au>*r. <curl<A>>=<z>*2

xy平面 r.=r.1~r.2 a=0~Pi/2 を考える

次の閉曲線 (r.1,0)-半径-(r.2,0)-弧-(r.2,Pi/2)-半径-(r.1,Pi/2)-弧-(r.1,0)

 (r.2,0)-弧-(r.2,Pi/2) の長さ=Pi*r.2/2

 (r.1,Pi/2)-弧-(r.1,0) の長さ=Pi*r.1/2

 閉曲線に囲まれた図形の面積=Pi*(r.2^2-r.1^2)/4

■ <A>は方位角成分しかない、動径成分はない事に注意して、

 ${<A>*<ds>}[s:閉曲線]
=(r.2)*(Pi*r.2/2)-(r.1)*(Pi*r.1/2)
=Pi*(r.2^2-r.1^2)/2

あらゆる所で <curl<A>>=2 だから、

 $${<curl<A>>*<dS>}[S:閉曲線の面積]
=$${2*<dS>}[S:閉曲線の面積]
=2*(閉曲線の面積)
=2*[Pi*(r.2^2-r.1^2)/4]
=Pi*(r.2^2-r.1^2)/2

 ${<A>*<ds>}[s:閉曲線]=$${<curl<A>>*<dS>}[S:閉曲線の面積]

{やっと理解できてきたよ!2017/2}

{まとめ}curl

『curl』

■ 3次元ベクトル <A(x,y,z)>=<Ax Ay Az>

 z軸に対する循環=${<A>*<ds>}[xy平面上の閉曲線]

 <curl<A>>のz成分=lim[面積->0]{z軸に対する単位面積当たりの循環}

■ <curl<Ax Ay Az>>=<Az;y-Ay;z Ax;z-Az;x Ay;x-Ax;y>

■ x の関数 f(x) <curl[<y>*f(x)]>=<z>*[f(x);x]

 <curl[<z>*f(x)]>=-<y>*[f(x);x]

■ 円柱座標(r,a,z) r=root(x^2+y^2) r だけの関数 f(r)

 <curl[<au>*f(r)]>=<z>*{[(f(r)*r];r}/r

 <curl[<z>*f(r)]>=-<au>*[f(r);r]

★ <curl(<au>*r)>=<z>*2 ★ <curl(<au>/r)>=0

★ <curl[<z>*ln(r)]>=-<au>/r

■ $${<curl<A>>*<dS>}[S:閉曲線の面積]=${<A>*<ds>}[s:閉曲線] ストークスの定理

{やっとわかってきた!2017/3}

☆お勉強しよう 2017-2011 Yuji.W☆

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