物理 力学 2018/1-2011 Yuji.W

☆ 円座標

教科書にはあっさりとしか書いてないが、盲点がたくさんある。円柱座標、球座標へとつながる重要な項目である。 _

【ベクトル】<A> 単位ベクトル <-u> 内積 * 外積 # 座標単位<x>,<y>,<z>
 円柱座標 <r.u>,<au>,<z> 球座標 <ru>,<au>,<bu>

【累乗】3^2=9 10^x=Ten(x) 【微積】xで微分 f(x);x 時間微分 ' 積分 $

ネイピア数ee^x=exp(x) 対数 log(a,x) log(e,x)=ln(x) log(10,x)=LOG(x)

虚数単位ii^2=-1 e^(i*x)=exp(i*x)=expi(x) 複素数zの共役複素数 \z

〓 運動方程式 デカルト座標(x,y) 〓 

◆ 1質点 xy平面上の運動

質点の位置 <r>=<x>*x+<y>*y 速度 <v>=<r>' 加速度 <Ac>=<v>'=<r>''

1質点に働く力 <F>=<x>*Fx+<y>*Fy

◇ 時間微分 '

■ <v>=<r>'=(<x>*x+<y>*y)'

ここで デカルト座標単位ベクトル<x>,<y>の方向は変わらないから、

 <x>'=<y>'=0

⇒ <v>=<r>'=<x>*x'+<y>*y'

同様にして <Ac>=<v>'=<x>*x''+<y>*y''

■ 運動方程式 <F>=m*<Ac>

 <x>*Fx+<y>*Fy=m*(<x>*x''+<y>*y'')

x成分 Fx=m*x'' & y成分 Fy=m*y'' _

{なるほど!2018/1}

〓 円座標(r,a) 〓 

◎ 以下の事を理解しないで使うと、混乱する{!}

◆ xy平面上の点 P デカルト座標で P(x,y) 円座標で P(r,a)

原点からの距離 r その位置と原点を結ぶ線分がx軸と成す角 a

■ r=root(x^2+y^2) tan(a)=y/x x=r*cos(a) y=r*sin(a)


◆ デカルト座標の座標単位ベクトル <x>,<y>

円座標(r,a)の座標単位ベクトル <ru>,<au>

■ 大きさ |<x>|=|<y>=|<ru>|=|<au>|=1

 (<x>の方向)=(xだけ増加したときに位置が変化する方向)
 (<y>の方向)=(yだけ増加したときに位置が変化する方向)

(<x>の方向)と(<y>の方向)は、位置(x,y)がどこであろうと同じ方向 _

 (<ru>の方向)=(rだけ増加したときに位置が変化する方向)
 (<au>の方向)=(aだけ増加したときに位置が変化する方向)

(<ru>の方向)と(<au>の方向)は、位置(x,y)によって異なる。 _{核心!}

正確には <ru(x,y)> , <au(x,y)> とか <ru(a)> , <au(a)> などと書かなくてはならない。面倒なので、普通、暗黙の了解で書かない。

★ <ru(1,0)>=<x> <au(1,0)>=<y> <ru(0,1)>=-<y> <au(0,1)>=-<x>

★ <ru(0°)>=<x> <au(0°)>=<y> <ru(90°)>=-<y> <au(90°)>=-<x>

位置 (x,y) , (r,a) において、 ※ 本当は、この断り書きが{重要!}

 <ru>=<x>*cos(a)+<y>*sin(a)=<x y>/r
 <au>=-<x>*sin(a)+<y>*cos(a)=<-y x>/r

もちろん |<ru>|=|<au>|=1 <ru>*<au>=0 <ru>⊥<au>

 <x>=<ru>*cos(a)-<au>*sin(a)
 <y>=<ru>*sin(a)+<au>*cos(a)

〓 円座標単位ベクトルの時間変化 〓 

■ <ru>と<au>は刻々とその方向を変える。ベクトルの位置を定めないと、その方向が決まらない

 (r,a)にあるとしよう。そのとき <ru(r,a)>,<au(r,a)> と位置を明記しよう。

微少量Δr,Δaだけずれた位置、r+Δr,a+Δaでは <ru(r+Δr,a+Δa)>,<au(r+Δr,a+Δa)>

■ 次の変化量を考える Δ<ru>=<ru(r+Δr,a+Δa)>-<ru(r,a)>

r が変化しても、<ru>,<au>の方向は変化しない。元々、大きさは 1 で変化しないから、

 <ru>;r=0 <au>;r=0

■ a が変化すると、

<ru>の変化の方向 <au> 変化の大きさ Δa Δ<ru>=<au>*Δa

 <ru>;a=Δ<ru>/Δa=<au>

<au>の変化の方向 原点へ 変化の大きさ Δa Δ<au>=-<ru>*Δa

 <au>;a=-<ru>

【時間微分】

 <ru>'=(<ru>;r)*r'+(<ru>;a)*a'=0+<au>*a'=<au>*a'

 <au>'=(<au>;r)*r'+(<au>;a)*a'=0-<ru>*a'=-<ru>*a'

》<ru>'=<au>*a' & <au>'=-<ru>*a' _

{なるほど!2016/1}

〓 円座標(r,a) 〓 

◆ xy平面上の点 P デカルト座標で P(x,y) 円座標で P(r,a)

原点からの距離 r その位置と原点を結ぶ線分がx軸と成す角 a

デカルト座標の座標単位ベクトル <x>,<y>

円座標(r,a)の座標単位ベクトル <ru>,<au>

■ r=root(x^2+y^2) tan(a)=y/x x=r*cos(a) y=r*sin(a)

■ (<ru>の方向)=(rだけ増加したときに位置が変化する方向) 動径方向
 (<au>の方向)=(aだけ増加したときに位置が変化する方向) 接線方向

位置 (x,y) , (r,a) において、 

 <ru>=<r>/r <au>=<-y x>/r

 <x>=<ru>*cos(a)-<au>*sin(a) <y>=<ru>*sin(a)+<au>*cos(a)

■ <ru>'=<au>*a' & <au>'=-<ru>*a'

〓 運動方程式 円座標(r,a) 〓 ◇ 時間微分 '

◆ 1質点 xy平面上の運動

質点の位置 <r>=<ru>*r 速度 <v>=<r>' 加速度 <Ac>=<v>'=<r>''

角運動量 <L>=m*<r>#<v>=m*r*<ru>#<v>

1質点に働く力 <F>=<ru>*Fr+<au>*Fa トルク <N>=<r>#<F>

■ <v>
=<r>'
=<ru>'*r+<ru>*r'
=<au>*a'*r+<ru>*r'
=<ru>*r'+<au>*r*a'

 (<au>*a'*r)'
=<au>'*a'*r+<au>*(a''*r+a'*r')
=-<ru>*a'^2*r+<au>*(a''*r+a'*r')

 (<ru>*r')
=<ru>'*r'+<ru>*r''
=<au>*a'*r'+<ru>*r''

 <Ac>
=<v>'
=(<au>*a'*r+<ru>*r')
=[-<ru>*a'^2*r+<au>*(a''*r+a'*r')]+(<au>*a'*r'+<ru>*r'')
=<ru>*(r''-r*a'^2)+<au>*(r*a''+2*r'*a')

さらに r*a''+2*r'*a'=(r^2*a')'/r であるから、

》<Ac>=<ru>*(r''-r*a'^2)+<au>*(r^2*a')'/r _

■ 運動方程式  <F>=m*<Ac>

 <ru>*Fr+<au>*Fa=m*[<ru>*(r''-r*a'^2)+<au>*(r*a''+2*r'*a')]

動径方向 Fr=m*(r''-r*a'^2) 接線方向 Fa=m*(r^2*a')'/r _

■ <L>
=m*<r>#<v>
=m*r*<ru>#<v>
=m*r*<ru>#(<ru>*r'+<au>*r*a')
=<z>*m*r^2*a'

》<L>=<z>*m*r^2*a' _

■ <N>
=<r>#<F>
=(<ru>*r)#(<ru>*Fr+<au>*Fa)
=<z>*r*Fa
》<N>=<z>*r*Fa _

〓 運動方程式 円座標(r,a) 〓 ◇ 時間微分 '

◆ 1質点 xy平面上の運動 円座標(r,a) 位置 <r>=<ru>*r

質点に働く力 <F>=<ru>*Fr+<au>*Fa

速度 <v>=<r>'=<ru>*r'+<au>*r*a'

加速度 <Ac>=<v>'=<ru>*(r''-r*a'^2)+<au>*(r^2*a')'/r

運動方程式 動径方向 Fr=m*(r''-r*a'^2) 接線方向 Fa=m*(r^2*a')'/r

■ <L>=<z>*m*r^2*a' <N>=<z>*r*Fa

〓 円周上の運動 〓 

◆ 1質点 xy平面上の運動 円座標(r,a) 位置 <r>=<ru>*R R=一定

速度 <v>=<au>*R*a' 加速度 <Ac>=-<ru>*R*a'^2+<au>*R*a''

運動方程式 動径方向 Fr=-m*R*a'^2 接線方向 Fa=m*R*a''

<L>=<z>*m*R^2*a' <N>=<z>*R*Fa

■ <L>'=<z>*m*R^2*a''=<z>*R*Fa=<N>

■ 慣性モーメント I=m*R^2 とすれば <L>=<z>*I*a'

〓 等速円運動 〓 

◆ 1質点 xy平面上の運動 円座標(r,a) 位置 <r>=<ru>*R R=一定

角速度 a'=w=一定

■ 速度 <v>=<au>*R*w 加速度 <Ac>=-<ru>*R*w^2

運動方程式 動径方向 Fr=-m*R*w^2 接線方向 Fa=0

<L>=<z>*m*R^2*w=一定 <N>=0

〓 原点を通る力での運動 〓 

◎ 力が常に原点を通る Fa=0

◆ 1質点 xy平面上の運動  円座標(r,a) 位置 <r>=<ru>*r

質点に働く力 <F>=<ru>*Fr Fa=0

運動方程式 接線方向 0=Fa=m*(r^2*a')'/r

 r^2*a'=一定 _面積速度一定(Kepler の第2法則)

■ <L>=<z>*m*r^2*a'=一定 <N>=0

〓 座標単位ベクトルの変換 〓 

【円座標と斜めに傾いた座標との関係】

xy座標に対して a だけ傾いた座標系 XY系 その座標単位ベクトル <x>,<y>

(r,a)で <ru>=<x> <au>=<y> .{盲点!2016/2}

回転行列 [R(a)]=[cos(a) -sin(a)|sin(a) cos(a)] をそのまま使って、

 [Xc]=[cos(a) -sin(a)|sin(a) cos(a)] とすれば、

 <<x> <y>)=[Xc]*<<ru> <au>) .

[Xc]の逆行列 [cX]=[cos(a) sin(a)|-sin(a) cos(a)]

〓 成分の変換 〓 

【 任意のベクトルの変換 】

(r,a)での任意のベクトル <A> <A>=<ru>*Ar+<au>*Aa=<x>*Ax+<y>*Ay

<ru>*Ar+<au>*Aa を <x>,<y> に変換すると、

 <A>
=[<x>*cos(a)+<y>*sin(a)]*Ar+[-<x>*sin(a)+<y>*cos(a)]*Aa
=<x>*[Ar*cos(a)-Aa*sin(a)]+<y>*[Ar*sin(a)+Aa*cos(a)]

これが <x>*Ax+<y>*Ay になるのだから、

 Ax=Ar*cos(a)-Aa*sin(a) Ay=Ar*sin(a)+Aa*cos(a)

 <Ax Ay)=[Xc]*<Ar Aa) .座標単位ベクトルの変換則と同じ

〓 微分演算子の変換 〓 

■ x=r*cos(a) x;r=cos(a) x;a=-r*sin(a)

 y=r*sin(a) y;r=sin(a) y;a=r*cos(a)

r=root(x^2+y^2) tan(a)=y/x

 r;x=x/root(x^2+y^2)=x/r=cos(a) r;y=y/root(x^2+y^2)=y/r=sin(a)

 a;x
=arctan(y/x);x
={1/[1+(y/x)^2]}*(-y/x^2)
=-y/(x^2+y^2)
=-y/r^2
=-sin(a)/r

 a;y
=arctan(y/x);y
={1/[1+(y/x)^2]}*(1/x)
=x/(x^2+y^2)
=x/r^2
=cos(a)/r

【任意の関数 f(x,y)=f(r,a)に対して】

 f;x=(f;r)*(r;x)+(f;a)*(a;x)=(f;r)*cos(a)-(f;a)*sin(a)/r

 f;y=(f;r)*(r;y)+(f;a)*(a;y)=(f;r)*sin(a)+(f;a)*cos(a)/r

微分演算子で表せば (;x)=cos(a)*(;r)-[sin(a)/r]*(;a)

 (;y)=sin(a)*(;r)+[cos(a)/r]*(;a)

変換行列を使って <(;x) (;y))=[Xc]*<(;r) (1/r)*(;a)) .

{うまくできてるなあ!2016/2}

〓 ∇,<grad>,div,<curl>,△ 〓 

◎ ∇を使って、円座標(r,a)の <grad>,div,<curl>,△を求める

微分演算子を利用する

● [Xc]=[cos(a) -sin(a)|sin(a) cos(a)]
 [cX]=[cos(a) sin(a)|-sin(a) cos(a)]

 <(;x) (;y))=[Xc]*<(;r) (1/r)*(;a))

 <<x> <y>)=[Xc]*<<ru> <au>)
 <<x> <y>>=<<ru> <au>>*[cX]

 <ru>;r=0 <au>;r=0 <ru>;a=<au> <au>;a=-<ru>

微分演算子で表せば、

 (;r)*<ru>=0 (;r)*<au>=0 (;a)*<ru>=<au> (;a)*<au>=-<ru> .

■ ∇
=<x>*(;x)+<y>*(;y)
=<<x> <y>>*<<;x) <;y))
=<<ru> <au>>*[Cx]*[Xc]*<(;r) (1/r)*(;a))
=<<ru> <au>>*<(;r) (1/r)*(;a)) 
=<ru>*(;r)+<au>>*(1/r)*(;a) 
.

■ div<A>
=∇*<A>
=<<ru>*(;r)+<au>>*(1/r)*(;a)>*(<ru>*Ar+<au>*Aa)

ここで、

 (;r)*(<ru>*Ar+<au>*Aa)=<ru>*(Ar;r)+<au>*(Aa;r) だから、

 <ru>*(;r)*(<ru>*Ar+<au>*Aa)=Ar;r .

また (;a)*(<ru>*Ar+<au>*Aa)
=(<ru>;a)*Ar+<ru>*(Ar;a)+(<au>;a)*Aa+<au>*(Aa;a)
=<au>*Ar+<ru>*(Ar;a)-<ru>*Aa+<au>*(Aa;a)
=<ru>*(Ar;a-Aa)+<au>*(Ar+Aa;a) {核心!} だから、

 <au>*(1/r)*(;a)*(<ru>*Ar+<au>*Aa)
=(1/r)*(Ar+Aa;a) 
.

まとめて div<A>=Ar;r+Ar/r+(Aa;a)/r=[(r*Ar);r+(Aa;a)]/r .

{微分演算子の扱い方がわかれば、簡単に処理できる!2016/3}

■ <curl<A>>
=∇#<A>
=[<ru>*(;r)+<au>*(1/r)*(;a)]#(<ru>*Ar+<au>*Aa)

ここで、

 (;r)*(<ru>*Ar+<au>*Aa)=<ru>*(Ar;r)+<au>*(Aa;r) だから、

 <ru>*(;r)#(<ru>*Ar+<au>*Aa)=<zu>*(Aa;r)

また (;a)*(<ru>*Ar+<au>*Aa)=<ru>*(Ar;a-Aa)+<au>*(Ar+Aa;a) だから、

 <au>*(1/r)*(;a)#(<ru>*Ar+<au>*Aa)=-<zu>*(1/r)*(Ar;a-Aa)

まとめて <curl<A>>
=<zu>*(Aa;r)-<zu>*(1/r)*(Ar;a-Aa)
=<zu>*[Aa;r+Aa/r-(Ar;a)/r]
=<zu>*[(r*Aa);r-(Ar;a)]/r 
.

■ △=div<grad>=(;;r)+(1/r)*(;r)+(1/r^2)*(;;a) .

〓 ∇,<grad>,div,<curl>,△ 〓 

■ ∇=<ru>*(;r)+<au>>*(1/r)*(;a)

■ div<A>=Ar;r+Ar/r+(Aa;a)/r=[(r*Ar);r+(Aa;a)]/r

■ <curl<A>>=<zu>*[(r*Aa);r-(Ar;a)]/r

■ △=(;;r)+(1/r)*(;r)+(1/r^2)*(;;a)

〓 円座標(r,a)での2階微分 〓 

● f;x=(f;r)*cos(a)-(f;a)*sin(a)/r

■ f;x;r
=[(f;r)*cos(a)-(f;a)*sin(a)/r];r
=(f;;r)*cos(a)-(f;a;r)*sin(a)/r+(f;a)*sin(a)/r^2

■ f;x;a
=[(f;r)*cos(a)-(f;a)*sin(a)/r];a
=(f;r;a)*cos(a)-(f;r)*sin(a)-(f;;a)*sin(a)/r-(f;a)*cos(a)/r

■ f;;x
=(f;x;r)*(r;x)+(f;x;a)*(a;x)
=[(f;;r)*cos(a)-(f;a;r)*sin(a)/r+(f;a)*sin(a)/r^2]*cos(a)
+[(f;r;a)*cos(a)-(f;r)*sin(a)-(f;;a)*sin(a)/r-(f;a)*cos(a)/r]*[-sin(a)/r]
=(f;;r)*cos(a)^2-(f;a;r)*cos(a)*sin(a)/r+(f;a)*cos(a)*sin(a)/r^2
-(f;r;a)*cos(a)*sin(a)/r+(f;r)*sin(a)^2/r
+(f;;a)*sin(a)^2/r^2+(f;a)*cos(a)*sin(a)/r^2
=(f;;r)*cos(a)^2+(f;;a)*sin(a)^2/r^2-2*(f;r;a)*cos(a)*sin(a)/r
+2*(f;a)*cos(a)*sin(a)/r^2+(f;r)*sin(a)^2/r

≫ f;;x
=(f;;r)*cos(a)^2+(f;;a)*sin(a)^2/r^2-2*(f;r;a)*cos(a)*sin(a)/r
+2*(f;a)*cos(a)*sin(a)/r^2+(f;r)*sin(a)^2/r

■ 同様にして

 f;y;r=(f;;r)*sin(a)+(f;a;r)*cos(a)/r-(f;a)*cos(a)/r^2

 f;y;a=(f;r;a)*sin(a)+(f;r)*cos(a)+(f;;a)*cos(a)/r-(f;a)*sin(a)/r

 f;;y
=(f;;r)*sin(a)^2+(f;;a)*cos(a)^2/r^2+2*(f;r;a)*cos(a)*sin(a)/r
-2*(f;a)*cos(a)*sin(a)/r^2+(f;r)*cos(a)^2/r

■ f;;x+f;;y=f;;r+(f;;a)/r^2+(f;r)/r=(r*f;r);r/r+(f;;a)/r^2 .

〓 円座標(r,a) 〓 

『円座標(r,a)』 2016/1

■ 平面上の点の位置 2次元デカルト座標で (x,y) 円座標で (r,a)

 x=r*cos(a) y=r*sin(a) r=root(x^2+y^2) tan(a)=y/x

■ 変換行列 [Xc]=[cos(a) -sin(a)|sin(a) cos(a)]

 <Ax Ay)=[Xc]*<Ar Aa)

 <<x> <y>)=[Xc]*<<ru> <au>)

 <(;x) (;y))=[Xc]*<(;r) (1/r)*(;a))

■ <ru>;r=0 <au>;r=0 <ru>;a=<au> <au>;a=-<ru>

 <ru>'=<au>*a' <au>'=-<ru>*a'

■ <grad>=∇=<ru>*(;r)+<au>>*(1/r)*(;a)

 div<A>=Ar;r+Ar/r+(Aa;a)/r=[(r*Ar);r+(Aa;a)]/r

 <curl<A>>=<zu>*[(r*Aa);r-(Ar;a)]/r

 △=(;;r)+(1/r)*(;r)+(1/r^2)*(;;a)

■ <r>=<ru>*r <r>'=<au>*r*a'+<ru>*r'

 <r>''=<ru>*(r''-r*a'^2)+<au>*(r*a''+2*r'*a')

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