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☆ 円座標(2次元極座標) ☆ |
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〇 円座標の座標単位ベクトルは、考えているベクトルの位置に依って、方向が異なる{!} ♡ ちゃんとそれを最初に言ってくれないから、わからなくなる ★ |
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【数学】2*3=6 6/2=3 3^2=9 1000=10^3=Ten(3) 000 py- 0table ベクトル <A> 縦ベクトル <A) 単位ベクトル <Au> 内積 * 外積 # |
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〓 円座標 〓 ▢ xy平面上の点 P デカルト座標で P(x,y) 円座標で P(r,a _C) 原点からの距離 r その位置と原点を結ぶ線分がx軸と成す角 a デカルト座標の座標単位ベクトル <xu>,<yu> |<xu>|=|<yu>|=1 円座標(r,a)の座標単位ベクトル <ru>,<au> |<ru>|=|<au>|=1 ▷ r=root(x^2+y^2) tan(a)=y/x x=r*cos(a) y=r*sin(a) ▷ 動径方向 (<ru>の方向)=(rだけが増加したときに位置が変化する方向) 接線方向 (<au>の方向)=(aだけが増加したときに位置が変化する方向) (<ru>の方向) と (<au>の方向) は、位置(x,y)によって異なる。 ★ 正確には <ru(x,y)> , <au(x,y)> とか <ru>(a) , <au>(a) などと書かなくてはならない。 <ru>(0°)=<xu> <au>(0°)=<yu> <ru>(90°)=-<yu> <au>(90°)=-<xu> 面倒なので、普通、暗黙の了解で書かない。 |
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〓 座標単位ベクトルの変換 〓 ▢ 円座標座標単位ベクトル <ru> , <au> 2次元デカルト座標単位ベクトル <xu> , <yu> ▷ 位置 (x,y) , (r,a _C) において、 <ru>=<xu>*cos(a)+<yu>*sin(a) <au>=-<xu>*sin(a)+<yu>*cos(a) ★ もちろん |<ru>|=|<au>|=1 <ru>*<au>=0 <ru>⊥<au> 逆変換 <xu>=<ru>*cos(a)-<au>*sin(a) <yu>=<ru>*sin(a)+<au>*cos(a) ★ |
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〓 円座標単位ベクトルの微分 〓 ▢ <ru>=<xu>*cos(a)+<yu>*sin(a) <au>=-<xu>*sin(a)+<yu>*cos(a) <xu>=<ru>*cos(a)-<au>*sin(a) <yu>=<ru>*sin(a)+<au>*cos(a) ※ <xu> , <yu> は、方向が定まっているから、微分すると 0 ▷ <ru>:a=-<xu>*sin(a)+<yu>*cos(a)=<au> <au>:a=-<xu>*cos(a)-<yu>*sin(a)=-<ru> ≫ <ru>:a=<au> <au>:a=-<ru> ▷ <ru>;t=(<ru>:a)*(a;t)=<au>*(a;t) <au>;t=(<au>:a)*(a;t)=-<ru>*(a;t) ≫ <ru>;t=<au>*(a;t) <au>;t=-<ru>*(a;t) ★ |
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〓 任意のベクトルの変換 〓 ▢ 任意のベクトル デカルト座標で <A>=<xu>*Ax+<yu>*Ay 円座標で <A>=<ru>*Ar+<au>*Aa ▷ <xu>*Ax+<yu>*Ay=<ru>*Ar+<au>*Aa (左辺) Ar=Ax*cos(a)+Ay*sin(a) Aa=-Ax*sin(a)+Ay*cos(a) ★ 逆変換 Ax=Ar*cos(a)-Aa*sin(a) Ay=Ar*sin(a)+Aa*cos(a) ▷ 行列 [R(a)+] , [R(a)-] を使えば <Ar Aa)=[R(a)+]*<Ax Ay) ★ 逆変換 <Ax Ay)=[R(a)-]*<Ar Aa) {確かめ} 任意の位置ベクトル <r>=<xu>*x+<yu>*y の場合 r=x*cos(a)+y*sin(a) & a=-x*sin(a)+y*cos(a) x=r*cos(a) & y=r*sin(a) であったから、 r=r*[cos(a)^2+sin(a)^2]=r a=r*[-cos(a)*sin(a)+cos(a)*sin(a)]=0 すなわち <r>=<xu>*x+<yu>*y=<ru>*r {当然!} |
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〓 座標の微分.円座標 〓 ▼ 2022.3修正 ◇ 偏微分 : ▢ 円座標(r,a) 2次元デカルト座標 (x,y) r=root(x^2+y^2) tan(a)=y/x x=r*cos(a) y=r*sin(a) ▷ r:x=2*x*(1/2)/root(x^2+y^2)=x/r 同様に r:y=y/r また a:x=[arctan(y/x)]:x=(-y/x^2)/[1+(y/x)^2]=-y/(x^2+y^2)=-y/r^2 a:y=[arctan(y/x)]:y=(1/x)/[1+(x/y)^2]=x/(x^2+y^2)=x/r^2 ▷ x:r=cos(a)=x/r y:r=sin(a)=y/r x:a=-r*sin(a) y:a=r*cos(a) === まとめ === r:x=x/r r:y=y/r a:x=-y/r^2 a:y=x/r^2 x:r=cos(a) y:r=sin(a) x:a=-r*sin(a) y:a=r*cos(a) |
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〓 関数の微分.円座標 〓 ◇ 偏微分 : ▢ 2次元デカルト座標 (x,y) 円座標(r,a) 任意の関数 f(x,y)=f(r,a_C) ▷ f:r=(f:x)*(x:r)+(f:y)*(y:r)=(f:x)*cos(a)+(f:y)*sin(a) f:a=(f:x)*(x:a)+(f:y)*(y:a)=-(f:x)*r*sin(a)+(f:y)*r*cos(a) ▷ f:x=(f:r)*(r:x)+(f:a)*(a:x)=(f:r)*x/r-(f:a)*y/r^2 f:y=(f:r)*(r:y)+(f:a)*(a:y)=(f:r)*y/r+(f:a)*x/r^2 |
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〓 円座標 〓 ▼ 2202.3修正 ▢ xy平面上の点 P デカルト座標で P(x,y) 円座標で P(r,a _C) デカルト座標の座標単位ベクトル <xu>,<yu> 任意のベクトル <A>=<xu>*Ax+<yu>*Ay=<ru>*Ar+<au>*Aa 任意の関数 f(x,y)=f(r,a_C) ▷ r=root(x^2+y^2) tan(a)=y/x x=r*cos(a) y=r*sin(a) ▷ <ru>=<xu>*cos(a)+<yu>*sin(a) <au>=-<xu>*sin(a)+<yu>*cos(a) <xu>=<ru>*cos(a)-<au>*sin(a) <yu>=<ru>*sin(a)+<au>*cos(a) ▷ Ar=Ax*cos(a)+Ay*sin(a) Aa=-Ax*sin(a)+Ay*cos(a) Ax=Ar*cos(a)-Aa*sin(a) Ay=Ar*sin(a)+Aa*cos(a) ▷ <ru>:a=<au> <au>:a=-<ru> <ru>;t=<au>*(a;t) <au>;t=-<ru>*(a;t) ▷ r:x=x/r r:y=y/r a:x=-y/r^2 a:y=x/r^2 x:r=cos(a) y:r=sin(a) x:a=-r*sin(a) y:a=r*cos(a) ▷ f:r=(f:x)*cos(a)+(f:y)*sin(a) f:a=-(f:x)*r*sin(a)+(f:y)*r*cos(a) f:x=(f:r)*x/r-(f:a)*y/r^2 f:y=(f:r)*y/r+(f:a)*x/r^2 |
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